008 25 1 toan 10 b25 c8 nhi thuc newton hdg

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP C H Ư Ơ N BÀI 25: NHỊ THỨC NEWTON LÝ THUYẾT I = = Ở lớp 8, học đẳng thức, ta biết khai triển: = 2 I  a  b  a  2ab  b ;  a  b a  3a 2b  3ab  b Quan sát đơn thức vế phải đẳng thức trên, nhận xét quy luật số mũ a b Có thể tìm cách tính hệ số đơn thức khai triển không?  a  b n n   4;5 Sơ đồ hình  a  b C40 a  C41 a 3b  C42 a 2b  C43ab  C44b a  4a 3b  6a 2b  4ab3  b Ví dụ 1: Khai triển  x  1 Lời giải  a  b  , ta được: Thay a 2 x b 1 công thức khai triển Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP  x  1 4  x    x  1   x  12   x  13  14 16 x  32 x  24 x  x   x  2 Ví dụ 2: Khai triển Lời giải  a  b  , ta được: Thay a x b  công thức khai triển  x  2 x  x     x     x        x  x3  24 x  32 x  16  a  b C50 a5  C51a 4b  C52 a 3b  C53a 2b3  C54 ab  C55b a  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  b5 x  3 Ví dụ 3: Khai triển  Lời giải a  b Thay a  x b 3 công thức khai triển  , ta được: ( x  3)5  x  x 3  10 x 32  10 x 33  x 34  35  x  15 x  90 x  270 x  405 x  243 3x   Ví dụ 4: Khai triển  Lời giải  3x   5 C50  3x   C51  3x      C52  3x      C53  x    2  C54  3x      C55    243 x5  2430 x  1080 x3  720 x  240 x  32 Ví dụ 5: a)  0, 05  Dùng hai số hạng khai triển  4 để tính giá trị gần 1,05 b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị 1, 05 tính sai số tuyệt đối giá trị gần nhận câu a Lời giải a)   0, 05 C4014  C41130, 051 1  0, 1, b) Cách bấm: 1.05^4= Hiển thị Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Sai số tuyệt đối giá trị gần nhận câu a 0,01550625 BÀI TẬP SÁCH G IÁ O KHOA 8.12 Khai triển đa thức: a) c)  x  3  x  5 ; b)   x  5 ; d)  3x  y   x 2y ; Lời giải a)  x  3 C40 x  C41 x   3  C42 x     C41 x   3  C40   3  x  12 x3  54 x  108 x  81 b)  3x  4 y  C40  x   C41  3x    y   C42  3x    2y  C41 3x   y   C40   y  81x  216 x y  216 x y  96 xy  16 y c)  x  5 4   x   C40 x  C41 x  C42 x 52  C43 x53  C 44 54  C40 x  C41 x3  C42 x 52  C43 x53  C44 54 2  C40 x  C42 x 52  C44 54  2  x  150 x  625  2 x  300 x  1250 d)  x y  C50 x5  C51 x ( y )  C52 x   y   C53 x   y   C54 x   y   C55   y   x  10 x y  40 x y  80 x y  80 xy  32 y 3x  1 8.13 Tìm hệ số x khai triển  Lời giải Số hạng thứ khai triển  90 C53  x  3 2  3 2 8.14 Biểu diễn   1  90 x Vậy hệ số x khai triển dạng a  b với a, b số nguyên Lời giải Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Nhận xét:  a  b 5   a  b  C50 a  C51a 4b  C52 a 3b  C53 a 2b3  C54 ab  C55b   C50 a  C51a 4b  C52 a 3b  C53a 2b3  C54 ab  C55b5  2  C51a 4b  C53a 2b3  C55b5  Do  a  b   a  b   2 C51 34  C53 32  2  2   0, 02   C55   405  180  1178 8.15 a) Dùng hai số hạng khai triển 1, 025 để tính giá trị gần b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị 1,02 tính sai số tuyệt đối giá trị gần nhận câu a Lời giải a)   0, 02  C5015  C51.14.0, 02 1  0,1 1,1 b) Cách bấm máy: C1.02^5= Hiển thị: Sai số tuyệt đối:   1,104080803  1,1 0, 004080803 8.16 Số dân tỉnh thời điểm khoảng 800 nghìn người Giả sử tỉ lệ tăng dân số năm tỉnh r % a) Viết cơng thức tính số dân tỉnh sau năm, sau năm Từ suy cơng thức tính số r   P 800     100  (nghìn người) dân tỉnh sau năm  0,015  b) Với r 15% , dùng hai số hạng đầu khai triển  , ước tính số dân tỉnh sau năm (theo đơn vị nghìn người) Lời giải r   800  800.r % 800     100  (nghìn người) Số dân tính sau năm Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Số dân tính sau năm r   800   r %   800   r %  r % 800   r %    r %  800     100  (nghìn người) r   P 800     100  (nghìn Lập luận hồn tồn tương tự ta có số dân tỉnh sau năm người) b) Số dân tỉnh ước tính sau năm 15     15   P 800    800  C5  C5    1400  100   100    (nghìn người) TỔNG QUÁT VỀ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON  a  b Khai triển n cho công thức sau: Với a, b số thực n sô nguyên dương, ta có  a  b n n  Cnk a n  k b k Cn0 a n  Cn1a n  1b   Cnk a n  k b k   Cnnb n  1 k 0 0 Quy ước a b 1 Công thức gọi công thức nhị thức Newton (viết tắt Nhị thức Newton) Trong biểu thức VP công thức (1) a) Số hạng tử n  b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n, tổng số mũ a b hạng tử n c) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối k n k k d) Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) khai triển là: Tk 1 Cn a b HỆ QUẢ n n Với a b 1, ta có Cn  Cn   Cn k n Cn0  Cn1     1 Cnk     1 Cnn Với a 1; b  , ta có CÁC DẠNG KHAI TRIỂN CƠ BẢN NHỊ THỨC NEWTON  x  1 n  Cn0 x n  Cn1 x n   Cn2 x n    Cnk x n  k   Cnn x  Cnn n  1 x Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnk x k   Cnn  x n   Cnn x n  x  1 n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x     1 Cnk x k     1 k n n Cnn  x n     1 Cnn x n Cnk Cnn k Cnk  Cnk 1 C k 1 ,  n 1 n1  n  n  1 ! k n ! k Cnk   nCnk11  n  k  !k!  n  k  ! k  1 !   Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page  CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP n  n  1 ! k n ! Cnk    Cnk11 k 1  k  1  n  k  !k !  n  1  n  k  ! k  1 ! n  Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP II HỆ THỐNG BÀ I TẬ P TỰ LUẬN = = = a  b Dạng Khai triển biểu thức dạng  I PHƯƠNG PHÁP = = Sử dụng = công thức khai triển nhị thức Newton với n 4 ta có I  a  b  C40 a  C41a3b  C42 a 2b  C43ab3  C44b = = Câu= I BÀI TẬP TỰ LUẬ N x  y (NB) Khi khai triển nhị thức Newton  ta thu hạng tử Lời giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta  x  y C40 x  C41 x3 y  C42 x y  C43 xy  C44 y Vì khơng có hạng tử có phần biến giống để thu gọn nên có tất hạng tử Câu (NB) Khai triển nhị thức Newton 1 x Lời giải Ta có Câu 1 x C4014  C4113 x  C4212 x  C431x3  C44 x 1  x  x  x  x (NB) Khai triển nhị thức Newton  x  2 Lời giải Ta có Câu  x  2 4 4 C x  C x  C x  C43 x.23  C44 24 x  x  24 x  32 x  16 (NB) Khai triển nhị thức Newton 2  x  1 Lời giải Ta có Câu  x  1 4 4 4 C x  C x   1  C x   1  C43 x   1  C44   1  x  x  x  x  (TH) Khai triển nhị thức Newton  2x  y  Lời giải 2x  y  Ta có  C  2x  4  C  x  y  C  x  y  C43  x  y  C44 y 16 x  32 x y  24 x y  xy  y Câu x  3y  (TH) Khai triển nhị thức Newton  Lời giải Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP C x  C41 x   y   C42 x   y   C43 x   y   C44   y  4 x  3y  Ta có   x  12 x y  54 x y  108 xy  81 y Câu  1 x   x (TH) Khai triển nhị thức Newton  Lời giải  1  1 2  1  1 4 1  x   C4  x   C4  x     C4  x     C4  x     C4   x  x  x  x  x Ta có  1     C40 x8  C41 x    C42 x  C43  x     C44    x8  x5  x   x x x  x x  x  4 Câu   x  x  (TH) Khai triển nhị thức Newton  Lời giải 4     1 2   1   1   1  x   C4 x  C4 x    C4 x    C4 x    C4   x  x  x  x  x  Ta có    1   1  1 C40 x  C41 x3    C42 x  C43 x    C44   x  x    x x x x x  x  x  Câu BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM Trong khai triển nhị thức Niu-tơn A  a  b có số hạng? B C D Lời giải Chọn C a  b Trong khai triển nhị thức Niu-tơn   x  3 Câu 10 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn A có  5 số hạng có số hạng? B C D Lời giải Chọn C Trong khai triển nhị thức Niu-tơn Câu 11 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn k  k 5 k A C4 a b  x  3  a  b có  5 số hạng , số hạng tổng quát khai triển k 4 k k B C4 a b k 1  k k 1 C C4 a b k 4 k 4 k D C4 a b Lời giải Chọn B Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP k n k k k 4 k k a  b  Số hạng tổng quát khai triển Cn a b C4 a b Câu 12 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn  x  3 , số hạng tổng quát khai triển k k k 4 k 4 k A C4 x B C4k 24 k   3 x 4 k k 4 k k  k C C4 x D C4k 2k   3 4 k x  k Lời giải Chọn B Số hạng tổng quát khai triển  x  3 C4k  x  4 k Câu 13 Tính tổng hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn A   3 k k C4k 24 k   3 x  k   2x  C 81 B  D  81 Lời giải Chọn A Tổng hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn  x  3  x  3 giá trị biểu thức x 1 Vậy S   2.1 1   3x  Câu 14 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn B 54x A 108x , số hạng thứ theo số mũ tăng dần x D 12x C Lời giải Chọn D Ta có   3x  4 k  C4k  3x   C4k 3k x k k 0 k 0 1 Do số hạng thứ theo số mũ tăng dần x ứng với k 1 , tức C4 x 12 x 2 x  2y Câu 15 Tìm hệ số x y khai triển nhị thức Niu-tơn  A 32 B C 24 D 16 Lời giải Chọn C 4 Ta có k  x  y   C4k x 4 k  y   C4k 2k.x 4 k y k k 0 k 0   k 2  k 2  k  x y  Số hạng chứa khai triển ứng với 2 2 2 x  2y Vậy hệ số x y khai triển  C4 24 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP P  x  4 x  x  x   x Câu 16 Tìm số hạng chứa khai triển nhị thức Niu-tơn A 28x B  28x C  24x D 24x Lời giải Chọn B Ta có P  x  4 x  x  x   4 k k 4 x  x  C4k x 4 k    4 x   C4k    x 5 k k 0 k 0   C43     x  28 x 2 P  x  k  x Số hạng chứa (ứng với ) khai triển  3 Câu 17 Gọi n số nguyên dương thỏa mãn An  An 48 Tìm hệ số x khai triển nhị thức  3x  Niu-tơn  A  108 n B 81 C 54 Lời giải D  12 Chọn A ĐK: n 3; n   n! n!  48 A  A 48   n  3 !  n  2 !  n  n  1  n    2.n  n  1 48  n3  n  48 0  n 4 (thỏa) n Ta có n   3x  4 k k  C4k   x   C4k   3 x k Hệ số x khai triển ứng với k 3 k 0 k 0 3  3x  C   108 Vậy hệ số x khai triển    1 3  x   Câu 18 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn  x A C B D 12 Lời giải Chọn B 4 1 3 k  1  x     C4     x k 0 Ta có  x 4 k k  x3   C4k x4 k  k 0 Số hạng không chứa x khai triển ứng với 4k  0  k 1 1 3  x   C4 4 Vậy số hạng không chứa x khai triển  x Dạng a  b Khai triển biểu thức dạng  Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 TP Huế – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn Page 10