KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LÀO CAI MÔN TOÁN – NĂM 2019-2020 Câu I 1) Cho phương trình x 2mx 2m 0 Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức P x1 x2 x12 x22 x1x2 m thay đổi 1 a , b , c a b c Chứng minh 2) a) Cho ba số hữu tỉ thỏa mãn A a b c số hữu tỉ b) Cho ba số hữu tí x, y, z đôi phân biệt Chứng minh : B x y y z z x số hữu tỉ Câu II 2 x x 10 x x 1) Giải phương trình : 1 1 x x 4 y y x3 x x 4 y2 y y3 2) Giải hệ phương trình: Câu III Cho tam giác ABC , điểm D, E thuộc cạnh AC , AB cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Câu IV Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định O AB P điểm di động đoạn thẳng AB ( P A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn O A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn O B Hai đường tròn C D cắt N N P 1) Chứng minh ANP BNP bốn điểm O, D, C , N nằm đường tròn 2) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu V 1) Cho a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thỏa mãn a1 a2 a45 130 Đặt d j a j 1 a j j 1,2, ,44 d Chứng mnh 44 hiệu j xuất 10 lần 2 2 2 2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b b c c a 2011 a2 b2 c2 2011 Chứng minh rằng: b c c a a b ĐÁP ÁN Câu I 1) Ta có : ' m 1 0, m nên phương trình có hai nghiệm với m 4m x1 x2 2m, x1 x2 2m P 4m Theo định lý Viet, ta có: 2m 1 4m 2 2) a) Từ giả thiết suy 2ab 2bc 2ca 0 1 Suy A 1 MaxP 1 m a b c a b c số hữu tỉ 1 1 1 a ,b ,c x y y z x z a b c b) Đặt B Áp dụng câu 2a) suy x y y z z x số hữu tỉ Câu II 1) Điều kiện: x 1 Phương trình tương đương với : x x2 10 x x x x Đặt t x2 x 10 0 x x 2x2 , x ta phương trình: x2 t (VN ) 10 x t t 0 2 x2 t x (tm) x 1 x x 4 y y x x x 4 y y y y 2) Điều kiện : Hệ tương đương với u x y v x y Đặt , ta hệ : x 2 y u 2 v x 1 y Với u u 2v 4 u 2uv 4 u 4u 0 u u 2v u 2 v 1 x 1 tmdk y Câu III A E F D P B G C Kẻ EF AC F, DG BC G Theo giả thiết S ADPE S BPC S ACE S BCD Mà AC BC EF DG A C AEF CDG AE CG Do AEC CDB (c.g c ) DBC ECA BPE PBC PCB PCD PCB 600 Câu IV NHO C A D B P E Q 1) Gọi Q giao điểm tiếp tuyến chung O với C , D A, B tương ứng Suy ANP QAP QBP BNP Ta có : ANB ANP BNP QAP QBP 180 AQB Suy NAQB tứ giác nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm O, N , A, Q, B nằm đường trịn Ta có: OCN 2OAN 2OBN ODN , suy bốn điểm O, D, C , N nằm đường tròn 2) Gọi E trung điểm OQ, suy E cố định E tâm đường tròn qua điểm N , O, D, C Suy đường trung trực ON qua điểm E cố định Câu V 1) d1 d d 44 a2 a1 a3 a2 a45 a44 a45 a1 130 129 d j 1,2, ,44 Nếu hiệu j xuất khơng q 10 lần d1 d d 44 9 8.5 130 mâu thuẫn với 1 Vậy phải có hiệu d j j 1, ,44 a b2 a b xuất khơng 10 lần 2) Ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 2 b c c a a b 2 b c 2 c a c2 a2 Suy 2 2 2 Đặt x b c , y c a , z a b y2 z x2 z x2 y2 x2 y2 z VT 2x 2y 2z z x x y2 y z x y z 2y 2z 2 x z x x y2 y z x 3x y 3y z 3z 2y 2z 2 x y z 3x z x y x y 3z 2 VT 2 x y z 2011 2 (1)