ĐạI HọC THáI NGUYÊN trư ờng đại học sư phạm Phạm Tuấ n việt hiệu chỉnh toán cân theo phư ơng pháp điểm gần kề Luận văn thạc sỹ chuyên ngành toán giải tích Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐạI HọC THáI NGUYÊN trư ờng ®¹i häc s ph¹m Ph¹m T n viƯt hiƯu chØnh toán cân theo phư ơng pháp điểm gần kề Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mà số: 60.46.01 Luận văn thạc sỹ chuyên ngành toán giải tích người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH lê dũng mưu Thái Nguyên - Năm 2011 S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Lêi nãi ®Çu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kh«ng gian Hilbert 1.1.1 Chn cđa kh«ng gian tun tÝnh 1.1.2 TÝch v« híng 1.1.3 Kh«ng gian Hilbert 1.1.4 Mét sè vÝ dơ vỊ kh«ng gian Hilbert 1.1.5 TÝnh trùc giao hình chiếu không gian Hilbert 1.1.6 HÖ trùc chuÈn kh«ng gian Hilbert 1.1.7 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh vµ song tuyÕn tÝnh 1.1.8 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục 10 1.2 Các kiến thức liên quan đến giải tích lồi 12 Chương 2: Bài toán cân 24 2.1 Bµi toán cân tồn nghiệm 24 2.2 Các trường hợp riêng 25 2.2.1 Bài toán cân Nash trò chơi không hợp tác 25 2.2.2 Bài toán tối ưu 27 2.2.3 Bài toán bất đẳng thức biÕn ph©n 28 2.2.4 Bài toán bù phi tuyến 29 2.2.5 Bài toán điểm bất ®éng Kakutani 30 2.2.6 Bài toán điểm yên ngựa 31 Chương 3: Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kÒ 32 3.1 Ph¬ng pháp toán phụ 32 3.2 Hiệu chỉnh theo phương pháp ®iĨm gÇn kỊ 38 3.3 Mét sè øng dông 44 3.3.1 Tèi u låi 45 3.3.2 Bao hàm thức đơn ®iÖu 45 3.3.3 Vấn đề cân Nash 46 KÕt luËn 47 Tài liệu tham khảo 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán cân đà nghiên cứu từ lâu công trình nghiên cứu Ky Fan, Browder, Oettli số tác giả khác Gần toán quan tâm nghiên cứu mặt định tính định lượng, ứng dụng rộng rÃi vấn đề cân Trên thực tế, nói vật, tượng sống tự nhiên, xà hội hướng đến cân Đặc biệt thời đại thông tin nay, hoạt động có liên quan đến nhiều đối tác lợi ích đối tác phụ thuộc nhau, nhiều mâu thuẫn, đối kháng Một giải pháp tốt cho đối tác lại không tốt cho đối tác khác Do để giải mâu thuẫn, giải pháp cân thường dễ đối tác chấp nhận Về mặt toán học, toán cân phát biểu đơn giản dạng bất đẳng thức Ky Fan Tuy nhiên nhiều toán quan trọng toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, toán minimax, nhiều mô hình cân bằng, tăng trưởng kinh tế, giao thông vận tải v.v mô tả dạng toán cân Một hướng nghiên cứu quan trọng toán cân vấn đề hiệu chỉnh Hiệu chỉnh kỹ thuật để giải toán tính ổn định, theo nghĩa sai số nhỏ liệu, dẫn đến sai lệch lớn lêi gi¶i Néi dung chÝnh cđa kü tht hiƯu chØnh thay toán không ổn định, khó giải quyết, toán ổn định dễ giải Có số phương pháp hiệu chỉnh, hiệu chỉnh theo phương pháp điểm gần kề sử dụng nhiều lĩnh vực khác Gần phương pháp hiệu chỉnh mở rộng cho toán cân Mục đích luận văn nhằm giới thiệu kiến thức toán cân không gian Hilbert Luận văn nhấn mạnh vào mối liên quan toán cân toán đà nêu Tiếp đến luận văn trình bày phương pháp giải toán cân theo nguyên lý toán phụ Cuối cùng, luận văn trình bày vấn đề hiệu chỉnh theo phương pháp điểm gần kề đề xuất Moudafi cho toán cân Nguyên lý toán phụ sử dụng để giải toán đà hiệu chỉnh phương pháp điểm gần kề Bản luận văn trình bày chương: Chương dành để trình bày kiến thức bổ trợ không gian Hilbert, kiến thức giải tích lồi sử dụng chương sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương dành giới thiệu toán cân bằng, điều kiện tồn nghiệm trường hợp riêng toán cân Chương 3, trước hết giới thiệu nguyên lý toán phụ cho toán cân đơn điệu mạnh Sau đó, cuối chương, luận văn trình bày hiệu chỉnh theo phương pháp điểm gần kề Mặc dù tác giả đà cố gắng nỗ lực song luận văn không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo, nhà nghiên cứu bạn đọc quan tâm đến vấn đề Tác giả xin chân thành cảm ơn LÃnh đạo viện Toán học Khoa sau đại học, thầy cô giáo trường ĐHSP- ĐHTN đà tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện trình tác giả học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy: GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt Nam) đà hướng dẫn, giúp đỡ tận tình bảo cho tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Học viên Phạm Tuấn Việt S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chư ơng kiến thức chuẩn bị Trong luận văn này, ta xét X không gian Hilbert thực Sau đây, ta nhắc lại số kiến thức liên quan Các định lý không chứng minh tham khảo [3]: 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Chn cđa mét kh«ng gian tun tÝnh Cho kh«ng gian tuyến tính X, ký hiệu k.k hàm xác định X , nhận giá trị hữu hạn có tính chất: i) kxk 0, x ∈ X; kxk = ⇔ x = ii) kαxk =| α | ·kxk, ∀α ∈ R, ∀x ∈ X iii) ∀x, y ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk (Bất đẳng thức tam giác) toàn không gian 1.1.2 TÝch v« híng Trong kh«ng gian Rk , tích vô hướng hai véc tơ x = (x1 , , xk ), y = (y1 , , yk ) xác định: xy = x1 y1 + x2 y2 + + xk yk có tÝnh chÊt sau: (x, y) = (y, x) ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) iii) (αx, y) = α(x, y) iv) (x, x) ≥ vµ (x, x) = ⇔ x = v) (x, x) = kxk i) 1.1.3 Kh«ng gian Hilbert Một không gian định chuẩn mà xác định hàm hai biến (x, y) thỏa mÃn tính chất tích vô hướng gọi không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita) Từ ba tính chất đầu 1.1.2 ta có: (x + y, x + y) + (x − y, x − y) = 2(x, x) + 2(y, y) KÕt hỵp víi tÝnh chÊt v) cđa 1.1.2 ta suy chn không gian tiền Hilbert phải thỏa mÃn điều kiện: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đẳng thức gọi điều kiện bình hành Với hàm X kxk = p (x, x) xác định chuẩn không gian X , trở thành không gian ®Þnh chn ThËt vËy, víi mäi sè thùc α ta cã: ≤ (x − αy, x − αy) = (x, x) − 2α(x, y) + α2 (y, y), hay | (x, y) |≤ k x k k y k Tõ ®ã: (x + y)(x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) ≤k x k2 +2 k x k k y k + k y k2 = (k x k + k y k)2 VËy k x + y k≤k x k + k y k Nghĩa bất đẳng thức tam giác thỏa mÃn Từ suy ra: kxk > nÕu x 6= kxk = nÕu x = 0, vµ k αx k=| α | · k x k Do kxk chuẩn Như X không gian metric Không gian đầy đủ với tích vô hướng gọi không gian Hilbert 1.1.4 Mét sè vÝ dơ vỊ kh«ng gian Hilbert 1) Kh«ng gian Rnp víi x = (x1 , , xn ) vµ chuÈn kxk = ( n X ) p1 | xi |p , i=1 ≤ p ≤ +∞ n Khi p = ta thêng ký hiÖu E gọi không gian Euclid n chiều với p lµ sè thùc bÊt kú, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2) Không gian dÃy số lp với kxk = ( n X x = (x1 , , xn ) vµ chuÈn ) p1 | xi |p < +∞, i=1 không gian Hilbert p = 1.1.5 Tính trực giao hình chiếu không gian Hilbert Trong không gian Hilbert ta nói hai véc tơ ký hiƯu x, y trùc giao víi vµ x ⊥ y , nÕu (x, y) = Ta cã c¸c tính chất đơn giản sau: x y y ⊥ x Ta cã x ⊥ x ⇔ x = VÐc t¬ trùc giao víi mäi vÐc t¬ x ii) NÕu x ⊥ y1 , y2 , , yn th× x ⊥ α1 y1 + α2 y2 + + αn yn iii) NÕu x ⊥ yn , yn −→ y(n −→ ∞) th× x ⊥ y ⊥ iv) NÕu tËp M trï mËt X M gồm phần tử 0, nghÜa lµ: x ⊥ M ⇒ x = 2 v) NÕu x ⊥ y th× kx + yk =k x k + k y k (Định lý Pythagore) i) NÕu TiÕp theo ta cã kh¸i niƯm hình chiếu lên không gian Định lý 1.1.1[3] M không gian đóng không x nµo cđa X cịng cã thĨ biĨu diƠn mét cách dạng x = y + z víi y ∈ M, z ∈ M ®ã y phần tử M gần x nhất, tức lµ kx − yk ≤ kx − uk, ∀u ∈ M gian Hilbert X Cho BÊt kú phÇn tư 1.1.6 HƯ trùc chn kh«ng gian Hilbert {en } phần tử không gian Hilbert X gọi hÖ trùc chuÈn nÕu (ei , ej ) = δij ij = với i = j δij = víi i 6= j Nh vËy mét hƯ trùc chn lµ mét hƯ trùc giao vµ chuÈn hãa k ei k= 1, ∀i Khi {en } hệ trực chuẩn với x X , số i = (x, ei ) gọi P hệ số Fourier x ei chuỗi i ei gọi chuỗi Fourier Mét hƯ i=1 cđa x theo hƯ {en } Ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: ∞ P i) ζ kxk2 (Bất đẳng thức Besel) i=1 P P ii) Chuỗi i ei hội tụ (x − ζi ei ) ⊥ en i=1 i=1 Mét hệ trực chuẩn {en } gọi đầy đủ chØ cã vÐc t¬ míi trùc giao víi tÊt phần tử hệ: x en (n = 1, 2, .) ⇒ x = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn {en } lµ mét hƯ trùc chn, ζn = (x, en ) hƯ sè Fourier cđa x ®èi với en Các mệnh đề sau tương đương: 1) {en } hệ trực chuẩn đầy đủ P 2) x = ζi ei , ∀x ∈ X §Þnh lý 1.1.2[3] i=1 3) kxk2 = ∞ P Cho i2 , x X (điều kiện đóng) i=1 ∞ P ζi ηi , ∀x, y ∈ X (i hệ số Fourier y ei ) i=1 5) HÖ {en } tuyÕn tÝnh trï mËt X , nghĩa họ tổ hợp tuyến 4) (x, y) = tÝnh cđa c¸c en (bao tun tính hệ Định lý 1.1.3[3] {en } ) trï mËt X (Riesz- Fischer) Cho ®đ không gian Hilbert {en } hệ trực chuẩn ®Çy X NÕu mét d·y sè {ξ} tháa m·n ®iỊu kiƯn n X ξi2 < ∞ i=1 th× sÏ cã mét vÐc t¬ nhÊt x= n X x∈X nhËn c¸c ξi ei , k x k = i=1 ∞ X {ξi } lµm hƯ sè Fourier vµ ξi2 i=1 1.1.7 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh vµ song tuyến tính Ta có dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert sau: Định lý 1.1.4[3] gian Hilbert (F Riesz) Với véc tơ a cố định thuộc không X , hệ thức f (x) = (a, x), xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) không gian X , với kf k = kak Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) không X biểu diƠn mét c¸ch nhÊt díi f (x) = (a, x) a véc tơ X tháa m·n ®iỊu kiƯn kf k = kak gian Hilbert dạng Từ Định lý 1.1.4 ta suy hệ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.1.1[3] Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A không gian X xác định f (x, y) = (Ax, y) phiếm hàm song tuyến tính liên tục f (x, y) nghiệm kf k = kAk Ngược lại phiếm hàm song tuyến tính liên tục f (x, y) X biểu diễn cách nhÊt díi d¹ng f (x, y) = (Ax, y) Trong A toán tử tuyến tính liên tục X thỏa mÃn điều kiện kf k = kAk Hilbert 1.1.8 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục Cho toán tử tuyến tính liên tục có A không gian Hilbert X Ta (Ax, y) phiếm hàm song tuyến tính liên tục, có toán tử tuyến tính liên tục A ®Ĩ cho: (Ax, y) = (x, A∗ y) A∗ gọi toán tử liên hợp A, kA k b»ng chn hµm (Ax, y), mµ chn cđa phiÕm hàm lại kak nên: Toán tử phiếm kA∗ k = kAk Ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: ∗ ∗ i) (A ) = A ∗ ∗ ii) (A + B) = A + ∗ ∗ ∗ iii) (AB) = B A B ∗ , (αA)∗ = A Một toán tử tuyến tính liên tục A gọi đối xứng ta có với x, y : (Ax, y) = (x, Ay) A = A∗ A gọi toán tử tự liên hợp Ta nói số trị riêng toán tử A, phương trình A = x có nghiệm x không tầm thường Khi nghiệm x gọi véc tơ riêng A, ứng với trị riêng iv) Tập hợp tất véc tơ riêng toán tử tuyến tính liên tục A ứng với trị riêng làm thành (cùng với phần tử 0) không gian đóng X bất biến A Không gian gọi không gian riêng ứng với trị riêng v) Nếu A toán tử đối xứng véc tơ riêng A ứng với Khi hai trị riêng khác trực giao với A toán tử đối xứng phần bù trực giao không gian bÊt biÕn ®èi víi A cịng bÊt biÕn ®èi víi A vi) Nếu Tiếp theo khái niệm toán tử hoàn toàn liên tục 10 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta cã hệ trực tiếp sau đây: Hệ 3.1.1[7] Điểm x nghiệm toán cân (EP ) nghiệm toán cùc trÞ: miny∈K {εF (x∗ , y) + H(x∗ , y)} ®ã ε > bÊt kú cho tríc DƠ thÊy r»ng ta chän: H(x, y) = G(y) − G(x) − hG0 (x), y − xi G : K R hàm lồi mạnh, khả vi K, H thỏa mÃn điều kiện nêu mệnh đề Vì ta xét thuËt to¸n sau: ThuËt to¸n 3.1.1[7] i) LÊy x0 ∈ K, > 0, k = ii) Giải to¸n: miny∈K {εF (xk , y) + G0 (xk ), y + G(y)}, k t×m nghiƯm tèi u nhÊt y k k NÕu y = x th× thuật toán dừng kết luận cân Trái lại, ta chun sang bíc iii) k k+1 iii) G¸n nghiƯm y vừa tìm x Lấy k xk nghiệm toán = k + quay lại bước ii) Định lý sau cho ta khẳng định hội tụ dÃy xấp xỉ xây dựng Thuật toán 3.1.1 Định lý 3.1.1[7] F G thỏa mÃn số điều kiện định Giả sử điều kiện sau thỏa mÃn: F (x, ) hàm lồi chặt, khả vi với mäi x ∈ K ii) F cã tÝnh chÊt bán liên tục iii) F đơn điệu mạnh K víi hƯ sè τ iv) G låi m¹nh trªn K víi hƯ sè η v) F tháa mÃn điều kiện tựa Lipschitz, tức L1 , L2 > thỏa mÃn: i) tồn số F (x, y) + F (y, z) Khi ≥ F (x, z) − L1 kx − yk2 − L2 ky − zk2 , ∀x, y, z ∈ K η k đó, < L1 < dÃy xấp xỉ {x } xây dựng 2L2 thuật toán hội tụ mạnh tới nghiệm toán cân (EP ) 34 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chøng minh Từ điều kiện i), ii), iii) áp dụng Định lý 2.1.1 ta suy toán c©n b»ng (EP ) cã nghiƯm nhÊt, ký hiƯu lµ x XÐt hµm sè: Λ(x) = G(x∗ ) − G(x) − hG0 (x), x∗ − xi η ∗ Do G låi m¹nh víi hƯ sè η nªn Λ(x) ≥ kx − xk ≥ 0, ∀x ∈ K XÐt hiÖu: Λ(xk ) − Λ(xk+1 ) = [G(x∗ ) − G(xk ) − G0 (xk ), x∗ − xk ] −[G(x∗ ) − G(xk+1 ) − G0 (xk+1 ), x∗ − xk+1 ] = G(xk+1 ) − G(xk ) − G0 (xk ), x∗ − xk + G0 (xk+1 ), x∗ − xk+1 = G(xk+1 ) − G(xk ) − G0 (xk ), xk+1 − xk + G0 (xk+1 ) − G0 (xk ), x∗ − xk+1 Do G lồi mạnh với hệ số nên: G(xk+1 ) − G(xk ) − G0 (xk ), xk+1 − xk ≥ kxk+1 − xk k2 Do xk+1 nghiệm toán (AEP ) nên ta có: k k+1 εF2 (x , x ) + G0 (xk+1 ) − G0 (xk ), y − xk+1 ≥ 0, ∀y ∈ K Chän y = x∗ ta suy ra: k+1 G (x ) − G0 (xk ), x∗ − xk+1 ≥ ε F20 (xk , xk+1 ), xk+1 − x∗ Do F (xk , ) låi nªn ta cã: k k+1 k+1 F2 (x , x ), x − x∗ ≥ F (xk , xk+1 ) F (xk , x ) Mặt khác, theo điều kiện định lý tính chất nghiệm toán cân (EP ) ta có: F (xk , xk+1 ) − F (xk , x∗ ) = [F (x∗ , xk ) + F (xk , xk+1 ) − F (x∗ , xk+1 )] −[F (xk , x∗ ) + F (x∗ , xk )] + F (x∗ , xk+1 ) ≥ −L1 kx∗ − xk k2 − L2 kxk − xk+1 k2 + τ kx∗ − xk k2 = (τ − L1 )kx∗ − xk k2 − L2 kxk − xk+1 k2 VËy ta cã: η Λ(xk ) − Λ(xk+1 ) ≥ kxk+1 − xk k2 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn +ε(τ − L1 )kx∗ − xk k2 − εL2 kxk − xk+1 k2 Nh η = ( − εL2 )kxk+1 − xk k2 + ε(τ − L1 )kx∗ − xk k2 ≥ k vậy, dÃy (x ) dÃy giảm, bị chặn díi (bëi 0) Do ®ã héi tơ, suy ra: lim ((xk ) (xk+1 )) = k+ Điều kÐo theo lim kx∗ − xk k2 = k→0 {xk } hội tụ mạnh tới x kxk2 Bây ta xét trường hợp đặc biệt, G(x) = , k hƯ sè vµ sù héi tơ dÃy {x } tuyến tính Biểu thức chứng tỏ dÃy Định lý 3.1.2[7] L1 < G Với điều kiện định lý trên, lồi mạnh với 0< {xk } xác định c«ng thøc truy håi: k ky − x k = arg miny∈K εF (xk , y) + , 2L2 th× d·y xk+1 tháa m·n bÊt ®¼ng thøc: kxk+1 − x∗ k2 ≤ αkxk − x∗ k2 , ∀k ≥ ®ã α = − 2ε(τ − L1 ) kxk2 Chøng minh Thay G(x) = vào biểu thức tính ta được: kx k2 kxk2 kx∗ − xk2 ∗ Λ(x) = − − hx, x − xi = 2 LËp luận tương tự chứng minh ta có: kx xk k2 kx∗ − xk+1 k2 − 2 ≥ ( − εL2 )kxk+1 − xk k2 + ε(τ − L1 kx∗ − xk k2 ) ≥ ε(τ L1 kx xk k2 ) Đây ®iỊu ph¶i chøng minh 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NhËn xÐt z = x vào điều kiện tựa Lipschitz F , ta được: Thay F (x, y) + F (y, x) ≥ −(L1 + L2 )kx − yk2 Nh vậy, hệ số đơn điệu hệ sè cđa ®iỊu kiƯn tùa Lipschitz L1 +L2 ≥ τ Rõ ràng với điều kiện < ε ≤ cã rµng buéc: vµ L1 < τ ta cã: 2L2 ≤ α = − 2ε(τ − L1 ) < Do ®ã: p − 2ε(τ − L1 ) < vµ ta cã bất đẳng thức: 0r= kxk+1 x k rkxk x k, k Bất đẳng thức khẳng định hội tụ tuyến tính dÃy {xk } Từ bất đẳng thức ta suy ra: kxk+1 − x∗ k ≤ vµ kx k+1 r kxk+1 − xk k, ∀k ≥ 1−r rk+1 −x k≤ kx − x0 k, ∀k ≥ 1−r ∗ x K gọi nghiệm toán ∗ c©n b»ng (EP ) nÕu nh kx − x k < Từ hai bất đẳng thức ta xây dựng thuật toán tìm nghiệm toán cân (EP ) sau: Định nghĩa 3.1.2[7] §iĨm Tht to¸n 3.1.2[7] k = 0, xt ph¸t tõ x0 K k+1 ii) Xác định x c«ng thøc: k ky − x k xk+1 = arg miny∈K εF (xk , y) + i) Khëi t¹o iii) NÕu kxk+1 − xk k ≤ 1−r ε r hc rk+1 kx − x0 k ≤ ε, 1−r 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xk+1 lµ nghiệm Nếu không, gán k = k + quay lại bước ii) thuật toán dừng toán cân (EP ) Ta dùng nguyên lý toán phụ để giải toán phụ phương pháp điểm gần kề mục đây: 3.2 Hiệu chỉnh theo phương pháp điểm gần kề Nội dung phương pháp hiệu chỉnh theo điểm gần kề chuyển việc giải toán cân đơn điệu (có thể không nghiệm), việc giải dÃy toán cân phụ với song hàm đơn điệu mạnh Do tính đơn điệu mạnh nên toán cân phụ tồn nghiệm Ta nghiên cứu phương pháp Moudafi đề xuất [8]: Định lý 3.2.1[8] Giả sử điều kiện sau thỏa mÃn: F (x, ) lồi chặt, nưa liªn tơc díi víi mäi x ∈ K ii) F (., y) có tính chất bán liên tục đơn điệu chặt K iii) H : K −→ R låi m¹nh víi hƯ sè đạo hàm H thỏa mÃn điều k kiện Lipschitz víi hƯ sè β , ε > lµ tham số cho trước, dÃy {x } xác định k+1 quy tắc: x nghiệm toán (AEP ): εF (xk+1 , x) + H (xk+1 ) − H (xk ), x − xk+1 ≥ 0, ∀x ∈ K i) Khi ®ã {xk } héi tụ yếu tới nghiệm toán cân (EP ) Ta cần tới hai bổ đề sau đây: {xn } dÃy bị chặn X tập điểm n tụ yếu chØ cã ®óng mét ®iĨm x Khi ®ã d·y {x } héi tơ u tíi x Bỉ ®Ị 3.2.1[8] Gi¶ sư d·y w bÊt kú thc X Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sư hw, x i hw, xi Khi đó, theo định nghĩa giới hạn, tồn > n dÃy {x k }, víi k ®đ lín cho: Chøng minh XÐt n | hw, xnk i − hw, xi |> , k Mặt khác, dÃy {xnk } (5) bị chặn nên ta trích d·y ∗ héi tơ u Theo gi¶ thiÕt, giíi hạn phải x , ta có: lim D k→+∞ n0k w, x E = hw, xi (6) Ta thấy (5) (6) mâu thuẫn, tøc lµ: lim hw, xn i = hw, xi k→+∞ 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn {xnk } http://www.lrc-tnu.edu.vn Điều với wX nên ta có điều cần chøng minh Gi¶ sư f : K −→ R ∪ {+} hàm lồi, nửa liên tục k Khi ®ã nÕu d·y {x } héi tơ u tíi x ta có: Bổ đề 3.2.2[8] f (x) lim inf f (xn ) n→+∞ Chøng minh Theo gi¶ thiÕt, f nưa liªn tơc díi ⇔ tËp møc díi Lf (α) := {x | f (x) ≤ α} lµ tËp đóng Lf () tập Vì f hàm nưa lªn tơc díi u Nªn nÕu x * x Do f tập lồi nên Lf () tập lồi, suy đóng yếu k f (x) ≤ lim inf f (xn ) n→+∞ Chøng minh ( Định lý 3.2.1) Từ điều kiện i), ii) áp dụng Định lý 2.1.1, ta suy toán cân b»ng (EP ) cã nghiƯm nhÊt, ký hiƯu lµ x∗ XÐt hµm sè Λ : K −→ R xác định bởi: (x) = H(x ) H(x) hH (x), x∗ − xi Tõ gi¶ thiÕt H låi m¹nh víi hƯ sè Λ(x) ≥ α, ta suy ra: α ∗ kx − xk2 ≥ (7) Ta cã: Λ(xk ) − Λ(xk+1 ) = H(xk+1 ) − H(xk ) − H (xk ), x∗ − xk + H (xk+1 ), x∗ − xk+1 = H(xk+1 ) − H(xk ) − H (xk ), xk+1 − xk + H (xk+1 ) − H (xk ), x∗ − xk+1 Do H α nªn : α H(xk+1 ) − H(xk ) − H (xk ), xk+1 − xk ≥ kxk+1 − xk k2 (8) lồi mạnh với hệ số Theo cách xác định xk+1 (9) ta cã: H (xk+1 ) − H (xk ), x∗ − xk+1 ≥ −εF (xk+1 , x∗ ) 39 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (10) Mặt khác, hàm F đơn điệu x nghiệm toán cân (EP ) nên: F (xk+1 , x ) = F (x∗ , xk+1 ) − [F (x∗ , xk+1 ) + F (xk+1 , x∗ )] ≥ Kết hợp (8), (9), (10), (11) ta được: (xk ) − Λ(xk+1 ) ≥ D·y (11) α k+1 kx xk k2 (xk ) dÃy giảm bị chặn (bởi 0) nên giới hạn: l(x ) = lim (xk ), k+ tồn hữu hạn Ta cã: lim kxk+1 − xk k = k→+∞ Mặt khác, từ (7): kxk x k2 Vì vËy, suy d·y Λ(xk ) α {xk } bị chặn x điểm tụ yếu dÃy {xk }, tức tồn dÃy {xki } k+1 héi tơ u ®Õn x Do x nghiệm toán phụ (AEP ) tính đơn điệu F ta có: F (x, xk+1 ) ≤ −εF (xk+1 , x) ≤ H (xk+1 ) − H (xk ), x − xk+1 Gọi Lại tính liên tục Lipschitz hàm H0 nªn: k+1 H (x ) − H (xk ), x − xk+1 ≤ kx − xk+1 k · kH (xk+1 ) − H (xk )k ≤ βkx − xk+1 k · kxk+1 − xk k Kết hợp hai bất đẳng thức ta suy ra: εF (x, xk+1 ) ≤ βkx − xk+1 k · kxk+1 xk k Điều với k nên với dÃy ki , tức là: F (x, xk+1 ) ≤ βkx − xki +1 k · kxki +1 xki k Vế phải tiến dần tới ki +, áp dụng bổ đề thứ hai ta thu được: F (x, x) lim inf F (x, xki +1 ) ≤ 0, ∀x ∈ K ki →+∞ 40 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt xt = tx + (1 − t)x víi < t ≤ ta được: = F (xt , xt ) tF (xt , x) + (1 − t)F (xt , x) ≤ tF (xt , x) F (xt , x) ≥ 0, ∀t > Cho t ↓ th× xt → x, trªn cđa F ta cã: F (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ K Do vËy hay x nghiệm toán cân (EP ) Do tính bán liên tục F đơn điệu chặt nên ∗ lµ nhÊt hay x = x VËy dÃy nghiệm toán cân (EP ) {xk } thỏa mÃn điều kiện bổ đề thứ hội tụ yếu đến x Mệnh đề chứng minh Trong mệnh đề thay điều kiện đơn điệu F điều kiện đơn điệu mạnh, ta có hội tụ mạnh Thật vậy, giả sử mạnh với hệ số F đơn điệu , ta có: F (xk+1 , x∗ ) = F (x∗ , xk+1 ) − [F (x∗ , xk+1 ) + F (xk+1 , x∗ )] ≥ τ kxk+1 − x∗ k2 Lập luận tương tự chứng minh ta được: (xk ) (xk+1 ) Từ hội tơ cđa d·y α k+1 kx − xk k2 + ετ kxk+1 − x∗ k2 Λ(xk ) ta suy ra: lim kxk − x∗ k = k→+∞ kxk2 Chän H(x) = th× H (x) = x H hội tụ tuyến tính dÃy Định lý 3.2.2[8] lồi mạnh với hệ số Khi {xk } phát biểu định lý sau: Giả sử điều kiện sau thỏa mÃn: F (x, ) lồi chặt, nửa liên tục x K ii) F có tính chất bán liên tục đơn điệu mạnh với hệ số k k+1 X©y dùng d·y {x } bëi quy tắc: x nghiệm toán (AEP (k)): εF (xk+1 , x) + xk+1 − xk , x − xk+1 ≥ 0, ∀x ∈ K i) Khi ®ã dÃy {xk } thỏa mÃn bất đẳng thức: kxk+1 x∗ k ≤ rkxk − x∗ k, ∀k ≥ 0k 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Víi: 0 0, ta cã: 2Λ(x) ≤ a2 | w |2 F (x, y) + hw, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K, | w |≤ Định lý 3.2.3[8] Giả sử {xk } nghiệm toán cân phụ (AEP ) Nếu giả thiết Định lý 3.2.1 thỏa mÃn F k đồng liên tục Lipschitz địa phương , {x } hội tụ mạnh tới x nghiệm toán cân (EP ) Hơn nữa, tồn a √ chØ sè k0 cho ∀k ≥ k0 , víi ε > β − α Ta cã: α r β | xk+1 − x¯ |≤ θ | xk − x¯ | α ®ã θ=p Chøng minh Gäi βa β a2 + αε2 w = H (xk+1 ) − H (xk ), chøng minh Định lý 3.2.1 ta đà có: | xk − xk+1 | · | x − xk+1 | 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ≥ H (xk+1 ) − H (xk ), x − xk+1 ≥ εF (x, xk+1 ) tính liên tục Lipschitz H0 ta cã: lim | wk |= k→+∞ ε−1 | wk |< , k k0 Từ đồng liên tơc Lipschitz cđa F t¹i ta suy ra: Chän k0 thỏa mÃn toán (AEP ) tính 2Λ(xk+1 ) ≤ a2 | ε−1 wk | MỈt khác, với (xk ) (xk+1 ) tÝnh Lipschitz cña H0 k+1 Λ(x α k+1 |x − xk |2 nªn: β a2 )≤ 2 Λ(xk ) β a + αγ Do ®ã: lim Λ(xk ) = k→+∞ vµ lim | xk x |= k+ < | xk − x∗ |2 ≤ | xk − x∗ |2 ≤ Λ(xk ) Ta cã thÓ suy ra: α 2 β Λ(xk ) ≤ θ2 Λ(xk+1 ) ≤ θ2 | xk+1 − x∗ |2 α α Định lý chứng minh Như vậy, thuật toán Moudafi đưa [8], bước lặp phải giải toán (AEP (k)): F (xk+1 , x) + hxk+1 − xk , x − xk+1 i 0, x K Nếu đặt: F k (x, y) = εF (x, y) + hx − xk , y xi, xk+1 trở thành nghiệm to¸n: F k (xk+1 , x) ≥ 0, ∀x ∈ K Thực chất toán cân Tuy nhiên mệnh đề sau k hàm F có tính chất tốt F : 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn MƯnh ®Ị 3.2.1[8] NÕu F đơn điệu thỏa mÃn điều kiện tựa Lipschitz với hệ số dương L1 , L2 thì: k i) F đơn điệu mạnh với hệ số k ii) ∀t > 0, F tháa m·n ®iỊu kiƯn tùa Lipschitz víi hƯ sè: L1 (k) = εL1 + Chøng minh Khai triĨn Fk 4t vµ theo F L2 (k) = εL2 + t ta cã: F k (x, y) + F k (y, x) = εF (x, y) + hx − xk , y − xi + εF (y, x) + hy − xk , x − yi = ε(F (x, y) + F (y, x)) + hx − y, y − xi = ε(F (x, y) + F (y, x)) − kx − yk2 ≤ −kx − yk2 Bất đẳng thức cuối có tính đơn điệu F Vậy i) chứng minh Đặt Gk (x, y) := hx − xk , y − xi, ta cã: Gk (x, y) + Gk (y, z) + Gk (x, z) = hx − xk , y − xi + hy − xk , z − yi − hx − xk , z − xi = hx − xk , y − zi − hx − xk , z − xi + hy − xk , z − yi − hx − xk , z − xi = hx − xk , y − zi + hy − xk , z − yi = hx − y, y − zi ≥ −kx − yk · ky − zk Từ bất đẳng thức: kx yk à ky zk ≤ Ta suy ra, Gk kx − yk2 + tky − zk2 4t tháa m·n ®iỊu kiƯn tùa Lipschitz: Gk (x, y) + Gk (y, z) ≥ Gk (x, z) − kx − yk2 − tky − zk2 4t F k (x, y) = F (x, y) + Gk (x, y) mµ F víi hƯ sè L1 , L2 nªn ta cã ii) Do tháa m·n ®iỊu kiƯn tùa Lipschitz 3.3 Mét sè øng dơng Trong phần này, ta nêu số ứng dụng mà nội dung chủ yếu tham khảo [8] 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3.1 Tèi u låi Cho f lµ hàm lồi, nửa liên tục Nếu ta lấy F (x, y) = f (y) − f (x), h(x) = vµ | x |2 , X = K , toán (AEP ) quy về: f (x) ≥ f (xk+1 ) + ε−1 (xk − xk+1 ), x − xk+1 , ∀x ∈ X, tøc lµ: ε−1 (xk − xk+1 ) ∈ ∂f (xk+1 ), víi f vi phân lồi f Từ suy ra: xk+1 | x − xk |2 = arg f (x) + 2ε 3.3.2 Bao hàm thức đơn điệu Đầu tiên cách lấy: F (x, y) = sup hξ, y − xi , ∀y, x ∈ K ξ∈T (x) T ⇒ X lµ toán tử đơn điệu, vấn đề việc tìm kiếm không điểm T tương đương với việc tìm nghiệm toán cân (EP ) Do F đơn điệu, thỏa mÃn: mà (x, y) K × K : F (x, y) + F (y, x) F xác định (, x) ∈ X × K : F (y, x) ≤ h−ζ, y − xi , ∀y ∈ K, nghÜa lµ ≤ F (x, y) + h−ζ, y − xi , x K Cần ý F hàm đơn điệu, lồi theo đối số thứ hai có tính chất bán liên tục theo đối số thứ K = X , toán (AEP ) trở thµnh: sup ξ, x − xk+1 + xk+1 − xk , x − xk+1 ≥ B©y giê ta xÐt ε ξ∈T (xk+1 ) 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do tính đơn điệu sup F ta có thÓ viÕt: k+1 ξ, x − x + ε−1 xk+1 − xk , x − xk+1 ≥ ξ∈T (x) Tương đương với: Từ T (xk xk+1 ) − ξ, xk+1 − x ≥ 0, ∀ξ ∈ T (x) đơn điệu cực đại, ta có được: k (x − xk+1 ) ∈ T (xk+1 ) ε Tõ ®ã suy ra: xk+1 = (I + εT )1 (xk ) 3.3.3 Vấn đề cân Nash Trong trường hợp này, toán X (AEP ) có d¹ng sau: (fi (xik+1 ) − fi (xk+1 ) + h(xk+1 )i − (xk )i , xi − (xk+1 )i i) ≥ i∈I NÕu cho mét sè i∈I mµ ta chän x∈K tháa m·n xi = xik+1 , ®ã: ε(fi (xik+1 , xi ) − fi (xk+1 ) + h(xk+1 )i − (xk )i , xi − (xk+1 )i i) ≥ ∀i ∈ I, xi ∈ Ki , Có thể viết lại theo vi phân riêng sau: ((xk )i − (xk+1 )i ) ∈ ∂i fi (xk+1 ), i I Đó là: (xk+1 )i = arg minxi ∈Ki {f (xik+1 , xi ) + | (xk )i − xi |2 }, ∀i ∈ I 2ε 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KÕt LuËn Nh đà nói trên, mục đích luận văn nhằm giới thiệu kiến thức toán cân không gian Hilbert Bài toán cân toán tổng quát nghiên cứu tiếp cận theo cách khác thông qua toán quen thuộc như: toán tối ưu, toán cân Nash, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động Kakutani Nội dung luận văn chủ yếu trình bày việc hiệu chỉnh toán cân theo phương pháp điểm gần kề Ngoài ra, luận văn giới thiệu nguyên lý toán phụ, dùng để giải toán cân phụ nảy sinh phương pháp hiệu chỉnh theo kỹ thuật điểm gần kề Trong luận văn đà chứng minh chi tiết số định lý đà phát biểu chứng minh sơ lược [8], đồng thêi chØ cho ta sù níi láng ®iỊu kiƯn ràng buộc hệ số tựa Lipschitz hệ số đơn điệu mạnh Câu hỏi đặt liệu có điều kiện khác cho ta tính chất tương tự? Do kiến thức thân việc nghiên cứu khoa học nhiều hạn chế nên luận văn nhiều thiếu sót Tác giả mong muốn nghiên cứu sâu hướng Rất mong nhận dẫn thầy cô giáo bạn đọc Xin chân thành cảm ơn 47 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (1999), Giải tích lồi, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [2] Lê Dũng Mưu (1999), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2003), Lý thut tèi u, ViƯn To¸n häc TiÕng Anh [5] N.Hadjisavvas, S.Komlosi, S.Schaible (2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalize Monotonicity, Springer Press [6] Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [7] G Mastroeni (2003), Gap Function for Equilibrium Problems, Journal of Global Optimization 27, 411- 426 [8] A Moudafi (1999), Proximal Point Algorithm Extended to Equilibrium Problems, Journal of Natural Geometry, 91- 100 [9] R.T Rockafellar (1976), Monotone Operators and Proximal Point Algorithm, Siam J Control Optimization, 877-898 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn