HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN docx

D C B A D C B A D C B A HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN: HÌNH THANG: -) Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song. AB//CD ABCD là hình thang  hoặc (AB//CD,AD//BC) AD//BC Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đường trung bình 2. Định lí (về đường trung bình) AB//CD  PQ//AB và PQ = 2 CDAB  HÌNH THANG CÂN 1. Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau. 2. Tính chất: Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Hình thang ABCD (AB//CD) :  BC= AD Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau. Hình thang ABCD(AB//CD) :  AC = BD Định lí 3 :(đảo của định lí 2) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. 3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang đó có một trong các tính chất sau : 1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa). 2) Hai đường chéo bằng nhau. Ví dụ 4 : D E O K L B C A Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng : BC < EK. Giải : Lấy trên AB một điểm L sao cho AL = AK Lấy trên AC một điểm D sao cho AD = AE Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đường chéo bằng nhau. DL = EK (1) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo DL và EK, ta xét tổng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có : 2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) Nhưng trong tam giác OKL, ta có : OK + OL > LK (3) Trong  DEO : EO + OD > ED (4) Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5) Từ giả thiết AE + AK = AB + AC Suy ra BE = CK Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên BE = CK Vậy DC = CK. Tương tự, ta cũng chứng minh được B là trung điểm của EL. Từ đó, BC ;là đường trung bình của hình thang DELK, suy ra : LK + ED = 2BC (6) Từ (5) và (6), ta có : EK > BC ( đ p c m). Ví dụ 5 : Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vuông góc. Biết đường cao AH = h, Tính tổng hai đáy. Giải : O E D H C B A Vẽ AE// BD (E  CD). Vì AC  BD (gt) nên AC  AE (quan hệ giữa tính song song và vuông góc). Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn) AC = BD (tính chất đường chéo hình thang cân)Suy ra AC = AE ; V AEC vuông cân tại A ; đường cao AH cũng là trung tuyến, do đó AH = 1 1 EC (AB CD) 2 2   hay AB + CD =2h. Nhận xét: Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đường phụ ta có thể : - Từ một đỉng vẽ đường thẳng song song với một đường chéo (như ví dụ trên). - Từ một đỉnh vẽ một đường thẳng song song với một cạnh bên. - Từ một đỉnh vẽ thêm một đường cao. Ví dụ 6 : 2 1 2 1 A D H C B K Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và µ µ 0 A C 180   . Chứng minh rằng a) Tia DB là tia phân giác của góc D. a) Tứ giác ABCD là hình thang cân. Giải : a) Vẽ BH  CD, BK  AD. Ta có ¶ µ 1 A C  (cùng bù với ¶ 2 A ) do đó  BHC =  BKA(cạnh huyền, góc nhọn), suy ra BH = BK. Vậy DB là tia phân giác của góc D. b) Góc 1 A là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên ¶ ¶ ¶ · 1 1 1 A 2D A ADC AB//CD     (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có · µ 1 ADC C  (vì cùng bằng ¶ 1 A ) nên là hình thang cân. Nhận xét : Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trước tiên phải chứng minh tứ giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghĩa) hoặc hai đường chéo bằng nhau. Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh được AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang có hai cạnh bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 5: Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đường chéo AC là phân giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang. Bài tập 6 : Chứng minh rằng trong một hình thang đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên kia. Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC . Chứng minh rằng nếu E F = 2 ABCD  thì tứ giác ABCD là hình thang. Bài tập 8: Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân. Bài tập 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB +AC Chứng minh rằng : BC < EK . . 2 CDAB  HÌNH THANG CÂN 1. Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau. 2. Tính chất: Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Hình thang ABCD. D C B A D C B A D C B A HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN: HÌNH THANG: -) Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song. AB//CD ABCD là hình thang  hoặc (AB//CD,AD//BC). Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau. Hình thang ABCD(AB//CD) :  AC = BD Định lí 3 :(đảo của định lí 2) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân.