Toán tử owa trong một số bài toán tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐỖ THÙY NINH TOÁN TỬ OWA TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU Chuyên ngành : Toán Ứng Dụng Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ MẠNH XUÂN Thái Nguyên – Năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương To¸n tư OWA 1.1 To¸n tư OWA 1.2 Cách xác định vectơ trọng sè w 1.3 Mét sè biÕn thĨ cđa OWA 14 Chương Tối ưu trọng số 20 2.1 Độ phân tán cực đại 20 2.2 Độ phân tán cực tiểu 24 Ch­¬ng Mét sè øng dơng cđa to¸n tư OWA 36 3.1 Ra định dựa độ quan trọng 36 3.2 Thuật toán phân cụm 40 3.3 Bài toán áp dụng 43 Më đầu Toán tử trung bình trọng số có xếp (Ordered Weighted Averaging operater- OWA) Yager giới thiệu năm 1988 công cụ hữu ích nhằm tích hợp thuộc tính đối tượng theo tiêu chí khác Toán tử đà sử dụng nhiều dạng toán đà thu kết tốt [7] [8] Tiếp sau Yager, nhiều nhà toán học khác đà nghiên cứu, phát triển toán tử OWA đạt nhiều thành công như: O'Hagan [6], Perter Majlender [3], Robert Fuller [4], Mơc ®Ých cđa ®Ị tài nghiên cứu toán tử OWA, tính chất quan trọng bước đầu ứng dụng số toán cụ thể Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương trình bày toán tử OWA số tính chất đặc trưng dẫn giải ví dụ cụ thể Chương nêu số dạng khác toán tử OWA Chương trình bày thuật toán nhằm tối ưu độ phân tán trọng số xây dựng véc tơ trọng số Chương trình bày vài ứng dụng toán tử OWA toán cụ thể Em mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo Tiến sĩ Vũ Mạnh Xuân, thầy đà tận tình hướng dẫn, bảo em nhiỊu st thêi gian em thùc hiƯn khãa ln vµ trùc tiÕp h­íng dÉn em hoµn thµnh khãa ln Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học, khoa Toán - Tin giáo sư đà hết lòng giảng dạy, truyền đạt cho em nhiều kiến thức khoa häc suèt thêi gian em häc tËp t¹i Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới người thân, người bạn đà động viên cổ vũ nhiều suốt thêi gian võa qua Do ®iỊu kiƯn vỊ thêi gian trình độ có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô toàn thể bạn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Đỗ Thuỳ Ninh Chương Toán tử OWA Quá trình tích hợp thông tin xuất rÊt nhiỊu øng dơng cđa c¸c hƯ tri thøc chẳng hạn mạng nơron, điều khiển mờ, hệ chuyên gia hệ trợ giúp định, đặc biệt toán phải xử lý thông tin bất định Năm 1988, R.Yager [8] [9] đà định nghĩa toán tử trung bình trọng số có xếp (Ordered Weighted Averaging operator) viết tắt OWA nhằm cung cấp phương pháp kết hợp thuộc tính gắn với thoả mÃn tiêu chí Chương trình bày toán tử OWA, tính chất số dạng khác toán tử 1.1 To¸n tư OWA 1.1.1 Kh¸i niƯm W = (w1 , w2 , , wn )T lµ vectơ trọng số n P không gian n chiều wi với i = 1, , n wj = Định nghĩa 1.1.1 Một vectơ j=1 W ánh xạ F : Rn R xác định sau: Với vectơ a = (a1 , a2 , , an ) Rn Định nghĩa 1.1.2 Toán tư OWA víi vect¬ träng sè F (a) = n X wj bj , j=1 bj phần tư lín thø VÝ dơ 1.1.1 j cđa vect¬ a Giả sử cho vectơ W = (0, 4; 0, 3; 0, 2; 0, 1)T vµ a = (0, 7; 1; 0, 3; 0, 6) Khi đó, ta có vectơ b = (1; 0, 7; 0, 6; 0, 3), vµ to¸n tư OWA: F (a) = X wj bj = 0, 4.1 + 0, 3.0, + 0, 2.0, + 0, 1.0, = 0, 76 j=1 ý nghĩa toán tử xếp lại vectơ cần tích hợp, nghĩa phần tử cần tích hợp không liên kết với trọng số wi mà trọng số wi kết hợp với phần tử vị trí tương ứng tập phần tử tích hợp sau đà xếp Sự khác toán tử OWA phân biệt trọng số Tính tổng quát toán tử OWA chỗ việc lựa chọn trọng số, ta thực dạng toán tử kết hợp khác Bằng cách lựa chọn thích hợp trọng số vectơ W , ta nhấn mạnh tham số khác së vÞ trÝ cđa chóng thø tù sau xếp Nếu ta đặt hầu hết trọng số gần đầu W , ta nhấn mạnh điểm cao hơn, đó, đặt trọng số gần cuối W nhấn mạnh điểm thấp 1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt ã NÕu träng sè w1 = vµ wj = víi mäi j 6= 1, vect¬ träng sè ký hiƯu W ∗ = (1, 0, , 0)T , ký hiƯu to¸n tư OWA øng víi träng sè W ∗ lµ F ∗ Ta cã F ∗ (a) = F ∗ (a1 , , an ) = maxj (aj ) Nh­ vËy to¸n tư chän sè lín (max) dạng toán tử OWA • NÕu träng sè wn = vµ wj = víi mäi j 6= n, vect¬ träng sè ký hiƯu lµ W∗ = (0, 0, , 1)T , ký hiƯu to¸n tư OWA øng víi träng sè W∗ lµ F∗ Ta cã F∗ (a) = F∗ (a1 , , an ) = minj (aj ) Như toán tử chọn số bé (min) dạng toán tử OWA ã Nếu träng sè wj = víi mäi j , vect¬ träng sè kÝ hiƯu lµ Wave , ký n n 1X aj hiƯu to¸n tư OWA øng víi träng sè Wave lµ Fave Ta cã Fave (a) = n j=1 Từ toán tử trung bình đơn giản dạng toán tử OWA ã Nếu wk = vµ wj = víi mäi j 6= k , to¸n tư OWA F (a1 , , an ) = bk ( giá trị lớn thứ k vectơ a) Như việc chọn thành phần vectơ trường hợp đặc biệt họ toán tử OWA Trường hợp riêng ta thu phần tử vectơ a cách: n lẻ lấy w n+1 = đặt wj = 0, j 6= n+1 NÕu n lµ chẵn lấy w n2 = w n2 +1 = đặt wj = cho tất số hạng Nếu khác 1.1.3 Một số tính chất Sau ta giả thiết Tính chất 1.1.1 W = (w1 , , wn )T vectơ trọng số Đối với toán tử OWA, ta có: F (a1 , , an ) F (a1 , , an ) F ∗ (a1 , , an ), ⇔ min(ai ) F (a1 , , an ) max(ai ) (Hay giá trị toán tử OWA bị chặn giá trị lớn nhỏ vectơ a) W = (w1 , , wn )T ®· cho nh­ b = (b1 , , bn ) vectơ xếp lại vectơ a (Nghĩa b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn ) Ta có Chứng minh Giả sử toán tử OWA với vectơ träng sè F∗ (a1 , , an ) = b1 + b2 + + bn = bn = min(ai ), n X F (a1 , , an ) = b1 w1 + b2 w2 + + bn wn = wi bi , i=1 ∗ F (a1 , , an ) = b1 + b2 + + bn = b1 = max(ai ) Râ rµng n X i=1 n X i=1 wi bi ≥ wi bi ≤ n X i=1 n X wi bn = bn wi b1 = b1 i=1 n X i=1 n X i=1 wi = bn = min(ai ), wi = b1 = max(ai ) Tõ ®ã min(ai ) n X wi bi max(ai ) hay F∗ F F ∗ i=1 Tính chất 1.1.2 (Tính hoán vị) Ta có F (a1 , , an ) = F (d1 , , dn ), với hoán vị Chứng minh vị d = (d1 , , dn ) cña a = (a1 , , an ) Vì xếp nên vectơ cần tích hợp a hoán d có chung vectơ sau xếp b = (b1 , , bn ) VËy F (a1 , , an ) = F (d1 , , dn ) Tính chất 1.1.3 (Tính đơn điệu) Giả sử a = (a1 , a2 , , an ) vµ c = (c1 , c2 , , cn ) hai vectơ toán tử OWA tho¶ m·n ≥ ci (i = 1, , n) ThÕ th× F (a1 , , an ) ≥ F (c1 , , cn ) a lµ b = (b1 , , bn ), vectơ sau xếp vectơ c d = (d1 , , dn ) Vì hai vectơ a, c thoả Chứng minh mÃn Giả sử vectơ sau xếp vectơ ≥ ci , nªn bi ≥ di víi mäi i Ta cã F (a1 , a2 , , an ) = b1 w1 + b2 w2 + + bn wn , F (c1 , c2 , , cn ) = d1 w1 + d2 w2 + + dn wn Râ rµng F (a1 , , an ) ≥ F (c1 , , cn ) TÝnh chÊt 1.1.4 (Tính luỹ đẳng) Nếu vectơ c = (c1 , , cn ) víi c1 = c2 = = cn = a th× ta cã F (c1 , , cn ) = a Chøng minh Ta cã F (c1 , , cn ) = a.w1 + + a.wn = a.(w1 + + wn ) = a.1 = a 1.1.4 Đặc trưng toán tử OWA Trong phần ta nghiên cứu hai phép đo quan trọng, phụ thuộc vào vectơ trọng số, hữu ích cho việc đặc trưng hoá toán tử OWA [1] Định nghĩa 1.1.3 Độ đo thứ định công thức: Disp(W ) = độ đo phân tán n P vectơ W xác vectơ W cho wi ln wi i=1 Định nghĩa 1.1.4 công thức: Ví dụ 1.1.2 Độ đo thứ hai Orness(W ) = ®é ®o tÝnh tun n−1 n X (n − i)wi i=1 Ta xÐt mét vÝ dơ sau Vect¬ träng sè W Disp(W) Orness(W) W=(0.4,0.3,0.2,0.1) 1.2798 0.6666 W=(0.1,0.2,0.3,0.4) 1.2798 0.3333 W=(0.9,0.07,0.02,0.01) 0.4053 0.9533 W=(0.04,0.06,0.1,0.8) 0.7063 0.1133 W=(0.24,0.25,0.25,0.26) 1.3859 0.49 Bảng 1.1 Nhận xét: Ta thấy trọng số gần Disp lớn, xa Disp nhỏ Điều chứng tỏ ta xét thuộc tính cách đồng Disp lớn ngược lại Nói cách khác, độ đo Disp mức độ sử dụng thc tÝnh Víi ®é ®o Orness, nÕu träng sè cao đầu Orness lớn, trọng số cao cuối Orness nhỏ Nếu trọng số Orness tiến tới 0.5 Nghĩa độ đo Orness xác định điểm nhấn mạnh Ngoài hai độ đo trên, người ta phát triển thêm số độ đo khác [3], chẳng hạn a, Định nghĩa 1.1.5 Độ phân tán Shannon Hs (W ) = n X cho bëi c«ng thøc: wi log2 wi i=1 b, Độ phân tán Rényi's Với số thực H (cũng gọi độ phân tán .) α 6= th×: n X Hα (W ) = log2 wi i=1 c, kí hiệu H giới thiệu Daroczy Độ phân tán Với 6= thì: H (W ) = d, Độ phân tán R- chuẩn Với mäi n X 21−β −
wiβ − i=1 HR (W ) R 6= vµ xác định theo công thức: n X
1 R  R R HR (W ) = 1− wi R−1 i=1 Nhận xét: Sử dụng công thức tính giới hạn ta cã: Hs (W ) = lim Hα (W ) = lim Hβ (W ) = lim HR (W ) 1.2 R1 Cách xác định vectơ trọng số w Ta đà thấy ý nghĩa hiệu toán tử OWA phụ thuộc vào cách chọn vectơ trọng số W Tuỳ theo toán cụ thể mà có cách chọn lựa khác Trong phần ta xét vài cách xác định vectơ W , + µ∗j (−wj ) j=1 W =W ∗ đại lượng dương xác định   T b = y h1 y = 0, h2 y T = 0, gj y T = 0, µj > , X
T n−1 n−2 , , , , , vµ h2 = (1, 1, , 1)T , n−1 n−1 n−1 T lµ gradient cđa liên kết đẳng thức tuyến tính, gj = (0, 0, , 0, −1, 0, , 0) liên kết bất đẳng thức tun tÝnh thø j víi mäi j, ®ã: h1 = Chứng minh i, Ta đặt:   n−s ∗ n−r ∗ w − w , = n s−r r s−r s n−1 ∗ λ∗2 = (ws − wr∗ ), s−r n λ∗1 vµ víi k = 1, , n th× ∗ n−k ∗ wk + λ∗1 + λ − µk = n n−1 29 NÕu k ∈ I{r,s} th×:     s − k n − s 2 k − r n − r µ∗k = wr∗ + ws∗ + wr∗ − ws∗ n s−r s−r n s−r s−r n−k n−1 ∗ (ws − wr∗ ) + n − s − r n  ∗ ∗ = (s − k + n − s − n + k)wr + (k − r − n + r + n − k)ws n s−r = NÕu k 6∈ I{r,s} th× wk = Từ đẳng thức: + nk àk = 0, n1 tìm được: nk àk = + n   n−s ∗ n−r ∗ n−k n−1 ∗ = wr − ws + (ws − wr∗ ) n s−r s−r n−1 s−r n = [(k − s)wr∗ + (r − k)ws∗ n s−r Víi µ∗k ≥ vµ k 6∈ I{r,s} th×: 2(2s + r − 2) − 6(n − 1)(1 − α) (s − r + 1)(s − r + 2) 6(n − 1)(1 − α) − 2(s + 2r − 4) + (r − k) ≥ (s − r + 1)(s − r + 2) (k − s)wr∗ + (r − k)ws∗ = (k − s) NÕu r = 1, s = n đặt àk = 0, víi k = 1, , n Bây giả sử r = s < r bất đẳng thức k > s > phương trình phụ thuộc vào , Trong trường hợp khác, (s 1)(3k 2s − 2) 3(n − 1)(2k − s − 1) α ∈ J1,s vµ s < n ta cã:   s−1 s−2 α∈ 1− ,1 − , n−1 n−1 30 vµ suy s−1 α≥1− n−1 Cuèi cïng từ bất đẳng thức (s 1)(3k 2s 2) s−1 ≥1− 1− n−1 3(n − 1)(2k − s − 1) ta cã i, ®óng ii, Nếu r = s = n với j = 1, , n ta cã wj 6= h1 , h2 độc lập tuyến tÝnh NÕu r = 1, s < n víi j = s + + + n wj = Trong trường hợp ta có: gj = (0, 0, , 0, −1, 0, , 0, 0)T , XÐt ma trËn:   T G = hT1 , hT2 , gs+1 , , gnT ∈ Rn(n−s+2) xác định ma trận trái (n s + 2)(n − s + 2) chiỊu cđa ma trËn G lµ n − s + n−1 n−s