Hàm Lồi Và Các Tính Chất.pdf

®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr­êng ®¹i häc khoa häc  0  Ph¹m B¸ Tuyªn Hµm låi vµ c¸c tÝnh chÊt Chuyªn ngµnh To¸n øng dông M sè 60 46 36 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i Nguyªn – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học[.]

đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học -   - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mà số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyªn – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng ®¹i häc khoa häc -   - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mà số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ khoa học toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 2009 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa häc -  - Phạm Bá Tuyên Hàm lồi tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mà số: 60.46.36 Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 9/2009 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lục Lời nói đầu Chương Hàm lồi biến 1.1 Hàm lồi thực 1.2 Tính lồi ®iĨm gi÷a 10 1.3 Hàm liên hợp 1.4 Hàm lồi giá trị Chương 13 Hµm låi ¯ R 14 Rn 19 2.1 Định nghĩa tính chất 19 2.2 Hàm lồi khả vi 2.3 Các phép toán hàm lồi 26 2.4 TÝnh liên tục hàm lồi 29 2.5 Hàm liên hợp 2.6 Dưới vi phân hàm lồi 34 Ch­¬ng 23 33 Cực trị hàm lồi 40 3.1 Cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục 40 3.2 Cực tiểu hàm lồi (cực đại hàm lõm) 3.3 Cực tiểu hàm lồi mạnh 47 3.4 Cực đại hµm låi (cùc tiĨu hµm lâm) 40 49 KÕt luËn 53 Tµi liƯu tham kh¶o 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lêi nãi đầu Hàm lồi biến dạng (lồi chặt, lồi mạnh, tựa lồi ) có nhiều tính chất đẹp đáng ý sử dụng réng r·i nhiỊu lý thut vµ øng dơng thùc tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hoá Hàm lồi mở rộng chủ đề hấp dẫn với nhiều kết phong phú thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Đề tài luận văn đề cập tới hàm lồi biến nhiều biến, với tính chất chúng Hàm lồi có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu: qui hoạch toán học, lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết trò chơi, kinh tế toán Giả thiết tính lồi hàm thiếu nhiều định lý tồn nghiệm tối ưu, tồn giá cân hay tình cân mô hình kinh tế toán Vì thế, tìm hiểu hàm lồi tính chất thực cần thiết hữu ích, giúp hiểu sâu nhiều vấn đề giải tích lồi lý thuyết tối ưu Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày kết đà biết liên quan đến hàm lồi biến nhiều biến, đặc biệt lưu ý tính chất bật tính liên tục, tính khả vi tính chất cực trị Nội dung đề cập luận văn trình bày cách chặt chẽ mặt toán học, khái niệm kết nêu có kèm theo ví dụ hình vẽ để minh hoạ Nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Hàm lồi biến