ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ KIM NGỌC NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ KIM NGỌC NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HĨA TRONG BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn2 Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Bài toán cân 1.1 Các kiến thức chuÈn bÞ 1.2 Bài toán cân trường hợp riêng Chương Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường giải toán cân 16 2.1 Phương pháp chiếu giải toán cân 16 2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán cân 25 Chương Phương pháp hàm đánh giá 40 3.1 Hàm đánh giá A.Auslender 42 3.2 Hàm đánh gi¸ M.Fukushima 48 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn3 Mở đầu Bài toán cân có nhiều ứng dụng khoa học, kĩ thuật đời sống như: vật lí (đặc biệt học), hoá học, sinh học, quân sự, nông nghiệp, kinh tế, viễn thông Bài toán cân toán tổng quát, bao gồm trường hợp riêng như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù phi tuyến, toán Nash trò chơi hợp tác Do có ứng dụng thực tế rộng rÃi nên việc quy toán cân đưa thuật toán giải toán cân cần thiết Ngày với phát triển nhanh chóng kĩ thuật tin học nên phạm vi khả ứng dụng toán cân ngày mở rộng Luận văn nhằm giới thiệu toán cân số phương pháp hiệu chỉnh cho toán cân Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương trước hết nhắc lại khái niệm kết tập lồi hàm lồi dùng chương sau Tiếp theo giới thiệu toán cân trường hợp riêng Phần coi sở lí thuyết cho phương pháp dùng đến chương sau Chương trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh toán cân bằng, phương pháp chiếu phương pháp đạo hàm tăng cường Chương giới thiệu hai loại hàm đánh giá hàm đánh giá Auslender hàm đánh giá Fukushima Các thuật toán tương ứng với hai loại hàm đánh giá trình bày chi tiết chương Để hoàn thành luận văn này, tác giả đà nhận giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thày Tác giả xin chân thành cảm ơn thày cô Bộ môn toán, Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, bạn học viên lớp cao học toán K1 đà tạo điều kiện thuận lợi, động viên, khích lƯ ®Ĩ ln Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn4 văn hoàn thành Mặc dù tác giả đà cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thày cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 10/2009 Học viên Hoàng Thị Kim Ngäc Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn5 Chương Bài toán cân Chương nhằm giới thiệu số khái niệm kiến thức toán cân trường hợp riêng Trước tiên ta khái quát lại số kiến thức giải tích lồi dùng đến phần luận văn 1.1 Các kiến thức chuẩn bị Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu, phân tích xây dựng thuật toán giải toán cân Mục đích phần nhắc lại số kiến thức giải tích lồi, định lý không chứng minh xem KÝ hiƯu [4] R lµ tËp sè thùc, Rn lµ không gian Euclid n chiều Định nghĩa 1.1.1 [4] Cho hai điểm a, b không gian Euclid n-chiều Rn Đường thẳng qua hai điểm a, b tập hợp điểm x Rn có dạng: x = a + (1 )b, R Đoạn thẳng nối a, b tập hợp tất ®iĨm x Rn cã d¹ng: x = λa + (1 − λ)b = λ(a − b) + b, Định nghĩa 1.1.2 [4] Tập A Rn gọi , chứa trọn đoạn tập lồi thẳng nối hai điểm thuộc Ví dụ 1.1.1 Hình 1.1 cho ta ví dụ đơn giản tập lồi tập không lồi S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn6 (b) (a) H×nh (c) (d) 1.1 (a), (c)- Tập lồi; (b), (d)- Tập không lồi Định lý 1.1.1 [1] Tập lồi đóng với phép giao, phép hợp, phép cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, tập lồi Rn A B hai tập sau cịng lµ tËp låi: a, A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B}, b, αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b B} Định nghĩa 1.1.3 [1] Tập A Rn gọi nón nếu: x A, λ ≥ ⇒ λx ∈ A Mét nãn lu«n chøa ®iĨm gèc ∈ Rn TËp A ⊂ Rn gọi nón lồi A vừa nãn võa lµ tËp låi, tøc lµ λ1 x + λ2 y ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ1 , A Rn điểm x0 clA TËp NC (x0 ) = t ∈ Rn : t, x − x0 ≤ 0, ∀x A Định nghĩa 1.1.4 [4] nón lồi đóng Cho tập lồi nón pháp tuyến cđa A t¹i x0 A ⊆ Rn Vecto d 6= gọi phương lùi xa A với x A có: Định nghĩa 1.1.5 [3] Cho tập lồi khác rỗng {x + d | λ ≥ 0} ⊂ A NhËn xÐt [3] ? Mọi nửa đường thẳng song song với phương lùi xa d xuất phát từ điểm A nằm trọn A Rõ ràng, tập A không bị chặn S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn7 vµ chØ A cã mét ph¬ng lïi xa ? TËp tÊt phương lùi xa tập lồi A Rn vecto tạo thành nón lồi Nón lồi gọi nón lùi xa tập A kí hiệu recA ? Ta nói hai phương d1 d2 khác biệt d1 6= d2 , α > Ph¬ng lïi xa d cđa tËp A gọi phương cực biên A không tồn phương lùi xa khác biệt d1 d2 A cho d Định nghĩa 1.1.6 [1] Một tập hợp giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi Định nghĩa 1.1.7 [1] = λ1 d1 +λ2 d2 , λ1 , λ2 > tËp låi ®a diƯn TËp hay gäi lµ khóc låi B cđa khóc låi A gọi diện A B chứa điểm đoạn thẳng A B chứa đoạn thẳng A Tøc lµ, ∀a, b ∈ A nÕu x = λa + (1 − λ)b ∈ B, < λ < ⇒ a, b ∈ B Mét diÖn có thứ nguyên gọi đỉnh hay điểm cực biên Cạnh diện có thứ nguyên Định lý 1.1.2 [1] a, Mọi tập lồi đa diện không chứa trọn đường thẳng cã Ýt nhÊt mét ®Ønh b, Mäi tËp låi ®a diện A có đỉnh tập hợp điểm x cã d¹ng: X X x= λi v i + βj dj i∈I ®ã, P λi = 1, λi , βj ≥ j∈J víi mäi i∈I ph¬ng cđa cạnh vô hạn i, j vi đỉnh, dj A M, K tập lồi khác rỗng Rn , M K f : K ì K R {+} Khi đó: a, Hàm f đơn điệu mạnh M với số > với cặp §Þnh nghÜa 1.1.8 [5] Cho x, y ∈ M ta cã: f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ k x y k2 b, Hàm f đơn điệu chặt M với x, y M ta cã: f (x, y) + f (y, x) < Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn8 c, Hàm f đơn điệu M với cặp x, y M ta cã: f (x, y) + f (y, x) d, Hàm f giả đơn điệu M với cặp x, y M thì: f (x, y) ≥ ⇒ f (y, x) ≤ Định nghĩa 1.1.9 [4] a, Hàm f hàm lồi xác định tập lồi X Rn , nếu: f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), víi bÊt k× x, y ∈ X vµ sè thùc λ ∈ [0, 1] b, Hàm f hàm lồi chặt tập lồi X , nÕu: f λx + (1 − λ)y < λf (x) + (1 − λ)f (y), víi x, y X, x 6= y λ ∈ (0, 1) c, Hµm f lµ hµm låi mạnh với hệ số > tập lồi X nÕu: f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − β(1 − λ)λ k x − y k2 , víi bÊt kì x, y X (0, 1) d, Hàm f gọi hàm tựa lồi tËp låi X , nÕu víi ∀α ∈ R, tËp møc díi Lα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} lµ tËp låi A vµ g hàm lồi tập lồi B Khi đó, hàm sau hàm lồi tập lồi A ∩ B : a, λf + βg, ∀λ, β ≥ 0, Định lý 1.1.3 [1] Cho f hàm lồi tập lồi b, max(f, g) Định lí 1.1.3 nhìn chung không cho hàm tựa lồi Một hàm lồi không liên tục điểm biên miền xác định Tuy nhiên, lại liên tục điểm tập theo định lí sau: Định lý 1.1.4 [1] Một hàm lồi xác định tập lồi điểm tập A liên tục A S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn9 Định lý 1.1.5 [4] Cho hàm f lồi, khả vi tËp låi A Khi ®ã víi mäi x, y ∈ A cã: f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y x Nếu f lồi chặt, khả vi tập lồi A Khi với x, y ∈ A vµ x 6= y ta cã: f (y) − f (x) > ∇f (x), y − x f lồi mạnh x, y A ta cã: NÕu víi hƯ sè β > 0, kh¶ vi tập lồi A Khi với f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x + k y x k2 Định lý 1.1.6 [1] Cho f hàm lồi, khả vi tập lồi đóng A Một điểm x A nghiệm tối ưu toán quy hoạch lồi: f (x) x∈A vµ chØ nã lµ điểm dừng Từ định lí f A, tức lµ: ∇f (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ A 1.1.5 vµ 1.1.6 cã: nÕu f lµ hµm lồi mạnh tập lồi đóng A toán: f (x) x∈A cã nghiƯm nhÊt f lµ hàm lồi tập lồi A Một vecto y Rn gọi vi phân f t¹i x∗ ∈ A nÕu: f (x) ≥ f (x∗ ) + y ∗ , x − x∗ , x A Định nghĩa 1.1.10 [1] Cho Tập hợp tất điểm y thoả mÃn bất đẳng thức kí hiệu f (x ) f (x ) nhìn chung thường chứa nhiều điểm Trong trường hợp f (x ) chứa điểm ta nói f khả vi x Tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn10 Chương Phương pháp hàm đánh giá Một phương pháp hiệu chỉnh để giải toán cân phương pháp hàm đánh giá Tức là, ta quy việc giải toán cân việc giải toán cực trị Cách tiếp cận theo hàm đánh giá nghiên cứu áp dụng rộng rÃi để giải toán cân Chương trình bày sở lí thuyết thuật toán hiệu chỉnh toán cân theo phương pháp hàm đánh giá Auslender Fukushima Nội dung chủ yếu chương tham khảo [2], [9] Chúng ta xét toán cân bằng: Tìm đó, x K cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K, (1.1) f : K × K → R hàm thoả mÃn f (x, x) = 0, x K Như ta đà biết (chương 1), toán cân (1.1) tương đương với nhiều toán quan trọng khác như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, Bổ đề sau cho ta dạng minimax toán cân (1.1) Bổ đề 3.0.4 [2] Cho f : K×K → R víi f (x, x) = 0, ∀x K Khi đó, mệnh đề sau tương đương: a, x n K cho f (x∗o , y) ≥ 0, ∀y ∈ K b, sup − f (x, y) = x∈K ∗ y∈K c, x ∈ K lµ nghiƯm cđa bµi to¸n: f (x∗ , y) y∈K Chøng minh (a ⇒ b) Theo gi¶ thiÕt ta cã f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ⇒ inf f (x, y) ≤ 0, ∀x ∈ K y∈K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.Lrc-tnu.edu.vn42 ⇒ sup { inf f (x, y)} ≤ y∈K xK Mặt khác, có x K nên ta suy sup { inf f (x, y)} inf f (x∗ , y) x∈K ∗ Theo phÇn y∈K y∈K ∗ a, ta l¹i cã f (x , y) ≥ 0, ∀y ∈ K ⇒ inf f (x , y) ≥ y∈K ∗ ⇒ ≤ inf f (x , y) ≤ sup { inf f (x, y)} y∈K y∈K x∈K ⇒ max { inf f (x, y)} = sup { inf f (x, y)} = x∈K VËy (b y∈K x∈K y∈K {sup[−f (x, y)]} = x∈K y∈K ⇒ a) Do {sup[−f (x, y)]} = x∈K y∈K ∗ ⇒ ∃x ∈ K : sup[−f (x∗ , y)] = {sup[−f (x, y)]} = x∈K y∈K y∈K ∗ ⇒ −f (x , y) ≤ 0, ∀y ∈ K ⇒ f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K (c ⇔ a) Do x∗ ∈ K nghiệm toán f (x , y) y∈K ∗ ∗ ∗ ⇔ f (x , y) ≥ f (x , x ) = (do f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ), ∀y ∈ K ⇔ f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K Nhận xét Theo bổ đề x K nghiệm toán cân (1.1) nghiệm toán tèi u: n o sup − f (x, y x∈K (3.1) y∈K XuÊt ph¸t tõ nhËn xÐt trên, người ta đà đưa khái niệm hàm đánh giá hướng tới việc xây dựng thuật toán hàm đánh giá giải toán cân Định nghĩa 3.0.2 [9] gọi Cho hàm đánh giá K tập đóng Rn Khi đó, hàm g : K R toán cân chØ nÕu: a, g(x) ≥ 0, ∀x ∈ K , b, x∗ ∈ K, g(x∗ ) = ⇔ x∗ nghiệm toán cân Nhận xét ? Từ định nghĩa 3.0.2 ta thấy hàm: g(x) := sup[f (x, y)] (3.2) y∈K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.Lrc-tnu.edu.vn43 lµ hµm đánh giá toán cân (1.1) ? Đối với toán bất đẳng thức biến phân, ta có hàm đánh giá: g(x) := sup T (x), y − x = sup T (x), x y yK hàm đánh giá (3.3) yK (3.3) gọi hàm đánh giá A.Auslender [6] Trong trường hợp tổng quát hàm đánh giá nhìn chung không khả vi Vấn đề xây dựng hàm đánh giá khả vi, liên tục cho toán bất đẳng thức biến phân đà đề xuất M.Fukushima [8] phát triển D.L.Zhu P.Marcotte D.L.Zhu P.Marcotte đà chứng minh rằng: g(x) := max y∈K T (x), x − y − L(x, y) (3.4) hàm đánh giá khả vi, liên tục cho toán bất đẳng thức biến phân, với điều kiện L : K ì K R hàm không âm, khả vi liên tục lồi mạnh tập lồi K theo biến y thoả mÃn: a, L(x, x) = 0, ∀x ∈ K , b, ∇y L(x, x) = 0, ∀y ∈ K Trong trường hợp đặc biệt, L(x, y) := x y, M (x − y) víi M lµ ma trận đối xứng xác định dương cấp n, hàm đánh giá Fukushima [9] 3.1 Hàm đánh giá A.Auslender Nhìn chung, hàm đánh giá Auslender thường không khả vi [9] Do đó, để áp dụng phương pháp hàm đánh giá giải toán cân ta cần điều kiện để hàm đánh giá khả vi liên tục Mệnh ®Ị sau ®©y sÏ ®a ®iỊu kiƯn ®Ĩ mét hàm đánh giá có dạng (3.2) khả vi liên tục cho công thức tường minh để tính đạo hµm cđa nã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun 42 http://www.Lrc-tnu.edu.vn44 MƯnh ®Ị 3.1.1 [2] Gi¶ sư r»ng f (x, ) : K → R hàm lồi mạnh với x K , khả vi với biến x x f (., ) liên tục K ì K Khi đó, g(x) := sup{f (x, y)} yK hàm đánh giá khả vi liên tục toán cân đạo hàm cho công thức: (3.5) g(x) := ∇x f (x, y(x)), ®ã, y(x) := argminy∈K f (x, y) Chøng minh tiÓu Do f (., ) lồi mạnh với biến y , nên tồn điểm cực y(x) toán: f (x, y) yK Theo định lí 4.3.3 B.Bank, ta suy y(x) nửa liên tục x theo nghĩa Berge hàm đơn trị y(x) Do suy y(x) liên tục x Lại x f (., ) liên tục K ì K , từ định lí 1.7 chương Auslender [6] ta cã: ∇g(x) := −∇x f (x, y(x)) Do tính liên tục x f (., ) y(x) nên g(x) liên tục x Thuật toán sau xây dựng dựa vào việc cực tiểu hàm đánh giá cho dạng (3.2) Thuật toán Cho 3.1 [9] g(x) := sup{−f (x, y)} y∈K k = 0, x ∈ K k+1 Bíc Cho x = xk + tk dk víi k = 1, 2, ®ã: Bíc Cho dk := y(xk ) xk y(xk ) nghiệm toán tèi u: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.Lrc-tnu.edu.vn45 g f (xk , y) y∈K vµ tk lµ nghiƯm cđa bµi to¸n: min{g(xk + tdk )} y∈K Bíc NÕu k xk+1 xk k với > thuật toán dừng Ngược lại, thay k k + quay lại bước ã Nhắc lại rằng, dk hướng giảm hàm đánh giá g xk nÕu: ∇g(xk ), dk < Ta cÇn chøng minh dk = y(xk ) − xk lµ híng giảm hàm đánh giá g xk Để khẳng định điều ta cần giả thiết thêm: Giả thiÕt nÕu 5x f (x, y) + 5y f (x, y), y − x ≥ 0, ∀x, y ∈ K (3.6) (3.6) thoả mÃn trường hợp toán bất đẳng thức biến phân: f (x, y) = T (x), y x T (x) ma trận xác định dương với x K Mệnh đề 3.1.2 [11] gi¶ thiÕt Gi¶ sư r»ng gi¶ thiÕt cđa mệnh đề 3.1.1 (3.6) thoả mÃn Khi đó, d(x) := y(x) x hướng giảm hàm đánh giá g x K , với ®iỊu kiƯn y(x) 6= x Chøng minh Ta thÊy r»ng x nghiệm toán cân Mặt khác y(x ) = x y(x) nghiệm toán: min{f (x, y)} yK S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn 44 http://www.Lrc-tnu.edu.vn46 f (x, ) lồi mạnh nên bất đẳng thức sau đúng: y f (x, y(x)), z − y(x) > 0, ∀z ∈ K, z 6= y(x) Đặt (3.7) z := x ta có: ∇y f (x, y(x)), x − y(x) > ®iỊu tương đương với: y f (x, y(x)), y(x) − x < KÕt hỵp víi (3.6) ta cã: > ∇y f (x, y(x)), y(x) − x − ∇x f (x, y(x)), y(x) − x Theo công thức đạo hàm ta có: g(x) = x f (x, y(x)), ta suy được: Tức là, g(y), y − x < d(x) = y(x) − x lµ hướng giảm g x Định lí sau tính hội tụ dÃy điểm sinh từ thuật toán Định lý 3.1.1 [9] Cho K Rn Gi¶ sư r»ng f (x, ) biÕn x x f liên tục tập lồi compact cđa y ) ∀x ∈ K , kh¶ vi theo K ì K Hơn nữa, giả thiết (3.6) thoả mÃn k Khi đó, với x K , dÃy {x }kN tìm từ thuật hàm lồi chặt (với biến điểm tụ dÃy 3.1 {xk }kN toán 3.1 thuộc K nghiệm toán cân K tập lồi tk 1, nên {xk }kN K Hàm d(x) = y(x) x liên tục K y(x) liên tục Chứng minh Vì Ta lại có ánh xạ: U (x, d) = y : y = x + tk d, g(x + tk d) = g(x + td) t[0,1] đóng hàm Do đó, dÃy g hàm liên tục {xk }kN xây dựng xk+1 = U (xk , d(xk )) đóng [10] S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.Lrc-tnu.edu.vn47 Theo định lí hội tụ Zangwill suy điểm tụ dÃy tìm từ thuật toán Mệnh đề 3.1.3 [9] 3.1 nghiệm toán cân Giả sử K tập lồi compact Rn Giả sử: x f (x, y) + ∇y f (x, y), y − x ≥ µ k x − y k2 , ∀x, y K thoả mÃn với {xk }kN (3.8) > Khi đó, g(x), d(x) k d(x) k2 ®ã, d(x) := y(x) − x NhËn xÐt Trong thuật toán 3.1, việc giải toán: g(xk + tdk ) yK để tìm tk phức tạp Để khắc phục nhược điểm ta đưa thuật toán 3.2 để giải toán cân trường hợp hàm đánh giá g cho (3.2) hàm f thoả mÃn điều kiện (3.8) ThuËt to¸n 3.2 Cho [9] g(x) := sup{−f (x, y)} y∈K k = 0, x ∈ K k ∗ k Bíc NÕu g(x ) = 0, th× lấy x = x thuật toán dừng Bước Cho Trái lại, ta tiếp tục thực bước Bíc Cho xk+1 = xk + tk dk víi k = 1, 2, ®ã: dk := y(xk ) xk Chọn số nguyên không ©m m nhá nhÊt tho¶ m·n: g(xk ) − g(xk + αm dk ) ≥ tαm k dk k2 αm = tk ; t, α ∈ [0, 1] k+1 Bíc NÕu k x − xk k≤ µ víi µ > thuật toán dừng với Trái lại, thay k k + quay lại bước Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 46 http://www.Lrc-tnu.edu.vn48 Định lí sau khẳng định hội tụ dÃy điểm sinh từ thuật toán 3.2 Định lý 3.1.2 [9] Cho {xk }kN dÃy tính từ thuật toán 3.2 Giả sử K lµ tËp låi vµ compact cđa Rn , f (x, ) lồi mạnh với x K giả sử (3.8) thoả mÃn với > t < µ/2 k Khi ®ã, víi mäi x ∈ K , dÃy {x }kN K hội tụ đến nghiệm toán cân Chứng minh Do tính låi cđa tËp K vµ víi mäi tk ∈ [0, 1] nªn ta suy {xk }k∈N ⊂ K Lại tính compact tập K nên từ dÃy {xk }kN ta trích dÃy {xkn }kn N , dÃy hội tụ đến ®iÓm x∗ Ta sÏ chøng minh y(x∗ ) = x nên x nghiệm toán cân Cho d(x) := y(x)x, y(x) liên tục (xem chứng minh mệnh đề 3.1.1) nên suy d(x) liên tục Vì vậy, ta khẳng định d(xkn ) → d(x∗ ) := d∗ vµ g(xkn ) → g(x∗ ) := g ∗ Ta cã: g(xk ) − g(xk+1 ) ≥ tαk k dk k2 , Do ®ã, αkn k d(xkn ) k2 → 0, vËy {αkn } ⊆ {αk } NÕu αkn > γ > 0, γ ∈ R, ∀k ∈ R th× k d(xkn ) k nên y(x ) = x Trái lại, giả sử tồn dÃy {kp } {kn }, αkp → Ta cã, g(xkp ) − g(xkp + αkp d(xkp ) < t k d(xkp ) k2 , αkp (3.9) ®ã, αkp = αkp /α Cho (3.9) qua giíi h¹n víi kp → 0, αkp g khả vi liên tục nên suy ra: − ∇g(x∗ ), d∗ ≤ t k d∗ k2 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun 47 (3.10) http://www.Lrc-tnu.edu.vn49 MƯnh ®Ị 3.1.3 ta cã: − ∇g(x∗ ), d∗ ≥ µ k d k2 Vì t < à/2 nên k d k= 0, tõ ®ã suy y(x∗ ) = x∗ 3.2 Hàm đánh giá M.Fukushima phần Auslender đà xây dựng thuật toán hàm đánh giá giải toán cân f (x, ) lồi mạnh Nhưng lúc giả thiết tính lồi mạnh thoả mÃn Chẳng hạn, toán bất đẳng thức biến phân f (x, ) hàm tuyến tính Để khắc phục nhược điểm Fukushima đà chuyển toán cân toán cân phụ đưa thuật toán hàm đánh giá giải toán cân Định lý 3.2.1 [2] Giả sử f (x, ) : K → R lµ hµm låi với x x f (., ) liên tục K ì K Cho L(., ) không âm, khả vi liên tục K ì K , x K tho¶ m·n: a, L(x, x) = 0, ∀x ∈ K , ∀x ∈ K , kh¶ vi víi biÕn låi m¹nh víi biÕn y, b, ∇y L(x, x) = 0, ∀x ∈ K Khi ®ã, g(x) := max{−f (x, y) L(x, y)} yK (3.11) hàm đánh giá khả vi liên tục toán cân đạo hàm cho công thức: ∇g(x) := −∇x f (x, y(x)) − ∇x L(x, y(x)) ®ã, (3.12) y(x) := arguminy∈K {f (x, y) + L(x, y)} Chứng minh Từ bổ đề 3.0.5 hệ 2.2.1 (chương 2), ta suy toán cân tương đương với toán cân phụ sau: min{f (x∗ , y) + L(x∗ , y)} y∈K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn 48 http://www.Lrc-tnu.edu.vn50 Lấy = áp dụng mệnh đề 3.1.1 cho toán cân phụ ta suy điều phải chứng minh Nhận xét Khi f (x, y) := T (x), y − x th× g(x) := sup{−f (x, y) − L(x, y)} y∈K hàm đánh giá cho toán bất đẳng thức biến phân áp dụng thuật toán 3.1 cho toán cân ta có thuật toán cho toán cân b»ng phơ Tht to¸n Cho 3.3 [9] g(x) := max{−f (x, y) − L(x, y)} y∈K k = 0, x ∈ K k+1 Bíc Cho x = xk + tk dk víi k = 1, 2, ®ã, Bíc Cho dk = y(xk ) xk y(xk ) nghiệm toán tèi u: min{f (xk , y) + L(xk , y)}, yK tk nghiệm toán: min{g(xk + tdk )} y∈K Bíc NÕu k xk+1 − xk k với > thuật toán dừng Trái lại, thay k k + quay lại bước Trong thuật toán 3.3 thay giả thiết (3.6) thuật toán 3.1 điều kiện sau: ∇x f (x, y) + ∇x L(x, y) + ∇y f (x, y) + ∇y L(x, y), y − x ≥ 0, ∀x, y ∈ K (3.13) DÔ thÊy r»ng nÕu ta gi¶ thiÕt ∇x L(x, y) + ∇y L(x, y) = 0, x, y K giả thiết (3.13) giả thiết (3.6) Định lí sau tính hội tụ dÃy điểm sinh bëi tht to¸n Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn 49 3.3 http://www.Lrc-tnu.edu.vn51 Định lý 3.2.2 [2] Cho K lµ tËp låi vµ compact cđa tập Rn Giả sử f (x, ) hàm lồi x K , khả vi với biến x x f liên tục K ì K Cho L(., ) : K × K → R không âm, khả vi liên tục K ì K , L(x, ) lồi chặt với x K tho¶ m·n: a, L(x, x) = 0, ∀x ∈ K , b, ∇y L(x, x) = 0, ∀x ∈ K Hơn nữa, giả sử điều kiện (3.13) thoả mÃn k Khi ®ã, víi mäi ®iĨm x ∈ K , dÃy {x }kN tìm thuộc K hội tụ tới nghiệm toán cân Chứng minh Theo mệnh đề từ thuật toán 3.3 3.0.5, toán cân tương đương với toán cân phụ Lấy = áp dụng định lí 3.2.1 cho toán cân phụ ta suy ®iỊu ph¶i chøng minh NhËn xÐt Chóng ta nhËn thấy điều kiện lồi mạnh hàm f (x, ) K thuật toán 3.2 làm hạn chế phạm vi ứng dụng Điều kiện bỏ ta thay giả thiết (3.8) giả thiÕt sau [11]: ∇x f (x, y) + ∇x L(x, y) + ∇y f (x, y) + ∇y L(x, y), y − x ≥ µ k x − y k2 (3.14) Thuật toán trình bày sau áp dụng trường hợp f (x, ) hàm lồi, không thiết lồi mạnh [9] Thuật toán g(x) := max{f (x, y) − L(x, y)} y∈K k = 0, x ∈ K k Bíc NÕu g(x ) = thuật toán dừng Bước Cho Cho 3.4 [9] Trái lại ta tiếp tục thực bước Bước Cho xk+1 = xk + tk dk víi k = 1, 2, ®ã: dk := y(xk ) xk Chọn số nguyên không âm m nhá nhÊt tho¶ m·n: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.Lrc-tnu.edu.vn52 g(xk ) − g(xk + αm dk ) ≥ tαm k dk k2 αm = tk ; t, α ∈ [0, 1] k+1 Bíc NÕu k x − xk k≤ với > thuật toán dừng Trái lại, thay k k + quay lại bước với Sự hội tụ dÃy điểm sinh từ thuật toán (của định lí 3.4 khẳng định hệ 3.1.2) sau: {xk } dÃy tìm từ thuật toán 3.4 Giả sử K tập lồi compact Rn giả thiết (3.14) thoả mÃn với > t < µ/2 k Khi ®ã, víi mäi x ∈ K d·y {x } ⊂ K vµ héi tơ tíi nghiƯm toán Hệ 3.2.1 [9] Cho cân Người ta chứng minh giảm nhẹ ®iỊu kiƯn vỊ tÝnh compact cđa tËp chÊp nhËn ®ỵc K trường hợp hàm f đơn điệu mạnh x L liên tục Lipschitz K [11] Mệnh đề sau cho phép ta đánh giá sai số toàn cục giải toán cân theo hàm đánh giá g trường hợp f đơn điệu mạnh Mệnh đề 3.2.1 [9] Cho f đơn điệu mạnh K với hÖ sè g(x) ≥ b k x − x∗ k2 , ∀x ∈ K víi x∗ b Khi ®ã, (3.15) nghiệm toán cân Chứng minh Vì víi ∀y ∈ K ta cã g(x) ≥ −f (x, y) Khi dựa vào giả thiết tính đơn điệu mạnh theo hệ số tính chất b hàm f vµ f (x, x) = 0, ∀x ∈ K ta cã: g(x) ≥ −f (x∗ , x) − f (x, x∗ ) + f (x, x∗ ) ≥ b k x − x∗ k2 +f (x, x∗ ) ≥ b k x − x∗ k2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.Lrc-tnu.edu.vn53 Ta mở rộng kết nêu mệnh đề 3.2.1 hàm đánh giá g := maxy∈K − f (x, y) − L(x, y) vµ cần xét thêm điều kiện tính liên tục Lipschitz cho hµm ∇y L(x, y) K víi hƯ sè b, L(x, ) y L(x, ) liên tục Lipschitz víi hƯ sè L < 2b, ∀x ∈ K Khi đó, Mệnh đề 3.2.2 [11] Cho f đơn điệu mạnh g(x) (b L/2) k x x∗ k2 , ∀x ∈ K víi x∗ låi (3.16) nghiệm toán cân Chứng minh Với ∀x, y ∈ K cã g(x) ≥ −f (x, y) − G(x, y) Do ®ã, víi x∗ = y cã g(x) ≥ −f (x∗ , x) − L(x∗ , x) − f (x, x∗ ) + f (x, x∗ ) ≥ b k x − x∗ k2 +f (x, x∗ ) − L(x∗ , x) Cã g(x) ≥ b k x − x∗ k2 − G(x∗ , x) Do (3.17) y L(x, ) liên tục Lipschitz nên bất đẳng thức sau ®óng L(x∗ , x) = L(x∗ , x) − L(x, x) ( L(x, x) = 0) ≤ (L/2) k x∗ − x k2 , ∀x ∈ K KÕt hỵp víi (3.17) cã g(x) ≥ (b − L/2) k x − x∗ k2 , ∀x ∈ K KÕt luận chương Chương đà trình bày lí thuyết hàm đánh giá giải toán cân Dựa vào lí thuyết hàm đánh giá, Auslender Fukushima đà đưa thuật toán giải toán cân thông qua toán cực tiểu có ràng buộc hàm khả vi liên tục tương ứng S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.Lrc-tnu.edu.vn54 KÕt luận Như đà trình bày trên, toán cân (1.1) toán tổng quát có nhiều toán quen thuộc như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân Nash, đưa toán cân Bài toán cân nghiên cứu tiếp cận theo cách khác Luận văn nghiên cứu phương pháp chiếu, phương pháp gradient tăng cường phương pháp hàm đánh giá giải toán cân Những nội dung trình bày luận văn bao gồm: ã Dạng toán học toán cân số toán ứng dụng quen thuộc mà chuyển toán cân ã Trình bày phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường giải toán cân ã Trình bày phương pháp hàm đánh giá giải toán cân Nghĩa là, sử dụng lí thuyết hàm đánh giá để đưa việc giải toán cân việc giải toán cực tiểu hàm đánh giá theo phương pháp hướng giảm tập ràng buộc Trong thời gian tới, tác giả mong muốn nghiên cứu sâu toán cân để đạt số kết riêng lĩnh vực Tác giả mong muốn nhận giúp đỡ dẫn thày cô giáo bạn bè đồng nghiệp để đạt kết đáng kể hướng nghiên cứu S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.Lrc-tnu.edu.vn55 Tµi liệu tham khảo [1] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu , Nhà xuất Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi [2] Nguyen Van Hien (2002), , Na- Lecture Notes on Equilibrium Problems mur, Belgium [3] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), thuyết Thuật toán Giáo trình Các Phương pháp Tối ưu Lý , Nhà xuất Bách Khoa -Hà Nội [4] PGS.TS Đỗ Văn Lu - PGS.TS Phan Huy Kh¶i (2000), Gi¶i tÝch låi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] D.Quoc Tran, M.Le Dung, Van Hien Nguyen (2008), "Extragradient Algorithms Extended to Equilibrium Problems", [6] A.Auslender (1976), Opitimization-MÐthodes Optimization , numÐriques Masson, Paris [7] E.Blum and W.Oettli (1994), "From Opitimization to Variational Inqualities to Equilibrium Problems", The Mathematics Student 63 , pp.134-145 [8] M.Fukushima (1992), "Equivalent Differentiable Opitimization Problems and Descent Methods for Asymmetric VariationalInquality Problems", Mathematical Programming 53 , pp 99-110 [9] G.Mastroeni (2003), "Gap Function for Equilibrium Problems", Journal of Gloal Opitimization 27 , pp 411-426 [10] D.L.Zhu and P.Marcotte (1994), "An Extended Descent Framework for Variational Inequalities", Journal of Opitimization Theory and Appli- , pp 349-366 cations 80 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.Lrc-tnu.edu.vn56