SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH Năm học 2019-2020 Mơn: Tốn (chun) Thời gian: 150 phút Câu (2,0 điểm) x 3 x 2 x 2 x A : x x x x x x Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A P 2 A x đạt giá trị lớn b) Tìm x để Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 3 x 1 x y x y x y x y 1 y x b) Giải hệ PT: Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD BA Gọi M , N trung điểm AC , AD Đường thẳng qua B song song với AD cắt MN E a) Chứng minh tứ giác NAEB hình chữ nhật b) Chứng minh ACE DCN Câu (1,5 điểm) a b c a) Tồn hay không số a, b, c thỏa mãn b ca c ab a bc 2019 x y 85 x ; y x y 13 b) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn Câu (1,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt M, N Kẻ dây MA đường tròn (O) tiếp xúc với O ' dây MB đường tròn O ' tiếp xúc với O Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN P P M Chứng minh PN PM Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh rằng: a b b c c a 2 Dấu " " xảy ? ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x 0, x 4, x 9 x x x 2 x 2 x x 2 A : x x x x x x x x x A : x x x x x x x x 1 x x x x 1 x b) Ta có: 1 P 2 A 2. 3 x x x 1 3 x x x P 3 3 x 0 x Pmax 3 0 x 1(tm) x Câu a) ĐKXĐ: x x x 3 x x 3x x 3 x x 1 x x x 0 x 1 x 1 x x 0 x 1 x 1 x x 0 x 1 x 1 x 0 x 0 x 1 x 2(tm) x 1(tm) x y x y x y x y 1 y x b) Giải hệ phương trình ĐKXĐ: x 2, y y x x y x y x y y x 1 x y 2 x y 1 1 y x y x x a y y b x2 y x y x 1 2 x y 1 y x b 1 a 2 a a Đặt Vậy a 0 (TM ) b 1 a 1 (TM ) b 0 x; y 2;0 ; 0;2 a b 1 2 a b 1 x 2 (TM ) y 0 x 0 (TM ) y 2 Câu D B N E C A M a) Ta thấy M , N trung điểm AC , AD nên MN đường trung bình tam giác ACD MN / /CD hay ANE ADB Vì BA BD ABD cân B BN AB, BDA BAD Vì BE / / AD BNA NBE 90 , ANE NEB BEAN tứ giác nội tiếp NEA 1800 900 900 Vì NAE BNA NBE 90 (dfcm) DAB b) Dễ thấy MAE (cùng phụ với BAE ) MAE MNA MA MN MAE MNA ( g g ) ME MA Lại có AME góc chung nên MC MN MA MC ME MC Mà Do EMC góc chung MEC MCN (c.g c ) ECM MNC Lại có MN / / CD (đường trung bình) MNC DCN ACE DCN (dfcm) Câu a) Giả sử tồn số thực a, b, c thỏa mãn yêu cầu đề 2 Rõ ràng ĐK a, b, c là: a bc, b ca, c ab 2 2 Nếu a b c a bc a a 0 a bc (vô lý) Vậy nên số a, b, c phải có số khác Khi đó: a b 2 b c c a Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a b c b ca c ab a bc a b b c c a 2019 2 a b c Khi đó, tồn số nhau, giả sử a b thì: a b b ca c ab 0 2 b ca c ab a b c b c 0 b c a b c (vô lý) Từ dãy tỉ số nhau, ta có: a b b c c a b ca c ab c ab a bc a ab b ca 2019 a b b c a b b c a b c c a a b c a b a b c 2019 x yz 2 2 y zx x y z xy yz zx z xy Đặt : 2 x y y z z x 0 x y z a b 2c c b 2a a c 2b a b 2c c b 2a a b 2b 2a a b 2c c b 2a a b c 3 a b 0 Kết cho thấy vô lý Vậy không tồn số thỏa mãn theo yêu cầu x y 85 x, y x y , x y x y 13 b) Vì 85 x y 13 x y x y Áp dụng BĐT: x y x y 2 x y 0 (luôn đúng) 13 170 85 x y 13 x y x y x y x y 13 13 Ta có : x y x y 13 x y 85 x y 13 Mà : x 6 (TM ) y 13 x y x y 13 2 x y 85 x 13 x 85 x 7 (TM ) y 6 Vậy nghiệm phương trình x; y 6;7 ; 7;6 Câu M K H O' O B A I N P Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Gọi H , K theo thứ tự giao điểm OO ' với MN MI Rõ ràng OO ' MN HM HN Ta thấy IM IP nên NP NM nên OI đường trung trực đoạn MA MA OI OI / / MO ' (vì MA MO ') Tương tự O ' I / / MO OIMO ' hình bình hành, K trung điểm MI HK đường trung bình MNI NI / / HK hay NI / / OO ' Mà MN MO ' MN IN IN MP PN MN (dfcm) Câu Bình phương vế, ta cần chứng minh tương đương a b 1 b c 1 c a 1 2ab 2bc c 1 a 1 2ca b b 1 c 1 1 a 1 4 (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a 1 b 1 a 2b a b a 2b 2ab ab Gọi vế trái (*) S Áp dụng BĐT Cauchy ta có: S a 2b b 2c c 2a a b c 2ab bc 1 2bc ca 1 2ca ab 1 2 ab bc ca a b c ab bc ca 3. ab bc ca 4 a b c ab bc ca a b c ab bc ca 1 Dấu " " xảy