Ctst tap 2 9 1

Phần HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG Chương IX PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Trong chương IX, tìm hiểu tọa độ vectơ, thiết lập biểu thức tọa độ phép toán vectơ dùng phương pháp tọa độ để viết phương trình đường thẳng, đường trịn Chúng ta tìm hiểu ba đường conic elip, hypebol, parabol phương trình tắc chúng mặt phẳng tọa độ Vận dụng hình học tọa độ, giải số vấn đề thực tiễn Học xong chương này, bạn có thể: - Tìm toạ độ vectơ, độ dài vectơ phương pháp toạ độ - Thiết lập phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng Nhận biết vị trí tương đối hai đường thắng, tính hai đường thẳng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng phương pháp toạ độ - Thiết lập phương trình đường trịn; xác định tâm bán kính đường trịn biết phương trình đường trịn Thiết lập phương trình tiếp tuyến đường tròn biết toạ độ tiếp điểm - Nhận biết ba đường conic hình học phương trình tắc ba đường conic mặt phẳng toạ độ - Vận dụng phương pháp toạ độ để giải số toán liên quan đến thực tiến blog hotrohoctap.com Bài TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ Từ khoá: Trục toạ độ; Hệ trục toạ độ; Mặt phẳng toạ độ; Toạ độ vectơ; Toạ độ điểm; Biểu thức toạ độ phép toán vectơ Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ Hãy nêu nhận xét độ lớn, phương chiều vectơ i⃗ trục Ox vectơ ⃗j trục Oy (hình 1) Trục tọa độ Trục toạ độ (gọi tắt trục) đường thắng xác định điểm (gọi điểm gốc) vectơ e⃗ có độ dài gọi vectơ đơn vị trục Ta kí hiệu trục (O; e⃗ ) Hệ trục toạ độ Hệ trục toạ độ (O; i⃗ ; ⃗j) gồm hai trục (O; i⃗ ) (O; ⃗j ) vng góc với Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc toạ độ Trục (O; i⃗ ) gọi trục hồnh kí hiệu Ox, trục (O; ⃗j ) gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i⃗ ⃗j vectơ đơn vị Ox Oy Hệ trục tọa độ (O; i⃗ ; ⃗j) ký hiệu Oxy Chú ý: Mặt phẳng mà cho hệ trục toạ độ Oxy gọi mặt phẳng toạ độ Oxy, hay gọi tắt mặt phẳng Oxy Toạ độ vectơ Trong mặt phằng Oxy, cho vectơ a⃗ tuỳ ý Vẽ ⃗ OA= a⃗ gọi A1, A2 hình chiếu vng góc A lên Ox Oy (Hình 4) Đặt ⃗ OA = xi⃗ , ⃗ OA = y ⃗j Biểu diễn vectơ a⃗ theo hai vectơ i⃗ ⃗j blog hotrohoctap.com Trong mặt phằng Oxy, cặp số (x; y) biểu diễn a⃗ = xi⃗ + y ⃗j gọi toạ độ vectơ a⃗ , kí hiệu a⃗ =(x; y), x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ a⃗ Chú ý: a⃗ =(x; y)  a⃗ = xi⃗ + y ⃗j x=x ' Nếu cho a⃗ =(x; y) b⃗ = (u ’; y ’) a⃗ =b⃗  y= y ' { Toạ độ điểm Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M Xác định toạ độ vectơ ⃗ OM Trong mặt phằng toạ độ, cho điểm M tuỳ ý Toạ độ vectơ ⃗ OM gọi toạ độ điểm M Nhận xét: - Nếu ⃗ OM = (x; y) cặp số (x; y) toạ độ điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi hoành độ, y gọi tung độ điểm M - M(x; y)  ⃗ OM = xi⃗ + y ⃗j Chú ý: Hoành độ điểm M cịn kí hiệu xM, tung độ điểm M cịn kí hiệu yM Khi ta viết M(xM; yM ) Ví dụ Trong mặt phăng Oxy, cho ba điểm A, B, C biểu diễn Hình a) Hãy biểu thị vectơ ⃗ OA , ⃗ OB , ⃗ OC qua hai vectơ i⃗ ⃗j b) Tim toạ độ vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗ điểm A, B, C Giải a) Ta có: ⃗ OA = i⃗ + ⃗j , ⃗ OB = 3i⃗ + ⃗j , ⃗ OC = -2i⃗ – ⃗j b) Từ kết trên, suy ra: a⃗ = ⃗ OA = (1; 3), b⃗ = ⃗ OB = (3; 0), c⃗ = ⃗ OC = (-2; -1) Do A(1; 3), B(3; 0), C(-2; -1) blog hotrohoctap.com Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0) a) Vẽ điểm D, E, F mặt phẳng Oxy b) Tìm toạ độ vectơ ⃗ OD, ⃗ OE , ⃗ OF c) Vẽ tìm toạ độ hai vectơ đơn vị i⃗ ⃗j hai trục toạ độ Ox Oy Một máy bay cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang góc 30o (Hình 7) a) Tính độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD b) Biểu diễn vectơ vận tốc ⃗v theo hai vectơ i⃗ ⃗j c) Tìm toạ độ ⃗v Biểu thức toạ độ phép toán vectơ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a⃗ = (a1; a2), b⃗ = (b1; b2) số thực k Ta biết biểu diễn vectơ a⃗ , b⃗ theo hai vectơ i⃗ , ⃗j sau: a⃗ =¿ a1i⃗ + a2 ⃗j ; b⃗ = b1i⃗ + b2 ⃗j a) Biểu diễn vectơ: a⃗ + b⃗ , a⃗ – b⃗ , k⃗a theo hai vectơ i⃗ , ⃗j b) Tìm a⃗ b⃗ theo toạ độ hai vectơ a⃗ b⃗ Cho hai vectơ a⃗ = (a1; a2), b⃗ = (b1; b2) số thực k Khi đó: 1) a⃗ + b⃗ = (a1 + b1; a2 + b2); 2) a⃗ - b⃗ = (a1 – b1; a2 – b2); 3) k⃗a = (ka1; ka2); 4) a⃗ b⃗ = a1b1 + a2b2 blog hotrohoctap.com Ví dụ Cho hai vectơ a⃗ (1; 5), b⃗ = (4; -2) a) Tìm toạ độ vectơ a⃗ + b⃗ , a⃗ – b⃗ , 3⃗a , -5b⃗ b) Tính tích vô hướng a⃗ b⃗ , (3⃗a ).(-b⃗ ) Giải a) Ta có: a⃗ + b⃗ = (1 + 4; + (-2)) = (5; 3); 3⃗a = (3 1; 5) = (3; 15); a⃗ - b⃗ = (1 - 4; – (-2)) = (-3; 7); -5b⃗ = (-5 4; -5 (-2)) = (-20; 10) b) Ta có: a⃗ b⃗ = + (-2) = – 10 = -6; 3⃗a = (3; 15) - b⃗ = (-4; 2) nên (3⃗a ).(-b⃗ ) = (-4) + 15 = -12+ 30 = 18 m =(-6; 1), n⃗ = (0; 2) Cho hai vectơ ⃗ m + n⃗ , ⃗ m – n⃗ , 10⃗ m , -4⃗n a) Tìm toạ độ vectơ ⃗ m n⃗ , (10⃗ m ).(4⃗n) b) Tính tích vơ hướng ⃗ Một thiết bị thăm dò đáy biển lặn với vận tốc ⃗v = (10; -8) (Hình 8) Cho biết vận tốc w = (3,5; 0) Tìm toạ độ củaa vectơ tổng hai vận tốc ⃗v ⃗ w dòng hải lưu vùng biển ⃗ Áp dụng toạ độ vectơ Liên hệ toạ độ điểm toạ độ vectơ mặt phẳng Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) Từ biểu thức ⃗ AB = ⃗ OB – ⃗ OA , tìm toạ độ vectơ ⃗ AB theo toạ độ hai điểm A, B Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) Ta có: ⃗ AB = (xB – xA; yB – yA) blog hotrohoctap.com Ví dụ Cho M(1; 2), N(-3: 4), P(5; 0), Tìm toạ độ vectơ ⃗ MN, ⃗ PM,⃗ NP Giải ⃗ MN = (xN – xM; yN – yM ) = (-3 – 1; – 2) = (-4; 2); ⃗ PM = (xM –xP; yM – yP) = (1 – 5; – 0) = (-4; 2); ⃗ NP = (xP – xN; yP – yN) = (5 + 3; – 4) = (8; -4) Cho E(9; 9), F(8; -7), G(0; -6) Tìm toạ độ vectơ ⃗ FG, ⃗ EG FE, ⃗ Tọa độ trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có toạ độ ba đỉnh A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Gọi M(xM; yM) trung điểm đoạn thẳng AB, G(xG; yG) trọng tâm tam giác ABC a) Biểu thị vectơ ⃗ OM theo hai vectơ ⃗ OA ⃗ OB b) Biểu thị vectơ ⃗ OG theo ba vectơ ⃗ OA , ⃗ OB ⃗ OC c) Từ kết trên, tìm toạ độ điểm M G theo toạ độ điểm A, B, C Cho hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) Toạ độ trung điểm M(xM; yM) đoạn thẳng AB là: xM¿ x a+ x b y +y , yM ¿ a b 2 Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Toạ độ trọng tâm G(xG; yG) tam giác ABC là: xG¿ x a+ x b + x c y + y +y , yG ¿ a b c 3 Ví dụ Cho tam giác MNP có toạ độ đỉnh M(2; 2), N(6; 3) P(5; 5) a) Tìm toạ độ trung điểm E cạnh MN b) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác MNP Giải a) Ta có: xE¿ xM + xN y +y 2+ 2+ 5 = = 4, yE¿ M N = = Vậy E ; 2 2 2 b) Ta có: xG¿ xM + xN + x P y +y +y 2+ 6+5 13 2+ 3+5 10 13 10 ; = = , yG¿ M N P = = Vậy G 3 3 3 3 ( ) ( ) blog hotrohoctap.com Cho tam giác QRS có toạ độ đỉnh Q(7; -2), R(-4; 9) S(5; 8) a) Tìm toạ độ trung điểm M cạnh QS b) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác QRS Ứng dụng biểu thức toạ độ phép toán vectơ Cho hai vectơ a⃗ = (a1, a2), b⃗ = (b1; b2) hai điểm A(xA, yB), B(xB; yB) Hoàn thành phép biến đổi sau: a) a⃗ ⊥ ⃗b  a⃗ b⃗ =  a1b1 + a2b2= ? ; b) a⃗ b⃗ phương  a1=t b1 a2=t b2 { hay b1=k a1  a1b2 - a2b1 = ? ; b2=k a2 { c) |⃗a| = √ (⃗a)2 = √ ? ; d) ⃗ AB = (xB – xA; yB – yA) ⇒ AB = √ ( ⃗ AB)2 = √ ? ; e) cos ¿ ¿ a⃗ , b⃗ ) = ? a⃗ b⃗ = 2 2 |⃗a|.|⃗b| √ a1 + a2 √ b1 +b2 (⃗a , b⃗ khác 0⃗ ) Cho hai vectơ a⃗ = (a1; a2),b⃗ = (b1; b2) hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) Ta có:  a⃗ ⊥ ⃗b  a1b1 + a2b2=0 ;  a⃗ b⃗ phương  a1b1 - a2b2=0;  |⃗a| = √ a12 +a22 ;  AB = √ (x B −x a)2 +( y B − y a)2 ;  cos ¿ ¿ a⃗ , b⃗ ) = a1 b1 +a2 b2 a⃗ b⃗ = |⃗a|.|⃗b| √ a12+ a22 √ b12 +b22 (⃗a , b⃗ khác 0⃗ ) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(1; 1), B(5; 2) C(4; 4) a) Tìm toạ độ điểm H chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A b) Giải tam giác ABC Giải a) Xét điểm H(x; y), ta có: ⃗ AH = (x – 1; y – 1), ⃗ BC = (-1; 2) BH = (x – 5; y – 2), ⃗ H(x; y) chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A, nên ta có:  ⃗ AH ⊥ ⃗ BH  (x – 1).(-1) + (y – 1).2 =  -x + 2y – = (1)  Hai vectơ ⃗ BC phương  (x – 5).2 - (y – 2).(-1) =  2x + y – 12 = BH ⊥ ⃗ Từ (1) (2) ta hệ phương trình: 23 −x+ y −1=0  14 x + y−12=0 y= { { x= ( 235 ; 145 ) Vậy H b) Ta có: ⃗ AB = (4; 1), ⃗ BC = (-1; 2), ⃗ AC = (3; 3) Suy ra: AB =|⃗ AB| = √ 2+ 12 = √ 17, BC = |⃗ BC| = √ (−1)2 +22 = √ , AC = |⃗ AC| = √ 32 +32 = 3√ cos A = cos (⃗ AB, ⃗ AC ) = ⃗ 3+ 1.3 AB ⃗ AC ≈ 0,857 ⇒ ^ = A ≈ 30o57’ AB AC √ 17 √ ⃗ BA ⃗ BC (−4) (−1)+(−1).2 cos B = cos (⃗ ≈ 0,217 ⇒ ^B ≈ 77o28’ = BA, ⃗ BC) = BA BC √ 17 √ ^ = 180o – ^ C A – ^B ≈ 180o – 30o57’ – 77o28’ = 71o35’ Trong mặt phằng Oxy, cho tam giác DEF có toạ độ đỉnh D(2; 2), E(6; 2) F(2; 6) (2) a) Tìm toạ độ điểm H chân đường cao tam giác DEF kẻ từ D b) Giải tam giác DEF Một trị chơi máy tính mơ vùng biển có hai hịn đảo nhỏ có toạ độ B(50; 30) C(32; -23) Một tàu neo đậu điểm A(-10; 20) a) Tính số đo ^ BAC b) Cho biết đơn vị hệ trục toa độ tương ứng với km Tính khoảng cách từ tàu đến đảo BÀI TẬP Trên trục (O; e⃗ ) cho điểm A, B, C, D có toạ độ 4; -1; -5; a) Vẽ trục biểu diễn điểm cho lên trục b) Hai vectơ ⃗ AB ⃗ CD hướng hay ngược hướng? blog hotrohoctap.com Các toán sau xét mặt phẳng Oxy 2 Chứng minh rằng: a) a⃗ = (4; -6) b⃗ = (-2; 3) hai vectơ ngược hướng b) a⃗ = (-2; 3) b⃗ = (-8; 12) hai vectơ hướng c) a⃗ = (0; 4) b⃗ = (0; -4) hai vectơ đối Tìm toạ độ vectơ sau: a) a⃗ = 2i⃗ + ⃗j ; b) b⃗ = -i⃗ + ⃗j ; c) c⃗ = 4i⃗ ; d) d⃗ = -9 ⃗j ; Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2) Trong điểm cho, tìm điểm: a) Thuộc trục hoành; b) Thuộc trục tung; c) Thuộc đường phân giác góc phần tư thứ Cho điểm M(x, y,) Tìm toạ độ: a) Điểm H hình chiếu vng góc điểm M trục Ox; b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox; c) Điểm K hình chiếu vng góc điểm M trục Oy, d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục Oy, e) Điểm C đối xứng với M qua gốc toạ độ Cho ba điểm A(2; 2), B(3; 5), C(5; 5) a) Tim toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành b) Tim toạ độ giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD c) Giải tam giác ABC Cho tam giác ABC có điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) trung điểm cạnh AB; BC CA a) Tìm toạ độ đinh tam giác ABC b) Chứng minh trọng tâm tam giác ABC MNP trùng c) Giải tam giác ABC Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2) a) Tìm toạ độ điểm D nằm trục Ox cho DA = DB b) Tính chu vi tam giác OAB c) Chứng minh OA vng góc với AB từ tính diện tích tam giác OAB Tính góc hai vectơ a⃗ b⃗ trường hợp sau: a) a⃗ = (2; -3), b⃗ = (6; 4); b) a⃗ = (3; 2), b⃗ = (5; -1); c) a⃗ = (-2; -2√ ), b⃗ = (3; √ 3) 10 Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2) Chứng minh tứ giác ABCD hình vng w = (-12; 11 Một máy bay hạ cánh với vận tốc ⃗v = (-210; -42) Cho biết vận tốc gió ⃗ -4) đơn vị hệ trục toạ độ tương ứng với km Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc ⃗v w ⃗ blog hotrohoctap-com