1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN docx

12 1,8K 24

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 111,14 KB

Nội dung

Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN *) Khái niệm chung tứ giác: +) Định nghĩa : a) Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng A, B, C, D đỉnh ; AB, BC, CD, DA cạnh Ta xét tứ giác đơn cạnh cắt đỉnh Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề (cùng nằm cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau) Đường chéo tứ giác đoạn thẳng nối hai đỉnh đối Trong tập hợp , điểm mặt phẳng chứa tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm tứ giác, điểm tứ giác b) ABCD tứ giác lồi  ABCD thuộc nửa mặt phẳng với bờ đường A thẳng chứa cạnh B Tứ giác (đơn) khơng lồi tứ giác lõm Trong hình, ABCD tứ giác lồi D C Định lí: Tổng gọc tứ giác 3600 *) Tìm hiểu sâu tứ giác giác lồi: Định lí : Trong tứ giác lồi , hai đường chéo cắt Đảo lại, tứ giác có hai đường chéo cắt tứ giác lồi ABCD lồi  ABCD có hai đường chéo cắt Để chứng minh định lí, cần nhớ lại định lí sau đây: (I) Tia Oz nằm gọc xOy  tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M  Oz, N Oy (II) Néu tia Oz nằm xOy Oz Oy nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz O x nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy (III) Cho tam giác ABC a) Các trung tuyến xuất phát từ điểm A C cắt điểm M Tứ giác ABCM lồi hay khơng lồi? Vì sao? b) M điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh tam giác) Với vị trí điểm M ABCM tứ giác lồi? c) M N hai điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với đỉnh tam giác) Chứng minh năm điểm A, B, M, N, C chọn bốn điểm đỉnh tứ giác lồi B Giải a) ABCM khơng lồi (lõm), B C nằm hai M nửa mặt phẳng đối có bờ chứa AM (h 2a) A b) Kết câu a/ M điểm thuộc miền tam giác ABC Nếu M thuộc miền ngồi ABC có hai trường hợp : - M góc đối đỉnh góc tam giác h 2b, M góc đối đỉnh góc B Dễ thấy lúc đỉng B lại điểm thuộc miền tam giác MAC, AMCB khơng lồi(lõm) C - M góc tam giác hình 2b, M’ nằm góc A Do AM’ tia góc A, mà A M’ nằm hai phía cạnh BC, đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC ABM’C tứ giác lồi Tóm lại, h 2b, miền gạch chéo tập hợp điểm M mà MABC tứ giác lõm Các miền khác (để trắng ) tập hợp điểm M mà M, A, B, C j M đỉnh tứ giác lồi B A M' C c) Đường thẳng qua hai điểm M N không cắt cạnh tam giác ABC Trong h 2c, đường thẳng MN không cắt giác MNCA tứ giác lồi(điểm N thuộc miền B M AC Tứ N tam giác MAC nằm góc MAC) C A H 2a CÁC VÍ DỤ : Ví dụ 1: Chứng minh tứ giác lồi tổng độ dài cạnh(chu vi) lớn tổng độ dài đường chéo nhỏ hai lần tổng độ dài đường chéo *) Nhận xét : Đây toán chứng minh bất đẳng thức độ dài nên kẻ thêm đường phụ, xét tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba” Giải B C o A D Cho tứ giác ABCD(h 7) Ta phải chứng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) 1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta có : AC < AB +BC (bất đẳng thức  ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức  ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức  BCD) BD < BA + AD (bất đẳng thức  BAD) Từ : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chứng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) Trong tam giác ABO CDO, ta có : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Cộng (1) (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tương tự, tam giác BCO ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) (4) ta : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (đpcm) *) Nhận xét: 1) Từ bất đẳng thức (3) (4) ta thấy vế trái tổng hai cạnh tứ giác, vế phải tổng hai đường chéo Vậy phát biểu mệnh đề : “ Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đường chéo” 2) Nếu tứ giác ABCD khơng lồi, hai bất đẳng thức có cịn khơng ? sao? Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD, Tronh AB + BD không lớn AC + C CD B Chứng minh : AB < AC O D Giải Gọi giao điểm AC BD O A Trong tam giác AOB, ta có : AB < AO + OB (1) Trong tam giác COD, ta có : CD < CO + OD (2) Từ (1) (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo giả thiết : AB + BD  AC + CD (4) Từ (3) (4) suy AB < AC.(đpcm) Ví dụ : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi P Q trung điểm hai cạnh AD BC Chứng minh : PQ  DC  AB Gợi ý : B có bất đẳng thức độ dài đoạn A thẳng , nên kẻ đường phụ để có hình tam Q P D F C giác, lại có trung điểm cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí đường trung bình tam giác Giải GT Tứ giác ABCD PA = PD, QB = QC KL PQ  DC  AB CM: Ta kẻ thêm đường chéo AC lấy trung điểm F AC Trong tam giác ACD, PF đường trung bình, : PF = DC Trong tam giác ACD, PF đường trung bình : QF = AB Nếu P,Q F không thẳng hàng tam giác PQF ta có: PQ < PF + QF = DC  AB Nếu P, Q, F thẳng hàng F điểm nằm hai đoạn thẳng PQ ta có : PQ = PF + QF = DC  AB Như trường hợp, ta có : PQ  DC  AB ( đpcm) Nhận xét : Có thể thấy : P, Q, F thẳng hàng  AB//CD Do ta chứng minh : PQ  DC  AB Trong dấu = xảy AB//CD Như vậy, qua việc giải toán trên, ta chứng minh lúc hai định lí: (1) Nếu ABCD hình thang (AB//CD) PQ = CD  AB (2) Nếu ABCD khơng hình thang (AB//CD) PQ  CD  AB DC  AB PQ < 2 CÁC BÀI TẬP : Bài tập 1: Cho A, B, C, D bốn đỉnh tứ giác lồi,E điểm thuộc miền ttam giác OCD, với O giao điểm hai đoạn thẳng AC BD Chỉ tứ giác lồi nhận bốn năm điểm A, B, C, D, E Bài tập 2: Chứng minh từ năm điểm mặt phẳng(khơng có ba điểm thẳng hàng) Bao chọn bốn điểm đỉnh tứ giác lồi Bài tập 3: Chứng minh tứ giác lồi có góc khơng có góc tù Bài tập 4: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC kéo dài gặp E, hai cạnh AB CD kéo dài gặp M Kẻ hai phân giác hai góc CED BMC cắt K tính góc EKM theo góc tứ giác ABCD ...1 Định lí: Tổng gọc tứ giác 3600 *) Tìm hiểu sâu tứ giác giác lồi: Định lí : Trong tứ giác lồi , hai đường chéo cắt Đảo lại, tứ giác có hai đường chéo cắt tứ giác lồi ABCD lồi  ABCD có... j M đỉnh tứ giác lồi B A M'' C c) Đường thẳng qua hai điểm M N không cắt cạnh tam giác ABC Trong h 2c, đường thẳng MN không cắt giác MNCA tứ giác lồi(điểm N thuộc miền B M AC Tứ N tam giác MAC... thấy vế trái tổng hai cạnh tứ giác, vế phải tổng hai đường chéo Vậy phát biểu mệnh đề : “ Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đường chéo” 2) Nếu tứ giác ABCD khơng lồi, hai bất

Ngày đăng: 20/06/2014, 12:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w