Phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG HỒNG PHÚC PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2010 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG HỒNG PHÚC PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM NGỌC ANH Thái Nguyên - Năm 2010 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Một số kí hiệu chữ viết tắt iv Lời nói đầu 1 Bài toán cân 1.1 1.2 Các kiến thức 1.1.1 Tập lồi phép toán tập lồi 1.1.2 Hàm lồi vi phân Bài toán cân 10 1.2.1 Phát biểu toán 10 1.2.2 Sự tồn nghiệm 13 Phương pháp hàm phạt điểm 2.1 15 Phương pháp hàm phạt điểm ([2]) 15 2.1.1 Ý tưởng 15 2.1.2 Phương pháp hàm phạt điểm 16 2.2 Hàm toàn phương logarit ([3]) 19 2.3 Mô tả thuật toán hội tụ ([3]) 23 2.4 Thuật toán bỏ qua điều kiện Lipschitz ([3]) 30 Một số ứng dụng 3.1 36 Bài toán bất đẳng thức biến phân ([3]) 36 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.2 Thuật toán điểm gần kề giải toán (M V I ) 39 3.2.1 Sơ phương pháp kiểu điểm gần kề 40 3.2.2 Đề xuất thuật toán 44 3.2.3 Sự hội tụ phương pháp 46 3.2.4 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I ) 50 Kết luận 54 Danh mục cơng trình có liên quan đến luận văn 54 Tài liệu tham khảo 56 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua Xin chân thành cảm ơn thầy, giáo Bộ mơn Tốn-Tin, Phịng Đào tạo khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K2 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu xót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 11 - 2010 Tác giả Dương Hồng Phúc 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv Một số kí hiệu chữ viết tắt Rn |β| x := y ∀x ∃x kxk hx, yi A⊂B A⊆B A∪B A∩B B khơng gian Euclide n-chiều trị tuyệt đối số thực β x định nghĩa y với x tồn x chuẩn véc tơ x tích vơ hướng hai véc tơ x, y tập A tập thực tập B tập A tập tập B A hợp với B A giao với B tích Đề-các hai tập A B argmin{f (x) | x ∈ C} tập điểm cực tiểu hàm f C AT ma trận chuyển vị ma trận A k x →x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x V IP toán bất đẳng thức biến phân đơn trị MV I toán bất đẳng thức biến phân đa trị EP toán cân t.ư tương ứng 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài tốn cân bằng, viết tắt (EP ), toán tổng qt hóa nhiều tốn khác như: Bài toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù phi tuyến, toán Nash trị chơi hợp tác, · · · Bài tốn có nhiều ứng dụng khoa học, kỹ thuật, kinh tế, viễn thông, vật lý, · · · Do vậy, toán cân nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu lý thuyết tồn nghiệm thuật toán để giải Luận văn nhằm giới thiệu tốn cân trình bày phương pháp hàm phạt điểm để giải toán (EP ) với giả thiết hàm f giả đơn điệu tập lồi đa diện C ứng dụng với toán bất đẳng thức biến phân đa trị Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương có tiêu đề "Bài tốn cân bằng" Chương nhắc lại kiến thức tập lồi hàm lồi, mà kết sử dụng chương sau Phần cuối chương giới thiệu toán cân bằng, số ví dụ tồn nghiệm toán cân Chương gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạt điểm giải toán cân bằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit kết hợp với điều kiện Lipschitz biết Để tránh điều kiện Lipschitz, phần hai trình bày phương pháp hàm phạt điểm giải tốn cân bằng cách kết hợp hàm tồn phương logarit với kỹ thuật tìm kiếm theo tia Chương phần ứng dụng Phần trình bày kết nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân số kết tính tốn 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán cân 1.1 Các kiến thức Giải tích lồi đóng vài trò quan trọng việc nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán cân Trong phần này, ta nhắc lại kiến thức giải tích lồi, định lí, mệnh đề hệ khơng chứng minh Cho x = (x1 , x2 , · · · , xn )T y = (y1 , y2 , · · · , yn )T hai véc tơ Rn , tích vơ hướng x y xác định hx, yi = n X xi y i , i=1 kí hiệu ||x|| chuẩn Euclide x, nghĩa ||x|| = p hx, xi Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng Rn , khoảng cách từ x tới tập C ⊆ Rn , kí hiệu d(x, C), xác định d(x, C) := inf{||y − x|| : y ∈ C} 1.1.1 Tập lồi phép toán tập lồi Phần nhắc lại số kiến thức giải tích lồi sử dụng chương Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho a, b ∈ Rn (i) Tập hợp điểm {x := λa + (1 − λ)b : ≤ λ ≤ 1} gọi đoạn nối hai điểm a b, kí hiệu [a, b] 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm nó; nghĩa là, λa + (1 − λ)b ∈ C ∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1] Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính (xem, [2]) Tức là, A B hai tập lồi Rn tập sau tập lồi: (i) A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B}, (ii) αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B} Một tập C ⊂ Rn gọi tập lồi đa diện (xem, [8]) giao họ hữu hạn nửa khơng gian đóng Nói cụ thể hơn, tập lồi đa diện tập nghiệm họ hữu hạn bất phương trình tuyến tính dạng hai , xi ≤ bi , i = 1, · · · , m (1.1) dạng ma trận Ax ≤ b, (1.2) A ma trận cỡ m × n có hàng b ∈ Rm Vì phương trình tuyến tính biểu diễn thành hai bất phương trình tuyến tính nên tập lồi đa diện tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính dạng  i , xi haj , xi = bi , ≤ bj , i = 1, · · · , m1 j = m1 + 1, · · · , m (1.3) Hạng hệ bất phương trình tuyến tính (1.2) định nghĩa hạng ma trận A Định nghĩa 1.2 ([3]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng Rn , cho f : C × C → R ∪ {+∞} Song hàm f gọi (i) đơn điệu mạnh C với số τ > với x, y ∈ C , ta có f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ ||x − y||2 (ii) đơn điệu chặt C với x, y ∈ C, x 6= y , ta có f (x, y) + f (y, x) < 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii) đơn điệu C với x, y ∈ C , ta có f (x, y) + f (y, x) ≤ (iv) giả đơn điệu C với x, y ∈ C , f (x, y) ≥ kéo theo f (y, x) ≤ Từ định nghĩa ta có mối quan hệ sau: Nếu hàm f đơn điệu mạnh ⇒ f đơn điệu chặt ⇒ f đơn điệu ⇒ f giả đơn điệu Trong trường hợp tổng quát, chiều ngược lại khơng Ví dụ 1.1 Trong khơng gian R2 xét hàm số f : R+ × R+ −→ R (x, y) 7−→ f (x, y) = −x2 + xy Khi f hàm đơn điệu mạnh với số < τ ≤ Thật vậy, f (y, x) = −y + xy , nên ta có f (x, y) + f (y, x) = −(x − y)2 ≤ −τ (x − y)2 , f hàm đơn điệu mạnh với số < τ ≤ Tính đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu dễ dàng kiểm tra định nghĩa Định nghĩa 1.3 Tập C ⊆ Rn gọi nón, λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ Tập C ∈ Rn gọi nón lồi vừa nón vừa tập lồi, tức λ1 x + λ2 y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ1 , λ2 ≥ Ví dụ 1.2 Rn+ nón lồi Định nghĩa 1.4 ([3]) Cho C ⊆ Rn tập lồi x ∈ C , nón pháp tuyến ngồi C x0 (hay cịn gọi nón lồi đóng), kí hiệu NC (x0 ), xác định công thức NC (x0 ) := {p ∈ Rn : hp, x − x0 i ≤ 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀x ∈ C} http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 hay ∈ ck T (x) Do đó, x khơng điểm ánh xạ T Ta nói x khơng điểm ánh xạ cực đại T x điểm bất động ánh xạ Pk Như vậy, thay tìm khơng điểm ánh xạ đa trị T , ta tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Pk , với ck > Cho T ánh xạ xác định định lí 3.1 Khi đó, ∈ T (x) tồn w ∈ F (x) cho −w ∈ NC (x) Theo định nghĩa nón pháp tuyến ngồi C , ta có h−w, z − xi ≤ ∀z ∈ C Như vậy, hw, z − xi ≥ ∀z ∈ C Điều rằng, x không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T x nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (M V I ) Như vậy, việc tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân đơn điệu (M V I ) quy việc tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T Kết hợp điều với tính chất ánh xạ không giãn Pk , thông qua việc tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Pk , ta xây dựng thuật toán điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu (M V I ) sau Cho T ánh xạ đơn điệu cực đại xác định định lí 3.1 Khi đó, thuật tốn điểm gần kề giải toán (M V I ) phát biểu sau: Thuật toán 3.2 Bước Chọn dãy số dương {ck } thỏa mãn ck > c > với k = 0, 1, · · · tìm điểm x0 ∈ C Bước k (k = 0, 1, · · · ) Xây dựng điểm xk+1 thông qua công thức xk+1 := Pk (xk ) = (I + ck T )−1 (xk ) Trong trường hợp đặc biệt thuật toán, C tập bị chặn, ck = c > ∀k = 0, 1, · · · ánh xạ đơn điệu cực đại T xác định định lí 3.1, Martinet dãy điểm {xk } hội tụ tới điểm x∗ cho ∈ T (x∗ ) Điều chứng tỏ x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu (M V I ) Xét thuật toán trường hợp ck > c > với C tập lồi, đóng khác rỗng, Rockafellar dãy điểm xk hội tụ yếu tới x∗ cho ∈ T (x∗ ) 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Trong trường hợp tổng quát, điều khó thực thuật tốn 3.2 việc tính xác điểm xk+1 = Pk (xk ) Thuật tốn thay cách tính xác điểm xk+1 cách tính xấp xỉ với sai số εk > cho trước đảm bảo hội tụ thuật toán Thuật toán 3.3 Bước Chọn dãy số dương {ck } : ck > c > εk > với k = 0, 1, · · · cho P∞ k=1 εk < +∞ Tìm w0 ∈ C Bước k (k = 0, 1, · · · ) Chọn điểm wk+1 thỏa mãn ||wk+1 − xk+1 || ≤ εk+1 , với xk+1 := Pk (wk ) = (I + ck T )−1 (wk ) Nhận xét 3.1 Nếu ta thay điều kiện P∞ k=0 εk < +∞ điều kiện εk → thuật tốn không hội tụ Chẳng hạn lấy hàm f : R → R, với ( −x f (x) = dãy {εk } := k x < 0, x ≥ 0, với k = 1, 2, · · · có tổng P∞ k=1 εk = +∞ εk → k → ∞ Ta có, ánh xạ vi phân f xác định   x < 0, −1 ∂f (x) = [−1, 0] x = 0,  0 x > Khi đó, Pk (z) = z hay ∈ T (z) z ≥ Ta chọn dãy {z k } cho 1 Pk (z k ) = z k , ||z k+1 − z k || = εk = ∀k = 1, 2, · · · , z k+1 > z k k Ta tính toán n z =z + n−1 X k=1 k Như vậy, dãy {z k } khơng hội tụ Sự hội tụ thuật tốn điểm gần kề phát biểu thơng qua định lí sau Định lí 3.3 Cho T : H → H ánh xạ đơn điệu cực đại Khi đó, T có khơng điểm dãy điểm {wk } hội tụ yếu tới w∗ cho ∈ T (w∗ ) Nếu T khơng có khơng điểm, dãy {wk } khơng bị chặn 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 3.2.2 Đề xuất thuật tốn Cho C tập lồi, đóng khơng gian Euclide thực Rn với tích h·, ·i chuẩn tương ứng || · || Khi đó, thuật tốn điểm gần kề (P P A) áp dụng cho toán (M V I ) sau: Cho trước xk ∈ C , bước lặp xk+1 sinh (P P A) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân phụ sau: Tìm x ∈ C, w ∈ F (x) cho hw + M (x − xk ), y − xi ≥ ∀y ∈ C, (3.5) M ma trận đối xứng, xác định dương M (x − xk ) gọi hàm xấp xỉ (P P A) Hàm xấp xỉ tuyến tính gradient hàm toàn phương, cụ thể hàm M (x − xk ) = ∇( ||x||2M ) Gần đây, số tác giả tập trung nghiên cứu dạng toàn phương (P P A) cách thay hàm tuyến tính M (x − xk ) hàm phi tuyến d(x, xk ), bắt nguồn từ hàm xấp xỉ Bregman Phần đề xuất phương pháp (P P A) giải toán (M V I ) với M ma trận xác định dương không cần đối xứng F ánh xạ đa trị không cần giả thiết Lipschitz C Kí hiệu S ∗ tập nghiệm (M V I ) để đơn giản, ta giả sử (M V I ) ln có nghiệm (x∗ , w∗ ), nghĩa S ∗ 6= ∅ Để tiện cho việc chứng minh, trước tiên nhắc lại số khái niệm dùng phần Định nghĩa 3.2 (i) Hàm F gọi đơn điệu C với x, x ∈ C , ta có 0 hw − w , x − x i ≥ 0 w ∈ F (x), w ∈ F (x ) (ii) Ma trận Mn×n gọi xác định dương, tồn τ > cho hM x, xi ≥ τ k x k2 ∀x ∈ Rn (3.6) Nhắc lại rằng, PC (·) kí hiệu hình chiếu lên lên tập C với chuẩn Euclid, nghĩa PC (x) = argmin{k y − x k: y ∈ C} 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Từ sau, giả thiết ánh xạ F đơn điệu, đóng nửa liên tục trên C Thuật toán 3.4 Bước Cho M ma trận xác định dương cỡ n × n, ε > 0, x0 ∈ C, w0 ∈ F (x0 ) Gán k = Bước Tìm điểm gần kề x¯k , wk nghiệm tốn đây: Tìm x¯ ∈ C, w¯ ∈ F (¯ x) cho hw¯ + M (¯ x − xk ), y − x¯i ≥ ∀y ∈ C (3.7) Nếu k xk − x¯k k≤ ε dừng thuật tốn Ngược lại, chuyển sang Bước Bước Tính xk+1 = xk − αk M (xk − x¯k ), (3.8) hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i , k M (xk − x¯k ) k2 (3.9) với αk = γ γ ∈ [1, 2) Gán k := k + quay trở lại Bước Nhận xét 3.2 Bài toán phụ (3.7) Bước tương tự toán phụ (3.5) lớp (P P A), khác ma trận M (3.7) ma trận xác định dương không đối xứng Do đó, phương pháp đề xuất dạng tổng quát (P P A)-phương pháp sở với hàm xấp xỉ tuyến tính Chú ý rằng, lấy x¯k bước lặp M ma trận đối xứng xác định dương Nhận xét 3.3 Việc tính bước lặp xk+1 thông qua (3.8)-(3.9) đơn giản nhiều so với việc giải toán (3.7) Nghiệm (3.7), x¯k điểm gần kề bước lặp thứ k Điểm xem véc tơ kiểm tra, nghiệm (M V I ) xk = x¯k Tức là, k xk − x¯k k xem hàm sai số bị chặn, hàm kiểm tra xem có x¯k khơng nghiệm (M V I ) Do