Ctst chương 4 1 đường thẳng và mặt phẳng quan hệ song song trong không gian

PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG CHƯƠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Trong chương này, tìm hiểu khái niệm đường thẳng, mặt phẳng không gian quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng ứng dụng tính chất đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song vào việc giải toán giải số vấn đề thực tiễn Các mặt ruộng bậc thang ngập nước cho ta hình ảnh mặt phẳng song song Học xong chương này, bạn có thể: - Mơ tả cách xác định mặt phẳng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Nhận biết hình chóp, hình tứ diện - Nhận biết vận dụng tính chất quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng Biết sử dụng định lí Thalès khơng gian Giải thích tính chất hình lăng trụ hình hộp - Nhận biết phép chiếu song song Sử dụng phép chiếu song song để mơ tả số hình ảnh thực tiễn TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài Điểm, đường thẳng mặt phẳng không gian Tù khoa: Mặt phẳng; Giao tuyến; Hinh chóp; Tứ diện; Tứ diện Mơn học Hình học phẳng tìm hiểu tính chất hình thuộc mặt phẳng Mơn học Hình học khơng gian tìm hiểu tính chất hình khơng gian, nhứng hình chứa điểm không thuộc mặt phẳng Hãy phân loại hình sau thành hai nhóm hình khác Mặt phẳng không gian Mặt bàn, mặt bảng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Hãy thêm ví dụ khác hình ảnh phần mặt phẳng Điểm, đường thẳng mặt phẳng ba đối tượng hình học khơng gian Ta làm quen với điểm đường thẳng hình học phẳng Trong phần này, làm quen với mặt phẳng Mặt bảng, mặt bàn, mặt sàn nhà, mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Ta thường dùng hình bình hành hay miền góc để biểu diễn mặt phẳng dùng chữ in hoa chữ Hy Lạp dấu ngoặc đề kí hiệu mặt phẳng Điểm thuộc mặt phẳng Cho hai điểm A, B mặt phẳng ( P ) Hình TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang - Nếu điểm A thuộc mặt phẳng ( P ) ta nói A nằm ( P) hay ( P) chứa A , hay ( P ) qua A kí hiệu A  ( P) - Nếu điểm B không thuộc mặt phẳng ( P ) ta nói B nằm ngồi ( P ) hay ( P ) khơng chứa B kí hiệu B  ( P ) Biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng Để biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng (tờ giấy, mặt bảng, ), ta thường dựa vào quy tắc sau: - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng - Giữ nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) điểm với đường thẳng với đoạn thẳng - Giữ nguyên tính song song, tính cắt đường thẳng - Biểu diễn đường nhìn thấy nét vẽ liền biểu diễn đường bị che khuất nét vẽ đứt đoạn a) Vẽ hình biểu diễn hình hộp chữ nhật b) Quan sát Hình 4a cho biết điểm thuộc, điểm không thuộc mặt phẳng ( P ) c) Quan sát Hình b cho biết điểm thuộc, điểm không thuộc mặt phẳng (Q) Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian Quan sát Hình cho biết muốn gác sào tập nhảy cao, người ta cần dựa vào điểm hai cọc đỡ TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Tính chất Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B kí hiệu AB Ta nói đường thẳng AB xác định hai điểm A, B Ví dụ Cho ba điểm phân biệt M , N , P khơng thẳng hàng Có đường thẳng qua hai ba điểm cho? Giải Do qua hai điểm phân biệt có đường thẳng nên qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng M , N , P , ta xác định ba đường thằng MN , NP PM Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Có đường thẳng qua hai bốn điểm cho? Quan sát Hình cho biết giá đỡ máy ành tiếp đất điểm Tại giá đỡ máy ảnh thường có ba chân? Tính chất Có chi mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Chú ý: Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng kí hiệu mặt phẳng ( ABC ) Vi dụ Cho đường thẳng a qua hai điểm phân biệt M , N điểm O khơng thuộc a Có mặt phẳng qua ba điểm M , N , O ? Giải Do O không thuộc a nên ba điểm M , N , O khơng thẳng hàng Do chi có mặt phẳng qua ba điểm M , N , O Có mặt phẳng qua ba đỉnh tam giác MNP ? TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Quan sát Hình 10 cho biết người thợ mộc kiểm tra mặt bàn có phẳng hay khơng thước thẳng Tính chất Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phằng Chú ý:  P  thường kí hiệu d   P   P   d Đường thẳng d nằm mặt phẳng  P Ví dụ Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng điểm M nằm đường thẳng BC Gọi M   P mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Chứng tỏ Lời giải M C B P A Hình 12 Áp dụng tính chất , ta có  P mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Áp dụng tính  P  Ta lại có M  BC chất , ta có điểm đường thẳng BC thuộc mặt phẳng (giả thiết) Suy Cho mặt phẳng M   P  Q qua bốn đỉnh tứ giác ABCD Các điểm nằm đường chéo  Q  khơng? Giải thích tứ giác ABCD có thuộc mặt phẳng Quan sát Hình 13 cho biết bốn đỉnh A, B, C , D bánh giị có nằm mặt phẳng hay khơng TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Tính chất Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Chú ý: Nếu có nhiều điểm thuộc mặt phẳng ta nói điểm đồng phẳng, cịn khơng có mặt phẳng chứa điểm ta nói chúng khơng đồng phẳng Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C , D không nằm mặt phẳng Có mặt phẳng qua ba bốn điểm cho? Lời giải Gọi A, B, C , D bốn điểm không nằm mặt phẳng không gian (tồn theo tính chất 4) Ta xác định bốn mặt phẳng phân biệt là:  ABC  ,  ABD  ,  ACD  ,  BCD  Cho tam giác MNP cho điểm O không thuộc mặt phằng chứa ba điểm M , N , P Tìm mặt phẳng phân biệt xác định từ bốn điểm M , N , P, O Quan sát Hình 14 mơ tả phần giao hai tường Tính chất Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Chú ý:  P   Q  gọi giao tuyến Đường thẳng d chung hai mặt phẳng kí hiệu d  P    Q   P  Q ,  ABC  Xác định giao tuyến Ví dụ Cho tam giác ABC điểm O không thuộc mặt phẳng hai mặt phẳng  OAB   ABC  Lời giải  OAB   ABC  Suy A, B giao tuyến Ta có A, B hai điểm chung hai mặt phằng hai mặt phẳng TÀI LIỆU TOÁN THPT  OAB   ABC  Trang       (Hình 16) Chứng Cho A, B, C ba điểm chung hai mặt phằng phân biệt minh A, B, C thẳng hàng A B C α Trong mặt phẳng  P  , cho tam giác β Hình 16 ABC có M , N trung điểm đoạn thẳng MN AB, AC (Hình 17) Tính tỉ số BC Tính chất Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Vi dụ Cho bốn điểm A, B, C , D không nằm mặt phẳng a) Gọi O trung điểm CD, G G  trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh GG //AB b) Cho điểm E AB cho EG cắt mặt phẳng qua ba điểm B, C , D F Chứng minh bốn điểm B, G , O, F thẳng hàng Lời giải a) Gọi  P mặt phẳng qua ba điềm O, A, B xác định theo tính chất  P  ta có: Trong mặt phẳng OG  OA (vì G trọng tâm tam giác ACD ); TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang OG   OB (vì G  trọng tâm tam giác BCD ) OG OG   Suy OA OB Áp dụng tính chất , suy GG //AB b) Gọi  Q mặt phẳng qua ba điểm B, C , D Các điềm B, G , O, F điểm chung hai mặt phằng phân biệt  P  Q  Vậy  P  Q  Theo tính chất , chúng phải nằm giao tuyến B, G , O, F thẳng hàng Tại muốn cánh cửa đóng mở êm điểm gắn lề A, B, C cánh cửa mặt tường (Hình 19) phải nằm đường thẳng? Cách xác định mặt phẳng Theo tính chất biết: Một mặt phẳng xác định biết chứa ba điểm không thẳng hàng  ABC  hay  ABC  Mặt phẳng xác định ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng kí hiệu mp ( Hình 20) Ví dụ 7: Cho điểm A, B, C không thẳng hàng không nằm mặt phẳng  P  Biết đường thẳng AB, AC , B C  P  điểm M , N , E (Hình 21) cắt Ba điểm M , N , E có thẳng hàng khơng? Giải thích Lời giải Gọi  Q  mặt phẳng AB   Q  M   Q xác định điểm A, B, C Ta có M  AB , suy Mặt khác, M   P Tương tự N   P   Q , E   P   Q Vậy TÀI LIỆU TOÁN THPT M   P   Q Trang  P  Suy ba điểm M , N , E thẳng hàng nằm đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng  Q Cho đường thẳng a điểm A không nằm a Trên a lấy hai điểm B, C Đường thẳng a có nằm mặt phẳng  ABC  khơng? Giải thích Một mặt phẳng xác định biết chứa đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng  A, a  hay  A, a  Mặt phẳng xác định điểm A đường thẳng a không qua điểm A kí hiệu mp (Hình 23) Ví dụ 8: Với đường thẳng d hai điểm M , N phân biệt không thuộc d , ta xác định mặt phẳng Lời giải Với đường thẳng d điểm M không thuộc d , ta xác định N thuộc mặt phẳng  M , d   M,d ta xác định mặt phẳng Nếu N khơng thuộc  N , d  (Hình 24) ta xác định mặt phẳng thứ hai mặt phẳng thứ  M , d  Nếu Hai đường thẳng phân biệt a b cắt điểm O Trên a, b lấy hai điểm M , N khác điểm O Gọi  P mặt phẳng qua điểm M , N , O (Hình 25) Mặt phẳng  P có chứa hai đường thẳng a b khơng? Giải thích Một mặt phẳng xác định biết chứa hai đường thẳng cắt  a, b  (Hình 26) Mặt phẳng xác định hai đường thẳng a, b cắt kí hiệu mp Ví dụ 9: Với ba đường thẳng a, b, c không nằm mặt phẳng qua điểm O (Hình 27), ta xác định mặt phẳng? Lời giải Từ ba cặp đường thẳng cắt a b , b c , c a , TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang ta xác định ba mặt phẳng mp  a, b  , mp  b, c  , mp  c, a  mp  a, b  Cho hai đường thẳng a b cắt O điểm M không thuộc  M , a   M , b  a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng b) Lấy A, B hai điểm hai điểm a b khác với điểm O Tìm giao tuyến  MAB  mp  a, b  mp  a, b  c) Lấy điểm A đoạn MA điểm B  đoạn MB cho đường thẳng AB  cắt C Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng  Giải thích ghế bốn chân bị khập khiễng cịn ghế ba chân khơng  Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser để kẻ đường thẳng tường sàn nhà Tìm giao tuyến mặt phẳng tạo tia laser OA OB với mặt tường Hình 29 HÌNH CHĨP VÀ HÌNH TỨ DIỆN Hình chóp Hoạt động 10 a)Các cơng trình kiến trúc, đồ vật Hình 30 có mặt bên hình gì? b)Tìm điểm giống hình Hình 31 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10