044 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh lào cai

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LÀO CAI MÔN TOÁN – NĂM 2019-2020 Câu I 1) Cho phương trình x  2mx  2m  0 Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức P x1 x2  x12  x22    x1x2  m thay đổi 1   a , b , c a b c Chứng minh 2) a) Cho ba số hữu tỉ thỏa mãn A  a  b  c số hữu tỉ b) Cho ba số hữu tí x, y, z đôi phân biệt Chứng minh : B  x  y   y  z   z  x số hữu tỉ Câu II 2  x   x  10      x  x      1) Giải phương trình :  1 1  x  x     4 y y    x3  x  x  4  y2 y y3 2) Giải hệ phương trình:  Câu III Cho tam giác ABC , điểm D, E thuộc cạnh AC , AB cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Câu IV Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định  O  AB  P điểm di động đoạn thẳng AB ( P  A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn  O  A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn  O  B Hai đường tròn  C   D  cắt N  N P  1) Chứng minh ANP BNP bốn điểm O, D, C , N nằm đường tròn 2) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu V 1) Cho a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thỏa mãn a1  a2   a45 130 Đặt d j a j 1  a j  j 1,2, ,44  d Chứng mnh 44 hiệu j xuất 10 lần 2 2 2 2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  b  c  c  a  2011 a2 b2 c2 2011    Chứng minh rằng: b  c c  a a  b ĐÁP ÁN Câu I 1) Ta có :  '  m  1 0, m nên phương trình có hai nghiệm với m 4m  x1  x2 2m, x1 x2 2m   P  4m  Theo định lý Viet, ta có:  2m  1 4m  2 2) a) Từ giả thiết suy 2ab  2bc  2ca 0 1  Suy A 1  MaxP 1  m   a  b  c a b  c số hữu tỉ 1 1 1 a ,b  ,c     x y y z x z a b c b) Đặt B Áp dụng câu 2a) suy  x  y   y  z   z  x số hữu tỉ Câu II 1) Điều kiện: x 1 Phương trình tương đương với : x  x2 10  x       x  x  x    Đặt t  x2  x 10   0   x  x    2x2 , x  ta phương trình:  x2 t    (VN )  10 x  t  t 0   2 x2  t     x  (tm)  x 1  x   x  4  y y    x   x  x   4  y y  y  y  2) Điều kiện : Hệ tương đương với  u  x   y  v  x  y Đặt  , ta hệ :  x  2 y u 2      v  x   1  y Với u  u  2v 4   u  2uv 4 u  4u  0   u  u  2v u 2  v 1  x 1  tmdk   y   Câu III A E F D P B G C Kẻ EF  AC F, DG  BC G Theo giả thiết S ADPE S BPC  S ACE S BCD Mà AC BC  EF DG  A C  AEF CDG  AE CG Do AEC CDB (c.g c )  DBC ECA  BPE PBC  PCB PCD  PCB 600 Câu IV NHO C A D B P E Q 1) Gọi Q giao điểm tiếp tuyến chung  O  với  C  ,  D  A, B tương ứng Suy ANP QAP QBP BNP Ta có : ANB ANP  BNP QAP  QBP 180  AQB Suy NAQB tứ giác nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm O, N , A, Q, B nằm đường trịn Ta có: OCN 2OAN 2OBN ODN , suy bốn điểm O, D, C , N nằm đường tròn 2) Gọi E trung điểm OQ, suy E cố định E tâm đường tròn qua điểm N , O, D, C Suy đường trung trực ON qua điểm E cố định Câu V 1) d1  d   d 44  a2  a1    a3  a2     a45  a44  a45  a1 130  129 d j 1,2, ,44  Nếu hiệu j  xuất khơng q 10 lần d1  d   d 44 9       8.5 130 mâu thuẫn với  1 Vậy phải có hiệu d j  j 1, ,44   a  b2   a  b  xuất khơng 10 lần 2) Ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2      2 2 b c c a a b 2 b  c  2 c  a   c2  a2  Suy 2 2 2 Đặt x  b  c , y  c  a , z  a  b y2  z  x2 z  x2  y2 x2  y2  z  VT    2x 2y 2z    z  x    x  y2    y  z    x   y   z    2y   2z  2   x         z  x    x  y2    y  z    x  3x     y  3y     z  3z     2y   2z  2   x         y  z   3x     z  x   y     x  y   3z    2  VT  2  x  y  z  2011 2 (1)