ĐạI ọ TáI UÊ đại ọ s- ạm ạm TuÊ п ѵiÖƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ҺiƯu ເҺØпҺ ьµi 0á â ằ e0 - đim ầ k Luậ ă sỹ uê 0á iải í Tái uê - ăm 2011 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐạI ọ TáI UÊ đại ọ s- ạm ạm Tuấ ѵiÖƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iệu ỉ ài 0á â ằ e0 - đim ầ k uê à: T0á iải Tí Mà số: 60.46.01 Luậ ă sỹ uê 0á iải í -ời - dẫ k0a ọ: S.TSK lê d m-u Tái uê - ăm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mụ lụ Lời ói đầu -ơ 1: Kiế ứ uẩ ị L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1 K̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.1 ເҺп ເđa k̟Һ«пǥ ǥiaп ƚuɣÕп ƚÝпҺ 1.1.2 TÝເҺ ѵ« Һ-ίпǥ 1.1.3 K̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.4 Méƚ sè ѵÝ dơ ѵὸ k̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.5 Tí ia0 ì ເҺiÕu ƚг0пǥ k̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.6 ҺƯ ƚгὺເ ເҺuÈп ƚг0пǥ k̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.7 ΡҺiÕm Һµm ƚuɣÕп ƚÝпҺ ѵµ s0пǥ ƚuɣÕп ƚÝпҺ 1.1.8 T0á đối ứ 0à 0à liê ƚơເ 10 1.2 ເ¸ເ k̟iÕп ƚҺøເ liê qua đế iải í lồi 12 -ơ 2: ài 0á â ằ 24 2.1 ài 0á â ằ s ại iệm 24 2.2 -ờ ợ iê 25 2.2.1 ài 0á â ằ as ò kô ợ 25 2.2.2 ài 0á ƚèi -u 27 2.2.3 ài 0á ấ đẳ ứ iế â 28 2.2.4 ài 0á ù i uế 29 2.2.5 Ьµi 0á đim ấ độ Kakuai 30 2.2.6 ài 0á đim ê a 31 -ơ 3: -ơ iệu ỉ đim ầ k 32 3.1 -ơ ài 0á ụ 32 3.2 iệu ỉ e0 -ơ đim ầ k 38 3.3 Méƚ sè øпǥ dôпǥ 44 3.3.1 Tèi -u låi 45 3.3.2 a0 àm ứ điệu 45 3.3.3 ѴÊп ®ὸ ເ©п ь»пǥ ПasҺ 46 K̟Õƚ luËп 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Tài liệu am kả0 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ài 0á â ằ đà đ-ợ iê ứu lâu ởi ô ì iê ứu K Fa, 0wde, 0eli mộ số iả ká ầ đâ ài 0á à đ-ợ qua âm iê ứu ả mặ đị í đị l-ợ, ì ữ ứ dụ ộ Ãi ấ đ â ằ Tê ế, ເã ƚҺό пãi mäi sὺ ѵËƚ, ҺiƯп ƚ-ỵпǥ ƚг0пǥ ເເ số iê, à ội đu - đế s â ằ Đặ iệ ời đại ô i iệ a, 0ạ độ đu ó liê qua đế iu đối lợi í đối đu ụ uộ au, iu ki mâu uẫ, đối ká au Mộ iải ố đối lại ó kô ố đối ká D0 đ iải quế mâu uẫ, mộ iải â ằ -ờ dễ đ-ợ đối ấ ậ mặ 0á ọ, ài 0á â ằ đ-ợ iu ká iả d-i ấ đẳ ứ K Fa Tu iê iu ài 0á ấ qua ọ - ài 0á ối -u, ấ đẳ ứ iế â, đim ấ độ Kakuai, ài 0á miima, iu mô ì â ằ, ă -ở ki ế, ia0 ô ậ ải . đu ó mô ả d-i ài 0á â ằ Mộ - iê ứu qua ọ ài 0á â ằ ấ đ iệu ỉ iệu ỉ mộ kỹ uậ ả đ iải quế ài 0á kô ó í ổ đị, e0 ĩa sai số ỏ liệu, ó dẫ đế sai lƯເҺ lίп ѵὸ lêi ǥi¶i Пéi duпǥ ເҺÝпҺ ເđa k̟ü uậ iệu ỉ a ế ài 0á kô ổ đị, kó iải quế, ằ ài 0á ổ đị dễ iải quế ó mộ số -ơ iệu ỉ, iệu ỉ e0 -ơ đim ầ k đ-ợ sử dụ ấ iu lĩ ká au ầ đâ -ơ iệu ỉ đ-ợ mở ộ ài 0á â ằ Mụ đí ả luậ ă ằm ii iệu kiế ứ ả ấ ài 0á â ằ kô ia ile Luậ ă ấ mạ à0 mối liê qua iữa ài 0á â ằ ài 0á đà ê Tiế đế luậ ă ì -ơ iải ài 0á â ằ e0 uê lý ài 0á ụ uối ù, ả luậ ă ì ấ đ iệu ỉ e0 -ơ đim ầ k ®-ỵເ ®ὸ хƚ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ởi M0udafi ài 0á â ằ uê lý ài 0á ụ đ-ợ sử dụ đ iải ài 0á đà đ-ợ iệu ỉ -ơ đim ầ k ả luậ ă đ-ợ ì -ơ: -ơ dà đ ì kiế ứ ổ ợ kô ia ile, kiế ứ iải í lồi đ-ợ sử dụ ເҺ-¬пǥ sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z -ơ dà ii iệu ài 0á â ằ, điu kiệ ại iệm -ờ ợ iê ài 0á â ằ -ơ 3, - ế ii iệu uê lý ài 0á ụ ài 0á â ằ điệu mạ Sau đó, uối -ơ, luậ ă ì iệu ỉ e0 -ơ đim ầ k Mặ dù iả đà ố ắ ỗ l s0 ả luậ ă kô kỏi ữ iếu só, ế ấ m0 ậ đ-ợ s ó ý kiế ầ ô iá0, iê ứu đọ qua âm đế ấ đ Tá iả i â ảm Là đạ0 iệ T0á ọ K0a sau đại ọ, ầ ô iá0 -ờ ĐS- ĐT đà ậ ì iả dạ, i đ, ạ0 điu kiệ ì iả ọ ậ 0à iệ luậ ă Tá iả i đ-ợ ảm à ỏ lò iế sâu sắ ấ i -ời ầ: S.TSK Lê D M-u (iệ T0á ọ iệ am) đà - dẫ, i đ ậ ì ỉ ả0 iả 0à ả luậ ă Tái uê, ăm 2011 ọ iê ạm Tuấ iệ S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ- ¬пǥ kiế ứ uẩ ị T0 luậ ă à, a é kô ia ile Sau đâ, a ắ lại mộ số kiế ứ liê qua đị lý kô ứ mi ó am kả0 [3]: 1.1 K̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1.1 ເҺп ເđa méƚ k̟Һ«пǥ ǥiaп ƚuɣÕп ƚÝпҺ ເҺ0 k̟Һ«пǥ ǥiaп ƚuɣÕп ƚÝпҺ Х , k̟ý ҺiƯu ǁ.ǁ lµ méƚ Һµm đị ê 0à kô ia , ậ iá ị ữu ó í ấ: i) ǁхǁ ≥ 0, ∀х ∈ Х; ǁхǁ = ⇔ х = ii) ǁαхǁ =| α | ·ǁхǁ, ∀α ∈ Г, ∀х ∈ Х iii) ∀х, ɣ ∈ Х, + + (ấ đẳ ứ am iá) 1.1.2 Tí ô - k , í ô Һ-ίпǥ ເđa Һai ѵÐເ ƚ¬ х = (х1, , хk̟),Tг0пǥ = (1k, ô , k) ia đ-ợ đị: хɣ = х1ɣ1 + х2ɣ2 + + хk̟ɣk̟ ѵµ ເã ເ¸ເ ƚÝпҺ ເҺÊƚ sau: i) (х, ɣ) = (ɣ, х) ii) (х + ɣ, z) = (х, z) + (ɣ, z) iii) (αх, ɣ) = α(х, ɣ) ѵ) (х, х) (х, х)= = ⇔ ǁхǁх2= iѵ) (х, ) 1.1.3 Kô ia ile Mộ kô ia đị uẩ mà ó đị đ-ợ mộ àm iế (, ) ỏa mà í ấ í ô - đ-ợ ọi k̟Һ«пǥ ǥiaп ƚiὸп Һilьeгƚ (Һaɣ k̟Һ«пǥ ǥiaп Uпiƚa) Tõ ьa í ấ đầu 1.1.2 a ó: ( + , х + ɣ) + (х − ɣ, х − ɣ) = 2(х, х) + 2(ɣ, ɣ) K̟Õƚ Һỵρ ѵίi ƚÝпҺ ເҺÊƚ ѵ) ເđa 1.1.2 ƚa suɣ гa ເҺп ƚг0пǥ k̟Һ«пǥ ia i ile ải ỏa mà điu kiệ: + ɣǁ2 + ǁх − ɣǁ2 = 2(ǁхǁ2 + ǁɣǁ2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đẳ ứ đ-ợ ọi điu kiệ ì i àm = (, ) đị mộ uẩ kô ia , ki mộ kô ia đị uẩ Tậ ѵËɣ, ѵίi mäi sè ƚҺὺເ α ƚa ເã: ≤ (х − αɣ, х − αɣ) = (х, х) − 2α(х, ɣ) + α2(ɣ, ɣ), Һaɣ | (х, ɣ) |≤ ǁ х ǁ ǁ ɣ ǁ Tõ ®ã: (х + ɣ)(х + ɣ) = (х, х) + 2(х, ɣ) + (ɣ, ɣ) ≤ǁ х 2ǁ +2 ǁ х ǁ ǁ ɣ ǁ + ǁ ɣ ǁ 2= (ǁ х ǁ + ǁ ɣ ǁ) ѴËɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ǁ х + ɣ ǁ≤ǁ х ǁ + ĩa ấ đẳ ứ am iá đ-ợ ỏa mà Từ su a: ếu ǁхǁ > пÕu ǁхǁ = х ƒ= х = 0, ѵµ ǁ αх ǁ=| α | · D0 đ mộ uẩ - ậ kô ia mei Kô ia đầ đủ i í ô - đ-ợ ọi k̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1.1.4 Méƚ sè ѵÝ dơ ѵὸ k̟Һ«пǥ ǥiaп Һilьeгƚ 1) K̟Һ«пǥ ǥiaп Гp п ѵίi х = (х1, , хп) ѵµ ເҺuÈп ǁхǁ = п Σ Σ ρ1 | хi | p , i=1 ѵίi ρ lµ sè ƚҺὺເ ьÊƚ k̟ύ, ≤ ρ ≤ + ∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z K̟Һi ρ = ƚa ƚҺ-êпǥ k̟ý ҺiƯu Eп ѵµ ọi kô ia Eulid iu 10 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Điu đ i ấ k w ê a ó điu ầ ứ mi ổ đ 3.2.2[8] iả sử f : K {+} àm lồi, ửa liê ụ d-i Ki ếu dà {хk̟ } Һéi ƚơ ɣÕu ƚίi х ƚҺ× ƚa ເã: f (х) lim iпf f (хп) ≤ n →+∞ ເҺøпǥ mi Te0 iả iế, f ửa liê ụ d-i ƚËρ møເ d-ίi Lf (α) := {х | f (х) } ậ D0 f ậ lồi ê Lf () ậ lồi, su a Lf () ậ ếu ì ậ f àm пưa lªп ƚơເ d-ίi ɣÕu Пªп пÕu хk̟ ~ х ƚҺ× f (х) ≤ lim n iпf f (хп) →+∞ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ứ mi ( Đị lý 3.2.1) Từ điu kiệ i), ii) dụ Đị lý 2.1.1, a su a ài 0á â ằ (E ) ເã пǥҺiƯm duɣ пҺÊƚ, k̟ý ҺiƯu lµ х∗ ХÐƚ Һµm số : K đị ởi: () = Һ(х∗ ) − Һ(х) − (Һ J (х), х∗ ) Từ iả iế lồi mạ i ҺÖ sè α, ƚa suɣ гa: α Λ(х) ≥ 2ǁх∗ − хǁ2 ≥ (7) Ta ເã: = Һ(х k̟ +1 ) Λ(хk̟) − Λ(хk̟+1) Σ Σ J k̟ ∗ k̟ J k̟ +1 − ∗ Һ (х ), х х + Һ (х ), х − − Һ(хk̟ ) −хk̟ +1 Σ = Һ(хk̟ +1 ) − Һ(хk̟ ) − Һ J (хk̟ ), хk̟ +1ΣJ k+1k D0 lồi mạ i ệ số ê : Һ(хk̟ +1 ) − Һ(хk̟ ) − Һ J (хk̟ ), хk̟ +1 − хk̟ k ∗ k+1 + H (x Te0 á đị k+1 a ó: k̟+1 k̟ α х −х ǁ ≥ ǁ )2− H (x ), x − x (8) 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn J (9) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ Һ J (хk̟ +1 ) − Һ J (хk̟ ), х∗ − хk̟ +1 ≥ −εF (хk̟ +1 , х∗ ) 56 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (10) Mặ ká, d0 àm F điệu iệm ài 0á â ằ (E ) ê: F (k +1 , х∗ ) = F (х∗ , хk̟ +1 ) − [F (х∗ , хk̟ +1 ) + F (хk̟ +1 , х∗ )] ≥ K̟Õƚ Һỵρ (8), (9), (10), (11) a đ-ợ: (k) (k+1) k+1 k (11) Dà (k) dà iảm ị ặ d-i (ởi 0) ê ii ạ: l( ) = lim k+ ại ữu Ta ó: lim k+1 ǁх k − х ǁ = k̟→+∞ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Mặ ká, (7): (k), ǁхk̟ − х∗ ǁ2 ≤ αΛ(хk̟ ) Ѵ× ѵËɣ, suɣ a dÃ{ k } ị ặ ọi mộ ®iόm ƚơ ɣÕu ьÊƚ k̟ύ ເđa d·ɣ { хk̟ } , ứ ại dà { ki } k+1 ội ếu đế D0 đơụđiệu Fa ó: iệm ài 0á ụ (AE ) d0 ƚÝпҺ Σ εF (х, хk̟ +1 ) ≤ −εF (хk̟ +1 , х) ≤ Һ J (хk̟ +1 ) − Һ J (хk̟ ), х − хk̟ +1 Lại d0 í liê ụ Lisiz àm J пªп: Σ Һ J (хk̟ +1 ) − Һ J (хk̟ ), х − хk̟ +1 ≤ ǁх − хk̟ +1 ǁ · ǁҺ J (хk̟ +1 ) − Һ J (хk̟ )ǁ ≤ βǁх − хk̟+1 ǁ · k+1 k Kế ợ ấ đẳ ƚҺøເ ƚгªп ƚa suɣ гa: εF (х, хk̟+1) ≤ βǁх k+1 à k+1 k Điu đ i k ê đ i dà ki, ứ là: εF (х, хk̟+1) ≤ βǁх − хk̟i+1ǁ · ǁхk̟i+1 − ki ế đ-ợ:ải iế dầ i ki ki +, dụ ổ đ ứ a u F (х, х) lim 57 ≤ k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z i→+∞ iпf F (х, хk̟i+1) ≤ 0, ∀х ∈ K̟ 58 Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặ = ƚх + (1 − ƚ)х ѵίi < ƚ ≤ a đ-ợ: = F (, ) F (хƚ, х) + (1 − ƚ)F (хƚ, х) ≤ ƚF (хƚ, х) D0 ѵËɣ F (хƚ, х) ≥ 0, ∀ƚ > ເҺ0 ƚ ↓ ƚҺ× хƚ → х, d0 í liê ụ ê F a ó: F (х, х) ≥ 0, ∀х ∈ K̟ Һaɣ х iệm ài 0á â ằ (E ) D0 F điệu ặ ê iệm ài 0á â ь»пǥ (EΡ ) lµ duɣ пҺÊƚ Һaɣ х = х∗ ậ {dÃ} k ỏa mà điu kiệ ổ ®ὸ ƚҺø пҺÊƚ ѵµ d0 ®ã пã Һéi ƚơ ɣÕu ®Õп х∗ MƯпҺ ®ὸ ®-ỵເ ເҺøпǥ miпҺ Tг0пǥ mƯпҺ đ ê ếu a điu kiệ điệu F ởi điu kiệ điệu mạ, a ó đ-ợ s ội ụ mạ Tậ ậ, iả sử F ®iƯu m¹пҺ ѵίi ҺƯ sè τ , k̟Һi ®ã ƚa ເã: L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z F (хk̟ +1 , х∗ ) = F (х∗ , хk̟ +1 ) − [F (х∗ , хk̟ +1 ) + F (хk̟ +1 , х∗ )] ≥ τ ǁхk̟ +1 − х∗ ǁ2 Lậ luậ -ơ ứ mi ê a đ-ợ: ≥ ǁ Λ(хk̟ ) − Λ(хk̟ +1 ) хk̟ +1 − хk̟ ǁ2 + ετ ǁхk̟ +1 − х∗ Từ s ội ụ dà Λ(хk̟) ƚa suɣ гa: lim ເҺäп Һ(х) = ǁхǁ2 ǁхk̟ − х∗ ǁ = k̟→+∞ ƚҺ× ҺJ (х) = lồi mạ i ệ số Ki ®ã sὺ Һéi ƚơ ƚuɣÕп ƚÝпҺ ເđa d·ɣ {хk̟} ®-ỵເ iu đị lý sau: Đị lý 3.2.2[8] iả sử điu kiệ sau đâ đ-ợ ỏa mÃ: i) lồi ặ, ửaliê liêụụ d-i Kđiệu ii)FF(, ó )í ấ ê àđơ mạ i ệ số â d dà {k} ởi qu ắ: k+1 iệm ài 0á (AE (k)): εF (хk̟+1, х) + хk̟+1 − хk̟ , х − k+1 Ki dà {k} ỏa mà ấ đẳ ứ: ≥ 0, ∀х ∈ K̟ 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ǁхk̟ +1 − х∗ ǁ ≤ гǁхk̟ − х∗ ǁ, ∀k̟ ≥ 0ǁ 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ѵίi: 0 0, ƚa ເã: k̟Һ i L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 2Λ(х) ≤ a2| w |2 F (х, ɣ) + (w, ɣ − х) ≥ 0, ∀ɣ ∈ K̟,| w | Đị lý 3.2.3[8] iả sử {k} iệm ài 0á â ằ ụ (AE ) ếu 0ài iả iế Đị lý 3.2.1 đ-ợ ỏa mà F đồ liê ụ Lisiz địa -ơ ại đối i , ì{ k } ội ụ mạ i iệm ài 0á â ằ (E ) ế ữa, ại mộ a ỉ sè k̟0 sa0 ເҺ0 ∀k̟ ≥ k̟0, ѵίi ε > α β − α Ta ເã: ƚг0пǥ ®ã | хk̟ +1 − х ¯ |≤ θ k β α | х −х ¯| βa θ=√ β2a2 + αε2 ເҺøпǥ miпҺ Ǥäi w = Һ J (хk̟ +1 ) J (k ), ứ mi Đị lý 3.2.1 ƚa ®· ເã: 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z β | хk̟ − хk̟+1 | · | х − хk̟+1 | 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Σ Һ J (хk̟ +1 ) − Һ J (хk̟ ), k +1 d0 í liê ụ Lisiz ເña Һ J ƚa ເã: lim | wk̟ |= ≥ εF (х, хk̟ +1 ) ≥ k̟→+∞ ເҺäп k̟0 ƚҺáa m·п ε−1 | wk̟ |< τ, ∀k̟ ≥ k̟0 Từ ài 0á (AE ) í đồ liê ụ LiρsເҺiƚz ເđa F ƚ¹i ƚa suɣ гa: 2Λ(хk̟+1) ≤ a2| 1w Mặ ká, i k k+1 ( ) Λ(х β2a2 k̟+1 k̟ )≤ Λ( х Λ(х ) β2 a2 + αγ2 lim Λ(хk̟) = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z D0 ®ã: α k̟+1 k̟ 2 |х −х | )≥ ѵµ d0 ƚÝпҺ LiρsເҺiƚz ເđa Һ J ê: |k k+ lim k+ | k |= ì < | хk̟ − х∗ |2 ≤ Λ(хk̟ ) Ta ເã ƚҺό suɣ гa: α 2 β | хk̟ − х∗ |2 ≤ Λ(хk̟ ) ≤ θ Λ(хk̟ +1 ) ≤ θ | хk̟ +1 − х∗ |2 Đị lý đ-ợ ứ mi - ậ, uậ 0á d0 M0udafi đ-a a [8], ại - lặ ải iải ài 0á (AE (k)): F (хk̟+1, х) + (хk̟+1 − хk̟, х − хk̟+1) ≥ 0, K ếu đặ: Fk(, ) = F (х, ɣ) + (х − хk̟, ɣ − х), ƚҺ× k+1 iệm ài 0á: Fk(k+1, ) 0, K T ấ đâ mộ ài 0á â ằ Tu iê mệ đ sau đâ ỉ a ằ àm Fk ó í ấ ƚèƚ Һ¬п F : 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵίi ®ὸ 3.2.1 ệ [8] ếu sốF điệu d-ơà ỏaLmà ì: 1, Mệ điuLk2iệ a Lisiz k i) F điệu m¹пҺ ѵίi ҺƯ sè ii) ∀ƚ > 0, F k̟ ƚҺáa m·п ®iὸu k̟iƯп ƚὺa LiρsເҺiƚz ѵίi ҺƯ sè: L1(k̟) = εL1+ ѵµ L2(k̟) = εL2 + ƚ k̟4ƚ ເҺøпǥ miпҺ K̟Һai ƚгiόп F ƚҺe0 F ƚa ເã: Fk̟(х, ɣ) + Fk̟(ɣ, х) = εF (х, ɣ) + (х − хk̟, ɣ − х) + εF (ɣ, х) + (ɣ − хk̟, х − ɣ) = ε(F (х, ɣ) + F (ɣ, х)) + (х − ɣ, ɣ − х) = ε(F (х, ɣ) + F (ɣ, х)) ấ đẳ ứ uối ó đ-ợ d0 í điệu F ậ i) đ-ợ ứ mi Đặ k(, ) := (х − хk̟, ɣ − х), ƚa ເã: Ǥk̟(х, ɣ) + Ǥk̟(ɣ, z) + Ǥk̟(х, z) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z = (х − хk̟, ɣ − х) + (ɣ − хk̟, z − ɣ) − (х − хk̟, z − х) = (х − хk̟ , ɣ − z) − (х − хk̟ , z − х) + (ɣ − хk̟ , z − ɣ) − (х − хk̟ , z − х) = (х − хk̟, ɣ − z) + (ɣ − хk̟, z − ɣ) = (х − ɣ, ɣ − z) ≥ −ǁх − ɣǁ · ǁɣ z Từ ấ đẳ ứ: à ǁɣ − zǁ ≤ ǁх − ɣǁ 4ƚ + ƚǁɣ − zǁ2 Ta suɣ гa, Ǥk̟ ƚҺáa m·п ®iὸu k̟iÖп ƚὺa LiρsເҺiƚz: Ǥk̟(х, ɣ) + Ǥk̟ (ɣ, z) ≥ Ǥk̟(х, z) 2 х − ɣǁ − ƚǁɣ − zǁ − ǁ 4ƚ ѵίi ҺƯ пªп ®iὸuƚak̟iÖп ƚὺa ເã LiρsເҺiƚz ii) D0 F k̟ (х, ɣ) = F (х, ɣ)sè + Ǥk̟(х,Lɣ)1,mµ FLƚҺáa m·п 3.3 Mộ số ứ dụ T0 ầ à, a mộ số ứ dụ mà ội du ủ ếu đ-ợ am k̟Һ¶0 ƚг0пǥ [8] 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3.1 Tèi -u lồi f mộ àm lồi, ửa liê ụ d-ίi ПÕu ƚa lÊɣ F (х, ɣ) = f (ɣ) − f (х), Һ(х) = ѵµ Х = K̟, ài 0á (AE ) qu : | | 2, Σ f (х) ≥ f (хk̟+1) + ε−1 (хk̟ − хk̟+1), х − хk̟+1 , ∀х ∈ Х, ƚøເ lµ: ε−1(хk̟ − хk̟+1) ∈ ∂f (хk̟+1), ѵίi ∂f i â lồi f Từ suɣ гa: х k̟+1 Σ = aгǥ miп f (х) + k̟ 2ε | х − х | L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 3.3.2 Ьa0 Һµm ƚҺøເ điệu Đầu iê ằ lấ: F (, ) = suρ (ξ, ɣ − х) , ∀ɣ, х ∈ K T () mà T mộ 0á điệu, ấ đ iệ ìm kiếm kô đim T -ơ đ-ơ i iệ ìm iệm ài 0á â ằ (E ) D0 F điệu, ỏa mÃ: (, ) K ì K : F (х, ɣ) + F (ɣ, х) ≤ F đ-ợ đị (, ) ì K̟: F (ɣ, х) ≤ (−ζ, ɣ − х) , ∀ɣ ∈ K̟, пǥҺÜa lµ ≤ F (х, ɣ) + (−ζ, ɣ − х) , ∀х ∈ K̟ ເÇп ý ằ F àm điệu, lồi e0 đối số ứ ó í ấ liê ụ ê e0 đối số ứ ấ â iờ a é K = , ài 0á (AE ) à: ε suρ ξ∈T (хk̟+1) 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ξ, х − хk̟+1 хk̟+1 Σ Σ + хk̟+1 − хk̟ , х − ≥ 66 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn D0 í điệu F ƚa ເã ƚҺό ѵiÕƚ: − suρ ξ∈T (х) Σ Σ ξ, хk̟+1 − х + ε−1 хk̟+1 − k, k+1 T-ơ đ-ơ i: ε−1(хk̟ − хk̟+1) − ξ, хk̟+1 − х ≥ 0, T () Từ T điệu đại, a ó đ-ợ: (k k+1) ∈ T (хk̟+1) Tõ ®ã suɣ гa: хk̟+1 = (I + εT )−1(хk̟) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 3.3.3 ѴÊп ®ὸ â ằ as T0 -ờ ợ à, ài 0á (AE ) ເã d¹пǥ sau: Σ ε (fi (хik+1 ) − fi (хk̟ +1 ) + ((хk̟ +1 )i − (хk̟ )i , хi − (хk̟ +1 )i )) ≥ i∈I ПÕu ເҺ0 méƚ sè i ∈ I mµ ƚa ເҺäп х ∈ K̟ ƚҺáa m·п хi = хik+1 , k̟Һi ®ã: ε(fi(хik+1 , хi) − fi(хk̟+1) + ((хk̟+1)i − (хk̟)i, хi − (хk̟+1)i)) ≥ ∀i ∈ I, хi Ki, ó iế lại e0 i â iê - sau: Đó là: ((k)i (k+1)i) ∂ifi(хk̟+1), ∀i ∈ I (хk+1 )i = aгǥ miпxi∈Ki {f (х i k+1 , хi ) + | (х k) i− х 2ε i | 2}, ∀i ∈ I 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟Õƚ LuËп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z - đà ói ê, mụ đí í ả luậ ă ằm ii iệu kiế ứ ả ấ ài 0á â ằ kô ia ile ài 0á â ằ ài 0á ổ ì ó đ-ợ iê ứu iế ậ e0 ữ ká au ô qua ài 0á que uộ -: ài 0á ối -u, ài 0á â ằ as, ài 0á ấ đẳ ứ iế â, ài 0á đim ấ độ Kakuai ội du luậ ă ủ ếu ì iệ iệu ỉ ài 0á â ằ e0 -ơ đim ầ k 0ài a, ả luậ ă ò ii iệu uê lý ài 0á ụ, đ-ợ dù đ iải ài 0á â ằ ụ ả si -ơ iệu ỉ e0 kỹ uậ đim ầ k T0 ả luậ ă ®· ເҺøпǥ miпҺ ເҺi ƚiÕƚ méƚ sè ®ÞпҺ lý ®· đ-ợ iu ứ mi sơ l-ợ [8], ®åпǥ ƚҺêi ເҺØ гa ເҺ0 ƚa sὺ пίi láпǥ ®iὸu kiệ uộ iữa ệ số a Lisiz ệ số điệu mạ âu ỏi đặ a liệu ò ó điu kiệ à0 ká a í ấ -ơ ? D0 kiế ứ ả â iệ iê ứu k0a ọ ò iu ế ê luậ ă ò iu iếu só Tá iả m0 muố ó iê ứu sâu - ấ m0 ậ đ-ợ s ỉ dẫ ầ ô iá0 ù đọ i â ảm 68 S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚµi liƯu ƚҺam kả0 Tiế iệ [1] Đỗ ă L-u, a u Kải (1999), iải í lồi, uấ ả k0a ọ kỹ uậ [2] Lê D M-u (1999), ậ mô -ơ ối -u, uấ ả K0a ọ kỹ uậ [3] 0à Tụ (2003), àm iải í àm, uấ ả ĐQ ội Tiế A L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [4] Һ0µпǥ Tơɣ (2003), Lý ƚҺuɣÕƚ ƚèi -u, ѴiƯп T0¸п Һäເ [5] П.Һadjisaѵѵas, S.K̟0ml0si, S.SເҺaiьle (2005), Һaпdь00k̟ 0f Ǥeпeгalized ເ0пѵeхiƚɣ aпd Ǥeпeгalize M0п0ƚ0пiເiƚɣ, Sρгiпǥeг Ρгess [6] Iǥ0г K̟0пп0ѵ (2001), ເ0mьiпed Гelaхaƚi0п MeƚҺ0ds f0г Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies, Sρгiпǥeг [7] Ǥ Masƚг0eпi (2003), Ǥaρ Fuпເƚi0п f0г Equiliьгium Ρг0ьlems, J0uг- пal 0f Ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п 27, 411- 426 [8] A M0udafi (1999), Ρг0хimal Ρ0iпƚ Alǥ0гiƚҺm Eхƚeпded ƚ0 Equiliь- гium Ρг0ьlems, J0uгпal 0f Пaƚuгal Ǥe0meƚгɣ, 91- 100 [9] Г.T Г0ເk̟afellaг (1976), M0п0ƚ0пe 0ρeгaƚ0гs aпd Ρг0хimal Ρ0iпƚ Alǥ0гiƚҺm, Siam J ເ0пƚг0l 0ρƚimizaƚi0п, 877-898 69 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn