1 §¹i häc th¸i nguyªn Trêng ®¹i häc s ph¹m N«ng ThÞ Mai Díi vi ph©n cña hµm låi vµ mét sè øng dông trong tèi u Chuyªn ngµnh Gi¶i tÝch M sè 60 46 01 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa h[.]
1 Đại học thái nguyên Trường đại học sư phạm - N«ng Thị Mai Dưới vi phân hàm lồi số ứng dụng tối ưu Chuyên ngành: Giải tích Mà số:60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học: GS -TSKH Lê Dũng Mưu Thái nguyên - Năm 2008 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mơc lơc Trang Trang phơ b×a Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Lời nói đầu Chương1 Các kiến thức tập lồi hàm lồi 1.1 TËp låi 5 1.2 Hµm låi 11 1.2.1 Hµm låi 11 1.2.2 TÝnh liên tục hàm lồi 15 1.2.3 Các phép toán bảo toàn tính låi 15 1.2.4 Bất đẳng thức lồi 16 1.2.5 Hàm liên hợp 16 Chương2 Dưới vi phân hàm lồi 18 2.1 Đạo hàm theo phương 18 2.2 Díi vi ph©n tính chất 22 2.2.1 Díi vi ph©n 22 2.2.2 Tính khả vi hàm lồi 30 2.2.3 Tính đơn điệu cđa díi vi ph©n 35 2.2.4 TÝnh liên tục vi phân 39 2.2.5 Phép tính với đạo hàm 2.3 Dưới vi phân xấp xỉ Chương3 43 45 Mét sè øng dơng cđa vi phân tối ưu hoá 3.1 Các khái niÖm 52 52 3.2 Bài toán lồi buộc 53 3.3 Bài toán lồi với buộc đẳng thức 53 3.4 Bài toán lồi với buộc bất đẳng thức 54 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Với n số nguyên dương, ký hiệu: n R : không gian Euclide n-chiều trường số thực; n R+ : góc không âm Rn (tập véc-tơ có toạ độ không âm ); R: trục sè thùc (R = R1 ); R: trôc sè thùc më réng (R = R ∪ {−∞, +∞}); N : tập hợp số nguyên dương; n 2R : tập hợp tất tập Rn ; n Với mäi vÐc-t¬ x, y ∈ R , ký hiƯu: xi : toạ độ thứ i x; xT : véc-tơ hàng (chuyển x); Pvị n T hx, yi = x y = xy := j=1 xj yj : tÝch vô hướng hai véc-tơ x y; qP n ||x|| = j=1 xj : chuÈn Euclide cña x; [x, y]: đoạn thẳng đóng nối x y; (x, y): đoạn thẳng mở nối x y; Với tập A, ký hiƯu: A: bao ®ãng cđa A; coA: bao låi cña A; aff A: bao a-phin cña A; intA: tập hợp điểm A; ri A: tập hợp điểm tương đối A; Với hàm f cđa n biÕn, ký hiƯu: f : hµm bao ®ãng cđa f ; dom f : tËp h÷u dơng f ; f : hàm liên hợp f ; epi f : đồ thị f ; f (x): vi phân f x; f (x): - vi phân f x; Of (x) f (x): đạo hàm f x; f (x, d): đạo hàm theo phương d f x; Lời nói đầu Giải tích lồi môn quan trọng giải tích phi tuyến đại Giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích tập lồi hàm lồi Dưới vi phân khái niệm giải tích lồi Đây mở rộng cho đạo hàm hàm không khả vi Điều cho thấy vai trò vi phân giải tích đại có tầm quan