đó, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.3 Nếu k xk − x¯k k≤ ε xk ε− nghiệm toán (M V I ) Bổ đề cho ta số bất đẳng thức quan trọng, mà kết dùng mục 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Bổ đề 3.2 Với x ∈ Rn , ánh xạ PC thỏa mãn hPC (x) − x, y − PC (x)i ≥ ∀y ∈ C, k PC (x) − y k2 ≤k x − y k2 − k x − PC (x) k2 3.2.3 (3.10) ∀y ∈ C (3.11) Sự hội tụ phương pháp Như ta biết, với x∗ ∈ S ∗ , (xk − x∗ ) gradient hàm khoảng cách 2 k x − x∗ k2 điểm xk 6∈ S ∗ Một hướng d gọi hướng giảm k x − x∗ k2 điểm xk , hxk − x∗ , di < Trong phần này, −M (xk − x¯k ) hướng giảm hàm khoảng cách k x − x∗ k2 điểm xk Bổ đề 3.3 Cho trước điểm xk ∈ C x¯k điểm gần kề sinh (3.7) Khi đó, với (x∗ , w∗ ) ∈ S ∗ , ta có hM (xk − x¯k ), xk − x∗ i ≥ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i (3.12) Chứng minh Vì x¯k ∈ C nghiệm (3.7), ta có hwk + M (¯ xk − xk ), y − x¯k i ≥ ∀y ∈ C Thế y = x∗ ∈ C vào bất đẳng thức này, ta hwk + M (¯ xk − xk ), x∗ − x¯k i ≥ (3.13) Mặt khác, x∗ ∈ S ∗ , w∗ ∈ F (x∗ ) x¯k ∈ C , nên hw∗ , x¯k − x∗ i ≥ (3.14) Kết hợp (3.13) (3.14), ta có hM (¯ xk − xk ), x∗ − x¯k i ≥ hwk − w∗ , x¯k − x∗ i Sử dụng tính đơn điệu F , hwk − w∗ , x¯k − x∗ i ≥ 0, nên ta thu hM (¯ xk − xk ), x∗ − x¯k i ≥ 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Suy hM (xk − x¯k ), xk − x∗ i ≥ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i Vậy (3.12) chứng minh Vì M ma trận xác định dương theo (3.6), ta có hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i ≥ τ k xk − x¯k k2 Bổ đề 3.3 −M (xk − x¯k ) hướng giảm k x − x∗ k2 điểm xk 6∈ S ∗ Nhận xét 3.4 Nếu ma trận M (3.7) ma trận đối xứng, từ (3.12) ta suy k x¯k − x∗ k2M = k (xk − x∗ ) − (xk − x¯k ) k2M = k xk − x∗ k2M −2hM (xk − x¯k ), xk − x∗ i+ k xk − x¯k k2M ≤ k xk − x∗ k2M − k xk − x¯k k2M Do đó, ta trực tiếp đặt xk+1 := x¯k bước lặp hội tụ suy từ bất đẳng thức Tuy nhiên, trường hợp ma trận M không đối xứng, thiết lập tính hội tụ thuật tốn lấy xk+1 := x¯k bước lặp Trong bước thuật tốn trên, tốc độ tính tốn cho bước lặp xk+1 thông qua (3.8) nhỏ Thay tính bước lặp theo cơng thức (3.8), αk xác định cơng thức (3.9), định nghĩa bước lặp cách độc lập sau: xk+1 = xk − αM (xk − x¯k ) (3.15) θ(α) :=k xk − x∗ k2 − k xk+1 (α) − x∗ k2 , (3.16) Theo cách định nghĩa này, hàm thu bước lặp thứ k cách sử dụng cơng thức (3.15) Vì x∗ nghiệm nghiệm ẩn, nên khơng thể tính cực đại θ(α) cách trực tiếp Định lí cận thực θ(α), cụ thể hàm q(α), mà hàm không chứa nghiệm ẩn x∗ 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Định lí 3.4 Với x∗ ∈ S ∗ α ≥ 0, ta có θ(α) ≥ q(α), (3.17) q(α) = 2αhM (xk − x¯k ), xk − x¯k i − α2 k M (xk − x¯k ) k2 (3.18) Chứng minh Kết hợp (3.12), (3.15), (3.16) (3.18) ta thu θ(α) = k xk − x∗ k2 − k (xk − x∗ ) − αM (xk − x¯k ) k2 =2αhM (xk − x¯k ), xk − x∗ i − α2 k M (xk − x¯k ) k2 ≥2αhM (xk − x¯k ), xk − x¯k i − α2 k M (xk − x¯k ) k2 =q(α) Định lí chứng minh Chú ý q(α) hàm tồn phương theo α đạt giá trị lớn αk∗ = hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i k M (xk − x¯k ) k2 Để dễ tính tốn giúp thuật toán hội tụ nhanh hơn, thực hành, từ bất đẳng thức (3.7) (3.17) ta lấy γ ≥ Chú ý rằng, với αk = γαk∗ , từ (3.17), (3.18) (3.9) suy rằng: θ(γαk∗ ) ≥ q(γαk∗ ) = γ(2 − γ)αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i (3.19) Để đảm bảo cho vế phải (3.19) dương, ta lấy γ ∈ [1, 2) Mối quan hệ dãy {xk } sinh thuật toán nghiệm toán (M V I ) định lí sau Định lí 3.5 Với (x∗ , w∗ ) ∈ S ∗ , dãy {xk } sinh thuật toán (3.4) thỏa mãn k xk+1 − x∗ k2 ≤k xk − x∗ k2 −c0 k xk − x¯k k2 , (3.20) c0 > số Chứng minh Trước tiên, từ (3.16) (3.19) ta suy k xk − x∗ k2 − k xk+1 − x∗ k2 ≥ γ(2 − γ)αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.21) http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Do k xk+1 − x∗ k2 ≤k xk − x∗ k2 −γ(2 − γ)αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i Vì hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i ≥ τ k xk − x¯k k2 , (3.22) nên hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i k M (xk − x¯k ) k2 τ ≥ T kM M k αk∗ = Kết hợp điều với (3.22), ta có αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i ≥ τ2 k xk − x¯k k2 k MT M k Thay bất đẳng thức vào (3.18) đặt c0 = γ(2 − γ)τ , k MT M k ta điều cần chứng minh Định lí hội tụ dãy {(xk , wk )} Định lí 3.6 Dãy {xk } {wk } sinh thuật toán hội tụ tới x∞ w∞ nghiệm (M V I) Chứng minh Từ (3.20) suy dãy {k xk − x∗ k} dãy không tăng bị chặn 0, nên phải hội tụ Do đó, dãy {xk } bị chặn Bất đẳng thức (3.20) lim k→∞ k xk − x¯k k= 0, {¯ xk } bị chặn Từ tính chất nửa liên tục F , ta suy dãy {wk } bị chặn Theo định lí Weierstrass, tồn dãy {¯ xkj } {¯ xk } {wkj } {wk } cho x¯kj → x∞ wkj → w∞ j → ∞ Với x¯kj ∈ C, wkj ∈ F (¯ xkj ), ta có hwkj + M (¯ xkj − xkj ), x − x¯kj i ≥ 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀x ∈ C http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Vì F (x) đóng với x ∈ C lim j→∞ k xkj − x¯kj k= 0, nên ta có x∞ ∈ C, w∞ ∈ F (x∞ ) : hw∞ , x − x∞ i ≥ ∀x ∈ C, (x∞ , w∞ ) nghiệm Chú ý rằng, bất đẳng thức (3.20) với nghiệm (M V I ), suy k xk+1 − x∞ k2 ≤k xk − x∞ k2 ∀k ≥ 0, dãy {xk } hội tụ tới x∞ 3.2.4 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) Trong mục này, kết hợp thuật toán 3.4 với nguyên lý ánh xạ co Banach giải toán bất đẳng thức biên phân (M V I ), hàm giá F đơn điệu, Lipschitz C Các toán phụ (V IPk ) toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh với số k M k Khi đó, tốn giải cách hiệu thuật toán ánh xạ co Banach Với x ∈ C, k = 0, 1, 2, · · · , kí hiệu Fk (x) := F (x) + M (x − xk ) Thuật toán 3.5 Bước Cho trước ma trận xác định dương M cỡ n × n, ε > L2 2kM k Chọn xk,0 0, x0 ∈ C, w0 ∈ F (x0 ) Gán k = Chọn β > Bước Bước lặp thứ j , j = 0, 1, 2, · · · = x0 , wk,0 ∈ Fk (xk,0 ) giải toán quy hoạch lồi mạnh xk,j = argmin{ β k x − xk,j k2 +hwk,j , x − xk,j i : x ∈ C} thu nghiệm xk,j+1 Nếu xk,j+1 = xk,j , x¯k := xk,j , wk := wk,j Ngược lại, chọn wk,j+1 ∈ Fk (xk,j+1 ) gán j := j + quay trở lại Bước lặp thứ j Nếu x¯k = xk dừng thuật tốn Ngược lại, chuyển sang Bước Bước Tính xk+1 = xk − αk M (xk − x¯k ), 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 