Xác suất thống kê câu hỏi 4 điểm

XÁC SUẤT THỐNG KÊ Câu hỏi 4 điểm: CHƯƠNG V: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Để kiểm tra trọng lượng của một loại sản phẩm (kg) trong kho, đem cân một số sản phẩm người ta thu được số liệu sau: Trọng lượng 5,5 5,7 5,8 6,0 6,2 6,4 6,5 Số sản phẩm 8 17 25 12 13 10 5 Cho độ tin cậy 95%: Những sản phẩm có trọng lượng từ 6,2kg trở lên là những sản phẩm loại I. Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I? Muốn sai số khoảng ước lượng giảm đi một nửa thì cần kiểm tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm. (Biết trọng lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn) Giải Gọi p là tỷ lệ sản phẩm loại I Ta có: n = 90; fn = 2890; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn ɛ; fn + ɛ) fn = 2890 = 0,31 Từ ϕ0 (U_(α2) ) = (γ )2 = 0,952 = 0,475 Þ U_(α2) = 1,96 Suy ra: ɛ = U_(α2) × √((f_n × (1 f_n))n) ⟺ ɛ = 1,96 × √((0,31 × (1 0,31))90) Þ ɛ = 0,0956 Vậy ở độ tin cậy 95%, tỷ lệ sản phẩm loại I: p ∈ (fn ɛ; fn + ɛ) = (0,31 0,0956; 0,31 + 0,0956) = (0,2144; 0,4056) = (21,44%; 40,56%) Sai số ước lượng giảm đi một nửa: ɛ’ = ɛ2 = 0,09562 = 0,0478 n ≥ (U_(α2)2 × f_n (1 f_n))ɛ(,2) ⟺ n ≥ (〖1,96〗2 × 0,31 × (1 0,31))〖0,0478〗2 ⟺ n ≈ 359,64 Þ n = 360 sản phẩm Vậy cần kiểm tra thêm ít nhất: 360 90 = 270 sản phẩm

XÁC SUẤT THỐNG KÊ Câu hỏi điểm: CHƯƠNG V: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Để kiểm tra trọng lượng loại sản phẩm (kg) kho, đem cân số sản phẩm người ta thu số liệu sau: Trọng lượng 5,5 Số sản phẩm Cho độ tin cậy 95%: 5,7 17 5,8 25 6,0 12 6,2 13 6,4 10 6,5 a Những sản phẩm có trọng lượng từ 6,2kg trở lên sản phẩm loại I Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I? b Muốn sai số khoảng ước lượng giảm nửa cần kiểm tra thêm sản phẩm (Biết trọng lượng sản phẩm biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn) Giải a Gọi p tỷ lệ sản phẩm loại I 28 Ta có: n = 90; fn = 90 ; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 28  fn = 90 = 0,31 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × √ √ f n ×(1− f n ) n 0,31×(1 −0,31) 90 Þ ɛ = 0,0956 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ sản phẩm loại I: p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,31 - 0,0956; 0,31 + 0,0956) = (0,2144; 0,4056) = (21,44%; 40,56%) ɛ b Sai số ước lượng giảm nửa: ɛ’ = = n≥ U 2α × f n (1 − f n ) ⟺n≥ ɛ ,2 0,0956 = 0,0478 1,962 × 0,31×(1 −0,31) ⟺ n ≈ 359,64 0,04782 Þ n = 360 sản phẩm Vậy cần kiểm tra thêm nhất: 360 - 90 = 270 sản phẩm Để khảo sát chiều cao X giống trồng sau thời gian gieo trồng, quan sát mẫu thu số liệu sau: X 40 - 45 45 -50 Số 12 Cho độ tin cậy 95%: 50 - 55 18 55 - 60 27 60 - 65 20 65 -70 70 - 75 75 - 80 a Những có chiều cao 55cm tăng trưởng Hãy ước lượng tỷ lệ tăng trưởng b Muốn sai số ước lượng giảm nửa cần khảo sát thêm giống nữa? Giải a Gọi p tỷ lệ tăng trưởng 37 Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 37  fn = 100 = 0,37 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × √ √ f n ×(1− f n ) n 0,37ì(1 0,37) 100 ị = 0,0946 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ tăng trưởng kém: p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,37 - 0,0946; 0,37 + 0,0946) = (0,2754; 0,4646) = (27,54%; 46,46%) ɛ b Sai số ước lượng giảm nửa: ɛ’ = = n≥ U 2α × f n (1 − f n ) ɛ ,2 ⟺n≥ 0,0946 = 0,0473 1,962 × 0,37 ì(1 0,37) n 400,25 0,0473, ị n = 400 giống Vậy cần khảo sát thêm nhất: 400 - 100 = 300 giống Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng, người ta khảo sát nhu cầu mặt hàng 500 hộ gia đình địa bàn A có 5000 hộ dân, thu số liệu sau: Nhu cầu (kg/tháng) Số gia đình Cho độ tin cậy 95%: 0-2 70 2-4 110 4-6 180 6-8 100 - 10 40 a Những hộ sử dụng từ kg/ tháng trở lên hộ có nhu cầu cao Hãy ước lượng tỷ lệ hộ có nhu cầu cao địa bàn b Hãy ước lượng số hộ có nhu cầu cao địa bàn Giả thiết nhu cầu mặt hàng hộ biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giải a Gọi p tỷ lệ hộ có nhu cầu cao địa bàn 40 Ta có: n = 500; fn = 500 ; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 40  fn = 500 = 0,08 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × √ √ f n ×(1− f n ) n 0,08×(1 −0,08) 500 Þ ɛ = 0,0238 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ có nhu cầu cao địa bàn: p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,08 - 0,0238; 0,08 + 0,0238) = (0,0562; 0,1038) = (5,62%; 10,38%) b Ta có: N = 5000 Gọi M số hộ có nhu cầu cao M p = N Þ M = p × N = p × 5000 Vậy số hộ có nhu cầu cao (281; 519) Hướng dẫn: Những liên quan đến kích thước mẫu hay tổng thể dùng M cơng thức p = N Số liệu thống kê doanh số bán hàng (triệu đồng/ngày) siêu thị số ngày cho bảng số liệu sau: Doanh số 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 Số ngày 13 25 35 24 17 15 10 Cho độ tin cậy 95%: a Những ngày có doanh số bán hàng từ 50 triệu đồng trở lên ngày bán đắt Hãy ước lượng tỷ lệ ngày bán đắt siêu thị b Muốn sai số ước lượng giảm nửa cần khảo sát doanh số ngày? Giải a Gọi p tỷ lệ ngày bán đắt siêu thị 31 Ta có: n = 150; fn = 150 ; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 31  fn = 150 = 0,21 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × √ √ f n ×(1− f n ) n 0,21×(1 −0,21) 150 Þ ɛ = 0,0651 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ ngày bán đắt siêu thị này: p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,21 - 0,0651; 0,21 + 0,0651) = (0,1449; 0,2751) = (14,49%; 27,51%) ɛ b Sai số ước lượng giảm nửa: ɛ’ = = n≥ U 2α × f n (1 − f n ) ɛ ,2 0,0651 = 0,0326 1,962 × 0,21×(1 −0,21) ⟺n≥ ⟺ n ≈ 599,69 0,0326,2 Þ n = 600 ngày Vậy cần khảo sát doanh số nhất: 600 - 150 = 450 ngày Một đại lý sữa theo dõi việc bán hàng số ngày thu bảng số liệu sau: Số thùng bán 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 Số ngày 10 15 35 25 15 Biết số thùng sữa bán ngày biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn Cho độ tin cậy 95%: a Hãy ước lượng số thùng sữa trung bình bán hàng ngày b Muốn sai số khoảng ước lượng giảm nửa cần theo dõi thêm ngày? Giải a Gọi m số thùng sữa trung bình bán hàng ngày Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ) Ta có: n = 100; x´ = 37; S x = 11,7207; γ = 0,95 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × Þ ɛ = 2,2973 Sx √n 11,7207 √100 Vậy độ tin cậy 95%, số thùng sữa trung bình bán hàng ngày: m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) = (37 - 2,2973; 37 + 2,2973) = (34,7027; 39,2973) thùng ε b Sai số khoảng ước lượng giảm nửa: ɛ’ = = 2,2973 = 1,1487 S 2x ε '2 n ≥ U α2 × ⟺ n 1,962 ì 11,72072 n 399,95 ị n = 400 ngày 1,1487 Vậy cần theo dõi thêm nhất: 400 - 100 = 300 ngày Quan sát tuổi thọ lồi trùng cho bảng kết quả: Xi 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 ni 10 15 20 30 15 Xi tuổi thọ, ni số trùng có tuổi thọ tương ứng 30-36 10 Tuổi thọ côn trùng biến ngẫu nhiên X (ngày) có phân phối chuẩn Cho độ tin cậy 95%: a Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình loại trùng b Muốn sai số ước lượng giảm lần cần quan sát côn trùng loại này? Giải a Gọi m tuổi thọ trung bình loại côn trùng Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) Ta có: n = 100; ´x = 20,3; S x = 7,2777; γ = 0,95 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × Sx √n 7,2777 √ 100 Þ ɛ = 1,4264 Vậy độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình loại côn trùng này: m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) = (20,3 - 1,4264; 20,3 + 1,4264) = (18,8736; 21,7264) tuổi ε b Sai số ước lượng giảm lần: ɛ’ = = n ≥ U α2 × ⟺ n ≥ 1,962 × 1,4264 = 0,4755 S 2x ε '2 7,27772 0,47552 ⟺ n ≥ 899,91 Þ n = 900 Vậy cần quan sát 900 trùng loại Trọng lượng loại thực phẩm đóng hộp nhà máy tự động sản xuất biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cân thử 25 hộp thực phẩm loại ta thu bảng sau: Trọng lượng (g) 57 Số hộp Với độ tin cậy 95%: 58 59 60 10 61 62 a Hãy ước lượng trọng lượng trung bình hộp thực phẩm máy sản xuất b Muốn độ xác ước lượng khơng q 0,2g cần thêm hộp Giải a Gọi m trọng lượng trung bình hộp thực phẩm máy sản xuất Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) Ta có: n = 25; ´x = 59,8; S x = 1,1902; γ = 0,95 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Mà n = 25 < 30 Cho nên, suy ra: ε = T (nγ −1) × −1) ⟺ ε = T (25 0,95 × 1,1902 √25 Sx √n ⟺ ε = T 24 0,95 × 1,1902 √25 ⟺ ε = 2,0639 × 1,1902 Þ ε = 0,4913 Vậy độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình hộp thực phẩm máy sản xuất ra: m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ) = (59,8 - 0,4913; 59,8 + 0,4913) = (59,3087; 60,2913) gam b Độ xác ước lượng khơng q 0,2g Þ ɛ’ = 0,2 S 2x U α n≥ 2× ε' 1,19022 ⟺ n ≥ 1,96 × 0,22 ⟺ n ≥ 136,05 Þ n = 137 hộp Vậy cần thêm nhất: 137 - 25 = 112 hộp Điều tra mức chi tiêu (tính theo năm) cho loại thực phẩm 100 hộ gia đình có người thành phố ta có bảng số liệu sau: Chi tiêu (triệu đồng) 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 Số hộ 10 15 20 30 15 10 Giả thiết mức chi tiêu cho thực phẩm biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Cho độ tin cậy 95%: a Hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình loại thực phẩm hộ gia đình nói b Muốn sai số ước lượng giảm nửa cần điều tra thêm hộ gia đình nữa? c Hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên? Giải a Gọi m mức chi tiêu trung bình loại thực phẩm hộ gia đình Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) Ta có: n = 100; ´x = 10,755; S x = 0,1438; γ = 0,95 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Do: n = 100 > 30 Sx √n Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × 0,1438 √ 100 Þ ɛ = 0,0282 Vậy độ tin cậy 95%, mức chi tiêu trung bình loại thực phẩm hộ gia đình: m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) = (10,755 - 0,0282; 10,755 + 0,0282) = (10,7268; 10,7832) triệu đồng ε b Sai số ước lượng giảm nửa: ɛ’ = = 0,0282 = 0,0141 2 S 2x U α ≥ × n ε '2 0,14382 ⟺ n ≥ 1,96 × 0,01412 ⟺ n ≥ 399,57 Þ n = 400 hộ Vậy cần điều tra thêm nhất: 400 - 100 = 300 hộ gia đình c Gọi p tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên 55 Ta có: fn = 100 = 0,55 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × √ √ f n ×(1− f n ) n 0,55×(1 −0,55) 100 Þ ɛ = 0,0975 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ gia đình có mức chi tiêu từ 10,8 triệu đồng trở lên: p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,55 - 0,0975; 0,55 + 0,0975) = (0,4525; 0,6475) = (45,25%; 64,75%) Để nghiên cứu tuổi thọ loại bóng đèn sau cải tiến kỹ thuật người ta lắp thử 25 bóng thu kết sau: Tuổi thọ (giờ) 1015 1045 1075 1105 1135 1165 Số bóng Với độ tin cậy 95%, ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn trên, biết tuổi thọ bóng đèn biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giải Gọi m tuổi thọ trung bình loại bóng đèn Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ) Ta có: n = 25; ´x = 1087; S x = 41,5331; γ = 0,95 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Mà n = 25 < 30 Cho nên, suy ra: ε = T (nγ −1) × −1) ⟺ ε = T (25 0,95 × ⟺ ε = T 24 0,95 × Sx √n 41,5331 √ 25 41,5331 √ 25 = 2,0639 ì 41,5331 ị = 17,1441 Vậy độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình loại bóng đèn trên: m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ) = (1087 - 17,1441; 1087 + 17,1441) = (1069,8559; 1104,1441) 10 Điều tra ngẫu nhiên 100 hộ huyện A thấy có hộ nghèo Với độ tin cậy 95% ước lượng: a Tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu huyện A b Số tối đa hộ dân huyện A biết số hộ nghèo huyện 1800 hộ Giải a Gọi p tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu huyện A Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; + ∞)  fn = 100 = 0,08  Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45 Þ U α = 1,645 Suy ra: ɛ = U α × ⟺ ɛ = 1,645 × √ √ f n ×(1− f n ) n 0,08×(1 −0,08) 100 Þ ɛ = 0,0446 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ nghèo tối thiểu huyện A p ∈ (fn - ɛ; + ∞) = (0,08 - 0,0446; + ∞) = (0,0354; + ∞) = (3,54%; + ∞) b Ta có: M = 1800 Gọi N số tối đa hộ dân huyện A M M 1800 p = N Þ N = p = 0,0 354 = 50847 hộ Vậy số tối đa hộ dân có huyện A 50847 11 Tuổi thọ côn trùng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Quan sát tuổi thọ loại trùng ta có bảng kết sau: Tuổi thọ (ngày) 5-10 Số 10 Với độ tin cậy 95%: 10-15 15 15-20 20 20-25 30 a Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình côn trùng 25-30 15 30-36 10 b Để sai số ước lượng không vượt nửa ngày cần điều tra mẫu có kích thước bao nhiêu? c Hãy ước lượng tỷ lệ trùng có tuổi thọ khơng q 25 ngày mức tối đa Giải a Gọi m tuổi thọ trung bình trùng Khoảng ước lượng m ∈ ( ´x - ɛ; ´x + ɛ) Ta có: n = 100; ´x = 20,3; S x = 7,2777; γ = 0,95 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Do: n = 100 > 30 Suy ra: ɛ = U α2 × ⟺ ɛ = 1,96 × Sx √n 7,2777 √ 100 Þ ɛ = 1,4264 Vậy độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình côn trùng: m ∈ ( ´x - ɛ; x´ + ɛ) = (20,3 - 1,4264; 20,3 + 1,4264) = (18,8736; 21,7264) tuổi b Để sai số ước lượng khơng vượt q nửa ngày Þ ɛ’ = 0,5 S 2x U α n≥ 2× ε' ⟺ n ≥ 1,962 × 7,27772 0,5 ⟺ n ≥ 813,88 Þ n = 814 Vậy cần điều tra mẫu có kích thước 814 c Gọi p tỷ lệ trùng có tuổi thọ khơng q 25 ngày mức tối đa Khoảng ước lượng p ∈ (-∞ ; fn + ε ) 75  fn = 100 = 0,75  Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45 Þ U α = 1,645 Suy ra: ɛ = U α × ⟺ ɛ = 1,645 × √ √ f n ì(1 f n ) n 0,75ì(1 0,75) 100 ị ɛ = 0,0712 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ trùng có tuổi thọ khơng q 25 ngày mức tối đa: p ∈ (-∞ ; fn + ε ) = (-∞ ; 0,75 + 0,0712) = (-∞ ; 0,8212) = (-∞ ; 82,12%) 12 Điều tra ngẫu nhiên mức doanh thu 100 hộ kinh doanh mặt hàng A ta thu bảng số liệu sau: Doanh thu (triệu đồng) Số hộ Với độ tin cậy 95%: 18-20 12 20-22 15 22-24 35 24-26 28 26-28 10 a Hãy ước lượng tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu 24 triệu đồng b Để sai số ước lượng khơng vượt q 5% cần điều tra thêm hộ nữa? c Hãy ước lượng doanh thu trung bình tối đa hộ kinh doanh Giải a Gọi p tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu 24 triệu đồng 38 Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 38  fn = 10 = 0,38 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × √ f n ×(1− f n ) n ⟺ ɛ = 1,96 ì 0,38ì(1 0,3 8) 10 ị = 0,0951 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ hộ kinh doanh có doanh thu 24 triệu đồng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,38 - 0,0951; 0,38 + 0,0951) = (0,2849; 0,4751) = (28,49%; 47,51%) b Để sai số ước lượng không vượt quỏ 5% ị = 0,05 n U ì f n (1 − f n ) ɛ ,2 1,962 × 0,38 ×(1 − 0,38) ⟺n≥ ⟺ n ≈ 362,03 0,052 Þ n = 363 hộ Vậy cần điều tra thêm nhất: 363 - 100 = 263 hộ c Gọi m doanh thu trung bình tối đa hộ kinh doanh Khoảng ước lượng m ∈ (-∞ ; ´x + ε )  ´x = 23,18  Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45 Þ U α = 1,645 Suy ra: ε = U α × Sx 2,2935 ⟺ ε = 1,645 × ⟺ ε = 0,3773 √100 √n Vậy độ tin cậy 95%, doanh thu trung bình tối đa hộ kinh doanh trên: m ∈ (-∞ ; ´x + ε ) = (-∞ ; 23,18 - 0,3773) = (-∞ ; 22,8027) triệu đồng 13 Chiều cao niên độ tuổi từ 18 đến 20 vùng A biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Quan sát chiều cao (cm) số niên từ 18 đến 20 tuổi chọn ngẫu nhiên vùng A người ta có kết cho bảng đây: Chiều cao 154-156 156-158 158-160 160-162 162-164 164-166 166-168 Số người 15 18 22 20 18 Những niên có chiều cao từ 162 cm trở lên niên có chiều cao tăng trưởng tốt Hãy ước lượng tỷ lệ niên có chiều cao tăng trưởng tốt với độ tin cậy 95% Giải Gọi p tỷ lệ niên có chiều cao tăng trưởng tốt 42 Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,95 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 42  fn = 10 = 0,42 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × √ f n ×(1− f n ) ⟺ ɛ = 1,96 × n √ 0, 42ì(1 0,42) ị = 0,0967 10 Vy độ tin cậy 95%, tỷ lệ niên có chiều cao tăng trưởng tốt: p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,42 - 0,0967; 0,42 + 0,0967) = (0,3233; 0,5167) = (32,33%; 51,67%) 14 Thu nhập công nhân làm việc khu công nghiệp biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Quan sát thu nhập (triệu đồng/ tháng) số công nhân làm việc khu cơng nghiệp ta có kết cho bảng đây: Thu nhập 3,0-3,5 3,5-4,0 4,0-4,5 4,5-5,0 5,0-5,5 5,5-6,0 6,0-6,5 Số công nhân 15 18 22 20 18 Những cơng nhân có thu nhập từ triệu đồng/ tháng trở lên người có thu nhập Hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khu cơng nghiệp với độ tin cậy 99% Giải Gọi p tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khu cơng nghiệp 42 Ta có: n = 100; fn = 100 ; γ = 0,99 Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; +∞ ) 42  fn = 10 = 0,42  Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,99 - 0,5 = 0,49 Þ U α = 2,33 Suy ra: ɛ = U α × √ f n ×(1− f n ) n ⟺ = 2,33 ì 0,42ì(1 0,42) 100 ị = 0,1149 Vậy độ tin cậy 99%, tỷ lệ tối thiểu người có thu nhập khu cơng nghiệp này: p ∈ (fn - ɛ; +∞ ) = (0,42 - 0,1149; +∞ ) = (0,3051; +∞ ) = (30,51%; +∞ ) 15 Trọng lượng sản phẩm A biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cân thử 100 sản phẩm A chọn ngẫu nhiên từ kho hàng ta thu kết quả: Trọng lượng (gr) 800- 850- 900- 950- 1000- 1050- 1100- 850 Số sản phẩm Với độ tin cậy 95%: 900 10 950 20 1000 30 1050 16 1100 10 1150 a Hãy ước lượng trọng lượng trung bình tối đa loại sản phẩm b Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng 1050gr Để sai số ước lượng khơng vượt q 4% cần điều tra thêm sản phẩm? Giải a Gọi m trọng lượng trung bình tối đa loại sản phẩm Ta có: n = 100; ´x = 979; S x = 78,0702; γ = 0,95 Khoảng ước lượng m ∈ (-∞ ; ´x + ε )  Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45 Þ U α = Þ U α = 1,645 Suy ra: ε = U α × Sx 78,0702 ⟺ ε = 1,645 × Þ ε = 12,8425 √100 √n Vậy độ tin cậy 0,95%, trọng lượng trung bình tối đa loại sản phẩm m ∈ (-∞ ; ´x + ε ) = (-∞ ; 979 + 12,8425) = (-∞ ; 991,8425) gr b - Gọi p tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng 1050gr Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 19  fn = 10 = 0,19 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × √ f n ×(1− f n ) ⟺ ɛ = 1,96 × n √ 0,19 ×(1− 0,19) Þ ɛ = 0,0769 10 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng 1050gr p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,19 - 0,0769; 0,19 + 0,0769) = (0,1131; 0,2669) = (11,31%; 26,69%) - Để sai số ước lượng khơng vượt q 4% Þ ɛ’ = 0,04 n≥ U 2α × f n (1 − f n ) ɛ ,2 1,962 × 0,19 ×(1 − 0,19) ⟺ n≥ ⟺ n ≈ 369,51 0,04 Þ n = 370 sản phẩm Vậy cần điều tra thêm 370 - 100 = 270 sản phẩm 16 Trọng lượng lợn xuất chuồng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Cân ngẫu nhiên số lợn trang trại A thu bảng số liệu sau: Trọng lượng (kg) Số 75-78 78-81 16 81-84 19 84-87 24 87-90 20 90-93 16 93-96 Với độ tin cậy 95%: a Hãy ước lượng trọng lượng lợn trung bình tối đa xuất chuồng b Hãy ước lượng tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng lượng 90 kg c Từ ước lượng số lợn trang trại, biết trang trại có 300 lợn có trọng lượng xuất chuồng 90kg Giải a Gọi m trọng lượng lợn trung bình tối đa xuất chuồng Ta có: n = 100; ´x = 85,62; S x = 4,3884; γ = 0,95 Khoảng ước lượng m ∈ (-∞ ; ´x + ε )  Từ ϕ0 (U α ) = γ - 0,5 = 0,95 - 0,5 = 0,45 Þ U α = Þ U α = 1,645 Suy ra: ε = U α × Sx 4,3884 ⟺ ε = 1,645 ì ị = 0,7219 100 n Vy độ tin cậy 95%, trọng lượng lợn trung bình tối đa xuất chuồng m ∈ (-∞ ; ´x + ε ) = (-∞ ; 85,62 + 0,7219) = (-∞ ; 86,3419) kg b Gọi p tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng lượng 90kg Khoảng ước lượng p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) 19  fn = 10 = 0,19 γ 0,95  Từ ϕ0 (U α2 ) = = = 0,475 Þ U α2 = 1,96 Suy ra: ɛ = U α2 × √ f n ×(1− f n ) ⟺ ɛ = 1,96 × n √ 0,19 ×(1− 0,19) Þ ɛ = 0,0769 10 Vậy độ tin cậy 95%, tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng lượng 90kg p ∈ (fn - ɛ; fn + ɛ) = (0,19 - 0,0769; 0,19 + 0,0769) = (0,1131; 0,2669) = (11,31%; 26,69%) c Ta có: N = 300 Gọi M số lợn trang trại M p = N ị M = p ì N = p × 300 Vậy số lợn trang trại (34; 81)