trọng vai trò đạo hàm giải tích cổ điển Dưới vi phân hàm lồi có nhiều ứng dụng giải tích phi tuyến đặc biệt môn toán ứng dụng, tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, cân v v Mục đích luận văn trình bày cách có hệ thống, kiến thức quan trọng vi phân hàm lồi xét số ứng dụng điển hình vi phân tối ưu hoá Luận văn gồm chương Trong chương trình bày kiến thức tập lồi hàm lồi Đây kiến thức bổ trợ cho chương không chứng minh luận văn Trong chương đề cập đạo hàm theo phương, vi phân, vi phân xấp xỉ số tính chất chúng Dựa kết đà nghiên cứu chương trước, chương trình bày điều kiện cực trị cho toán quy hoạch lồi với buộc khác (không buộc, buộc đẳng thức, buộc bất đẳng thức) Bản luận văn hoàn thành sù híng dÉn khoa häc cđa GS -TSKH Lª Dịng Mưu Nhân em xin chân thành cảm ơn thầy ®· híng dÉn, ®éng viªn, khun khÝch em häc tËp, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Chương Các kiến thức tập lồi hàm lồi Trong luận văn này, làm việc với không gian euclid-n chiều trường số thực R Không gian kí hiệu Rn Chương nhằm giới thiệu khái niệm tập lồi hàm lồi với tính chất đặc trưng Các kiến thức chương đuợc lấy tài liệu : + Giáo trình "Nhập môn giải tích lồi ứng dụng" tác giả Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền + Cuốn "Convex Analysis" tác giả T.Rockafellar Do chương mang tính chất bổ trợ, nên ta không chứng minh kết nêu 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập hợp véc-tơ x có d¹ng {x ∈ Rn | x = αa + βb , α > , β > , α + = 1} Định nghĩa 1.2 Một tập C Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm cđa nã Tøc lµ C låi vµ chØ ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C VÝ dô 1.1 (VÒ tËp låi) a) TËp C = R+ lµ tËp låi b) TËp C = [−2; 3) lµ tËp låi c) TËp C ≡ oxy R3 lµ tập lồi d) Các tam giác, hình tròn mặt phẳng tập lồi Ví dụ 1.2 (Về tập kh«ng låi) a) TËp C = (−2; 0) ∪ (0; 3) không tập lồi b) Tập C = {(x, y) R2 | xy = 0} không tập lồi Định nghĩa 1.3 x= Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) k X j j x , λj > , ∀j = 1, , k , j=1 Định nghĩa 1.4 k X x1 , , xk j = j=1 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có d¹ng {x ∈ Rn | aT x = α}, a Rn véc-tơ khác R Véc-tơ a thường gọi véc-tơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia kh«ng gian hai nưa kh«ng gian Nưa kh«ng gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.5 Nửa không gian tập hợp có dạng {x | aT x > }, a 6= R Đây nửa không gian đóng Định nghĩa 1.6 Cho C ⊆ Rn lµ mét tËp låi vµ x ∈ C TËp NC (x) := {ω | hω, y − xi , ∀y ∈ C}, gọi nón pháp tuyến Nhận xét C x NC (x) nón lồi đóng VÝ dô 1.3 Trong R2 , xÐt tËp C = R+ NC (0) = {ω | hω, y − 0i , ∀y ∈ C} = {ω | X ωi yi 0} i=1 = { | i 0} Định nghĩa 1.7 Một ®iĨm nÕu nã lµ ®iĨm cđa a ∈ C gọi điểm tương đối C C theo tô-pô cảm sinh aff C Ta ký hiệu tập hợp điểm tương đối C ri C Theo định nghĩa ta cã: ri C := {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ aff C ⊂ C}, ®ã B lân cận mở gốc Hiển nhiên ri C := {a ∈ aff C | ∃B : (a + B) ∩ aff C ⊂ C} Nh thêng lệ, ta ký hiệu gọi biên tương đối Mệnh đề 1.1 yC Cho C , bao đóng C Tập hợp C \ ri C C C Rn tập lồi Giả sử x ∈ ri C Khi ®ã víi mäi tÊt điểm đoạn thẳng nối x y, cã thĨ trõ y, ®Ịu thc ri C Nãi cách khác, với < 1, (1 − λ) ri C + λC ⊂ ri C Định nghĩa 1.8 Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a,b tập hợp tất véc-tơ Rn x Rn có dạng {x Rn | x = αa + βb , α , β R , + = 1} Định nghĩa 1.9 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm bất kú cđa nã, tøc lµ ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ R =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C VÝ dơ 1.4 TËp (VỊ tËp a-phin) C = R2 tập a-phin, không gian tập affine Nhận xét Tập a-phin trường hợp riêng tập lồi Định nghĩa 1.10 Bao lồi tập E giao tất tập låi chøa E Bao låi cña mét tËp E ký hiệu coE Bao lồi đóng tập E tập lồi đóng nhỏ chøa E Ta sÏ ký hiƯu bao låi ®ãng cña mét tËp Bao a-phin cña cña mét tËp E coE E giao tất tập a-phin chứa E Bao a-phin E ký hiệu aff E Định nghĩa 1.11 Cho E Rn Điểm a gọi điểm cđa cđa a cho E nÕu tån t¹i mét l©n cËn më U (a) U (a) ⊂ E Ký hiệu tập hợp điểm tập E intE B cầu đơn vị tâm gốc Khi theo định nghĩa ta có intE = {x | ∃r > : x + rB E} Điểm a gọi điểm biên thuộc E lân cận a có điểm E điểm không thuộc E Tập E gọi tập mở điểm E điểm E Tập E gọi tập đóng E chứa điểm biên Tập E gọi bị chặn, tồn hình cầu chứa E Trong Rn tập E gọi tập compắc E tập đóng bị chặn Định nghĩa 1.12 Mét tËp Cho C lµ mét tËp låi F ⊂ C gọi diện tập lồi C nÕu F lµ tËp låi vµ ∀x, y ∈ C , tx + (1 − t)y ∈ F , < t < =⇒ [x, y] ⊂ F VÝ dô 1.5 Cho C := {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ∈ [0, 1]} TËp F1 := {(x, y, z) ∈ R3 | x, y ∈ [0, 1], z = 0} lµ mét diƯn cđa tËp C TËp F2 := {(x, y, z) ∈ R3 | y ∈ [0, 1], x = 1, z = 0} diện tập C Điểm cực biên diện có thứ nguyên (chiều) §Þnh nghÜa 1.13 Cho x0 ∈ C Ta nãi aT x = siêu phẳng tựa C t¹i x0 , nÕu aT x0 = α , aT x > x C Như siêu phẳng tựa tập C x0 C siêu phẳng qua x0 để C phía Nửa không gian aT x > định nghĩa trên, gọi nửa không gian tựa Định lý 1.1 C t¹i x0 (Krein-Milman) Mäi tËp låi đóng khác rỗng, không chứa đường thẳng có điểm cực biên Định lý 1.2 (Xấp xỉ tuyến tính tập lồi) Mọi tập lồi đóng khác rỗng không trùng với toàn không gian giao tất nửa không gian tựa Định nghĩa 1.14 Cho hai tập Ta nói siêu phẳng aT x C D khác rỗng = tách C D nÕu aT x α aT y , ∀x ∈ C , ∀y ∈ D Ta nãi siªu phẳng aT x = tách chặt C D nÕu aT x < α < aT y , ∀x C , y D Ta nói siêu phẳng aT x = tách mạnh C D Supx∈C aT x < α < inf y∈D aT y Ví dụ 1.6 (Tách không tách chặt) Cho tập C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 1}, vµ D = {(x, y) ∈ R2 | − x 1, y 3} Ta có: 10 + C D khác rỗng + C, D tách tồn siêu phẳng (0, 1)(x, y) = thoả mÃn (0, 1)(x, y) 6 (0, 1)(x0 , y ) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x0 , y ) ∈ D Hay y 6 y ∀(x, y) ∈ C, ∀(x0 , y ) ∈ D + C, D không tách chặt không tồn siêu phẳng (a1 , a2 )(x, y) = tho¶ m·n (a1 , a2 )(x, y) < α < (a1 , a2 )(x0 , y ) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x0 , y ) ∈ D (T¸ch không tách mạnh) Ví dụ 1.7 Cho tập C = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y = 0}, vµ D = {(x, y) ∈ R2 | y > , y > 0, x > 0} x Ta có: + C D khác rỗng + C, D tách tồn siêu phẳng (0, 1)(x, y) = tho¶ m·n (0, 1)(x, y) = (0, 1)(x0 , y ) ∀(x, y) ∈ C, ∀(x0 , y ) ∈ D Hay y = y0 + ∀(x, y) ∈ C, ∀(x0 , y ) ∈ D C, D kh«ng tách mạnh Sup(x,y)C (0, 1)(x, y) = 0, inf (x0 ,y0 )∈D (0, 1)(x0 , y ) = Định lý 1.3 Cho C (Định lý tách 1) D hai tập lồi khác rỗng có siêu phẳng tách C D Rn cho C ∩ D = ∅ Khi 50 Theo định nghĩa vi phân xấp xỉ, ta có: x∗ ∈ ∂ (f1 + f2 )(x0 ) ⇔hx∗ , x − x0 i + (f1 + f2 )(x0 ) (f1 + f2 )(x) + ∀x ⇔hx∗ , x − x0 i + f1 (x0 ) + f2 (x0 ) f1 (x) + f2 (x) + ∀x ⇔f1 (x) + f2 (x) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − hx∗ , x − x0 i + > ∀x ( f1 (x) + f2 (y) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − hx∗ , x − x0 i + < ⇒hƯ x=y kh«ng cã nghiƯm (2.15) LÊy D = dom f1 × dom f2 , A(x, y) = x − y, f (x, y) = f1 (x) + f2 (y) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) − hx∗ , x − x0 i + Theo gi¶ thiết f1 liên tục điểm lân cận a ∈ dom f1 ∩ dom f2 , nªn tån t¹i U cđa gèc cho U = (a + U ) − a ⊂ dom f1 − dom f2 = A(D) VËy ∈ intA(D) Lóc nµy (2.15) cã d¹ng: hƯ f (x, y) < A(x, y) = (x, y) ∈ D kh«ng cã mghiƯm Ap dơng mƯnh ®Ị 1.4 ta cã: ht, A(x, y) − 0i + f (x, y) > ∀(x, y) ∈ D ⇔ ht, x − yi + f1 (x) + f2 (y) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) + hx∗ , x − x0 i + > 0, ∀x ∈ dom f1 , ∀y ∈ dom f2 51 §èi víi x 6∈ dom f1 y dom f2 bất đẳng thức hiển nhiên Vậy ht, x yi + f1 (x) + f2 (y) − f1 (x0 ) − f2 (x0 ) + hx∗ , x − x0 i + > ∀x, y x = x0 ta cã : LÊy ht, x0 − yi + f2 (y) − f2 (x0 ) + > ⇔ ht, y − x0 i + f2 (x0 ) f2 (y) + ∀y ∀y ⇔ t ∈ ∂ f2 (x0 ) y = x0 ta cã: LÊy ht, x − x0 i + f1 (x) − f1 (x0 ) − hx∗ , x − x0 i + > ⇔ hx∗ − t, x − x0 i + f1 (x0 ) f1 (x) + ∀x ⇔ x∗ − t ∈ ∂ f1 (x0 ) Do ®ã x∗ = (x∗ − t) + t ⊆ ∂ f1 (x0 ) + ∂ f2 (x0 ) VËy ∂ (f1 (x0 ) + f2 (x0 )) ⊆ ∂ f1 (x0 ) + ∂ f2 (x0 ) ∀x Ch¬ng Mét sè øng dơng cđa díi vi ph©n tèi u hoá Chương trước hết giới thiệu số khái niƯm chung vỊ cùc tiĨu, - cùc tiĨu cđa mét hàm lồi Tiếp theo trình bày điều kiện cần đủ nghiệm tối ưu toán lồi với ràng buộc khác (Không ràng buộc, ràng buộc đẳng thức, ràng buộc bất đẳng thức) Cuối chương trình bày điều kiện cần đủ nghiệm tối ưu xấp xỉ toán lồi với ràng buộc khác 3.1 Các khái niệm Định nghĩa 3.1 a) Điểm lân cận Cho C Rn khác rỗng vµ f : Rn −→ R ∪ {+∞} x∗ ∈ C gọi cực tiểu địa phương f C tồn U x cho f (x∗ ) f (x), ∀x ∈ U ∩ C b) Điểm x C gọi cực tiểu toàn cục (hay cực tiểu tuyệt đối ) f trªn C nÕu f (x∗ ) f (x), x C c) Điểm x C gọi điểm chấp nhận toán Định nghĩa 3.2 toàn cục Cho > Một điểm x C gọi điểm -cực tiểu f trªn C nÕu f (x ) f (x) + , x C 52 53 3.2 Bài toán lồi ràng buộc Xét toán {min h(x) | x Rn } (P 1) Trong h hàm lồi thường Rn Mệnh đề 3.1 Chứng minh x nghiệm toán (P1) ⇔ ∈ ∂h(x∗ ) Ta cã: x∗ lµ nghiƯm toán (P1) x điểm cực tiểu cđa h trªn Rn ⇔ h(x∗ ) h(x) , ∀x ∈ Rn ⇔ h0, x − x∗ i + h(x∗ ) h(x) , ∀x ∈ Rn ⇔ h(x ) 3.3 Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức Xét toán {min f (x) | x C} (P 2) Trong C Rn tập lồi khác rỗng f hàm lồi C Mệnh đề 3.2 x C C Giả sử ri(dom f ) ri C 6= nghiệm toán (P2) ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ), NC (x∗ ) := {ω | hω, x − x∗ i , x C} nón pháp tuyến x Chứng minh Gọi C (.) hµm chØ cđa tËp C , tøc lµ ( nÕu x ∈ C, δC (x) := +∞ nÕu x C 54 Khi x nghiệm toán (P2) x điểm cực tiểu f C x điểm cực tiểu h(x) := f (x) + δC (x) trªn Rn ⇔0 ∈ ∂h(x∗ ) Do (theo mƯnh ®Ị 3.1) ri(dom f ) ∩ ri C 6= , theo định lý Moreau-Rockafellar ta có: ∂h(x∗ ) = ∂[f (x∗ ) + δC (x∗ )] = ∂f (x∗ ) + ∂δC (x∗ ) V× x∗ ∈ C nªn ∂δC (x∗ ) = NC (x∗ ) VËy ∂h(x∗ ) = ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ) Suy 3.4 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x ) Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Xét toán tìm cực tiểu hàm lồi tập lồi có dạng sau: {min f (x) | gi (x) (i = 1, m), x ∈ X} (OP ) Trong ®ã X ⊆ Rn tập lồi đóng khác rỗng f, gi (i=1, m) hàm lồi hữu hạn X Ta giả sủ X có điểm Bài toán (OP) gọi quy hoạch lồi Hàm f gọi hàm mục tiêu Các điều kiện Tập x X, gi (x) (i = 1, m) gọi rµng buéc D := {x ∈ X | gi (x) i = 1, m} gọi miền chấp nhận Một điểm Do x D gọi điểm chấp nhận toán (OP) X tập lồi, hàm gi (i=1, ,m) lồi X nên D tập lồi Điểm cực tiểu (OP) f D gọi nghiệm tối ưu toán 55 Ta xây dựng hàm sau, gọi hàm Lagrange, cho toán (OP): L(x, λ) := λ0 f (x) + m X λi gi (x), i=1 víi λ = (λ0 , , λm ) Dùa vµo hµm Lagrange ta cã kÕt qđa sau: (Karush- Kuhn- Tucker) Định lý 3.1 Giả sử a) NÕu ri(dom f ) ∩ ri(dom gi ) ∩ ri X 6= x nghiệm toán (OP) tồn i > (i=0, ,m) không đồng thêi b»ng cho: 1) L(x∗ , λ∗ ) = minx∈X L(x, λ∗ ) (⇔ ∈ λ∗0 ∂f (x ) + (điều kiện đạo hàm triệt tiêu ) m X λ∗i ∂gi (x∗ ) + NX (x∗ ) ) i=1 NX (x ) nón pháp tuyến X x Trong 2) i gi (x∗ ) = (i = 1, , m) (®iỊu kiện độ lệch bù) Hơn điều kiện Slater sau tho¶ m·n: ∃x0 ∈ X : gi (x0 ) < (i = 1, m) th× λ∗0 > b) Nếu hai điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bù thoả mÃn với > điểm chấp nhận x nghiệm tối ưu toán (OP) Chứng minh a) Giả sử x nghiệm toán (OP) Đặt C :={(λ0 , λ1 , , λm ) ∈ Rm+1 |∃x ∈ X : f (x) − f (x∗ ) < λ0 , gi (x) λi , i = 1, , m} Do X 6= ∅ låi, f, gi låi X , nên C tập lồi 56 Ta cã C 6= ∅ ThËt vËy: + LÊy m+1 (λ0 , , λm ) ∈ intR+ Khi ®ã λi > (i = 1, , m) + Víi x = x∗ , ta cã f (x∗ ) − f (x∗ ) = < λ0 gi (x∗ ) < λi (i = 1, , m) ⇒ (λ0 , , λm ) ∈ C m+1 ⇒ intR+ ⊂ C ⇒ C 6= ∅ Rm+1 Hơn C Thật vậy, ∈ C th× ∃x ∈ X : f (x) − f (x∗ ) < gi (x) (i = 1, , m) x không nghiệm toán (OP) mâu thuẫn Vậy C Do Theo định lý tách thứ 1, tách tập C {0}, tức i (i=0, m) không đồng thời cho m X i λi > (3.1) ∀(λ0 , , λm ) ∈ C i=0 Do m+1 intR+ ⊂ C , ta suy λ∗i > Víi > vµ x ∈ X , lÊy λ0 = f (x) − f (x∗ ) + λi = gi (x) (i = 1, , m) Thay vµo (3.1) ta cã λ∗0 [f (x) ∗ − f (x ) + ] + m X λ∗i gi (x) > ∀x ∈ X i=1 Cho ta f (x) + m X i=1 λ∗i gi (x) > λ∗0 f (x∗ ) x X (3.2) 57 Do x điểm chấp nhận nên ta có gi (x ) (i = 1, , m) VËy λ∗0 f (x∗ ) > λ∗0 f (x∗ ) + m X λ∗i gi (x∗ ) (3.3) i=1 Tõ (3.2) vµ (3.3) ta cã λ∗0 f (x) + m X λ∗i gi (x) > λ∗0 f (x∗ ) + i=1 ∀x ∈ X ∀x ∈ X ⇔L(x∗ , λ∗ ) = minx∈X L(x, λ∗ ) chØ λ∗i gi (x∗ ) i=1 ⇔L(x, λ∗ ) > L(x∗ , λ∗ ) Ta chó ý m X (điều kiện đạo hàm triệt tiêu) x nghiệm toán {min L(x, ), x X} x điểm cực tiểu hàm L(x, ) X x điểm cực tiĨu cđa hµm L1 (x, λ∗ ) := L(x, λ∗ ) + δX (x) trªn Rn ⇔0 ∈ ∂L1 (x∗ , λ∗ ) Do (theo mƯnh ®Ị 3.1) ri(dom f ) ∩ ri(dom gi ) ∩ ri X 6= f, gi (i:=1, ,m) hàm lồi, hữu hạn X nên theo định lý Moreau-Rockafellar ta cã ∂L1 (x∗ , λ∗ ) = ∂[L(x∗ , λ∗ ) + δX (x∗ )] m X ∗ ∗ = ∂[λ0 f (x ) + λ∗i gi (x∗ )] + ∂δX (x∗ ) i=1 = λ∗0 ∂f (x∗ ) + m X λ∗i ∂gi (x∗ ) + NX (x∗ ) i=1 (v× VËy 0∈ λ∗0 ∂f (x∗ ) + m X ∂δX (x∗ ) = NX (x∗ ) ) λ∗i ∂gi (x∗ ) + NX (x∗ ) i=1 Do x∗ điểm chấp nhận nên gi (x ) (i = 1, , m) NÕu ∃i ∈ {1, , m} : gi (x∗ ) = ξ < th× ∀ > , f (x∗ ) − f (x∗ ) = < gj (x∗ ) < (j = 1, , i − 1, i + 1, , m) 58 (ξ ë vÞ trÝ thø i) ⇒ (, , , ξ, , , ) ∈ C ⇒ λ∗i ξ > ( thay vµo (3.1) vµ cho → 0) ⇒ λ∗i Theo chứng minh ta có Như là, gi (x∗ ) Do ®ã λ∗i > VËy λ∗i = < th× λ∗i = λ∗i gi (x∗ ) = (i = 1, , m) (®iỊu kiện độ lệch bù ) Giả sử điều kiện Slater thoả mÃn: Khi 0= x0 X : gi (x0 ) < λ∗0 = th× điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bï ta cã λ∗0 f (x∗ ) + m X λ∗i gi (x∗ ) λ∗0 f (x) + m X i=1 Do λ∗i gi (x) , ∀x ∈ X i=1 = nên phải có i > Thay x0 vào bất đẳng thức trên, 0= f (x ) + m X λ∗i gi (x∗ ) λ∗0 f (x0 ) + m X i=1 i=1 Suy m©u thuÉn VËy λ∗i gi (x0 ) < λ∗0 6= tøc lµ > b) Giả sử x điểm chấp nhận thoả mÃn hai điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bù với Do > 0, λ∗i > (i = 1, , m) > 0, nên cách chia cho , ta cã thĨ coi hµm Lagrange lµ L(x, λ) = f (x) + m X λi gi (x) i=1 Tõ điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bù, ta cã: ∗ f (x ) + m X λ∗i gi (x∗ ) f (x) + i=1 m X λ∗i gi (x) ∀x ∈ X i=1 λ∗i gi (x∗ ) = (i = 1, , m) Suy ∗ f (x ) f (x) + m X i=1 λ∗i gi (x) , ∀x ∈ X (3.4) 59 Với x điểm chấp nhận được, tức là: x ∈ X : gi (x) < , i = 1, , m, ta cã f (x) + m X λ∗i gi (x) f (x) (3.5) i=1 Tõ (3.4) vµ (3.5) suy f (x∗ ) f (x) , ∀x ∈ X Chøng tá x∗ lµ nghiƯm tối ưu toán (OP) Ví dụ 3.1 Ap dụng định lý cho toán sau: {min f (x) | gi (x) (i = 1, 2) , x ∈ X}, ®ã (OP ) f (x) = x2 , g1 (x) = x2 − x, g2 (x) = −x, X = [− 12 , 21 ] Gi¶i: Ta có miền chấp nhận D = {x ∈ X | gi (x) (i = 1, 2)} = [0, ] Giả sử tồn i > (i = 0, , 2) không đồng thời b»ng cho: L(x∗ , λ∗ ) = minx∈X L(x, λ∗ ) P (⇔ ∈ λ∗0 ∂f (x∗ ) + 2i=1 λ∗i ∂gi (x∗ ) + NX (x∗ ) ) 1) 2) λ∗i gi (x∗ ) = 0, i = 1, 3) > Từ định lÝ 3.1, suy x∗ lµ nghiƯm tèi u cđa toán (OP) f (x ) f (x), x ∈ D ⇔x∗ x2 , ∀x ∈ D x x = Ngược lại, tồn x = nghiệm toán (OP) từ định lí 3.1, suy i > (i = 0, , 2) không đồng thời cho : 60 L(x∗ , λ∗ ) = minx∈X L(x, λ∗ ) P (⇔ ∈ λ∗0 ∂f (x∗ ) + 2i=1 λ∗i ∂gi (x∗ ) + NX (x∗ ) ) 1) 2) λ∗i gi (x∗ ) = 0, i = 1, Ta cã L(x∗ , λ∗ ) = minx∈X L(x, λ∗ ) ⇔L(x, λ∗ ) > L(x∗ , λ∗ ), ∀x ∈ X + ⇔λ∗0 x2 i=1 ∗ λ1 (x Ta cã Do X ⇔λ∗0 f (x) + λ∗i gi (x) λ∗0 f (x∗ ) > − x) − λ∗2 x + X λ∗i gi (x∗ ), ∀x ∈ X i=1 > 0, ∀x ∈ X λ∗i gi (x∗ ) = 0, i = 1, ⇔ λ∗i = 0, i = 1, ⇔ λ∗i > 0, i = 1, i > (i = 0, , 2) không đồng thêi b»ng nªn: + Chän λ∗1 = λ∗2 = Ta cã λ∗0 x2 + λ∗1 (x2 − x) − λ∗2 x > 0, ∀x ∈ X ⇔λ∗0 x2 > 0, ∀x ∈ X ⇔λ∗0 > ⇒Chänλ∗0 = + Chän λ∗1 = λ∗2 = Ta cã λ∗0 x2 + λ∗1 (x2 − x) − λ∗2 x > 0, ∀x ∈ X ⇔(λ∗0 + 1)x2 − 2x > 0, x X Không tồn + Chän λ∗1 = 0, λ∗2 = Ta cã λ∗0 x2 + λ∗1 (x2 − x) − λ∗2 x > 0, ∀x ∈ X ⇔λ∗0 x2 − x > 0, x X Không tồn 61 + Chän λ∗1 = 1, λ∗2 = Ta cã λ∗0 x2 + λ∗1 (x2 − x) − λ∗2 x > 0, ∀x ∈ X ⇔(λ∗0 + 1)x2 − x > 0, x X Không tồn VËy x∗ = lµ nghiƯm tèi u cđa bµi toán (OP) = 1, = = nhân tử Lagrang tương ứng Chú ý 3.1 Trong nhiều trường hợp toán (P1), (P2) (OP) lời giải tối ưu xác Hơn thực tế thường người ta không tính lời giải tối ưu (chính xác), mà tính lời giải xấp xỉ Khi ta dùng khái niệm lời giải tối ưu xấp xỉ hay gọi - tối ưu Mệnh đề 3.3 x -nghiệm toán (P1) h(x ) Ta cã: Chøng minh x lµ − nghiệm toán (P1) x điểm cùc tiĨu cđa h trªn Rn ⇔h(x ) h(x) + , ∀x ∈ Rn ⇔0 ∈ ∂ h(x ) Mệnh đề 3.4 x C Giả sử (theo định nghĩa3.2) (theo định lý2.1) ri(dom f ) ∩ ri C 6= ∅ Khi ®ã -nghiƯm toán (P2) = f (x ) + NC, (x ), NC, (x ) := {ω | hω, x − x i , ∀x C} C Chứng minh x Gäi δC (.) lµ hµm chØ cđa tËp C , tøc lµ ( nÕu x ∈ C, δC (x) := + x C -nón pháp tuyến 62 Khi x nghiệm toán (P2) x điểm cực tiểu f C x điểm cực tiĨu cđa h(x) := f (x) + δC (x) trªn Rn ⇔0 ∈ ∂ h(x ) Do (theo mƯnh ®Ị 3.3) ri(dom f ) ∩ ri C 6= ∅, ta cã: ∂ h(x ) = ∂ [f (x ) + δC (x )] ⊆ ∂ f (x ) + ∂ δC (x ) (theo mƯnh ®Ị 2.14) = ∂ f (x ) + NC, (x ) (V× VËy x ∈ C nên theo định nghĩa 2.9 C (x ) = NC, (x ) ) ∈ ∂ f (x ) + NC, (x ) 63 KÕt luËn Nh vậy, luận văn đà trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất tập lồi hàm lồi Sau lại đề cập đạo hàm theo phương, vi phân, vi phân xấp xỉ chứng minh cách cụ thể số tính chất chúng Cuối luận văn trình bày điều kiện cực trị cho toán quy hoạch lồi với buộc khác Tài liệu tham khảo [1] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2003), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Giáo trình [2] Tạ Quang Sơn (2008), Some Qualitative Problems In Optimization, LuËn ¸n tiÕn sÜ [3] T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [4] J Hiriart-Urruty and C Lemarechal, Convex Analysis and Minimization Algorithms 64