Chương VIII Đại số tổ hợp Trong chương này, tìm hiểu hai quy tắc đếm, khái niệm hốn vị, hợp, tổ hợp vận dụng chúng để giải toàn đếm phong phú thực tiễn Chúng ta làm quen với khai triển nhi thức Newton Tại nên chọn mật nhiều kí tự? Học xong chương này, bạn có thể: - Vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân số tình đơn giản - Vận dụng sơ đồ hình cây, khái niệm hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải toán đếm tình khác - Sử dụng máy tính cầm tay để tính số hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Khai triển nhị thức NeWton (a + b)n với số mũ n≤5 Bài Quy tắc cộng quy tắc nhân Từ khoá: Quy tắc cộng; Quy tắc nhân Một công ty dự kiến tạo mã số nhân viên, mã số có ba kí tự gồm chữ tiếng anh viết hoa đứng trước hai chữ số Tuy nhiên, họ bán khoãn số mã số có đủ để cấp cho nhân viên họ mã số riêng hay khơng, Họ cần làm để biết điều đó? Quy tắc cộng Trong cửa hàng bán kem có loại kem que loại kem ốc quế Hình Có cách chọn mua loại kem que kem ốc quế hàng này? Trong hoạt động trên, coi việc chọn mua loại kem cơng việc có hai phương án thực Phương án thứ chọn kem que, có cách thực Phương án thứ hai chọn kem ốc quế, có cách thực Số cách chọn tổng số cách thực hai phương án Tổng quát, ta có quy tắc sau Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo phương án A B Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A Khi đó, cơng việc thực theo m + n cách Ví dụ Lớp 10A có 36 học sinh, lớp 10B có 40 học sinh Có cách cử học sinh lớp 10A lớp 10B tham gia cơng việc tình nguyện diễn ra? Giải Công việc cử học sinh có hai phương án thực hiện: Phương án 1: Cử học sinh lớp 10A, có 36 cách thực Phương án 2: Cử học sinh lớp 10B, có 40 cách thực Ta thấy cách thực phương án không trùng với cách phương án Do đó, theo quy tắc cộng, có 36 + 40 = 76 cách cử học sinh thuộc hai lớp tham gia cơng việc tình nguyện Mở rộng hơn, ví dụ sau đây, ta xét cơng việc có ba phương án thực Ví dụ Mỗi ngày có chuyến xe khách, chuyến tàu hoả chuyến máy bay từ thành phố A đến thành phố B Mỗi ngày có cách chọn chuyến chuyển từ thành phố A đến thành phố B ba loại phương tiện trên? Giải Việc di chuyển tử A đến B có ba phương án thực Phương án 1: Di chuyển xe khách, có cách chọn chuyến Phương án 2: Di chuyển tàu hồ, có cách chọn chuyến Phương án 3: Di chuyển máy bay, có cách chọn chuyến Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn chuyển để di chuyển tử A đến B +3 + + = 13 (cách) Hà có sách khoa học, tiểu thuyết truyện tranh (các sách khác đôi một), Hà đồng ý cho Nam mượn sách số để đọc, Nam có cách chọn sách để mượn? Quy tắc nhân An có áo quần thể thao An muốn chọn quần áo số để mặc chơi thể thao cuối tuần a) Vẽ vào hồn thành sơ đồ Hình để thể tất khả mà An lựa chọn quần áo b) An có cách lựa chọn quần áo? Hãy giải thích Cơng việc chọn quần áo bạn An coi gồm hai cơng đoạn: - Công đoạn thứ nhất: Chọn áo tử áo Có cách thực cơng đoạn - Công đoạn thứ hai: ứng với cách chọn áo, có cách chọn quần Từ sơ đồ hình ta thấy số cách thực cơng việc bạn An tích số cách thực hai công đoạn Tổng quát, ta có quy tắc sau: Quy tắc nhân Giả sử công việc chia thành hai công đoạn Cơng đoạn thứ có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn thứ hai Khi đó, cơng việc thực theo m.n cách Ví dụ Có ba thị trấn A, B, C Có đường để từ A đến B; có đường để từ B đến C Có cách chọn đường để từ A, qua B đến C? Giải Việc từ A, qua B đến C gồm công đoạn: Công đoạn thứ nhất: Đi từ A đến B, có cách chọn đường Công đoạn thứ hai: ứng với cách chọn đường từ A đến B, có cách chọn đường từ B tới C Theo quy tắc nhân, có 5.3 = 15 cách chọn đường để từ A, qua B đến C Mở rộng hơn, ví dụ sau đây, ta xét cơng việc chia thành ba cơng đoạn Ví dụ Một đồng xu có hai mặt sấp ngửa (kí hiệu S N) Tung đồng xu ba lần liên tiếp ghi lại kết Tìm số kết q xảy ra, theo hai cách sau đây: a) Vẽ sơ đồ hình b) Sử dụng quy tác nhân Giải a) Vẽ sơ đồ Hình Từ sơ sơ đồ này, ta thấy có kết xảy b) Có thể coi việc tung đồng xu ba lần liên tiếp công việc gồm ba công đoạn, công đoạn tương ứng với lần tung đồng xu Mỗi lần tung có hai kết quả, S N Do đó, theo quy tắc nhân, số kết việc tung đồng xu ba lần liên tiếp là: 2.2 = (kết quả) Ví dụ Các phân tử RNA (acid ribonucleic) thành phần tế bào sinh vật, có chức truyền đạt thông tin di truyền chức quan trọng khác Mỗi phân tử RNA dãy phân tử nuclcotide thuộc bốn loại A (adenine), C (cytosine), G (guanine) U (uracil), Hình hình ảnh mơ đoạn phân tử RNA Số lượng xếp khác phân tử nucleotide A, C, G hay U tạo nên đoạn phân tử RNA khác Có nhiều đoạn phân tử RNA khác có phân tử nucleotide? Giải Có thể coi việc tạo nên đoạn phân tử RNA có phân tử nucleotide công việc gồm công đoạn, công đoạn ứng với việc chọn bốn loại nucleotide A, C, G U cho vị trí (thứ nhất, thứ hai, thứ ba) đoạn, Như vậy, cơng đoạn có cách thực hiện, Theo quy tắc nhân, cơng đoạn có số cách thực là: 4.4 = 43 Vậy có nhiều đoạn phân tử RNA khác có phân tử nuclcotide Ví dụ Từ năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập a) số tự nhiên có ba chữ số đơi khác nhau? b) số tự nhiên chấn có ba chữ số đơi khác nhau? Giải Kí hiệu số cần lập abc, với a, b, c ba chữ số đôi khác từ chữ số cho a) Có cách lựa chọn chữ số a từ bốn chữ số khác cho Ứng với cách chọn đó, có cách chọn chữ số b từ bốn chữ số lại Ứng với cách chọn đó, có cách chọn chữ số c từ ba chữ số cịn lại Tử đó, áp dụng quy tắc nhân, có 4.4.3 = 48 số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lập từ chữ số cho b) Đề số abc số chẵn, chữ số c phải chữ số chẫn Ta xét hai trường hợp sau - Trường hợp 1: c = Khi đó, có cách chọn chữ số a từ bốn chữ số lại, ứng với cách chọn đó, có cách chọn chữ số từ ba chữ số lại Do đó, theo quy tắc nhân, trường hợp có 4.3 = 12 số thoả mãn yêu cầu - Trường hợp 2: c = c = Khi đó, có hai cách chọn chữ số c từ hai chữ số Ứng với cách chọn đó, có cách chọn chữ số a từ ba chữ số khác lại, ứng với cách chọn đó, có cách chọn chữ số từ chữ số cịn lại Do đó, theo quy tắc nhân, trường hợp có 2.3.3 = 18 số thoả mãn yêu cầu Trong hai trường hợp trên, số lập theo trường hợp khác với số lập trường hợp Theo quy tác cộng, có 12 + 18 = 30 số tự nhiên chẫn có ba chữ số đơi khác lập từ chữ số cho Một mẫu xe tơ có màu ngoại thất trắng, đen, cam bạc Mẫu xe có màu nội thất đen xám a) Khách hàng có lựa chọn màu ngoại thất nội thất mua xe ô tô mẫu này? b) Hãy vẽ sơ đồ hình để giải thích cho kết tính tốn Có nhiều đoạn phân tử RNA khác chứa phân tử nucleotide, đó: a) khơng có nucleotide A nào? b) có nucleotide A nằm vị trí đầu tiên? Trong phần khởi động đầu học này, nều cơng ty có 2500 nhân viên số mã số có đủ đề cấp cho nhân viên mã số riêng hay không? BÀI TẬP Một thùng chứa dưa hấu, thùng khác chứa 15 long Từ hai thùng này, a) có cách chọn dưa hấu long? b) có cách chọn dưa hấu long? Tung đồng thời đồng xu xúc xắc, nhận kết mặt xuất đồng xu (sấp hay ngửa) số chấm xuất xúc xắc a) Tính số kết xảy b) Vẽ sơ đồ hình liệt kê tất kết Tại nhà hàng chuyên phục vụ cơm trưa văn phòng, thực đơn có chính, phụ loại đồ uống, Tại đây, thực khách có cách chọn bữa trưa gồm chính, phụ loại đồ uống? Có số tự nhiên có ba chữ số, chữ số hàng trăm chữ số chẵn, chữ số hàng đơn vị chữ số 1ẻ? An từ nhà đến trường theo đường Hình 11, có đường qua nhà sách a) An có cách từ nhà đến trường mà có qua nhà sách? b) An có cách từ nhà đến trường? Lưu ý: Chỉ tính đường qua điểm (nhà An, nhà sách, trường) không lần