đề cập tới hàm lồi biến, xác định nhận giá trị thực hữu hạn hay vô cực khoảng liên tục (hữu hạn hay vô hạn) đường thẳng số thực Hàm lồi biến có nhiều tính chất đáng ý tính Lipschitz, tính liên tục khả vi hầu khăp nơi miền xác định Xét số hàm có liên quan: hàm lồi chặt, hàm tựa lồi, tựa lồi chặt, hàm liên hợp Chương 2: Hàm lồi tính chất bản: Hàm n Rn giới thiệu hàm lồi nhiều biến biến hàm lồi chØ hµm thu hĐp cđa nã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn đường thẳng Rn hệ chặt chẽ với tập lồi: f f hàm lồi mét biÕn Hµm låi cã mèi quan lµ hµm låi vµ chØ epi f lµ tËp låi vµ hàm lồi tập mức tập lồi Hàm lồi tập lồi mở liên tục Tiếp theo nêu cách nhận biết hàm lồi qua phép toán hàm khả vi lồi qua số dấu hiệu Trong chương giới thiệu khái niệm vi phân hàm lồi mối quan hệ vi phân với đạo hàm theo hướng với hàm liên hợp Chương 3: Cực trị hàm lồi trình bày tính chất cực trị hàm lồi, hàm lồi chặt hàm lồi mạnh: cực tiểu địa phương hàm lồi cực tiểu toàn cục; hàm lồi chặt có nhiều điểm cực tiểu hàm lồi mạnh đạt cực tiểu tập đóng khác rỗng, cực tiểu tập lồi đóng khác rỗng; cực đại hàm lồi (cực tiểu hàm lõm) có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập xét Ngoài ra, chương trình bày điều kiện tối ưu cần đủ hàm lồi khả vi Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu đà có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ®Õn thÇy h­íng dÉn GS-TS TrÇn Vị ThiƯu ®· tËn tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin Hà Nội, Khoa Công nghệ thông tin, Khoa Toán Phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập trường S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng, Ban chức Bộ môn Toán Trường Cấp II-III Tân Quang bạn bè đồng nghiệp gia đình đà quan tâm giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Tác giả Phạm Bá Tuyªn Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương Hàm lồi biến Hàm lồi có vai trò quan trọng giải tích lồi, đặc biệt tối ưu hoá Ta bắt đầu làm quen với hàm lồi biến tính chất đáng ý 1.1 Hàm lồi thực 1.1.1 Định nghĩa tính chất Ký hiệu I khoảng (đóng, mở hay nửa mở, hữu hạn hay vô hạn) đường thẳng thực R Chẳng hạn, khoảng mở hữu hạn I = (p, q) với < p < q < + Định nghĩa 1.1 Cho hµm mét biÕn sè a) f f : I → R, gäi lµ låi (hay hµm låi) nÕu: f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) víi mäi a, b ∈ I, vµ mäi λ ∈ R, víi < λ < hình học tính lồi: dây cung với hai đầu mút nằm phía đồ thị hàm b) f gọi lồi chặt f f Hình 1.1 (a, f (a)) (1.1) cho thÊy ý nghÜa vµ (b, f (b)) lồi (1.1) có bất đẳng thức chặt a 6= b f : I → R x−a b−x f (a) + f (b) a) f (x) ≤ b−a b−a víi mäi a, b, x ∈ I vµ a < x < b Chó ý vế phải bất đẳng thức Ta nêu phát biểu tương đương khác tính lồi hµm cã thĨ viÕt thµnh: f (a) + f (b) − f (a) (x − a) b−a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn f (λa + µb) ≤ λf (a) + µf (b) b) víi mäi • a, b, x ∈ I vµ mäi λ, µ ∈ R cho λ > 0, µ > 0, λ + µ = DƠ dàng kiểm tra tính chất đơn giản sau hàm lồi: a) Nếu f g hàm lồi 0, αf + βg lµ hµm låi b) Tỉng cđa mét số hữu hạn hàm lồi hàm lồi c) Hàm giới hạn (theo điểm) dÃy hàm lồi hội tụ lồi d) Giả sử f : I R hàm lồi Khi đó: n  n n P P P λi xi ∈ I vµ f λi xi ≤ λi f (xi ) i=1 víi mäi i=1 xi ∈ I, λi ≥ (1 ≤ i ≤ n), i=1 n P λi = i=1 e) Giả sử f I R cận theo điểm họ hàm lồi Nếu f hữu hạn khắp nơi I f lồi Tuy nhiên, mệnh đề tương tự không cận Định lý 1.1 Giả sử f : I R hàm lồi Khi f (x) − f (a) f (b) − f (a) f (b) − f (x) ≤ ≤ x−a b−a b−x víi mäi a, b, x ∈ I, a ≤ x b Nếu f lồi chặt (1.2) có bất đẳng thức chặt S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.2) http://www.Lrc-tnu.edu.vn H×nh dốc 1.2 cho thấy ý nghĩa hình học định lý này: độ dốc (AB) độ (AC) độ dèc (BC) Chøng minh Do f låi nªn ta cã f (x) ≤ x−a b−x f (a) + f (b) ba ba (1.3) Từ bất đẳng thức ta suy f (x) − f (a) ≤ a−x x−a x−a f (a) + f (b) = [f (b) − f (a)] ba ba ba bất đẳng thức đầu tự Nếu f (1.2) Bất đẳng thức sau chứng minh tương lồi chặt (1.3), (1.2) có dấu bất đẳng thức chặt ã Ký hiệu phần c int(I) Giả sử [a, b] ⊂ I I cho lµ hµm låi a < c < b Theo định lý 1.1 ta cã: f (c) − f (a) f (x) − f (c) ca xc Cũng từ định lý f: I R int(I) Giả sử với mọix (c, b] 1.1 suy r»ng hµm x→ f (x) f (c) xc không giảm trên(c, b] Do tồn đạo hàm phải f+ (c) = lim xc f (x) f (c) xc Bằng cách tương tự chứng minh tồn đạo hàm tr¸i NÕu f− (c) a < c < d < b với số dương h đủ nhỏ ta cã f (c) − f (c − h) f (c + h) − f (c) f (d) − f (d − h) ≤ ≤ h h h Cho qua giíi hạn h0 ta được: 0 f (c) ≤ f+ (c) ≤ f− (d) V× thÕ, ta cã định lý: Định lý 1.2 Giả sử f: I R đạo hàm trái điểm thuộc hàm lồi Khi đó, int(I), đồng thời f f có đạo hàm phải f+ hàm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử lân cËn cđa kú x∈C Khi ®ã, x0 ta cã x0 C cho điểm cực tiểu địa phương cđa f (x0 ) ≤ f (x) víi mäi λ > nên f (x0 ) f (x) Vì x ∈ C víi mäi hay λ>0 U (x0 ) Víi bÊt ®đ nhá λf (x0 ) ≤ λf (x) chọn tuỳ ý nên = min{f (x) : x C} x0 Do điểm cực tiểu toàn cơc cđa f trïng víi tËp C ∩ {x : f (x) ≤ α}.TËp nµy låi hµm f (x) lồi (Định lý 2.1, C x C ∩ U (x0 ) xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0 ) f (x0 ) ≤ f (xλ ) ≤ λf (x) + (1 − )f (x0 ) f Nếu ArgminxC f (x) Chương 2) Hệ 3.1 Bất điểm cực đại địa phương hàm lõm tập lồi điểm cực đại toàn cục Tập tất điểm cực đại hàm lõm tập lồi lồi Nhờ tính chất nêu trên, việc tìm cực tiểu (cực đại) toàn cục hàm lồi (hàm lõm), nói riêng hàm tuyến tính hay hàm afin, dẫn đến việc tìm cực tiểu (cực đại) địa phương hàm Bài toán rõ ràng trở nên đơn giản nhiều, vận dụng phương pháp tìm cực tiểu địa phương hàm Định lý 3.2 Với hàm lồi thường a) Cực đại f f : đoạn thẳng đạt đầu mút đoạn b) Nếu f f (x) hữu hạn bị chặn trên nửa đường thẳng cực đại nửa đường thẳng đạt điểm gốc c) Nếu f (x) hữu hạn bị chặn trên tập afin f số tập Chứng minh a) Suy trực tiếp từ định nghĩa hàm lồi, vì: f (λx1 +(1−λ)x2 ) ≤ λf (x1 )+(1−λ)f (x2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )}∀λ ∈ [0, 1] b) NÕu 1+λ x + f (b) > f (a) 1+ a Từ đó, với x = b + λ(b − a), λ ≥ (1 + )f (b) f (x) + f (a) (mỗi ta cã f (x) < +∞), 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên b = http://www.Lrc-tnu.edu.vn nghÜa lµ f (x) ≥ λ[f (b) − f (a)] + f (b) Điều chứng tỏ f (x) → +∞ λ → +∞ Nh­ vËy, nÕu f (x) hữu hạn bị chặn nửa đường thẳng xuất phát từ a ta phải có M c) Gi¶ sư f (b) > f (a) f (b) f (a) với b nửa đường thẳng tập afin f (x) hữu hạn Với theo phần vừa chứng minh, nửa đường thẳng M f (x) bị chặn số M không bị chặn trên a qua b Tương tự, f (a) > f (b) f (x) từ không bị chặn trên nửa đường thẳng f (x) a, b ∈ M, M b ®i tõ f (a) = f (b), ∀a, b ∈ M , a, qua tức f Vậy, đồng M Ta nhắc lại khái niệm hàm lồi chặt nêu tính chất đặc trưng lớp hàm (Định nghĩa 2.1, Chương 2): Hàm giá trị thực f hàm lồi chặt C tập lồi C gọi f [λx1 + (1 − λ)x2 ] < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) víi bÊt kú hai điểm khác x1 , x2 C < < Đương nhiên, hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại nói chung không Mệnh đề 3.1 Hàm lồi chặt f C có nhiều điểm cực tiểu C , nghÜa lµ tËp Argminx∈C f (x) gåm nhiỊu phần tử Chứng minh Nếu tính lồi chặt f nên f có hai điểm cực tiểu khác x1 , x2 ∈ C f ( 21 x1 + 12 x2 ) < f (x1 ) = f (x2 ), điều xẩy ra! Ví dụ 3.1 Hàm lồi chặt biến tiểu x = Còn hàm lồi chặt f (x) = x2 cã nhÊt mét ®iĨm cùc f (x) = ex (x R) điểm cực tiểu Mệnh đề sau cho điều kiện cần đủ để x0 C điểm cực tiểu (toàn cục) hàm lồi tập hợp lồi Mệnh đề 3.2 Giả sử lồi C giả sử x0 ∈ C cùc tiĨu cđa hµm f (x) lµ hàm lồi khả vi liên tục, xác định tập Khi ®ã, f (x0 ) ≤ f (x)∀x ∈ C (nghĩa x0 điểm f (x) C ) vµ chØ ≥ víi mäi x ∈ C 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn f (x0 ) ≤ f (x)∀x ∈ C Chøng minh a) Điều kiện cần Giả sử điểm x0 C theo phép tính biến phân ta phải có = điểm cực tiểu, f (x) f [x + (1 − λ)x0 ], ∀x ∈ C Cßn nÕu x0 lµ hµm låi vµ vµ x0 5f (x0 ) = 0, điểm biên C Nếu tập lồi nên ta có C f (x0 ) ≤ ≤ λ ≤ Tõ ®ã víi λ > th× f [x0 + λ(x − x0 )] − f (x0 ) ≥0 λ Cho qua giíi hạn 0, ta nhận ≥ b) §iỊu kiƯn ®đ Gi¶ sư theo MƯnh ®Ị ≥ 0∀x ∈ C Do f (x) lồi nên 2.4 (Chương 2), ta có: f (x) f (x0 ) ≥ ≥ ∀x ∈ C Do ®ã f (x) f (x0 ) x C Về mặt hình học, Mệnh đề hai véctơ 5f (x0 ) x x0 Nếu xC C từ Mệnh ®Ị x0 3.2 nãi r»ng x0 lµ ®iĨm cùc tiĨu góc góc nhọn với xC điểm cực tiểu (Hình 3.1a) f (x) ≥ f (x) víi 2.4 suy ra: ≥ f (x) − f (x) ≥, nghĩa góc hai véctơ 5f (x) x x góc tù (Hình 3.1b) 43 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên f (x) C điểm cực tiểu http://www.Lrc-tnu.edu.vn x Mệnh đề 3.3 Giả sử Muốn cho x0 ∈ C C lµ tËp låi lµ điểm cực tiểu f Rn C f : Rn R hàm lồi điều kiện cần đủ f (x0 ) NC (x0 ) víi NC (x0 ) = {p :≥ 0∀x ∈ C} t¹i x0 Chøng minh NÕu cã x∈C p ∈ ∂f (x0 ) f (x)− (3.1) nªn tồn (3.1) p f (x0 ) NC (x0 ) ≤ f (x) f (x0 ), Mặt khác, p NC (x0 ) nghĩa nên ta có 0x C , v× thÕ f (x0 ) ≤ f (x) ∀x C , nghĩa x0 C nón ph¸p tun cđa Víi mäi f (x0 ) ≤ điểm cực tiểu f C x0 ∈ Argminx∈C f (x) th× hƯ bÊt đẳng thức sau vô nghiệm Ngược lại, (x, y) ∈ C × Rn , x − y = 0, f (y) f (x0 ) < Đặt D = C ì Rn cầu B tâm vµ A(x, y) = x − y 0, x0 + B Rn , Do A(D) = C − Rn Víi h×nh B = x0 − (x0 + B) ⊂ A(D), ∈ int A(D) Theo định lý đà biết hệ bất đẳng thức lồi (xem[4], Định lý 2.4, tr.59), tồn véctơ p ∈ Rn cho +f (y) − f (x0 ) ≥ ∀(x, y) ∈ C ì Rn Cho y = x0 Tiếp đó, cho ta nhận x = x0 x C , ta nghĩa lµ f (y) − f (x0 ) ≥ p ∈ NC (x0 ) ∀y ∈ Rn , nghÜa p ∈ ∂f (x0 ) VËy, p ∈ NC (x0 ) ∩ ∂f (x0 ) Tõ ®ã ∈ ∂f (x0 ) − NC (x0 ) HÖ 3.2 Với giả thiết Mệnh đề điểm cực tiểu liên tục toàn cục f fC x0 ∈ C NC (x0 ) = nÕu x0 ∈ int C C ⊂ Rn lµ tËp compact 6= ∅, f : C → R lµ mét hµm lµ hàm bao lồi C điểm f (x0 ) Chøng minh HƯ qu¶ suy tõ nhËn xÐt Mệnh đề 3.4 Giả sử 3.3, f C Khi đó, điểm cực tiểu điểm cực tiĨu cđa f C (x) trªn convC 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử fC Do không lớn hàm lồi điểm cực tiểu toàn cục cđa nªn ta cã f C (x0 ) ≤ f (x0 ) h(x) = max{f (x0 ), f C (x)} Nếu không lớn f (x) C f C (x0 ) < f (x0 ) f , nh­ng lại lớn f C , điều xÈy Nh­ vËy, f C (x0 ) = f (x0 ) vµ f C (x) = h(x) ∀x ∈ convC x0 f x0 C Từ đó, f C (x0 ) = f (x0 ) ≤ f C (x) x convC , điểm cực tiểu toàn cục nghĩa f C (x) convC Để xét thêm tiêu chuẩn tối ưu nữa, ta cần đến định nghĩa sau Định nghĩa 3.2 Cho tập lồi y C điểm x0 C C Rn điểm y Rn Ta gäi h×nh chiÕu cho ||x0 − y|| = infx∈C ||x − y|| = δC (y) Ký hiƯu vµ x0 = p(y) gọi C (y) khoảng cách tõ y tíi C DÜ nhiªn y = p(y) δC (y) = nÕu y ∈ C (Cã thĨ chøng minh ∃p(y) nÕu C Bỉ ®Ị 3.1 Mn cho điểm đóng x0 C tập lồi đóng) hình chiếu điểm y tập lồi C , điều kiện cần đủ ≤ ∀x ∈ C Chøng minh Giả sử ý xC xét điểm x0 h×nh chiÕu cđa z = λx + (1 − λ)x0 y Do C (3.2) C Lấy điểm tuỳ lồi nên [0, 1] z C V× ||z − y||2 = λ2 ||x − x0 ||2 + 2λ +||x0 − y||2 Do ||z − y||2 ≥ ||x0 y||2 (theo định nghĩa hình chiếu) nên ||x − x0 ||2 + 2λ Do bất đẳng thức với suy [0, 1] nên ≥ Tõ (3.2) Ngược lại, giả sử có (3.2) Khi với x ∈ C sÏ cã ||x − y||2 = ||(x − x0 ) + (x0 − y)||2 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn = ||x − x0 ||2 + +||x0 − y||2 ≥ ||x0 y||2 Điều chứng tỏ x0 hình chiếu Mệnh đề 3.5 Muốn cho điểm hàm lồi khả vi f (x) C, x y C tập lồi đóng điều kiện cần ®đ lµ C lµ ®iĨm cùc tiĨu x∗ = p(y ∗ ), ®ã y ∗ = x∗ − α 5f (x∗ ) vµ α > lµ mét sè Chứng minh Đủ Giả sử x = p(y ) Do p(y ) hình chiếu ®iĨm y∗ trªn C nªn tõ (3.2) ta cã bÊt ®¼ng thøc ≤ ∀x ∈ C V× y ∗ = x∗ 5f (x ) > nên ≥ ∀x ∈ C, nghĩa theo Mệnh đề Cần Giả sử x 3.2, x điểm cực tiểu hàm điểm cùc tiĨu cđa f trªn f (x) trªn C C Khi ®ã víi mäi x ∈ C ta cã ≥ hay − α ≤ (α> 0) Nh­ng −α 5f (x∗ ) = y ∗ − x∗ , 3.1, x hình chiếu điểm y∗ ≤ Theo Bổ đề C , nghĩa x = p(y ∗ ) 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3.3 Cực tiểu hàm lồi mạnh Sau ta xét lớp hàm có cực tiểu tập đóng 6= Hơn nữa, giống hàm lồi chặt, cực tiểu tập lồi Định nghĩa 3.3 Hàm f (x) xác định tập lồi C Rn mạnh, tồn số x, y C gọi lồi > đủ nhỏ (hằng số låi m¹nh) cho víi mäi λ ∈ [0, 1] ta có bất đẳng thức: f [x + (1 λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ||x − y||2 Cã thÓ chøng minh r»ng hàm (3.3) f (x) lồi mạnh hµm f (x)−ρ.||x||2 lµ låi Râ rµng mét hµm låi mạnh lồi chặt, điều ngược lại không (Chẳng hạn, hàm ex , x R, lồi chặt không lồi mạnh) Các hàm lồi mạnh có vai trò đặc biệt quan trọng nghiên cứu toán cực trị (Chẳng hạn, f (x) f (x1 , x2 ) = x21 + 2x22 , x R2 , hàm lồi mạnh) Ví dụ 3.2 Xét hàm toàn phương f (x) = + , Q lµ ma trËn đối xứng, xác định dương Tính lồi mạnh f suy từ hệ thức (sau thực số tính toán đơn giản): f [x + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ||x − y||2 , ®Ĩ ý r»ng víi ≤ λ ≤ th× λ2 ≤ λ, (1 )2 (1 ) ≥ ρ||x − y||2 ®ã giá trị riêng nhỏ (dương) ma trận Q Mệnh đề 3.6 Nếu a) f (x) hàm lồi mạnh khả vi tập lồi đóng C ≥ ρ||x − y||2 víi mäi x, y ∈ C 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn th× b) Víi bÊt kú x0 ∈ C tập mức c) Tồn điểm x∗ ∈ C C0 = {x ∈ C : f (x) f (x0 )} bị chặn cho f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ C} Chøng minh f (x) − f (y) ≤ Hơn nữa, f lồi mạnh nªn víi λ = ta cã: a) Do f lồi nên theo Mệnh đề x, y C 2.4, th× 1 1 1 ρ||x − y||2 ≤ [f (x) − f ( x + y)] + [f (y) − f ( x + y)] ≤ 2 2 2 1 + = 4 b) Do Z f (x) − f (y) = dλ = Z = + d 0 nên kết hợp với bất đẳng thức phần a) ta f (x) − f (y) ≥ + ρ||x − y||2 ⇒ (cho y = x0 ) ≥ f (x) − f (x0 ) ≥ + ρ||x − x0 ||2 ⇒ 2 ||x − x0 ||2 ≤ ≤ || 5f (x0 )|| × ||x − x0 ||, ρ ρ 0 Tõ ®ã suy ||x − x || ≤ || 5f (x )|| víi mäi x ∈ C0 , nghĩa C0 bị chặn c) Do hàm f (x) liên tục tập lồi đóng bị chặn C0 C , nên tồn x C0 cho f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ C0 } = min{f (x) : x ∈ C} V× hàm lồi mạnh hàm lồi chặt, nên theo Mệnh đề x 3.1 điểm cực tiểu 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 3.7 Giả sử tiểu f f (x) lồi mạnh tập låi ®ãng C C Khi ®ã, víi mäi x C x0 điểm cực ta có ||x − x0 ||2 ≤ [f (x) − f (x0 )] Hơn nữa, f (3.4) khả vi ||x − x0 || ≤ || 5f (x)|| ρ vµ (3.5) ≤ f (x) − f (x0 ) ≤ || 5f (x)||2 ρ Chøng minh Tõ định nghĩa hàm lồi mạnh (hệ thức = ): (3.3)) suy (víi 1 1 f ( x + x0 ) ≤ f (x) + f (x0 ) − ρ||x − x0 ||2 2 2 1 0 Từ f (x ) f ( x + x ) suy (3.4) Tại điểm cực tiĨu x cđa f 2 C , theo MƯnh ®Ò 3.2, ≥ x C Mặt khác, theo Mệnh đề 3.6 a) ta cã: ρ||x − x0 ||2 ≤ ≤ ≤ ≤ || 5f (x)||.||x x0 || nghĩa có bất đẳng thức (3.5) Cuối cùng, từ Mệnh đề 2.4 hệ thức (3.5) suy ≤ f (x)−f (x0 ) ≤≤ ||5f (x)||×||x−x0 || ≤ ||5f (x)||2 ρ 3.4 Cực đại hàm lồi (cực tiểu hàm lõm) Khác với cực tiểu, điểm cực đại địa phương hàm lồi không thiết điểm cực đại toàn cục Nói chung, thông tin địa phương không đủ để xác định điểm cực đại toàn cục hàm lồi 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn C ⊂ Rn MƯnh ®Ị 3.8 Giả sử f (x) C đạt cực đại tập lồi f: C R điểm tương đối x0 hàm lồi Nếu C (x0 riC) f (x) số C Tập ArgmaxxC f (x) hợp số diện C Chứng minh Giả sử x điểm tuỳ ý thc λx + (1 − λ)y V× thÕ víi C f đạt cực đại Do x0 riC C điểm nên tìm x0 riC yC giả sử cho x0 = ∈ (0, 1) Khi ®ã, f (x0 ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) λf (x) ≥ f (x0 ) − (1 − λ)f (y) ≥ f (x0 ) − (1 − λ)f (x0 ) = λf (x0 ) Nh­ vËy, f (x) ≥ f (x0 ) Tõ f (x) = f (x0 ) phần đầu Mệnh đề chứng minh Để chứng minh phần thø hai cđa MƯnh ®Ị, ta ®Ĩ ý r»ng víi điểm cực đại x0 C diện F cđa C cho x0 ∈ riF V× theo lập luận đây, điểm thuộc diện điểm cực đại toàn cục Mệnh đề 3.9 Giả sử C tập lồi, đóng không chứa đường thẳng C f (x) f f : C R hàm lồi C.2 Nếu C bị chặn trên nửa đường thẳng sup{f (x) : x C} = sup{f (x) : x ∈ V (C)}, ®ã V (C) tập điểm cực biên f (x) đạt C C, nghĩa cực đại cực đại đạt Chứng minh Theo định lý giải tích lồi, K V (C) C = convV (C) + K, lµ nãn låi sinh phương cực biên C Một điểm bÊt 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn kú thuéc C mµ nã điểm cực biên, thuộc nửa đường thẳng xuất phát từ điểm K f (x) Do v V (C) theo phương tia hữu hạn bị chặn trên nửa đường thẳng này, nên cực đại đường thẳng đạt v supremum của f (x) C qui supremum (Định lý 3.2) f P convV (C) trªn Nh­ vËy, Khi x ∈ convV (C) có dạng x = iI i v i víi v i ∈ V (C) P P i i i 0, = 1, f (x) ≤ i∈I i i∈I λi f (v ) ≤ maxiI f (v ) đó, Hệ 3.3 Hàm lồi thực f (x) tập lồi đa diện D, không chứa đường thẳng nào, không bị chặn trên cạnh vô hạn ®ã cđa ®¹t cùc ®¹i t¹i mét ®Ønh cđa D, D Hệ 3.4 Hàm lồi thực f (x) tập lồi compactC đạt cực đại điểm cực biên C Nhận xét 3.1 Thực ra, tính chất nêu Hệ 3.4 cho lớp hàm rộng Cụ thể hàm tựa lồi, nghĩa hàm [, +] cho tập mức R với (Định nghĩa 2.3, f : Rn → Iα = {x ∈ Rn : f (x) ≤ α} Ch­¬ng 2) ThËt vËy, tËp låi lµ låi compactC x ∈ C cã biĨu diƠn P λi ≥ 0, i∈I λi = vµ b»ng bao lồi điểm cực biên nó, nên bất kú x= I P i∈I λi v i , vi điểm cực biên, tập hữu hạn số Nếu = maxiI f (v i ) Như vậy, f (x) hàm tựa lồi hữu hạn v i C I , ∀i ∈ I Do C ∩ Iα låi, nªn f (x) ≤ α = maxi∈I f (v i ), nghĩa cực đại f điểm cực biên C x C I C đạt C Cũng chứng minh cận họ hàm tựa låi lµ hµm tùa låi, nh­ng tỉng cđa hai hµm tựa lồi không hàm tựa lồi Tóm lại, chương đà trình bày tính chất cực trị liên quan tới hàm lồi, hàm lồi chặt hàm lồi mạnh Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lồi cực tiểu toàn cục, điểm cực tiểu hàm lồi chặt có hàm lồi mạnh đạt cực tiểu tập đóng 51 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn kh¸c rỗng, cực tiểu tập lồi đóng khác rỗng Cực đại hàm lồi có đạt điểm cực biên (nói riêng, ®Ønh) cđa tËp ®­ỵc xÐt 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn KÕt luận Các hàm tuyến tính afin hàm đơn giản dùng phổ biến Hàm lồi thuộc lớp hàm phi tuyến hay dùng lý thuyết ứng dụng thực tế, hàm lồi với biến dạng (lồi chặt, lồi mạnh, tùa låi ) cã nhiỊu tÝnh chÊt ®Đp đáng ý Luận văn chủ yếu tập trung vào tìm hiểu hàm lồi biến nhiều biến, tính chất chúng, đăc biệt tính liên tục, tính khả vi tính chất cực trị Chương đề cập tới hàm lồi biến, nhận giá trị hữu hạn hay vô cực Hàm lồi biến xác định khoảng I R Lipschits [a, b] int(I), liên tục int(I) khả vi hầu khắp nơi I Nếu hàm f hai lần khả vi khoảng mở I hàm f lồi vµ chØ 00 f (x) ≥ víi x I Chương giới thiệu hàm lồi nhiều biến tính chất như: f hàm lồi tập đồ thị lồi, hàm f lồi tập mức tập lồi, cách nhận biêt hàm khả vi hàm lồi, phép toán bảo toàn tính lồi hàm, giới thiệu khái niệm vi phân hàm lồi mối quan hệ dưói vi phân với đạo hàm theo hướng với hàm liên hợp Chương trình bày tính chất cực trị hàm lồi, hàm lồi chặt hàm lồi mạnh, điều kiện tối ưu cần đủ hàm lồi khả vi số kết cực tiểu (cực đại) hàm lồi Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lồi cực tiểu toàn cục, điểm cực tiểu hàm lồi chặt có hàm lồi mạnh đạt cực tiểu tập đóng khác rỗng, cực tiểu tập lồi đóng khác rỗng Cực đại hàm lồi có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập lồi xét 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tác giả đà cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng trực quan có thể, đưa nhiều ví dụ hình vẽ cụ thể để minh hoạ cho khái niệm kiện đề cập tới luận văn Hy vọng tác giả luận văn có dịp làm quen với lớp hàm lồi khác nhiều ứng dụng phong phú chúng lý thut vµ thùc tiƠn 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tµi liƯu tham kh¶o TiÕng ViƯt [1] T V ThiƯu (2003), Cơ sở giải tích lồi, Bài giảng lớp cao học, Viện Toán học Hà Nội [2] T V Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Hµ Néi TiÕng Anh [3] J Tiel (1984), Convex Analysis - An Introductory Text, John Wiley and Sons, Toronto - Singapore [4] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston/ London/ Dordrecht TiÕng Nga 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn