PHÒNG GD & ĐT THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính : P 20180 0,4 25 x x 1 x 3 0 x b) Tìm thỏa mãn: Bài (4,0 điểm) x y xy x y a) Tìm x, y biết: 2017 2018 2019 x y z b) Cho x, y, z , a, b, c thỏa mãn a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Chứng minh rằng: x y z x y z x y z (với điều kiện mẫu thức khác 0) Bài (3,0 điểm) a) Cho đa thức f ( x) ax b Tìm a, b biết f 1 3 f 0 M m; m A 1;2 Oxy , b) Trong hệ trục tọa độ cho Tìm m để điểm phân biệt O, A, M thẳng hàng Bài (3,0 điểm) 222 333 a) So sánh : 222 333 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q x 2017 x 2018 x 2019 Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A( góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD CE Trên tia đối tia CA lấy điểm I cho CI CA a) Chứng minh: ABD ICE AB AC AD AE b) Từ D E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB, AI theo thứ tự M , N Chứng minh MN qua trung điểm DE c) Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n 2 tổng: 15 n2 S 16 n số nguyên ĐÁP ÁN Bài a) P 20180 0,4 2 25 5 b) x 0 x x 1 x 0 x 0 x 16(tm) x 1 x x 0 x x x 0 x Bài x y xy x y (1) a) Ta có: 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: x y xy x y 1 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: x y x y x yx y 2x x 2017 2019 2017 2019 4036 2018 xy x (2) 2018 2018 TH1: x 0 y 0 Th2: x 0, y 1 x 2018(tm) x; y 0;0 ; 2018;1 Vậy b) Từ giả thiết suy x 2y z x 2y z (1) a 2b c 4a 2b 2c 4a 4b c 9a 2x y z 2x y z (2) 2a 4b 2c 2a b c 4a 4b c 9b 4x 4y z 4x y z (3) 4a 8b 4c 8a 4b 4c 4a 4b c 9c Từ 1 , , ta có: 9a 9b 9c x y z 2x y z 4x y z 9a 9b 9c hay x y z x y z x y z a b c Vậy x y z x y z x y z Bài a) f 1 3 a.1 b 3 a b 3 b 3 a f 0 2a b 0 2a a 0 3a a 1 Thay a 1 b 2 Vậy a 1; b 2 b) Đường thẳng OA đồ thị hàm số y ax A 1;2 y ax a 2 y 2 x m 0 M m; m y 2 x m 2m m 2 Để O, A, M thẳng hàng Vì ba điểm O, A, M phân biệt nên m 0( ktm) Vậy m 2 Bài 222333 2223 111 ;333222 3332 111 a) Ta có: 2223 2.111 8.1113 8.111.1112 888.1112 3332 3.111 9.1112 2 Vì 888 888.111 9.111 2223 3332 2223 111 3332 111 222333 333222 333 222 Vậy 222 333 b) Q x 2017 x 2018 x 2019 Q x 2017 x 2019 x 2018 , x 2019 2019 x Q x 2017 2019 x x 2018 Mà x 2017 2019 x x 2017 2019 x 2 Q x 2017 2019 x 2 x 2018 Q 2 x 2018 0 x 2017 2019 x 0 2017 x 2019 x 2018 x 2018 x 2018 Dấu " " xảy Vậy Q đạt giá trị nhỏ x 2018 Bài A M B D C E O N I a) ABC cân A suy AB AC , ABC ACB Mà AC IC gt AB IC ; ACB ICE (đối đỉnh) ABD ICE Xét ABD ICE có: AB IC ; ABD ICE ; AB IC Suy ABD ICE (dfcm) Ta có: AB CI AB AC CI AC AI (1) Theo chứng minh ABD ICE (c.g c ) AD IE AD AE IE AE (2) Áp dụng BĐT tam giác AEI ta có: IE AE AI (3) Từ 1 , , 3 AD AE AB AC b) Gọi O giao điểm MN với DE Chứng minh BDM CEN ( g.c.g ) DM EN Chứng minh được: ODM OEN ( g.c.g ) OD OE Hay MN qua trung điểm DE c) Vì BM CN AB AC AM MN (4) Có BD CE ( gt ) BC DE MO OD MO NO OD OE MN DE MN BC (5) NO OE CABC AB AC BC CAMN AM AN MN (6) Từ (4), (5), (6) Chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Bài S có n 1 số hạng 15 n2 1 1 S 16 n n 1 S n n (1) n 2 1 1 1 1 1 n 1.2 2.3 3.4 n n 1 n Mặt khác 1 n n (2) n n Từ (1) (2) ta có: n S n Vậy S khơng có giá trị ngun với số tự nhiên n 2 S n 1 1