Bài 1 3 hàm số lượng giác và đồ thị cd lời giải

BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN Hàm số chẵn, hàm số lẻ Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: y  f  x Cho hàm số với tập xác định D  Hàm số y  f  x f  x  f  x gọi hàm số chẵ x  D  x  D    Hàm số y  f  x f  x  f  x  gọi hàm số lẻ x  D  x  D   Chú ý -Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng -Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng Hàm số tuần hồn -Trong trường hợp tổng qt, ta có định nghĩa sau: y  f  x y  f  x Cho hàm số với tập xác định D Hàm số gọi tuần hoàn tồn số T khác cho với x  D , ta có:   x  T  D x  T  D f  x T   f  x Số T dương nhỏ thoả mãn (nếu có) tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn Nhận xét a; a  T  Cho hàm số tuần hồn chu kì T Từ đồ thị hàm số đoạn  , ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T đồ thị hàm số đoạn  a  T ; a  2T  (hoặc  a  T ; a  ) II HÀM SỐ y sinx Định nghĩa Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx gọi hàm số y sinx Tập xác định hàm số y sinx R Đồ thị hàm số y=sinx x;sinx  x     ;  -Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn điểm  với nối lại ta đồ thị   ;  hàm số y sinx đoạn  (Hình 24) x    3 ;    ,  ;3  ,  x;sinx  -Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn điểm  với , ta có đồ thị hàm số y sinx R diễn biểu Hình 25 Tính chất hàm số y=sinx  1;1 Hàm số y sinx có tập giá trị  có tính chất sau:  Hàm số y sinx hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O ;  Hàm số y sinx tuần hồn chu kì 2 ;        k 2 ;  k 2    , nghịch biến Hàm số y sinx đồng biến khoảng  3    k 2    k 2 ;  với k  Z khoảng  Nhận xét: Dựa vào đồ thị hàm số y sinx (Hình 25 ), ta thấy sinx 0 giá trị x k  k  Z  E R\\  k ∣ k  Z Vì vậy, tập hợp số thực x cho sinx 0 III HÀM SỐ y cosx Định nghĩa -Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Quy tắc đặt tương û́ ng số thực x với số thực cosx gọi hàm số y cosx Tập xác định hàm số y cosx R Đồ thị hàm số y=cosx x;cos x  x     ;  -Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn điểm  với nối lại ta đồ thị   ;  hàm số y cos x đoạn  (Hình 27) x    3 ;    ,  ;3  , x;cos x  -Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn điểm  với , ta có đồ thị hàm số y cos x R biểu diễn Hình 28 Tính chất hàm số y=cosx  1;1 Hàm số y cos x có tập giá trị  có tính chất sau: y  cos x  Hàm số hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung;  Hàm số y cosx tuần hồn chu kì 2 ;     k 2 ; k 2  Hàm số y cosx đồng biến khoảng  , nghịch biến khoảng  k 2 ;   k 2  với k  Z Nhận xét:  x   k  k  Z  Dựa vào đồ thị hàmố y cosx (Hình 28 ), ta thấy cosx 0 giá trị   D R ‚   k ∣ k  Z  2  Vì vậy, tập hợp số thực x cho cosx 0 IV HÀM SỐ y tanx Định nghĩa Ta có định nghĩa sau: Quy tắc đặt tương ứng số thực x  D với số thực tan x gọi hàm số y tanx Tập   D R \   k ∣ k  Z  2  xác định hàm số y tanx Đồ thị hàm số y=tanx    x ;  x; tan x   Oxy 2  nối lại ta đồ  -Trong mặt phẳng toạ độ , biểu diễn điểm với      ;  y  tan x thị hàm số đoạn (Hình 29)   3    3  x ;  , ;  , x; tan x  2   -Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn điểm  với , ta có đồ thị hàm số y cos x R biểu diễn Hình 30 Tính chất hàm số y=tanx Hàm số y tan x có tập giá trị  có tính chất sau:  Hàm số y tanx hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O ;  Hàm số y tanx tuần hồn chu kì  ;        k ;  k    với k  Z Hàm số y tanx đồng biến khoảng  V HÀM SỐ y=cotx Định nghĩa Ta có định nghĩa sau: Quy tắc đặt tương ứng số thực x  E với số thực cot x gọi hàm số y cotx Tập E R ‚  k ∣ k  Z xác định hàm số y cotx Đồ thị hàm số y=cotx   x   0;  x;cot x    nối lại ta đồ thị -Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn điểm  với    0;  y  cot x hàm số đoạn (Hình 31) x;cot x  -Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn điểm  với khoảng   ; 2  ,    ;  ,   2 ;    ta đồ thị hàm số y cot x E (Hình 32) Tính chất hàm số y=cotx Hàm số y cot x có tập giá trị  có tính chất sau:  Hàm số y cotx hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ O ;  Hàm số y cotx tuần hồn chu kì  ; k ;   k  Hàm số y cotx nghịch biến khoảng  với k  Z  B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP LỜI GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tập xác đinh hàm số Phương pháp Để tìm tập xác định hàm số ta cần lưu ý điểm sau  y  u x y  y   có nghĩa u x xác định u(x) 0 u(x) v(x) có nghĩa u  x  , v  x  xác định v(x) 0 u(x) v(x) có nghĩa u  x  , v  x  xác định v(x)  Hàm số y sinx, y cosx xác định  tập giá trị là:  sin x 1 ; Như vậy, y sin  u  x   , y cos  u  x    y tan u  x   y cot u  x  xác định u x  cosx 1 xác định có nghĩa u x  u  x    k, k   xác định có nghĩa u x xác định u  x  k,k   Các ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:  5x  y sin    x2   ; a) b) y cos  x ; c) y  sin x; Lời giải d) y   sin x  5x  y sin    x2   xác định  x  0  x 1 a) Hàm số Vậy D  \  1 2 b) Hàm số y cos x  xác định   x 0  x 4   x 2 Vậy D  x   |  x 2 c) Hàm số y  sin x xác định  sinx 0  k2 x   k2 ,k   Vậy D  x   | k2 x   k2 ,k   d) Ta có:  s inx 1   sinx  Do đó, hàm só ln ln xác định hay D  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:   y  tan  x   6;  a)   y  cot  x   ; 3  b) c) y sin x ; cos(x  ) d) y Lời giải     2 y  tan  x    x    k  x   k,k     xác định a) Hàm số  2  D  \   k,k    3  Vậy     y  cot  x    x  k  x   k,k     xác định 3 b) Hàm số    D  \   k, k    3  Vậy c) Hàm số y sin x  3  cos  x    0  x     k  x   k, k   cos(x  ) xác định 2  3  D  \   k,k    2  Vậy d) Hàm số y  tan x 1  x   k, k   tan x  xác định   D  \   k,k    4  Vậy Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan x  a) y cos2x  ; cos x b) y 3cos2x sin3x cos3x Lời giải a) Hàm số y cos2x    cosx 0  x   k,k   cos x xác định   D  \   k,k    2  Vậy b) Hàm số y 3cos2x sin3x cos3x xác định  sin3x cos3x 0  k sin 6x 0  6x k  x  ,k    k  D  \  ,k    6  Vậy Ví dụ Tìm m để hàm số sau xác định  : y  2m  3cosx Lời giải Hàm số cho xác định R Bất đẳng thức với x 1 2m  3cos x 0  cosx  2m 2m  m Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ hàm số y f(x) Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số; kiểm chứng D tập đối xứng qua số tức  x,x  D   x  D (1) Bước 2: Tính f( x) so sánh f( x) với f(x)  - Nếu f( x) f(x) f(x) hàm số chẵn D (2) - Nếu f( x)  f(x) f(x) hàm số lẻ D (3) Chú ý: - Nếu điều kiện (1) khơng nghiệm f(x) hàm khơng chẵn không lẻ D; - Nếu điều kiện (2) (3) khơng nghiệm đúng, f(x) hàm khơng chẵn không lẻ D x D Lúc đó, để kết luận f(x) hàm khơng chẵn không lẻ ta cần điểm cho f( x ) f(x )    f( x )  f(x ) Các ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = sin2x; c) y sin x b) y = tan x ; Lời giải a) TXĐ: D  Suy x  D   x  D Ta có: f   x  sin   2x   sin 2x  f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ    D  \   k,k      Suy x  D   x  D b) TXĐ: Ta có: f   x  tan  x tan x f  x  Do hàm số cho hàm số chẵn c) TXĐ: D  Suy x  D   x  D Ta có: f   x  sin   x  sin x f  x  Do hàm số cho hàm số chẵn Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx Lời giải  k  D  \  ,k    2  Suy x  D   x  D a) TXĐ: Ta có: f   x  tan   x   cot   x   tan x - cot x   tan x  cot x   f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ b) TXĐ: D  Suy x  D   x  D Ta có: f   x  sin   x  cos   x   sin x cos x  f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = 2sinx + 3; b) y sinx  cosx Lời giải a) TXĐ: D  Suy x  D   x  D Ta có:      f    2sin    1  2   ;   f      f     Nhận thấy       f   2sin    5 2  2     f   2  2      f   2 2 Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ b) TXĐ: D  Suy x  D   x  D   y sinx  cosx  sin  x   4  Ta có:           f     sin     0; f    sin      4  4  4  4   f      f     Nhận thấy       f   4  4      f   4  4 Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y sinx  tan x sin x  cot x ; b) y cos3 x  sin3 x Lời giải a) Hàm số xác định cosx 0   sinx 0 s inx  cot x 0  cosx 0   sinx 0  s in x  cosx 0 cosx 0 k  x  ,k    sinx 0  k  D  \  ,k     Suy x  D   x  D TXĐ: f   x  Ta có: sin   x   tan   x  sin   x   cot   x    sin x  tan x sin x - tan x  f  x   sin x  cot x sin x  cot x Do hàm số cho hàm số chẵn b) TXĐ: D  \  k,k   Suy x  D   x  D f   x  Ta có: cos3   x   sin3   x   cos3 x   sin3 x  cos3 x  sin3 x  f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ Ví dụ Xác định tham số m để hàm số sau: y f  x  3m sin 4x  cos2x hàm số chẵn Lời giải TXĐ: D  Suy x  D   x  D Ta có: f   x  3m sin   4x   cos   2x   3m sin 4x  cos2x Để hàm số cho hàm số chẵn thì: f   x  f  x  , x  D  3m sin 4x  cos2x -3m sin 4x  cos2x, x  D  6m sin 4x 0  m 0 Dạng Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp: Cho hàm số y f(x) xác định tập D   f(x) M, x  D M max f(x)   D x  D : f(x ) M   f(x) m, x  D m min f(x)   D x  D : f(x ) m Lưu ý:   sinx 1;  cosx 1  sin x 1; cos2 x 1   sin x 1;  cosx 1  Dùng điều kiện có nghiệm phương trình o Phương trình bậc hai: ax  bx  c 0 có nghiệm x    0  a 0 2 o Phương trình asin x  b cosx c có nghiệm x   a  b c y a1 s inx  b1 cosx  c1 a s inx  b cos x  c 2 o Nếu hàm số có dạng: Ta tìm miền xác định hàm số quy đồng mẫu số, đưa phương trình asin x  b cosx c Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: