GIÁO TRÌNH LOGIC HỌC

Giáo trình Logic học CHƯƠNG I PHÁN ĐỐN VÀ CÁC PHÉP LOGIC §1 PHÁN ĐỐN VÀ PHỦ ĐỊNH CỦA PHÁN ĐỐN 1.1 Phán đốn câu Phán đốn khái niệm logic học Phán đoán diễn đạt dạng ngôn ngữ thành câu phản ánh tính hay sai thực tế khách quan Câu phản ánh thực tế khách quan đúng, gọi phán đoán gọi phán đoán nhận giá trị chân lý Câu phản ánh thực tế khách quan sai, gọi phán đoán sai gọi phán đoán nhận giá trị chân lý sai Logic học, mà phán đoán nhận hai giá trị chân lý trên, gọi logic lưỡng trị Trong giáo trình xét logic lưỡng trị mà thơi Ví dụ phán đoán đúng: Dây đồng dẫn điện Tác giả truyện Kiều Nguyễn Du Số số nguyên tố Ví dụ phán đóan sai: Paris thủ đô nước Anh Tác giả tác phẩm Chinh Phụ ngâm Bà Huyện Thanh Quan Số 12 số nguyên tố Phán đoán diễn đạt dạng ngôn ngữ thành câu, câu phán đoán Chẳng hạn câu sau Bông hoa đẹp quá! Phải tập trung họp Chủ nhật bạn có chơi khơng? Những câu cảm thán, mệnh lệnh, câu hỏi thường không diễn đạt phán đốn Vì nội dung khơng chuyển tải tính hay sai thực tế Tuy nhiên câu hỏi tu từ lại diễn đạt phán đoán “Ớt ớt chẳng cay” phán đốn đúng, nội dung nói lên tính chất cay trái ớt Thơng thường người ta dùng chữ A, B, C,… để ký hiệu phán đốn Tính hay sai phán đoán ký hiệu Đ (hoặc 1) hay S (hoặc 0) Ví dụ: A=” Tác giả truyện Kiều Nguyễn Du” phán đóan Ký hiệu: A=Đ=1 P=” Tác giả truyện Quan Âm Thị Kính Nguyễn Du” phán đóan sai Ký hiệu: P=S=0 Hai phán đóan gọi có giá trị chân lý Với định nghĩa hai phán đóan sau nhau, nội dung không liên quan đến Ta gọi hai phán đóan hai phán đóan tương đương logic A = “Truyện Quan Âm Thị Kính truyện thơ xuất dân gian, mà chưa rõ tác giả” B = “2+2=4” Chúng hai phản ánh thực tế khách quan Ta viết A=B Chúng ta ý đến phán đốn có nội dung tương đương logic với Nguyễn Đình Tùng 1.2 Liên từ logic phán đốn: Từ khơng, từ và, từ hay (hoặc), … …, v.v… gọi liên từ logic phán đốn Phán đốn khơng có liên từ logic gọi phán đoán đơn Phán đoán có liên từ logic gọi phán đốn phức Chẳng hạn phán đoán: “số số nguyên tố” phán đoán đơn Phán đoán “số số nguyên tố số chẵn” phán đốn phức 1.3 Phủ định phán đóan Cho phán đóan P Phủ định phán đóan P phán đóan, ký hiệu ∼ P , có nội dung giá trị chân lý ngược lại với P Ví dụ: P = ” Tác giả truyện Quan Âm Thị Kính Nguyễn Du” (S) Phủ định P ∼ P =” Không phải tác giả truyện Quan Âm Thị Kính Nguyễn Du” (Đ) Q=” 3+4=7” (Đ) Phủ định phán đóan Q phán đóan ∼ Q = "3 + ≠ 7" (S) Giá trị chân lý P ∼ P cho bảng sau: P Đ S ∼P S Đ Phủ định phán đóan P diễn đạt nhiều cách khác Chẳng hạn phán đóan P có cách phủ định sau: ∼ P = ”Tác giả truyện Quan Âm Thị Kính khơng phải Nguyễn Du” ∼ P = ”Nói tác giả truyện Quan Âm Thị Kính Nguyễn Du sai” Bây thử xét phán đóan phủ định phán đóan ∼ P Khi ∼ (∼ P ) là: ”Nói tác giả truyện Quan Âm Thị Kính khơng phải Nguyễn Du nói sai” Điều có nghĩa “Tác giả truyện Quan Âm Thị Kính Nguyễn Du” = P Q = ” 3+4=7” hay là: ” cộng 7” ∼ Q = "3 + ≠ 7" = ” cộng không 7” Phủ định phán đóan ” cộng khơng 7” là: ∼ (∼ Q) =”Không thể cộng không 7” Không thể cộng không 7, tức cộng Tóm lại, qua hai ví dụ ta có ∼ (∼ P ) = P Điều không cho hai ví dụ mà cho phán đóan Thật thấy kết qủa bảng giá trị chân lý sau: P Đ S ∼P S Đ ∼ (∼ P) Đ S Vậy, ∼ (∼ P ) = P (không phải không P P) Trong ngôn ngữ ngày P khơng P thường dùng tình khác có ý nghĩa khác P thường dạng khẳng định, không P thường muốn, mặt khẳng định P, mặt muốn bác bỏ ý kiến khơng chấp nhận P Chẳng hạn: Chúng tơi u hịa bình Điều có nghĩa ta khẳng định chân lý “Chúng tơi u hịa bình” Cịn nói: “Khơng phải chúng tơi khơng u hịa bình” ta muốn bác bỏ ý kiến nói khơng u hịa bình Một mặt muốn khẳng định u hịa bình Trong logic mà phán đốn nhận hai giá trị chân lý (gọi logic lưỡng trị) ta coi hai câu Giáo trình Logic học §2 HỘI VÀ TUYỂN CỦA CÁC PHÁN ĐOÁN 2.1 Phép hội 2.1.1 Phép hội liên từ logic “và”: Hội hai phán đóan P; Q phán đóan “P Q” có giá trị chân lý cho bảng sau: P Đ Đ S S Q Đ S Đ S P Q Đ S S S Ký hiệu “ P Q” P ∧ Q PQ Ví dụ: Cho hai phán đóan sau: P = “Tác giả truyện Kiều Nguyễn Du” (Đ); Q = ”Tác giả Bình Ngơ Đại Cáo Nguyễn Trãi” (Đ) Khi phán đóan hội là: P ∧ Q = ”Tác giả Truyện Kiều Nguyễn Du tác giả Bình Ngơ Đại Cáo Nguyễn Trãi” Ta thấy phán đóan đúng, P; Q Xét hai phán đoán: A = “37” (S) Khi phán đốn hội A ∧ B = “3 nhỏ lớn 7” Ta thấy phán đốn sai, A cịn B sai Như thành lập phán đóan hội việc nối từ vào hai phán đóan Tuy nhiên ta lược bỏ bớt số từ trùng lặp ”Tác giả Truyện Kiều Nguyễn Du tác giả Bình Ngơ Đại Cáo Nguyễn Trãi” = ” Tác giả Truyện Kiều Nguyễn Du Bình Ngơ Đại Cáo Nguyễn Trãi” 2.1.2 Những liên từ khác có ý nghĩa phép hội Trong ngôn ngữ tự nhiên phép hội diễn đạt số từ như: đồng thời, nhưng, mà, song, vẫn, cũng, cịn… chí dấu phẩy Tác giả truyện Kiều Nguyễn Du cịn Bình Ngơ Đại Cáo Nguyễn Trãi Tác phẩm qúa dài hay (Tác phẩm qúa dài tác phẩm hay) “ Áo chàng đỏ tựa ráng pha, Ngựa chàng sắc trắng tuyết in” ( Chinh phụ ngâm) (Áo chàng đỏ tựa ráng pha ngựa chàng sắc trắng tuyết in) “ Vừa tài sắc lại nết na Đồng thời hiếu với mẹ, cha sinh thành” (Truyện Quan Âm Thị Kính) 2.2 Phép tuyển 2.2.1 Phép tuyển liên từ logic “hay”: Tuyển hai phán đóan P; Q phán đóan “P hay Q” có giá trị chân lý cho bảng sau: P Đ Đ S S Q Đ S Đ S P hay Q Đ Đ Đ S Ký hiệu “ P hay Q” P ∨ Q Nguyễn Đình Tùng Ví dụ: Cho hai phán đóan sau: P=“Hơm ngày Chủ nhật”; Q=”Hơm ngày lễ” Khi phán đóan tuyển là: P ∨ Q =” Hôm ngày Chủ nhật hay hơm ngày lễ” Phán đóan có phán đóan P Q Tức “Hôm ngày Chủ nhật” đúng, ”Hôm ngày lễ” đúng, hai Phán đóan sai hai phán đóan P Q sai 2.2.2 Những liên từ khác có ý nghĩa phép tuyển ngôn ngữ tự nhiên Trong ngôn ngữ tự nhiên phép tuyển diễn đạt số từ như: hay, hay là, hoặc… dấu phẩy Một số ví dụ minh họa cho điều “Hôm ngày Chủ nhật hôm ngày lễ” “Phương trình x − x + = có nghiệm x = hay x = ” “Trong chuyến tham quan dài ngày tới đến nơi sau: Vũng Tàu, Đà Lạt, Phan Thiết” Từ hay, ngôn ngữ tự nhiên thông thường dạng câu hỏi “ Khúc đâu đầm ấm dương hòa, Ấy Hồ Điệp, Trang Sinh? Khúc đâu êm xuân tình Ấy hồn Thục Đế, hay Đỗ Quyên? ” (Truyện Kiều, Nguyễn Du) 2.2.3 Phép tuyển chặt liên từ logic “hoặc…hoặc”: Trong ngôn ngữ tự nhiên ngày thường gặp câu như: “ Hoặc cưới cô ấy, tu”, “ Hoặc nghe lời mẹ, khỏi nhà” Những câu người nghe thường hiểu chọn hai ý đặt nội dung câu Trong logic học ta có phép tuyển chặt định nghĩa sau: Tuyển chặt hai phán đóan P; Q phán đóan “hoặc P Q” có giá trị chân lý cho bảng sau: P Đ Đ S S Q Đ S Đ S P Q S Đ Đ S Ký hiệu “hoặc P Q” P + Q Nếu ta ký hiệu P = ”Con cưới cô ấy”; Q=”Con tu” Khi P + Q =“ Hoặc cưới cô ấy, tu” Phán đóan mà cưới không tu, không cưới cô tu Phán đóan mà sai vừa cưới cô vừa tu, không cưới cô mà không tu Từ điều phân tích ta có P + Q = ( P∧ ∼ Q ) ∨ ( ∼ P ∧ Q ) Thật vậy, kết qủa thấy bảng giá trị chân lý sau: Giáo trình Logic học P Đ Đ S S Q Đ S Đ S ∼P S S Đ Đ ∼Q S Đ S Đ P ∧ (∼ Q) S Đ S S (∼ P ) ∧ Q S S Đ S P+Q S Đ Đ S P ∧ (∼ Q ) ∨ ( ∼ P ) ∧ Q S Đ Đ S Phép tuyển mà vừa nói mục 2.2.3 tuyển chặt, khác với phép tuyển nói mục 2.2.1 Chúng ta gọi phép tuyển mục 2.2.1 tuyển không chặt hay tuyển Liên từ logic phép tuyển chặt phép tuyển không chặt đoạn văn nhiều “ hay, hoặc,…”, người đọc (nghe) phân biệt Chẳng hạn: “Tỷ lệ học sinh đậu tốt nghiệp phổ thông trung học năm 2008 76% hay rõ tìm báo tuổi trẻ hay (2) báo niên.” (1) 78%, muốn biết Rõ ràng đây, (1) tuyển chặt, (2) tuyển không chặt Phép tuyển chặt thể dấu phẩy Đoạn thơ sau truyện Quan Âm Thị Kính ví dụ: “ Nếu thiệt có chuyện này, Lịng trần rửa sạch, từ xin chừa,(*) Nếu không mà phải tiếng ngờ, Cũng nên gắng gượng làm ngơ kẻo buồn.” Dấu phẩy ví trí dấu (*) có ý nghĩa phép tuyển hai phán đóan §3 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP HỘI VÀ PHÉP TUYỂN 3.1 Tính giao hốn Trong ngơn ngữ tự nhiên nói “ Bạn An học Văn bạn An học Tóan” nói “ Bạn An học Tóan bạn An học Văn” Nếu nói “Hôm ngày Chủ nhật ngày lễ “ nói “Hơm ngày lễ ngày Chủ nhật“ Tổng quát, phép hội phép tuyển có tính giao hóan Nghĩa ta có cơng thức sau: P ∨ Q = Q ∨ P P ∧ Q = Q ∧ P P + Q = Q + P Trong logic học cơng thức cho phán đóan Để chứng minh công thức cần lập bảng giá trị chân lý Trong ngôn ngữ tự nhiên ngày P ∧ Q Q ∧ P có nội dung khác Chẳng hạn hai câu sau: “ Mùa xuân đến hoa đua nở.” (1) “Những hoa đua nở mùa xuân đến.” (2) Nội dung hai câu khác Câu (1) người nghe hiểu “Mùa xuân mang đến bơng hoa”, cịn phán đóan (2) người nghe hiểu “Những hoa mang theo mùa xuân” 3.2 Tính kết hợp Cho ba phán đóan tùy ý P; Q; R có cơng thức sau: ( P ∨ Q ) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R ) ( P ∧ Q ) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R ) ( P + Q ) + R = P + (Q + R ) Nguyễn Đình Tùng Việc chứng minh cơng thức cần lập bảng giá trị chân lý Chúng ta chứng minh công thức ( P + Q ) + R = P + ( Q + R ) Tính đắn cơng thức thấy bảng giá trị chân lý sau: P Q R P+Q Q+R ( P + Q ) + R P + (Q + R ) Đ Đ Đ Đ S S S S Đ Đ S S Đ Đ S S Đ S Đ S Đ S Đ S S S Đ Đ Đ Đ S S S Đ Đ S S Đ Đ S Đ S S Đ S Đ Đ S Đ S S Đ S Đ Đ S Vì có cơng thức nên thường không phân biệt dấu ngoặc đơn cơng thức Do ta hiểu ( P ∧ Q ) ∧ R = P ∧ ( Q ∧ R ) = P ∧ Q ∧ R Trong ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến hội ba phán đóan (hoặc nữa) thơng thường hiểu công thức P ∧ Q ∧ R Khi hiểu P; Q; R xảy lúc, hay xảy đối tượng… “ Tất Đạt từ lâu sớm dự phần đàm luận bậc trí thức, thường tranh biện với Thiện Hữu với bạn suy tư qn tưởng.” (Câu chuyện dịng sơng, Hermann Hesse) Đọan văn có hình thức cấu trúc logic P ∧ Q ∧ R Đối với người đọc, đọc đọan văn không phân biệt công thức ( P ∧ Q ) ∧ R , hay công thức P ∧ ( Q ∧ R ) , mà thường hiểu là: Tất Đạt dự phần đàm luận bậc trí thức, Tất Đạt thường tranh biện với Thiện Hữu Tất Đạt với Thiện Hữu suy tư quán tưởng Nghĩa ba kiện nói trên, diễn Tất Đạt, tức hiểu theo công thức P ∧ Q ∧ R hóan vị 3.3 Tính phân phối phép hội phép tuyển Cho ba phán đóan tùy ý P; Q; R có cơng thức sau: P ∧ ( Q ∨ R ) = ( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ) = PQ ∨ PR Việc chứng minh công thức cần lập bảng giá trị chân lý Chúng ta mở rộng cơng thức với nhiều phán đóan Trong Tóan học cơng thức vận dụng vào việc giải hệ phương trình, hay bất phương trình x −1 ≥ Ví dụ: Hệ bất phương trình  ( x − 6)( x − 8) ≥ Hệ viết dạng tương đương sau: x ≥ ⇔ ( x ≥ 1) ∧ ( x ≥ ∨ x ≤ ) ⇔ ( x ≥ ∧ x ≥ ) ∨ ( x ≥ ∧ x ≤ )  x ≥ ∨ x ≤ Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ ∨ ≤ x ≤ Trong ngôn ngữ tự nhiên công thức dùng cho trường hợp kiện P đồng thời xảy với kiện Q hay R “ Anh học hay làm xe đạp” Người nghe hiểu là: Anh học xe đạp, anh làm xe đạp 10 Giáo trình Logic học “ Mặt chàng thóang nét trầm tư lúc chàng dạo chơi khu vườn xòai nghe mẹ hát, buổi học với cha, hay chuyện trò người thức giả.” (Câu chuyện dịng sơng, Hermann Hesse) Đọan văn có hình thức cấu trúc logic P ∧ ( Q ∨ R ∨ T ) Người đọc hiểu là: “ Mặt chàng thóang nét trầm tư lúc chàng dạo chơi khu vườn xòai nghe mẹ hát, mặt chàng thóang nét trầm tư buổi học với cha, mặt chàng thóang nét trầm tư chuyện trò người thức giả.” Cách hiểu hiểu theo công thức PQ ∨ PR ∨ PT Mở rộng ta có ( A ∨ B ) ∧ ( C ∨ D ) = AC ∨ AD ∨ BC ∨ BD Chẳng hạn “Buổi sáng em tham quan A B, buổi chiều tham quan C D” Câu văn có hình thức cấu trúc logic vế trái công thức, người đọc (nghe) thường hiểu theo vế phải Chú ý: Người ta quy ước thực phép logic phán đóan phức hợp theo thứ tự sau: trước tiên phép phủ định, kế phép hội cuối phép tuyển Hiển nhiên, phép tóan đại số phải ưu tiên ngoặc đơn ( ) trước 3.4 Tính lũy đẳng Với phán đóan P ta ta dễ dàng chứng minh được: P ∧ P = P, P∨ P = P Trong ngôn ngữ tự nhiên ngày có lẽ dùng câu nói như: “Trời mưa hay Trời mưa” Tức dạng công thức P ∨ P dùng Nhưng thường nói “ Trời mưa Trời mưa” , ý muốn nhấn mạnh kiện Trời mưa Ví dụ: “ Đây mùa thu tới, mùa thu tới “ (Xuân Diệu) Dạng công thức P ∧ P = P “ Phận rầu, rầu rầu,” (Xót lịng đeo đẳng lâu lời) (Truyện Kiều, Nguyễn Du) Dạng công thức P ∧ P ∧ P = P Hình thức P ∨ P = P ta gặp ví dụ: “Phương trình x − x + = có nghiệm kép x = ” viết rút gọn “Phương trình x − x + = có nghiệm x = ∨ x = ” 3.5 Các cơng thức De Morgan Cho hai phán đóan tùy ý P; Q có cơng thức sau: ∼ ( P ∨ Q ) =∼ P ∧ ∼ Q ∼ ( P ∧ Q ) =∼ P∨ ∼ Q Việc chứng minh công thức lập bảng giá trị chân lý Chúng ta mở rộng cơng thức với nhiều phán đóan Sau vài ví dụ áp dụng công thức De Morgan Nếu biết nghiệm phương trình x − x + = x = ∨ x = Khi x làm cho biểu thức x − x + khác x ≠ ∧ x ≠ 11 Nguyeãn Đình Tùng “ Khơng có chuyện em bé tuổi biết đọc thông thạo viết văn trôi chảy được” Người nghe câu hiểu “Em bé tuổi đọc không thông thạo viết văn không trôi chảy” “ Trước, sau thấy bóng người” ( Truyện Kiều) Người đọc câu hiểu: trước khơng có người sau khơng có người, tức áp dụng công thức ∼ ( P ∨ Q ) = ∼ P ∧ ∼ Q Và dấu phẩy câu thơ có ý nghĩa phép tuyển §4 PHÉP KÉO THEO 4.1 Phép kéo theo liên từ logic “ … thì” Cho hai phán đóan P; Q Phép kéo theo hai phán đóan, theo thứ tự P; Q phán đóan “ Nếu P Q” có giá trị chân lý cho bảng sau P Đ Đ S S Q Đ S Đ S Nếu P Q Đ S Đ Đ Ký hiệu phán đóan “ Nếu P Q” P ⇒ Q hay P → Q Ví dụ: Đặt P=”có lửa” Q=”có khói” Khi phán đóan P ⇒ Q =“ Nếu P Q” là: “ Nếu có lửa có khói” Phán đóan sai thật có lửa (P đúng) mà lại khơng có khói (Q sai) Điều hợp lý Phán đóan trường hợp cịn lại Nếu P=“có lửa” Q=”có khói” đúng, phán đóan “ Nếu có lửa có khói” Nếu P=“có lửa” sai Q=”có khói” sai, phán đóan “ Nếu có lửa (sai) có khói (sai)” Nếu P=“có lửa” sai Q=”có khói” đúng, phán đóan “ Nếu có lửa (sai) có khói (đúng)” xem Chẳng hạn khói xuất từ phản ứng hóa học Trong phán đóan P ⇒ Q =“ Nếu P Q”, P gọi tiền đề Q gọi hậu đề Phán đóan kéo theo khơng giống phép hội hay phép tuyển hai phán đóan, phép kéo theo khơng có tính giao hóan Chẳng hạn ta xét phán đóan “nếu Trời mưa đường phố ướt” Ta thấy có Trời mưa hiển nhiên đường phố ướt Nhưng phán đóan “nếu đường phố ướt Trời mưa” lúc Nghĩa P⇒Q≠Q⇒P 4.2 Phán đóan đảo Phán đóan “nếu Q P” gọi phán đóan đảo phán đóan “nếu P Q” Ví dụ: P=”Tứ giác ABCD hình thang cân”; Q=”Tứ giác ABCD có hai đường chéo nhau” Khi phán đóan P ⇒ Q “Nếu tứ giác ABCD hình thang cân tứ giác ABCD có hai đường chéo nhau” Phán đóan đảo Q ⇒ P “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo tứ giác ABCD hình thang cân” Trong trường hợp khơng phải lúc hai phán đóan Hiển nhiên 12 Giáo trình Logic học P=”Hàm số f có đạo hàm x=a”; Q=” Hàm số f liên tục x=a” Khi phán đóan P ⇒ Q “Nếu hàm số f có đạo hàm x=a f liên tục x=a” Phán đóan Phán đóan đảo Q ⇒ P “Nếu f liên tục x=a f có đạo hàm x=a” Phán đóan sai Trong ngơn ngữ tự nhiên câu nói “Nếu có dấu chân bãi biển có người qua đây” Cịn câu nói “Nếu có người qua bãi biển phải để lại dấu chân” lúc Nhưng nói “Nếu khơng có người qua bãi biển khơng có dấu chân để lại” hịan tịan 4.3 Phán đóan phản đảo Phán đóan “nếu khơng Q khơng P” gọi phán đóan phản đảo phán đóan “nếu P Q” Hơn ta có cơng thức sau: P ⇒ Q =∼ Q ⇒∼ P Như P ⇒ Q (hoặc sai) ∼ Q ⇒ ∼ P (hoặc sai) Do nói “nếu P Q” hay nói “nếu khơng Q khơng P” tương đương logic với Ví dụ: “Nếu hàm số f có đạo hàm x=a f liên tục x=a” tương đương logic với “Nếu f khơng liên tục x=a f khơng có đạo hàm x=a” “Khơng hiệp ý chẳng đến đây; đến tức không không hiệp ý” (Hịang Lê Nhất thống chí, dẫn theo Hịang Chúng, tr 61) “Nếu giặc đánh vũ bảo khơng đáng sợ, đáng sợ giặc gặm nhấm tằm ăn dâu.” (Trần Hưng Đạo, dẫn theo Ngữ văn lớp 8, tập 1, tr 119) 4.4 Những liên từ khác có ý nghĩa phép kéo theo ngơn ngữ tự nhiên Theo GS Hịang Phê, ngơn ngữ tự nhiên phán đóan “nếu P Q” có nhiều cách phát biểu khác sau: Nếu P Q; Nếu mà P Q; Nếu qủa P Q; Giả dụ P Q; Giá P Q; Giá mà P Q; Hễ P Q; Hễ mà P Q; Hễ P Q; Nhược P Q; (mà) P Q; Đã P Q; P Q; P Q; P, Q; P, Q; P, Q; Q, P; Q, qủa P; Q khơng P; v.v… (Dựa theo Hịang Phê, Tuyển tập ngơn ngữ học, tr 152) Hoặc: Khi có P có Q; Có Q có P; Vì có P nên có Q; Có Q có P; Do có P mà có Q; Nhờ có P nên có Q; Có Q nhờ có P; Đã P Q… Hoặc dạng giả định: Phải chi có P có Q; Bao có P có Q; Ước có P có Q… Ví dụ: P Q : “Ở ăn, nết hay, Nói điều ràng buộc, tay già ” (Truyện Kiều, Nguyễn Du) P Q: “Hay nói ầm ĩ, vịt bầu Hay hỏi đâu đâu, chó vện…” (Trần Đăng Khoa) 13 Nguyễn Đình Tùng Vì có P nên có Q: “Vì tằm em phải chạy dâu, Vì chồng em phải qua cầu gió bay.” (Ca dao) Hễ P Q: “Hễ cịn tên xâm luợc đất nước ta, ta phải tiếp tục chiến đấu, qt đi.” (Dẫn theo Hịang Chúng, tr 41) Có Q có P: “Người dừng bước đường du khất để ngồi bên tôi ngủ thiếp rừng.” (Câu chuyện dịng sơng, tr 208) Phải chi có P có Q: “Phải chi ngịai biển có cầu, Để anh giải đọan sầu cho em” (Ca dao) Bao có P có Q: “Bao cho mía trổ bơng, Cho chị có chồng em gặm giị heo” (Ca dao) Ước có P có Q: “Ước gần gũi tấc gang, Giải niềm cay đắng để chàng tỏ hay” (Chinh phụ ngâm) Q không P: “Chiều đến thăm anh Trời mưa”=”Nếu Trời khơng mưa tơi đến thăm anh” “Bệnh khơng thể qua khỏi có thuốc tiên”=”Nếu khơng có thuốc tiên bịnh khơng thể qua khỏi” 4.5 Mối liên hệ phép kéo theo phép tuyển Trước tiên có cơng thức mà việc chứng minh khơng khó khăn ∼ P ⇒Q = P∨Q Trong ngơn ngữ ngày có nhiều câu nói (viết) mà người nghe (đọc) dùng cơng thức Chẳng hạn, câu ca dao sau: “Số khơng giàu nghèo …………… Sinh đầu lịng chẳng gái trai” Hình thức logíc câu ca dao công thức ∼ P ⇒ Q , người nghe (đọc) thường hiểu theo cấu trúc logíc P ∨ Q Tức hiểu “số cô giàu nghèo”; “sinh đầu lòng gái trai” “Học hỏi để không hiểu biết” Hình thức logíc câu văn P ∨ Q Tuy nhiên người đọc hiểu “Nếu không học hỏi khơng hiểu biết”, tức hiểu theo hình thức logíc ∼ P⇒Q 4.6 Phép tương đương Cho hai phán đóan P; Q Phép tương đương hai phán đóan P; Q phán đóan “Nếu P Q Q P” Ký hiệu phán đóan “Nếu P Q Q P” P ⇔ Q , đọc “ P tương đương Q” Theo định nghĩa, rõ ràng ta có: P ⇔ Q = ( P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P ) 14 Giáo trình Logic học Ví dụ: Nếu n số tự nhiên chia hết cho Vậy, n chia hết cho Thật vậy, n chia hết cho n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, kết luận rút n chia hết cho Hoặc rút kết luận n chia hết cho Năm trước anh đến Hà nội Vậy, anh đến Hà nội 2.2 Luật cộng thêm Nếu lấy P làm tiền đề rút kết luận P ∨ Q , với Q phán đóan tùy ý Vậy ta có sơ đồ suy luận: P (11) P∨Q Ví dụ: Năm trước anh đến Hà nội Vậy, anh đến Hà nội anh đến Hà Tây Bất đẳng thức a ≥ a kết luận hợp logic luật cộng thêm 2.3 Luật modus ponens Xuất phát từ hai phán đóan P P ⇒ Q làm tiền đề, kết luận rút Q Sơ đồ suy luận là: P ∧ ( P ⇒ Q) Q Người ta thường viết sơ đồ suy luận dạng sau: P⇒Q P Q P P⇒Q (12) Q Trước tiên chứng minh sơ đồ suy luận, tức chứng minh ( P ∧ ( P ⇒ Q ) ) ⇒ Q phán đóan Thật vậy, kết qủa thấy bảng giá trị chân lý sau: P Q P⇒Q P ∧ ( P ⇒ Q) ( P ∧ ( P ⇒ Q )) ⇒ Q Đ Đ S S Đ S Đ S Đ S Đ Đ Đ S S S Đ Đ Đ Đ Ví dụ: Nếu 97 số nguyên tố 97 khơng có ước số khác ngịai Mà 97 số ngun tố Vậy, 97 khơng có ước số khác ngịai 35 Nguyễn Đình Tùng Đọan văn lập luận viết dạng sơ đồ suy luận: Nếu 97 số ngun tố 97 khơng có ước số khác ngịai 97 số ngun tố Vậy, 97 khơng có ước số khác ngịai (Dạng sơ đồ suy luận (12)) Nếu bạn vượt đèn đỏ bạn phạm luật giao thông Mà bạn vượt đèn đỏ Vậy, bạn phạm luật giao thông Trong ngôn ngữ tự nhiên ngày, người ta thường khơng viết (hay nói) đầy đủ tất tiền đề kết luận lập luận, lý tiết kiệm; tế nhị; điều nói nhiều người biết… Nếu 97 số ngun tố 97 khơng có ước số khác ngịai Vậy, 97 khơng có ước số khác ngịai (Lược bớt phán đóan tiền đề: số 97 số nguyên tố) Nếu bạn vượt đèn đỏ bạn phạm luật giao thông Mà bạn vượt đèn đỏ (Lược bớt kết luận: bạn phạm luật giao thơng) “Vì Cha khơng muốn dị bí mật huynh đệ vắng mặt họ, nói cho Cha nghe cho biết Cha; Daniel, Cha tu viện trưởng con.” (Hermann Hesse, Nhà khổ hạnh gã lang thang,Trí Hải-Vinh Bạch-Lan Nhã; dịch , tr 12) Đọan văn viết đầy đủ viết sau: Khi vắng mặt người khơng nói bí mật họ Bây giờ, khơng có mặt huynh đệ đây, nên Cha khơng muốn nói bí mật huynh đệ Vậy, nói cho Cha nghe cho biết Cha; Daniel, Cha tu viện trưởng Các dịch giả lược bớt tiền đề Khi vắng mặt người khơng nói bí mật họ, xem người đọc biết 2.4 Luật modus tollens Xuất phát từ hai phán đóan P ⇒ Q ∼ Q làm tiền đề, kết luận rút ∼ P Sơ đồ suy luận là: ( P ⇒ Q) ∧ ∼ Q ∼P Người ta thường viết sơ đồ suy luận dạng sau: P⇒Q ∼Q ∼P ∼Q P⇒Q (13) ∼P Ví dụ: Nếu số 1996 chia hết cho 1996 chia hết cho Số 1996 khơng chia hết cho (Vì 1+9+9+6=25 không chia hết cho 3) Vậy, 1996 không chia hết cho 36 Giáo trình Logic học Nếu mùa xn hoa mai nở Bây khơng có mai có bơng Vậy, mùa xuân Những lập luận ngôn ngữ tự nhiên ngày, thông thường người ta lược bớt số phán đóan Chẳng hạn: “… Nhưng anh Tất Đạt, xin lỗi anh, trông anh không giống khất sĩ chút Anh mặc áo quần người giàu có, mái tóc đầy hương anh khơng phải tóc khất sĩ hay Sa môn.” (Hermann Hesse – Câu chuyện dịng sơng, tr 146) Đọan văn lược bớt phán đóan làm tiền đề: “Là khất sĩ hay Sa mơn tóc khơng có hương hay áo quần khơng phải người giàu có” 2.5 Luật lựa chọn (hay tam đọan luận tuyển) Xuất phát từ hai phán đóan P ∨ Q ∼ P làm tiền đề, kết luận rút Q Sơ đồ suy luận là: ( P ∨ Q) ∧ ∼ P P∨Q ∼P (14) Q Q Luật lựa chọn hay tam đọan luận tuyển xem hệ qủa luật modus ponens Thật vậy, ta có P ∨ Q = ∼ P ⇒ Q Do ( ( P ∨ Q ) ∧ ∼ P ) ⇒ Q = ( ( ∼ P ⇒ Q ) ∧ ∼ P ) ⇒ Q phán đóan Tượng tự ta có sơ đồ suy luận: ( P ∨ Q) ∧ ∼ Q P P∨Q ∼Q P (15) “Hàng hóa tăng giá cung không đủ cầu lạm phát Nhưng vừa qua, hàng hóa tăng giá khơng phải cung khơng đủ cầu Vậy, hàng hóa vừa qua tăng giá lạm phát ” a + b > ⇒ b >  a ≤ Suy luận sử dụng sơ đồ lựa chọn Thật vậy, a + b > a > hay b > Mà a ≤ Vậy, b > 2.6 Quy tắc bắc cầu phép kéo theo (hay tam đoạn luận giả định) Xuất phát từ hai phán đóan làm tiền đề P ⇒ Q ; Q ⇒ R , ta rút kết luận P ⇒ R Sơ đồ suy luận là: ( P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ R ) P⇒R Người ta thường viết sơ đồ suy luận dạng sau: P⇒Q Q⇒R (16) P⇒R 37 Nguyễn Đình Tùng Ví dụ: Nếu bạn khơng tham dự khóa học điều khiển xe bạn khơng cấp giấp phép lái xe Nếu bạn không cấp giấy phép lái xe bạn khơng điều khiển xe Vậy, bạn khơng tham dự khóa học điều khiển xe bạn khơng điều khiển xe Sơ đồ (16) có dạng khác sau: P⇒Q Q⇒R P R (17) Nếu bạn qua sơng bạn phải nhờ đị chở Nếu nhờ đị chở bạn phải nghe theo hướng dẫn người lái đò Mà bạn lại qua sông Vậy, bạn phải nghe theo hướng dẫn người lái đị Trong ngơn ngữ tự nhiên ngày, Tam đoạn luận giả định lược số phán đoán Sau ví dụ: “Bao cho mía trổ bơng Cho chị có chồng, em gặm giị heo Giị heo chị để treo, Chị đưa giò mèo, cứng chị ơi!” (Ca dao) Đoạn thơ viết đầy đủ viết: Bao mía trổ bơng, chị có chồng Chị mà có chồng, em có giị heo em gặm Bây mía trổ bơng nên chị có chồng Vậy, em có giị heo để gặm Nhưng thật tiếc, giò heo chị lại để treo (có phải cho chồng?), chị thay giị heo giị mèo, cứng chị ơi! Như đoạn thơ lược số tiền đề để người đọc tự hiểu 2.7 Kết luận rút từ phán đoán phổ biến Từ phán đoán phổ biến ∀x ∈ S , P ( x) ta rút kết luận P (a ) với a ∈ S Sơ đồ suy luận là: ∀x ∈ S , P ( x) P(a) Ta nhận thấy rằng, S hữu hạn sơ đồ suy luận luật rút gọn 2.1 Trong sách logic học dẫn ví dụ kinh điển sau đây: Mọi người phải chết Vậy, ông Socract phải chết Dạng sơ đồ suy luận là: Mọi người phải chết Ơng Socract phải chết Thêm ví dụ: Mn sông chảy biển Sông Cửu Long phải chảy biển 38 Giáo trình Logic học Trong Tốn học áp dụng cơng thức, định lý hình thức suy luận Chẳng hạn bất đẳng thức ( ) 2 −1 − ( ) − + > trường hợp riêng x − x + > 0, ∀x ∈ R §3 MỘT SỐ SUY LUẬN TỪ CÁC PHÁN ĐOÁN A, E, I, O 3.1 Từ trường hợp chung rút trường hợp riêng Mọi sinh viên người thích đọc sách Vậy, có số sinh viên thích đọc sách Mọi sinh viên đèu người khơng thích phải thi lại Vậy, có số sinh viên khơng thích phải thi lại Hai ví dụ minh họa cho sơ đồ suy luận sau: A E I O hay SaM SeM SiM SoM 3.2 Kết luận rút từ việc đổi chổ hai tập hợp Nhận thấy từ phán đốn số hoa cúc hoa có màu đỏ rút phán đốn số hoa có màu đỏ hoa cúc Vậy có sơ đồ suy luận sau đây: SiM M iS 3.3 Tam đoạn luận Tam đoạn luận lập luận gồm có ba phán đốn, có hai phán đốn làm tiền đề kết luận hợp logic rút từ hai phán đoán Như lập luận theo sơ đồ modus ponens hay modus tollens tam đoạn luận Tuy nhiên theo logic truyền thống Aristote người ta đặc biệt quan tâm đến tam đoạn luận mà tiền đề kết luận phán đoán dạng A, E, I, O Cho S, P, M tập hợp tùy ý Từ hai phán đốn dạng A, E, I, O có chứa S, M; P, M làm tiền đề ta rút kết luận cịn có S P Lập luận tạm gọi tam đoạn luận dạng A, E, I, O Có bốn loại hình tam đoạn luận dạng M _P P_M M _P P_M S_M S_P S_M S_P M _S S_P M _S S_P Mỗi loại hình có × × = 64 cách đặt chữ a, e, i, o vào dấu gạch nối Vậy có × 64 = 256 sơ đồ lập luận Nhưng sơ đồ lập luận hợp logic, người ta chứng minh có 19 trường hợp lập luận Chúng ta trình bày trường hợp loại hình 39 Nguyễn Đình Tùng 3.3.1 Các sơ đồ hợp logic loại hình Trong loại hình có sơ đồ hợp logic là: M aP M eP M aP M eP SaM SaP SaM SeP SiM SiP SiM SoP Người ta thường viết tắt AAA, EAE, AII, EIO Ví dụ: Gọi M tập hợp hình chữ nhật, P tập hợp hình bình hành, S tập hợp hình vng M aP SaM SaP Mọi hình chữ nhật hình bình hành Mọi hình vng hình chữ nhật Mọi hình vng hình bình hành Gọi M tập hợp nhà thơ, P tập hợp sinh viên lớp KT2A, S tập hợp người Câu lạc Trúc xanh M eP SaM SeP Mọi nhà thơ sinh viên lớp KT2A Mọi người Câu lạc Trúc xanh nhà thơ Mọi người Câu lạc Trúc xanh sinh viên lớp KT2A Chúng ta chứng minh vài sơ đồ tam đoạn luận Chẳng hạn sơ đồ lập luận M aP SiM SiP Theo cách ký hiệu chương 2, ta có M a P nghĩa ∀x ∈ M , x ∈ P , S i M nghĩa ∃x ∈ S x ∈ M Vậy chứng tỏ có phần tử x ∈ S x ∈ P , tức có kết luận S i P Tương tự bạn đọc chứng minh sơ đồ lại 3.3.2 Các sơ đồ hợp logic loại hình Trong loại hình có sơ đồ hợp logic là: PeM PaM PeM PaM S aM SeP SeM SeP SiM SoP SoM SoP Người ta thường viết tắt EAE, AEE, EIO, AOO Ví dụ: Gọi M tập hợp lồi hoa có gai, P tập hợp loài hoa cúc, S tập hợp loài hoa nở vào mùa thu PeM SiM SoP 40 Mọi lồi hoa cúc khơng có gai Một số hoa nở vào mùa thu có gai Một số hoa nở vào mùa thu hoa cúc Giáo trình Logic học Chúng ta chứng minh sơ đồ lập luận P e M nghĩa ∀x ∈ P, x ∉ M , điều ta suy ∀x ∈ M , x ∉ P S i M nghĩa ∃x ∈ S , x ∈ M Vậy chứng tỏ có phần tử x ∈ S x ∉ P , tức có kết luận S o P 3.3.3 Các sơ đồ hợp logic loại hình Trong loại hình có sơ đồ hợp logic là: M aP M eP M iP M oP M aP M eP M aS SiP M iS SoP M aS SiP M aS SoP M iS SiP M aS SoP Người ta thường viết tắt AAI, EIO, IAI, OAO, AII, EAO Ví dụ: Gọi M tập hợp người viết sách khoa học phổ thơng, P tập hợp người nghiên cứu Tốn học, S tập hợp người viết sách (có sách xuất bản) M oP M aS SoP Một số người viết sách khoa học phổ thông không nghiên cứu Tốn học Mọi người viết sách khoa học phổ thơng người viết sách Có người viết sách khơng nghiên cứu Tốn học Chúng ta chứng minh sơ đồ lập luận M o P nghĩa ∃x ∈ M , x ∉ P , M a S nghĩa ∀x ∈ M , x ∈ S Vậy chứng tỏ có phần tử x ∈ S x ∉ P , tức có kết luận S o P 3.3.4 Các sơ đồ hợp logic loại hình Trong loại hình có sơ đồ hợp logic là: PaM M eS SeP PeM M iS SoP PiM M aS SiP PaM M aS SiP PeM M aS SoP Người ta thường viết tắt AEE, EIO, IAI, AAI, EAO Ví dụ: Gọi M tập hợp người học logic học, P tập hợp người nghiên cứu Tốn học, S tập hợp người ngụy biện PaM M aS SiP Mọi người nghiên cứu Toán học học logic học Mọi người học logic học ngụy biện Một số người ngụy biện người nghiên cứu Toán học Thêm ví dụ: Mọi người giàu có người chuyên cần Mọi người chuyên cần đáng khen Vậy, số người đáng khen người giàu có.(sơ đồ lập luận AAI) Chúng ta chứng minh sơ đồ lập luận P a M nghĩa ∀x ∈ P, x ∈ M , M a S nghĩa ∀x ∈ M , x ∈ S Điều chứng tỏ phần tử P phần tử S Vậy chứng tỏ có phần tử x ∈ S x ∈ P , tức có kết luận S i P 41 Nguyễn Đình Tùng 3.4 Phương pháp dùng sơ đồ Ven để nhớ sơ đồ Tam đoạn luận: Để nhớ sơ đồ Tam đoạn luận dùng sơ đồ Ven sau: P a M (tập P tập tập M) P i M (tập P tập M có giao khác rỗng) P e M ( tập P tập M có giao rỗng) P o M ( tập P có phần tử nằm ngồi tập M) Khi để minh họa (chẳng hạn) sơ đồ suy luận PaM M aS SiP hợp logic, thực sau: vẽ tập P chứa tập M, vẽ tập M chứa tập S Khi thấy S tập P có phần chung M §4 MỘT SỐ SUY LUẬN KHÔNG HỢP LOGIC THƯỜNG GẶP 4.1 Suy luận không hợp logic theo sơ đồ: P⇒Q Q P hay P⇒Q Q⇒P Ví dụ sau hai đoạn lập luận khơng hợp logic: Nếu cúp điện đèn không sáng Mà đèn không sáng Vậy, điện bị cúp Hai tam giác có diện tích Vậy, hai tam giác có diện tích 42 Giáo trình Logic học 4.2 Suy luận khơng hợp logic theo sơ đồ: P⇒Q ∼P P⇒Q hay ∼Q ∼ P ⇒∼ Q Ví dụ: Nếu hai góc đối đỉnh Vậy, hai góc khơng đối đỉnh khơng Nếu có dấu chân bờ biển có người qua Mà sáng khơng có dấu chân Vậy, sáng khơng có đến bờ biển Hai đoạn lập luận dễ dàng nhận thấy khơng hợp logic Những lập luận không hợp logic trình bày văn khoa học khơng thể chấp nhận, người ta áp dụng dẫn đến sai lầm thực tế Tuy nhiên văn khơng có tính pháp lý, ngôn ngữ ngày hay dùng sơ đồ lập luận 4.2 Theo GS Hoàng Phê tuyển tập ngơn ngữ học trang 45 đến 47, GS Hồng Phê cho hình thức suy luận P⇒Q ∼ P ⇒∼ Q hay ∼ P ⇒∼ Q P⇒Q suy ý, nói ∼ P ⇒∼ Q người đọc phải hiểu P ⇒ Q Chẳng hạn ngơn ngữ ngày nói chiều Trời khơng mưa tơi dạo Cơng viên Lúc người nghe phải hiểu chiều Trời mưa tơi khơng dạo Cơng viên Sau số ví dụ suy ý tác phẩm văn học “Bao chuối có cành, Cây sung có nụ, hành có hoa, Bao chạch đẻ đa, Sáo đẻ nước, ta lấy mình” (Ca dao) Khi đọc ca dao từ xưa đến hiểu, kiện chuối có cành; sung có nụ; hành có hoa; chạch đẻ đa; sáo đẻ nước khơng có, nên ta khơng thể lấy Mặc dù suy luận khơng hợp logic thực tế nghe người nói bạn biết nên làm Hoặc là: “Bao rau diếp làm đình, Gỗ lim thái mén, lấy ta” (Ca dao) “Hắn chửi người say rượu hát Giá biết hát có lẽ khơng cần chửi Khổ cho khổ cho người, lại khơng biết hát Thì chửi, chiều chửi ” (Nam Cao, Chí Phèo, dẫn theo Hồng Chúng, tr.89) Suy luận là: Nếu biết hát khơng chửi Hắn lại hát Vậy, chửi 43 Nguyễn Đình Tùng Chu Mạnh Trinh tựa cho Truyện Kiều viết: “Giả sử trước, Liêu Dương cách trở, duyên chàng Kim đừng dở việc ma chay, quan lại công bằng, án viên ngoại tỏ tình oan uổng, đâu son phấn năm lưu lạc, đem thân cho thiên hạ mua cười, mà biên thùy cõi nghênh ngang, xui anh hùng cởi giáp…” (Dẫn theo Nguyễn Hiến Lê, Luyện văn, NXB Văn hóa thơng tin, 1993, tr 182) Bạn đọc biết Kim Trọng dở việc ma chay; quan lại không công bằng…dẫn đến Thúy Kiều phải mười lăm năm lưu lạc Từ Hải phải chết oan Như đoạn văn Chu Mạnh Trinh lập luận theo cách suy ý Các hình thức suy ý mà vừa trình bày có tính tham khảo, chúng có giá trị định văn học, mặt logic học lập luận không hợp logic Các văn nội quy; điều luật; giấy tờ chứng có tính pháp lý khơng dùng lập luận §5 LẬP LUẬN HỢP LOGIC VÀ CHỨNG MINH 5.1 Lập luận xem hợp logic? Xuất phát từ tiền đề rút kết luận hợp logic, lập luận gọi lập luận hợp logic Ví dụ: Nếu hơm ngày Quốc tế lao động Cơng nhân làm việc Mà hôm ngày Quốc tế lao động Vậy, Công nhân khơng phải làm việc Nếu phán đốn “Mà hơm ngày Quốc tế lao động” đoạn lập luận hợp logic Vì phán đốn “Nếu hơm ngày Quốc tế lao động Cơng nhân khơng phải làm việc” phán đoán Đoạn lập luận hợp logic dùng sơ đồ suy luận modus ponens Thật điều kỳ diệu, Hoàng tử trở sau bao năm dài biền biệc Tình u hóa giải tất Ngày ấy, mụ dì ghẻ đồng thời Phù thủy độc ác có lời nguyền: “Hồng tử, làm thân cóc xù xì biết nói, người gái xinh đẹp yêu cách chân thành!” Đoạn lập luận theo logic lưỡng trị khơng hợp logic Khi đọc đoạn văn nhận thấy câu nói mụ phù thủy nghĩa “Nếu khơng có người gái xinh đẹp u làm cóc” Nhưng theo cách lập luận hiểu nhờ người gái yêu cóc biết nói mà cóc biến lại làm Hoàng tử Hoàng tử Mọi sinh viên khoa Công nghệ thông tin học Tốn Vậy mà trường Đại học A có số sinh viên khơng học Tốn Cho nên trường Đại học A có số sinh viên khơng phải sinh viên khoa Công nghệ thông tin Đoạn lập luận hợp logic Tam đoạn luận dạng PaM SoM SoP 5.2 Chứng minh ? Chứng minh vấn đề làm cho vấn đề sáng tỏ; rõ ràng mà không không công nhận Chẳng hạn để chứng minh vấn đề “Anh A hơm thứ bảy có đến phịng làm việc” vấn đề chứng minh vào sáng sớm thứ hai Một người lập luận sau: Một, hơm thứ bảy chị B phịng bên cạnh có thấy anh phịng làm việc Hai, sáng chưa vào bàn có dấu văn tay anh Với hai chứng chứng tỏ hơm thứ bảy anh có tới phịng làm việc 44 Giáo trình Logic học Chúng ta nhận thấy người xuất phát từ hai tiền đề sau kết luận “Anh A hơm thứ bảy có đến phòng làm việc” Nếu hai tiền đề kết luận đáng tin Trong văn học lớp phổ thông, chẳng hạn để chứng minh vấn đề “Tập thơ Việt Bắc nhà thơ Tố Hữu tập thơ viết Chủ tịch Hồ Chí Minh” Người viết lập luận cách rõ thơ mà Tố Hữu viết Bác Hồ tập thơ Việt Bắc, số lượng thơ chiếm hầu hết Những chứng minh không xét giáo trình Trong logic lưỡng trị, chứng minh vấn đề GS Hồng Chúng nêu giáo trình logic học phổ thông sau: “Chứng minh phán đoán A vạch rõ A kết luận logic tiền đề đúng” Phán đoán cần chứng minh gọi Luận đề Những tiền đề gọi Luận Kết luận logic hay quy tắc suy luận để có kết luận A gọi Luận chứng Sau số ví dụ Chứng minh “Cây cối khơng có niềm vui; nỗi buồn” Chúng ta lập luận sau: Nếu có tình cảm có cảm giác (như người có tình cảm người có cảm giác; vật chó mèo có tình cảm nên có cảm giác đau đớn…) Mọi cối cảm giác (Mọi cối ta đánh nó, khơng né tránh, khơng kêu than …) Vậy, cối khơng có tình cảm (Ví dụ trích từ: Nghệ thuật tư Pascal ide, tr 190 (không ghi năm nhà xuất bản)) Chứng minh Vì Luận xuất phát từ hai tiền đề Nếu có tình cảm có cảm giác; Mọi cối khơng có cảm giác, kết luận rút theo sơ đồ Tam đoạn luận (Luận chứng): PaM SeM SeP Chứng minh “Tổng ba góc tam giác 180 ” Chúng ta lập luận sau: A y B C x (1) Kéo dài BC đoạn Cx, ta có góc BCx góc bẹt, nên ∠BCx = 180 (2) Kẻ đường thẳng Cy song song với cạnh AB (kẻ theo tiên đề Eulicde) (3) ∠ACy + ∠yCx + ∠C = ∠BCx = 180 (4) Ta có ∠A = ∠ACy (Hai góc so le trong) 45 Nguyễn Đình Tùng (5) ∠B = ∠yCx (Hai góc đồng vị) Ta có hai tiền đề là: ∠A = ∠ACy ∠B = ∠yCx (6) Vậy, ∠A + ∠B + ∠C = ∠ACy + ∠yCx + ∠C (7) Vậy, ∠A + ∠B + ∠C = ∠ACy + ∠yCx + ∠C = ∠BCx = 180 Đây điều phải chứng minh Nhận xét: Các dịng (1); (2); (3) xây dựng tổng ∠ACy + ∠yCx + ∠C = 180 Dòng (4); (5) hai phán đoán đúng, hai phán đoán nhằm đưa hai góc A; B lại gần góc C tức để sử dụng kết dòng (3) Kết dịng (6) thay Dịng (7) đoạn lập luận để chứng minh vấn đề, sử dụng quy luật đồng Trong trình chứng minh định lý luận khơng có sẵn mà phải xây dựng nên Các luận vừa xây dựng mà không khơng cơng nhận Luận chứng quy luật đồng hiển nhiên quy luật suy luận hợp logic Hai ví dụ mà vừa xét chứng minh mà gọi chứng minh trực tiếp Sau nói thêm chứng minh gián tiếp 5.3 Chứng minh gián tiếp Bạn đọc nhớ thơ Đất nước nhà thơ Nguyễn Đình Thi có hai câu thơ: “Người đầu khơng ngoảnh lại, Sau lưng thềm nắng rơi đầy” Hai câu thơ thường phân tích là: Những người trai Hà nội chiến đấu có vẽ dững dưng (đầu khơng ngoảnh lại), lịng ln u q hương Chúng ta chứng minh nhận định lập luận sau đây: Nếu người khơng u q hương họ khơng nghĩ đến q hương Mà người trai có nghĩ đến quê hương (Sau lưng thềm nắng rơi đầy) Vậy họ phải yêu quê hương Lập luận sử dụng sơ đồ suy luận modus tolent Lập luận chứng minh gọi chứng minh gián tiếp Với tiền đề P kết luận Q cần chứng minh Ta giả sử khơng có Q đến khơng có P Nói cách khác sơ đồ chứng minh sơ đồ suy luận modus tolent P⇒Q ∼Q ∼P Ví dụ: Chứng minh số n số chẵn n số chẵn Ở giả thiết P = “ n số chẵn” kết luận cần chứng minh Q = “n số chẵn” Chúng ta lập luận sau: Giả sử khơng có Q, nghĩa n khơng số chẵn Khi phải có số nguyên k cho n = 2k + Từ n = ( 2k + 1) = 4k + 4k + , hay viết dạng ( ) n = 2k + 2k + = 2m + Điều chứng tỏ n số chẵn Vậy, điều cần chứng minh Để chứng minh vấn đề Q cách chứng minh gián tiếp lập luận sau: Giả sử khơng có Q từ phán đoán ∼ Q lập luận hợp logic đến phán đoán sai R ∧ ∼ R , kết luận Q Điều hợp logic q trình lập luận viết lại sơ đồ sau: ∼ Q ⇒ R∧ ∼ R 46 Giáo trình Logic học Phán đốn ∼ Q ⇒ R ∧ ∼ R (nếu trình lập luận hợp logic) R ∧ ∼ R sai Vậy, theo phép kéo theo ∼ Q phải sai Tức Q Bài toán “Chứng minh số vơ tỷ” ví dụ kinh điển phương pháp chứng minh m n Khi m = 2n , điều chứng tỏ m số chẵn Theo ví dụ ta có m số chẵn, tức m viết m=2.k Từ đẳng thức m = 2n suy n số chẵn Do vậy, phân số ước giản n cho 2; tức phân số tối giản Tóm lại, từ phán đốn: “ khơng số vơ tỷ” ta lập luận m m hợp logic có hai phán đốn “phân số tối giản” “phân số khơng tối giản” Đây n n điều phải chứng minh Thật vậy, giả sử không số vô tỷ, tức viết dạng phân số tối giản 5.4 Một phương pháp chứng minh vấn đề cách dùng Tam chi tác pháp nhân minh học Nhân minh học môn học lý luận có từ sớm Ấn Độ A Kaspada Gautama; Người Trung Quốc dịch Túc Mục Tiên Nhơn, tổng kết, vào khoảng kỷ hay trước Công nguyên Sau Phật giáo tiếp thu phát triển hệ thống Kinh - Luận Mơn học phân tích vấn đề chi tiết, bạn đọc tìm đọc số Kinh – Luận Phật giáo Nói vắn tắt Nhân minh học có ba phần: Tơn: vấn đề nêu cần làm sáng tỏ Nhân: nguyên nhân lý để có Tơn Dụ: tỷ dụ, mượn vật để thấy, để biết làm tỷ dụ để làm chứng cho Nhân Từ sáng tỏ phần Tơn Ví dụ: Mọi người phải chết (Tơn) Bởi khơng có tai nạn già phải chết (Nhân) Cũng động vật khác, già phải chết (Dụ) Bài tập 3.1 Cho biết lập luận sau dùng quy tắc suy luận nào? Lập luận có hợp logic khơng? a) Nếu ≤ x ≤ x ≥ b) Hiển nhiên > , ≥ c) Nếu số nguyên tố khơng có ước thật Mà 2010 có ước thật sự, 2010 số nguyên tố d) Bạn An học giỏi mơn Tốn Do bạn An học giỏi mơn Tốn mơn Lý e) Bạn An học giỏi tất môn học Vậy bạn học giỏi Tốn f) Nếu Trời mưa tơi khơng dạo Công viên Mà Trời mưa, không dạo Công viên g) Nếu chiều thứ bảy mà Trời mưa khơng cắm trại Nếu chiều thứ bảy không cắm trại sáng Chúa nhật sớm Vậy thì, chiều thứ bảy Trời mưa sáng Chúa nhật cắm trại sớm 3.2 Cho biết phán đoán lược lập luận sau, xét xem lập luận có hợp logic khơng? a) Nếu bạn 18 tuổi bạn khơng đăng ký kết hôn Mà bạn 18 tuổi b) Tôi suy nghĩ, tồn (Rene Descarter) c) Học kỳ vừa An không xếp loại giỏi Vì loại giỏi điểm mơn Tốn môn Văn An phải điểm d) Nếu Bệ Hạ muốn hàng, xin chém đầu thần (Trần Quang Khải) 47 Nguyễn Đình Tùng 3.3 Chứng minh quy tắc suy luận sau hợp logic: P+Q ~P Q Áp dụng: Tìm phán đốn lược lập luận sau: “Hoặc cưới cô Ba tu, nhận thấy tu được.” 3.4 Chứng minh quy tắc lựa chọn xem hệ quy tắc modus ponens 3.5 (Dẫn theo Nguyễn Đức Dân, Logich Tiếng Việt) Trong buổi tiệc người chủ mời nhiều khách đến dự Tiệc khai mà số người chưa đến đủ Lúc chủ vơ tình lại nói lớn: “Người cần đến khơng đến” Vừa nói xong câu số người bỏ mà khơng chào chủ Ơng chủ tiệc hoảng q lại nói: “Người khơng nên lại đi” Vừa nói xong câu số người lại hết, trừ bạn thân Ông lại Ông bạn thấy đến nói: “Khách khứa mà anh ăn nói khơng cẩn thận để người ta hết” Ơng chủ lại nói tiếp: “Những lời tơi nói lúc nảy đâu có ý nói người vừa đâu!” Sau người bạn đứng bên Ông bỏ a) Theo bạn người sau câu nói thứ suy luận theo sơ đồ nào? b) Theo bạn người sau câu nói thứ hai suy luận theo sơ đồ nào? c) Theo bạn người bạn thân sau câu nói thứ ba suy luận theo sơ đồ nào? 3.6 (Bài tập - Hồng Chúng) Tìm phán đoán lược lập luận sau, xét xem lập luận có hợp logic khơng? a) Anh người trung thực, tin anh b) Bệnh chữa khỏi, có thuốc tiên c) Anh mà làm việc tơi đằng đầu d) Người già khó tính, mà chị già đâu e) “Muốn xây dựng chủ nghĩa xã hội phải làm gì? Nhất định phải tăng gia sản xuất cho nhiều Muốn sản xuất nhiều phải có nhiều sức lao động Muốn có nhiều sức lao động phải giải phóng sức lao động phụ nữ” (Hồ Chí Minh) 3.7 (Bài tập - Hồng Chúng) Tìm quy tắc suy luận đoạn văn sau K Marx “Do có lực lượng sản xuất mới, loài người thay đổi phương thức sản xuất mình, thay đổi phương thức sản xuất, cách làm ăn mình, lồi người thay đổi tất quan hệ xã hội Cái cối xay quay tay đưa lại xã hội có lãnh chúa, cối xay chạy nước đưa lại xã hội có tư cơng nghiệp” 3.8 Tìm kết luận hợp logic rút từ hai phán đoán làm tiền đề (suy luận cách dùng Tam đoạn luận) a) “Mọi động vật ăn thịt dữ” “Một số lồi chó ăn thịt” b) “Mọi động vật sống nước biết bơi” “ Một số lịai gấu khơng biết bơi” c) “Mọi người giàu có người chuyên cần ” “ Mọi người chuyên cần người đáng khen” d) “Một số sinh viên thích học mơn logic” “Mọi sinh viên người nghiên cứu khoa học” e) “Khơng sinh viên thích lại lớp” “Nhiều người quanh sinh viên” 3.9 (Bài tập - Hoàng Chúng) Hai anh chàng, anh học trị, anh nơng dân, hai chơi với bố vợ Đang đường, nghe tiếng ngỗng kêu, ông bố hỏi: Tại tiếng to nhỉ? Anh học trị đáp: “Cổ dài kêu to” Anh nơng dân bẻ lại: “Thế ễnh ương, cổ có dài đâu mà kêu to?” 48 Giáo trình Logic học Đi quãng đường nữa, thấy vịt bơi ao, bố vợ hỏi: Tại lại nhỉ? Anh học trị đáp: “Nhiều lơng thịt nổi” Anh nơng dân bẻ tiếp: “Thế thuyền có lơng có thịt đâu mà nổi?” Hãy giúp anh học trị cải lại anh nơng dân 3.10 Xét xem lập luận sau có hợp logic khơng “Bảo cách trở đị ngang, Khơng sang đường sang đành Nhưng cách đầu đình, Có xa xơi mà tình xa xơi.” (Lỡ bước sang ngang, Nguyễn Bính) TÀI LIỆU THAM KHẢO TRÍCH DẪN Hồng Chúng: Logic học phổ thơng, NXB Giáo dục, năm 1994 Nguyễn Đức Dân: Logich Tiếng việt, NXB Giáo dục, năm 1998 Hồng Phê: Tuyển tập Ngơn ngữ học, NXB Đà Nẵng, năm 2007 Lê Tử Thành: Tìm hiểu Logich học, NXB Trẻ, năm 1993 Kenneth H Rosen: Toán học rời rạc ứng dụng Tin học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, năm 2000 Hermann Hesse: Câu chuyện dịng sơng, NXB Hội nhà văn, không ghi dịch giả, Nhật Chiêu viết lời giới thiệu, năm 1999 Câu chuyện dịng sơng, NXB Văn hóa Sài gòn, Phùng Khánh; Phùng Thăng dịch, Thái Kim Lan giới thiệu, năm 2008 (Nguyên tác Siddhartha) Hermann Hesse: Nhà khổ hạnh Gã lang thang, Trí Hải; Vinh Bạch; Lan Nhã dịch, không ghi năm nhà xuất (Nguyên tác Narziss and Goldmund Có dịch Tiếng Việt với tên Đơi bạn chân tình) Ernest Hemingway: Ông già biển cả, Huy Phương dịch giới thiệu, NXB Văn nghệ Tp Hồ Chí Minh, năm 2000 Thích Đổng Quán: Nhân Minh luận, Thành hội Phật giáo Tp Hồ Chí Minh xuất bản, năm 1997 10 Thích Trung Hậu, Thích Hải Ấn: sưu tầm giới thiệu tác phẩm Tâm Minh Lê Đình Thám, (tham khảo phần: lược giải Nhân minh nhập chánh lý luận Nhân minh tổng luận) 11 Một số tác phẩm Văn học nhà trường: Truyện Kiều; Lục Vân Tiên; Chinh Phụ ngâm; Quan Âm Thị Kính; v.v… 12 Nguyễn Hữu Anh: Toán Rời Rạc, NXB Giáo Dục, năm 1999 49