với αk = γ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i , k M (xk − x¯k ) k2 γ ∈ [1, 2) Gán k := k + quay lại Bước Sự hội tụ dãy (xk,j )∞ j=1 toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh (V IPk ) nêu mệnh đề sau Mệnh đề 3.4 Giả sử ánh xạ F L-Lipschitz C Nếu thuật toán 3.5 dừng bước lặp thứ j bước 1, (xk , wk ) nghiệm (V IPk ) Hơn nữa, với (xk,∗ , wk,∗ ) nghiệm toán (V IPk ), ta có k xk,j − xk,∗ k≤ δj k xk,1 − xk,0 k − δj ∀j = 1, 2, · · · điểm tụ wk,∗ dãy {wk,j } thỏa mãn wk,∗ ∈ Fk (xk,∗ ), δ := q 1− 2β kM k + L2 kM k2 Mệnh đề 3.4 rằng, thuật toán 3.5 dừng bước Điều có nghĩa xk,j nghiệm toán (V IPk ) Định lí hội tụ thuật tốn 3.5 Định lí 3.7 Dãy {xk } {wk } sinh thuật toán hội tụ tới x∞ w∞ nghiệm toán (M V I) Bây giờ, minh họa cho thuật toán 3.5 toán kinh tế bán độc quyền Giả sử rằng, có n cơng ty sản xuất loại sản phẩm giá p phụ thuộc vào đại lượng σx = x1 + x2 + · · · + xn , nghĩa p = p(σx ) Kí hiệu hi (xi ) tổng chi phí công ty thứ i cung cấp để sản xuất mặt hàng thứ xi Khi đó, lợi nhuận công ty i xi p(σx ) − hi (xi ) Tất nhiên, công ty lựa chọn cho phương án sản xuất cho lợi nhuận thu lớn Giả sử tập chiến lược C tập lồi đa diện chứa Rn cho n C := {x ∈ R : 13 ≤ n X xi ≤ 25, ≤ xi ≤ i = 1, 2, · · · , n} (3.23) i=1 Khi đó, tốn kinh tế bán độc quyền phát biểu dạng tốn cân Nash trị chơi khơng tác hợp, người chơi thứ i có tập chiến lược C hàm lợi ích fi (x1 , · · · , xn ) = xi p( n X xi ) − hi (xi ) i = 1, 2, · · · , n i=1 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Thông thường, điểm x∗ = (x∗1 , · · · , x∗n ) ∈ C gọi điểm cân toán nếu: fi (x∗1 , · · · , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , · · · , x∗n ) ≤ fi (x∗1 , · · · , x∗n ) ∀i = 1, 2, · · · , n Mệnh đề 3.5 Một điểm x∗ điểm cân toán kinh tế bán độc quyền nghiệm (M V I ), C hình đa diện cho (3.23) F (x) = H(x) − p(σx )e − p (σx )x, 0 H(x) = (h1 (x1 ), · · · , hn (xn ))T , e = (1, · · · , 1)T , σx = hx, ei Mệnh đề 3.6 Cho p : C → R+ hàm lồi, khả vi liên tục cấp hai, không tăng hàm µτ : R+ → R+ xác định µτ (σx ) = σx p(σx + τ ) hàm lõm với τ ≥ Cho hi : R+ → R i = 1, 2, · · · , n, hàm lồi khả vi liên tục cấp hai Khi đó, hàm chi phí F (x) = H(x) − p(σx )e − p (σx )x đơn điệu C Dễ thấy rằng, hàm chi phí F Lipschitz C với số Lipschitz L < Trong ví dụ này, chọn (một cách ngẫu nhiên) n := 7, H(x) = (2x1 + 1, 3x2 + 4, 4x3 + 2, 1.5x4 + 3, 4x5 + 1, x6 − 2, 3x7 + 1)T , p(t) := t ∈ (0, +∞), 3t x0 := (1.9, 1, 1, 1, 1, 5, 1)T ∈ C, Sai số ε = 10−6 , γ =   0 0 0 0 0 0 1 0 0 4    0 1.5 0 M =   0 0 2   0 0 1.6 0 0 7×7 Khi đó, giá trị riêng ma trận M 2, 3, 1.5, 1.6, 3.4142, 0.5858, 1, chuẩn M k M k= 6.6248 β > L2 ≈ 0.755 Nếu ta chọn β = δ ≈ 0.7209 Trong 2kM k trường hợp này, thu bước lặp 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Bước lặp (k) xk1 xk2 xk3 xk4 xk5 xk6 xk7 1.9 1 1 1 2.0475 1.0417 1.0246 1.6452 1.1338 5.0954 1.4095 2.0364 0.9797 0.9285 1.5003 1.0200 4.9796 1.3394 2.0558 1.0043 1.0409 1.5263 1.0573 5.0158 1.3717 2.0898 1.0170 0.9878 1.5089 1.0774 5.0317 1.4046 2.0813 0.9914 0.9858 1.4641 1.0368 4.9905 1.3784 2.0864 0.9997 1.0128 1.4741 1.0490 5.0025 1.3887 2.0903 1.0034 1.0072 1.4761 1.0543 5.0074 1.3948 2.0906 0.9983 0.9919 1.4641 1.0462 4.9989 1.3917 2.0920 1.0005 1.0036 1.4664 1.0493 5.0019 1.3946 10 2.0943 1.0017 0.9991 1.4648 1.0509 5.0029 1.3979 11 2.0933 0.9993 0.9982 1.4608 1.0472 4.9992 1.3955 12 2.0938 1.0000 1.0011 1.4617 1.0483 5.0003 1.3964 13 2.0940 1.0003 1.0003 1.4619 1.0487 5.0007 1.3970 14 2.0939 0.9998 0.9996 1.4608 1.0479 4.9998 1.3965 15 2.0940 1.0000 1.0003 1.4610 1.0482 5.0001 1.3968 Bảng (với n = 7, ε = 10−6 , β = 1, δ ≈ 0.7209) Nghiệm xấp xỉ thu sau 15 bước x15 = (2.0940, 1.0000, 1.0003, 1.4610, 1.0482, 5.0001, 1.3968)T Kết luận Chương gồm hai phần chính: Phần đầu cho nhìn tổng quát mối quan hệ hai toán (EP ) (V IP ) Phần hai trình bầy sơ phương pháp kiểu điểm gần kề, áp dụng phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị đưa ví dụ cụ thể để minh họa cho thuật tốn đề xuất 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Kết luận Luận văn Phương pháp hàm phạt điểm giải toán cân giả đơn điệu giải vấn đề sau: Nhắc lại số định nghĩa giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân · · · Phát biểu tốn cân bằng, số ví dụ tồn nghiệm tốn Trình bày lại phương pháp hàm phạt điểm giải toán cân tập lồi đa diện C = Ax ≤ b hai trường hợp: Trường hợp song hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trường hợp song hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz cách sử dụng kỹ thuật tìm kiếm theo tia Đề xuất thuật toán điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I ), chứng minh hội tụ thuật tốn trình bày ví dụ minh họa cho thuật tốn đề xuất Kết phần cuối chương cho phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân trường hợp ánh xạ F đa trị 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Danh mục cơng trình có liên quan đến luận văn P N Anh, J K Kim, D T Binh and D H Phuc, Proximal Point Algorithm Using a Linear Proximal Function for nonLipschitzian Multivalued Variational Inequalities , Submitted, 2010 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2000 [2] Lê Dũng Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1998 Tiếng Anh [3] P N Anh, An LQ Regularization Method for Pseudomonotone Equilibrium Problems on Polyhedra, Vietnam Journal of Mathermatics, 36 (2008) 209228 [4] P N Anh, An Interior Proximal method for solving pseudomonotone noLipschitz multivalued variational inequalities, Nonlinear Analysis Forum, 14 (2009) 27-42 [5] P N Anh, J K Kim, D T Binh and D H Phuc, Proximal Point Algorithm Using a Linear Proximal Function for nonLipschitzian Multivalued Variational Inequalities , Submitted, 2010 [6] A Bnouhachem, An LQP method for psedomonotone variational inequalities, J of Global Optimization, 36 (2006) 351-363 [7] I V Konnov, Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer-Verlag, Berlin (2000) [8] H Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, 1997 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn