Điều Kiện Cần Và Đủ Tối Ưu Cho Bài Toán Quy Hoạch Phi Tuyến.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN PHƯƠNG HOA ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN PHƯƠNG HOA ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục ii Mở đầu Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN 1.1 CÁC ĐỊNH LÝ FARKAS THUẦN NHẤT VÀ KHÔNG THUẦN 1.2 NHẤT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN KHÁC Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI KHƠNG GIẢ THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 2.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU KHI KHÔNG GIẢ THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY Chương 19 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI GIẢ THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 30 3.1 CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY MANGASARIAN - FROMOVITZ CẤP MỘT VÀ CẤP HAI 30 3.2 CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI 34 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch toán học phát triển từ giai đoạn sớm toán học có nhiều ứng dụng kinh tế, kỹ thuật Để dẫn điều kiện cần tối ưu người ta thường sử dụng công cụ hữu hiệu định lý tách tập lồi không tương giao định lý luân phiên (Theorems of the alternative) tương thích hệ tuyến tính không Các định lý luân phiên tiếng định lý J.Farkas, P Gordan, T S Motzkin, (xem [5]) Trong tổng quan [6], G Still M Streng trình bày điều kiện cần đủ tối ưu cho điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một, cấp hai cực tiểu lập tốn quy hoạch phi tuyến trơn với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức không gian hữu hạn chiều Giữa điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu thường có sai khác (a gap), điều kiện đủ mạnh điều kiện cần Khi giả thiết điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz cấp cấp hai khơng có sai khác điều kiện cần điều kiện đủ Luận văn tập trung trình bày điều kiện cần đủ cho điểm cực tiểu địa phương chặt cấp cấp hai dạng gốc đối ngẫu cho toán quy hoạch phi tuyến trơn có hữu hạn ràng buộc đẳng thức bất Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đẳng thức không gian hữu hạn chiều giả thiết không giả thiết điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz cấp cấp hai Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số định lý luân phiên bao gồm định lý Farkas không nhất, định lý luân phiên ổn định định lý luân phiên đặc trưng cho tính bị chặn tập nhân tử Kuhn Tucker Chương trình bày điều kiện cần cho cực tiểu địa phương điều kiện đủ cho điểm cực tiểu địa phương chặt cấp cấp hai dạng gốc đối ngẫu cho toán quy hoạch tốn học trơn có hữu hạn ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức không gian hữu hạn chiều khơng giả thiết điều kiện quy Chương trình bày điều kiện cần đủ cho điểm cực tiểu địa phương chặt cấp cấp hai dạng gốc đối ngẫu có điều kiện quy Kết với điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz cấp cấp hai khơng có sai khác điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu cấp cấp hai tương ứng, tức ta nhận điều kiện đặc trưng cho cực tiểu địa phương chặt cấp cấp hai Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa tốn, Phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khố học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lớp cao học tốn K2 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Trần Phương Hoa Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN Chương trình bày cách vắn tắt định lý luân phiên sử dụng để chứng minh điều kiện tối ưu gốc điều kiện tối ưu đối ngẫu tương đương Ta bắt đầu với định lý Farkas tiếng dạng dạng không Định lý Farkas ứng dụng chứng minh điều kiện tối ưu cấp dạng không để chứng minh điều kiện tối ưu cấp hai Các kết chương lấy [4] − [6] 1.1 CÁC ĐỊNH LÝ FARKAS THUẦN NHẤT VÀ KHÔNG THUẦN NHẤT Trước hết ta nhắc lại định lý Farkas [5] Định lý 1.1 ([5]) Cho ak1 , bk2 , ck3 ∈ Rn , k1 ∈ K1 , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 với K1 , K2 , K3 tập số hữu hạn Giả sử K1 6= ∅ Khi đó, hai khả (i) (ii) đúng: (i) Tồn ξ ∈ Rn thoả mãn ξ t ak1 < 0, k ∈ K1 , ξ t bk2 ≤ 0, k ∈ K2 , ξ t ck3 = 0, k ∈ K3 , Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ξ t chuyển vị vectơ ξ (ii) Tồn số µk1 ≥ 0, k1 ∈ K1 khơng đồng thời 0, µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2 λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 cho X X X µk1 ak1 + µk2 bk2 + λk3 ck3 = k1 ∈K1 k2 ∈K2 k3 ∈K3 Định lý sau cho ta tổng quát hoá định lý Farkas không Định lý 1.2 Giả sử ak1 , bk2 , ck3 ∈ Rn , k1 ∈ K1 , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 với K1 , K2 , K3 tập số hữu hạn; αk1 , βk2 , γk3 ∈ R, k1 ∈ K1 , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 Khi đó, hai khả (i) (ii) đúng: (i) Tồn ξ ∈ Rn thoả mãn ξ t ak1 < αk1 , k ∈ K1 , ξ t bk2 ≤ βk2 , k ∈ K2 , ξ t ck3 = γk3 , k ∈ K3 (ii) Tồn số µk1 ≥ 0, k1 ∈ K1 , µ0 ≥ 0, khơng đồng thời 0, µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2 λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 cho X X X µk1 ak1 + µk2 bk2 + λk3 ck3 = 0, k1 ∈K1 X k1 ∈K1 µk1 αk1 + k2 ∈K2 X µk2 βk2 + k2 ∈K2 k3 ∈K3 X λk3 γk3 = −µ0 ≤ k3 ∈K3 Chứng minh Đưa thêm biến ξn+1 , điều kiện (i) viết tương đương sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i’) Tồn nghiệm (ξ, ξn+1 ) hệ:     −ξn+1 < 0,       ξ t ak1 − ξn+1 αk1 < 0, k1 ∈ K1 ,    ξ t bk2 − ξn+1 βk2 ≤ 0,       ξ t ck3 − ξn+1 γk3 = 0, k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 Lưu ý tập số K1 tương ứng với bất đẳng thức chặt khác rỗng Từ định lý 1.1 ta suy ra: (ii’) Tồn số µk1 , k1 ∈ K1 , µ0 ≥ 0, khơng đồng thời 0, µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2 λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 cho         X X X ck3 bk2 ak1  = + + λk3  µk2  µk1  µ0   + −1 −γk3 −βk2 −αk1 k3 ∈K3 k2 ∈K2 k1 ∈K1  Đẳng thức tương đương với (ii) 1.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN KHÁC Để đề cập điều kiện tối ưu mạnh ta cần dạng khác định lý luân phiên Định lý gọi định lý luân phiên ổn định Định lý 1.3 Cho bk2 , ck3 ∈ Rn , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 với K2 , K3 tập số hữu hạn Khi đó, điều kiện (i) (ii) sau tương đương: (i) Không tồn vectơ ξ ∈ Rn , ξ 6= thoả mãn ( ξ t bk2 ≤ 0, k2 ∈ K2 , ξ t ck3 = 0, k3 ∈ K3 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Với nón ( ) ∇gj (x)˜ o n 0 n x ≤ 0, j ∈ J∗ (x); ∇hi (x)˜ x = 0, i ∈ I , C x = x˜ ∈ R ∇gj (x)˜ Cx0 ∇gj (x) đạo hàm Fréchet hàm gj x Nhận xét 2.1 Nói chung C x [tương ứng C x ] khơng bao đóng clCx Cx [tương ứng clCx0 ] Tuy nhiên, dễ thấy clCx ⊂ C x clCx 6= C x ⇒ Cx = ∅ Ta cho ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 Ta xét toán tối ưu với tập chấp nhận M ⊂ R2 xác định bất đẳng thức  g1 (x) = −x2 + x21 ≤ 0, g2 (x) = x2 − 2x21 ≤ Khi đó, với x = 0, ta có Cx = ∅,  C x = x˜ x˜2 = Ta có nón Cx tập hợp tất x˜ mà x + ε˜ x thuộc tập chấp nhận với ε > đủ nhỏ Tương tự, Cx0 tập tất x˜ ∈ Cx cho g0 (x + ε˜ x) < g0 (x), với ε > đủ nhỏ; tức x˜ phương giảm chấp nhận Nhắc lại (xem [1]) phần tương đối tập A ⊂ Rn phần A bao affine aff A A, ký hiệu riA Tập clA \ riA gọi biên tương đối tập A Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Lấy x ∈ M, x˜ ∈ C x [tương ứng x˜ ∈ C x ] Giả sử J∗ (x) 6= ∅ [tương ứng J∗0 (x) 6= ∅] Nếu x˜ nằm biên tương đối C x [tương ứng C x ] ∇gj (x)˜ x = với số j ∈ J∗ (x) [tương ứng j ∈ J∗0 (x)] Do đó, ta cần phải đưa vào tập số J∗∗ (x, x˜) [tương ứng J∗∗ (x, x˜)] o n x=0 J∗∗ (x, x˜) = j ∈ J∗ (x) ∇gj (x)˜ oi h n 0 x=0 J∗∗ (x, x˜) = j ∈ J∗ (x) ∇gj (x)˜ Các nón định nghĩa 2.1 gọi nón cấp Để phân tích hiệu điều kiện cấp hai ta cần đa diện sau Rn , mà ta gọi đa diện cấp hai Định nghĩa 2.2 Cho x ∈ M Với x˜ ∈ C x , ta định nghĩa n Cx,˜x = x˜˜