Phần THỐNG KÊ VÀ XÁC XUẤT Chương X XÁC XUẤT Trong chương tìm hiểu số khái niệm xác xuất phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố, biến cố đối cơng thức tính xác suất biến cố Xác suất công cụ nhiều nhà đầu tư sử dụng để phân tích thị trường chứng khoản nhằm tìm phương án kinh doanh hiệu Học xong chương này, bạn có thể: Nhận biết số khái niệm xác suất cổ điển: phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu biến cố Tính xác suất biến cố phương pháp tổ hợp sử dụng sơ đồ hình Hiểu ý nghĩa tính chất xác suất Nhận biết khái niệm biến cố đối tính xác suất biến cố đối Bài Khơng gian mẫu biến cố Từ khóa: Phép thử ngẫu nhiên; Không gian mẫu; Biến cố; Kết thuận lợi Ta thường gặp hoạt động mà khơng thể đốn trước kết biết tất kết xảy ra, ví dụ ta gieo xúc xắc, tung đồng xu, … Trong này, ta tìm hiểu hoạt động theo quan niệm xác suất cổ điển Phép thử ngẫu nhiên khơng gian mẫu Ba bạn An, Bình, Cường chơi với An gieo xúc xắc mặt cân đối (viết tắt xúc xắc) hai lần Nếu kết hai lần gieo hai mặt có số chấm khác Bình thắng Ngược lại, kết hai lần gieo hai mặt có số chấm giống Cường thắng a) Trước An gieo xúc xắc, biết bạn chiến thắng không? b) Liệt kê tất kết xảy số chấm xuất hai lần gieo Ở hoạt động trên, trước An gieo xúc xắc ta biết kết xảy Có thể hai lần tung mặt có số chấm giống nhau, hai lần tung hai mặt có số chấm khác Ta nói An thực phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) hoạt động mà ta khơng thể biết trước kết Tập hợp tất kết có phép thử ngẫu nhiên gọi không gian mẫu, kí hiệu Ω Chú ý: Trong chương này, ta xét phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử Ví dụ Một đồng xu có hai mặt, mặt có ghi giá trị đồng xu, thường gọi mặt sấp, mặt mặt ngửa Hãy xác định không gian mẫu phép thử ngẫu nhiên sau: a) Tung đồng xu lần; b) Tung đồng xu hai lần Giải a) Khi tung đồng xu lần, ta có khơng gian mẫu Ω = {S; N}, kí hiệu S để đồng xu xuất mặt sấp N để đồng xu xuất mặt ngửa b) Khi tung đồng xu hai lần, ta có khơng gian mẫu Ω = {SS; SN; NS; NN} Ở ta quy ước SN có nghĩa lần đầu tung mặt sấp, lần sau tung mặt ngửa Các kí hiệu SS, NS, NN hiểu cách tương tự Ví dụ Trong hộp có bốn bóng đánh số từ đến Hãy xác định không gian mẫu phép thử sau: a) Lấy ngẫu nhiên bóng; b) Lấy ngẫu nhiên lúc hai bóng; c) Lấy ngẫu nghiên hai bịng Giải a) Khơng gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4} b) Do lần ta lấy hai bóng mà khơng tính đến thứ tự nên không gian mẫu gồm tập gồm hai phần tử tập hợp {1; 2; 3; 4}, tức là: Ω = { {1; 2}; {1; 3}; {1; 4}; {2; 3}; {2; 4}; {3; 4} } c) Do hai bóng lấy nên ta cần phải tính đến thứ tự lấy bóng Nếu lần đầu lấy bóng số 3, lần sau lấy bóng số ta kí hiệu kết phép thử cặp (3; 1) Khi khơng gian mẫu phép thử là: Ω = { (1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1); (1; 4); (4; 1); (2; 3); (3; 2); (2; 4); (4; 2); (3; 4); (4; 3) } Tìm khơng gian mẫu phép thử thực Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Ví dụ 2, xem số, sau trả lại hộp, trộn lại lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Hãy xác định khơng gian mẫu phép thử hai lần lấy bóng 2 Biến cố Xét trò chơi a) Nếu kết phép thử (2; 3) người chiến thắng? b) Hãy liệt kê tất kết phép thử đem lại chiến thắng cho Cường Ta thấy kiện A: “Cường giành chiến thắng” xảy kết hai lần gieo (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6) Do đó, ta đồng A với tập hợp gồm kết viết: A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)} Mỗi tập khơng gian mẫu gọi biến cố, kí hiệu A, B, C, … Một kết thuộc A gọi kết làm cho A xảy ra, kết thuận lợi cho A Ví dụ Xét phép thử gieo hai xúc xắc: a) Hãy xác định không gian mẫu phép thử b) Viết tập hợp mô tả biến cố “Tổng số chấm xuất hai xúc xắc 4” Có kết thuận lợi cho biến cố đó? Giải a) Kết phép thử cặp số (i; j), i j số chấm xuất xúc xắc thứ thứ hai Không gian mẫu phép thử là: Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)} Ta viết không gian mẫu dạng: Ω = {(i; j) | i, j = 1, 2, …, 6} b) Gọi A biến cố “Tổng số chấm xuất hai xúc xắc 4” Tập hợp mô tả biến cố A là: A = {(1; 3); (2; 2); (3; 1)} Như có ba kết thuận lợi cho biến cố A Trong phép thử gieo hai xúc xắc, gọi B biến cố “Xuất hai mặt có số chấm” C biến cố “Số chấm xuất xúc xắc thứ gấp lần số chấm xuất xúc xắc thứ hai” a) Hãy xác định biến cố B C cách liệt kê phần tử b) Có kết thuận lợi cho B kết thuận lợi cho C? Trong phép thử gieo hai xúc xắc, có kết thuận lợi cho biến cố sau? D: “Tổng số chấm xuất hai xúc xắc nhỏ 13”; E: “Tổng số chấm xuất hai xúc xắc 13” Biến cố D xảy ra, ta nói D biến cố chắn Biến cố E khơng xảy ra, ta nói E biến cố Biến cố chắn biến cố ln xảy ra, kí hiệu Ω Biến cố biến cố không xảy ra, kí hiệu Ø Đơi ta cần dùng quy tắc đếm công thức tổ hợp để xác định số phần tử không gian mẫu số kết thuận lợi cho biến cố Ví dụ Một nhóm có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên lúc bạn làm cơng tác tình nguyện a) Hãy xác định số phần tử không gian mẫu b) Hãy xác định số kết thuận lợi cho biển cố “Trong bạn chọn có bạn nữ” Giải a) Do ta chọn bạn khác từ bạn nhóm khơng tính đến thứ tự nên số phần tử không gian mẫu C 39 = 84 b) Ta có C 24 cách chọn bạn nữ từ bạn nữ Ứng với cách chọn bạn nữ có C 15 cách chọn bạn nam từ bạn nam Theo quy tác nhân ta có tất C 24 C15 cách chọn bạn nữ bạn nam từ nhóm bạn Do số kết thuận lợi cho biến cố “Trong bạn chọn có bạn nữ” C 24 C15 = 30 Trong Ví dụ 4, xác định số kết thuận lợi cho biến cố: a) “Trong bạn chọn có bạn nữ”; b) “Trong bạn chọn khơng có bạn nam nào” BÀI TẬP Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ 100 a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Gọi A biến cố “Số chọn số phương” Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A c) Gọi B biến cố “Số chọn chia hết cho 4” Hãy tính số kết thuận lợi cho B Trong hộp có thẻ đánh số từ đến Hãy xác định không gian mẫu phép thử: a) Lấy thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp lại lấy tiếp thẻ từ hộp; b) Lấy thẻ từ hộp, xem số, bỏ lại lấy tiếp thẻ khác tử hộp; c) Lấy đồng thời thẻ từ hộp Gieo hai xúc xắc Hãy tính số kết thuận lợi cho biến cố: a) “Số chấm xuất hai xúc xắc chấm”; b) “Tích số chấm xuất hai xúc xắc chia hết cho 5”; c) “Tổng số chấm xuất hai xúc xắc số lẻ” Xếp viên bi xanh viên bi trắng có kích thước khác thành hàng ngang cách ngẫu nhiên Hãy tính số kết thuận lợi cho biến cố: a) “Khơng có hai viên bi trắng xếp liền nhau”; b) “Bốn viên bi xanh xếp liền nhau”