Ứng dụng đạo hàm và tích phân trong một số bài toán kinh tế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THANH TRUNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990085554101000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THANH TRUNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐỨC THÀNH Đà Nẵng - 2020 MỤC LỤC Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép tính vi phân hàm biến 1.2 Phép tính tích phân hàm biến 13 1.3 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 16 ´ Ưng dụng đạo hàm đạo hàm riêng số toán kinh tế 25 2.1 Đạo hàm giá trị cận biên Mối quan hệ hàm bình quân hàm cận biên 25 2.2 Đạo hàm hệ số co dãn Đạo hàm cấp hai quy luật lợi ích cận biên giảm dần 29 2.3 Bài toán tối ưu biến 31 2.4 Đạo hàm riêng cấp hai quy luật lợi ích cận biên giảm dần 36 2.5 Tính hệ số co dãn 37 2.6 Bài toán cực trị 39 ´ Ưng dụng tích phân số toán kinh tế 54 3.1 Hàm tổng 54 3.2 Hàm quỹ vốn hàm đầu tư 56 3.3 Thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất 57 Kết luận kiến nghị 62 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ thực tiễn lý thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Trong năm gần đây, theo xu tiếp cận với giáo dục nước tiên tiến, kì thi THPT quốc gia mơn Tốn, số lượng câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày nhiều Điều gây khó khăn định cho em học sinh làm thi môn Tốn, kể học sinh giỏi Bởi lẽ, ngồi việc nắm kiến thức mơn Tốn mơn học khác, học sinh cịn phải biết mơ hình hóa tốn học tốn thực tiễn tốn mà chương trình sách giáo khoa hành Hơn nữa, số lượng toán mang tính vận dụng thực tiễn cịn hạn chế Đạo hàm tích phân tốn liên quan chủ đề quan trọng chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Nó tập trung chương trình lớp 12, chủ đề Bộ giáo dục đào tạo đưa vào kì thi Quốc gia từ trước đến thường chiếm tỉ lệ cao đề thi Ngoài ra, nhiều tốn bậc trung phổ thơng giải hiệu ứng dụng đạo hàm tích phân Đặc biệt cơng cụ sắc bén thường sử dụng để giải số dạng tốn kì thi học sinh giỏi cấp Ngồi ứng dụng thơng thường đạo hàm tích phân biết chương trình tốn phổ thơng, người ta cịn tìm thấy ứng dụng thực tế nó, cụ thể ứng dụng số toán kinh tế Với lí định hướng thầy giáo TS.Trần Đức ´ Thành, định chọn đề tài: “ Ưng dụng đạo hàm tích phân 37 2.4.1 Ví dụ Cho hàm lợi ích: U = 3xy − 2x2 − y , (x, y > 0) Hàm có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? Giải: ′′ = −4 < Từ U = 3xy − 2x2 − y , (x, y > 0) ⇒ Ux′ = 3y − 4x ⇒ Uxx Tương tự U = 3xy − 2x2 − y , (x, y > 0) ⇒ Uy′ = 3x − 2y ⇒ U ”yy = −2 < nên hàm tuân thủ theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần 2.4.2 Ví dụ [6] Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q = 120K L Hàm sản xuất cận biên vốn 2 Q′K = 40K − L Hàm sản xuất cận biên lao động 1 Q′L = 80K L− Biểu quy luận lợi ích cận biên giảm dần Q′′KK = − 80 − K L < Q′′LL = − 80 − K L < Do đó, hàm tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần 2.5 Tính hệ số co dãn 2.5.1 Định nghĩa [5] Cho mơ hình kinh tế: w = f (x1 , x2 , , xn ) Hệ số co dãn w theo biến xk điểm (x1 , x2 , ., xn ) số đo lượng thay đổi tính phần trăm w xk thay đổi 1% điều kiện giá trị biến độc lập khác không thay đổi, ký hiệu xác định sau: ε= ∂f (x1 , x2 , ., xn ) xk ∂xk f (x1 , x2 , ., xn ) 38 2.5.2 Ví dụ Giả sử hàm cầu hàng hóa thị trường hai hàng hóa liên quan với có dạng: Q1d = 6300 − 2p1 − p2 , p1 , p2 tương ứng giá hàng hóa 1, Khi hệ số có dãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa thời điểm (p1 , p2 ) εp1 = −4p1 p1 6300 − 2p1 − p2 Hệ số có dãn cầu theo hàng hóa thứ theo giá hàng hóa thứ hai p2 thời điểm (p1 , p2 ) εp2 = − 10 p2 p2 6300 − 2p1 − p2 Tại thời điểm (20, 30) ta có εp1 = 0, 4; εp2 = −0, 75 Điều có nghĩa hàng hóa mức giá 20 hàng hóa mức giá 30 tăng giá hàng thêm 1% cịn giá hàng hóa khơng đổi cầu hàng hóa giảm 0, 4%, tương tự giá hàng hóa khơng đổi giá hàng hóa tăng thêm 1% cầu hàng hóa giảm 0, 75% 2.5.3 Ví dụ Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q = 30K L Khi hệ số co dãn sản lượng theo vốn thời điểm (K,L) 1 εK = 20K − L K = 30K L 3 Khi hệ số co dãn sản lượng theo lao động thời điểm (K,L) là: 2 εL = 10K L− = 30K L L 3 Rõ ràng mô hình hàm số kinh tế có dạng mơ hình hàm Cobb-Douglass hệ số co dãn w theo xK lũy thừa xK 2.5.4 Ví dụ Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q = 20K L , K, L, Q mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động sản lượng hàng ngày a) Với K = 16 L = 81 cho biết mức sản xuất hàng ngày doanh nghiệp b) Bằng đạo hàm riêng Q, cho biết doanh nghiệp: 39 i) Sử dụng thêm đơn vị lao động ngày giữ nguyên mức K = 16 sản lượng thay đổi bao nhiêu? ii) Ngược lại, sử dụng thêm đơn vị vốn ngày giữ nguyên mức L = 81 sản lượng thay đổi bao nhiêu? c) Nếu giá thuê đơn vị tư K $12, giá đơn vị lao động L $2, doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào mức nêu câu a) doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị tư K hay đơn vị lao động L ngày? Giải: a) Mức sản xuất hàng doanh nghiệp K = 16 L = 81 Q = 20.16 81 = 1188(dvsp) b) Các đạo hàm riêng hàm sản xuất 3 Q′K = 20 .K − L , Q′L = 20 .K L− Suy 3 Q′K (16, 81) = 5.16− 81 = 135 ≃ 16, 1 Q′L (16, 81) = 15.16 81− = 10 Vậy, giữ nguyên mức sử dụng vốn K = 16 sử dụng thêm đơn vị lao động ngày sản lượng tăng lượng xấp xỉ 10 đơn vị Ngược lại, giữ nguyên mức sử dụng lao động L = 81 sử dụng thêm đơn vị vốn ngày sản lượng tăng lượng xấp xỉ 16,9 đơn vị c) Với giả thiết cho doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị lao động 135 : 12)] ngày [(10 : 2, 5) > ( 2.6 Bài tốn cực trị 2.6.1 Ví dụ [5] Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất hai loại sản 40 phẩm π = 160Q1 − 3Q21 − 2Q1 Q2 − 2Q22 + 120Q2 − 18 Hãy tìm mức sản lượng Q1 , Q2 để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa Giải: Bước 1: Giải hệ phương trình   π ′ = 160 − 6Q − 2Q = Q1  π ′ = 120 − 2Q − 4Q = Q2   Q = 20 ⇔  Q = 20 Vậy hàm số có điểm dừng M (20, 20) Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ: Ta có ′′ ′′ a11 = πQ = −6; a12 = πQ = −2; Q1 Q2 ′′ ′′ a21 = πQ = −2; a22 = πQ = −4 Q1 Q2 Xét ma trận a11 D = a21 a12 a22 = a11 a22 − a12 a21 = (−6)(−4) − (−2)2 = 20 > 0,