Bài Nhị thức Newton Từ khoá: Nhị thức Newton: Khai triển Ở Trung học sở, ta quen thuộc với công thức khai triển: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a + 6)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 +b3 Với số tự nhiên n > thi công thức khai triển biểu thức (a + b)n nào? a) Xét công thức khai triển (a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 +b3 i) Liệt kê số hạng khai triển ii) Liệt kê hệ số khai triển iii) Tính giá trị C 03, C 13, C 23, C 33 (có thể sử dụng máy tính) so sánh với hệ số Có nhận xét gì? b) Hồn thành biến đổi sau để tìm cơng thức khai triển (a + b)4: (a + b)4 = (a + b)(a + b)3 =□= □a4 + □a3b + □a2b2 + □ab3 + □b4 Tính giá trị C 04, C 14, C 24, C 34 ,C 44 ,rồi so sánh với hệ số khai triển Từ đó, sử dụng kí hiệu C 04, C 14, C 24, C 34 ,C 44 để viết lại công thức khai triển c) Từ kết câu a) b), dự đốn cơng thức khai triển (a + b)5 Tính tốn để kiểm tra dự đốn Từ hoạt động trên, ta nhận hai công thức khai triển: (a + b)4 = C 04a4 +C 14 a3b + C 24a2b2 + C 34ab3 + C 44b4 = a4 +4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = C 05a5 +C 15 a4b + C 25a3b2 + C 35a2b3 + C 45ab4 + C 55b5 = a5 +5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Hai công thức gọi công thức nhị thức Newton (gọi tắt nhị thức Newton) (a + b)n ứng với n = n =5 Chú ý: Các hệ số khai triển nhị thức Newton (a + b)n với n = 0; 1; 2; 3; viết thành hàng xếp thành bảng số bên Bảng số có quy luật: số số cuối hàng 1; tổng hai số liên tiếp hàng số hàng kế vị trí hai số (được mũi tên bảng) Bảng số gọi tam giác Pascal (đặt theo tên nhà tốn học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 - 1662) Ví dụ Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển biểu thức sau: a) (x + 3)4 b) (1 - x)5 Giải Câu 5: Chỉ Công thức nhị thức Newton, ta có (x + 3)4 = 1.x4 + x3 + 6.x2.32 + x 33 + 1.34 = x4 + 4.3 x3 +6.9 x2 + 4.27.x + 81 = x4+ 12x3 +54x2 + 108x + 81 b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có trị (1 - x)5= 1+5 (-x) + 10.(-x)2 + 10.(-x)3 10, (=x)3 +5 (-x)4 +1.(-x)5 = 1-5x + 10x2+ - 10x3 + 5x4 - x5 Ví dụ Khai triển rút gọn biểu thức: (1+√ 2)5 +1 (1 - √ 2)5 Giải Áp dụng cơng thức nhị thức Newton, ta có (1+√ 2)5 = 1+5 √ 2+ 10.( √ 2)2 + 10 (√ 2)3 +5.(√ 2)4 + (√ 2)5 (1-√ 2)5 = 1+5 (−√ )+ 10(−√ )2 + 10 (−√ )3 +5(−√ )4 + (−√ )5 Từ (1+√ 2)5 +1 (1 - √ 2)5 = 2[1+10 (√ 2)2 +5.( √ 2)4 ]= 2(1+ 10.2 +5.4) = 82 Ví dụ Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e} Tập hợp A có tập hợp con? Giải Tập hợp A có phần tử Mỗi tập A có k (1≤k≤5) phần tử tổ hợp chập k Do đó, số tập C k5 Mặt khác, có tập khơng có phần tử (tập rỗng), tức có C 05 = tập vậy, Do đó, số tập C 05+ C 15+ C 25+ C 35+C 45 +C 55 Theo công thức nhị thức Newton, ta có C 05+ C 15+ C 25+ C 35+C 45 +C 55 = (1+ 1)5 = 25 Vậy A có 25 = 32 tập Khai triển biểu thức sau: a) (x - 2)4 b) (x + 2y)5 Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng: a) C 04+ 2C 14+ 22C 24+ 23C 34 +24 C 44 = 81; b) C 04- 2C 14+ 22C 24- 23C 34 +24 C 44 = Trên quầy vé xổ số khác nhau, Một khách hàng có lựa chọn mua số vé số vé xổ số đó? Tính trường hợp mua không vé, tức không mua vé BÀI TẬP Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển biểu thức sau: a) (3x + y)4 b) (x - √ 2)5 Khai triển rút gọn biểu thức sau: a) (2 + √ 2)4 b) (2 + √ 2)4 +( - √ 2)4; e) (1 - √ 3)5 Tìm hệ số x3 khai triển (3x - 2)5 Cho A = {a1, a2, a3, a4, a5}là tập hợp có phần tử Chứng minh số tập hợp có số lẻ (1, 3,5) phần tử A số tập hợp có số chẵn (0, 2, 4) phần tử A Chứng minh C 05- C 15- C 25- C 35−C54-C 55=