BÀI KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Mục tiêu Kiến thức + Phát biểu khái niệm hai tam giác đồng dạng Kĩ + Sử dụng khái niệm tính chất hai tam giác đồng dạng để giải toán Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Tam giác đồng dạng Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác A’B’C’ nếu: A A '; B B '; C C '; AB BC CA A ' B ' B 'C ' C ' A ' ABC ” A ' B ' C ' : A A '; B B '; C C '; AB BC CA A ' B ' B 'C ' C ' A ' Định lí Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho MN / / BC AMN ” ABC II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa, tính chất định lí để chứng minh tam giác đồng dạng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD 2 AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE 2 AC Chứng minh ADE ” ABC Hướng dẫn giải Lấy M, N trung điểm AD, AE MN đường trung bình tam giác ADE MN / / DE Xét ADE có MN / / DE Suy AMN ” ADE (định lí) (1) Xét AMN ABC có: AC AN AE AMN ABC c.g c MAN BAC AB AM AD ABC ” AMN (tính chất) Trang Từ (1) (2) suy ABC ” ADE (tính chất) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Từ điểm D cạnh AB tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC E cắt đường thẳng qua C song song với AB F; BF cắt AC I Tìm cặp tam giác đồng dạng Câu 2: Hình thang ABCD AB / /CD có hai đường chéo cắt O Chứng minh AOB ” COD Dạng Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua tam giác đồng dạng Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa, tính chất hai tam giác đồng dạng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có AB 6 cm, BC 10 cm Kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB AC E F Biết AE 2 cm , chứng minh AEF ” ABC , tính tỉ số đồng dạng hai tam giác độ dài cạnh AF, EF Hướng dẫn giải Xét ABC có EF / / BC suy AEF ” ABC (định lí) Suy AF EF AE AC BC AB Vậy AEF ” ABC , tỉ số đồng dạng Ta có ABC vng A nên AC BC AB 102 62 8 cm Ta có AF EF AC BC 10 Suy AF cm ; EF cm AC BC 3 3 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 5 cm, BC 10 cm, AC 7 cm Lấy điểm D nằm cạnh BC cho BD 2 cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB AC, cắt AC AB F E a) Chứng minh BDE ” DCF b) Tính chu vi tứ giác AEDF Hướng dẫn giải a) Xét ABC có DE / / AC suy BDE ” BCA (định lí) DF / / AB suy DCF ” BCA (định lí) Trang Từ suy BDE ” DCF (tính chất) b) BDE ” BCA DE BD BE DE BE AC BC BA Từ tính DE cm, BE cm 4 15 Suy AE AB BE cm AE / / DF Tứ giác AEDF có nên hình bình hành DE / / AF Chu vi hình bình hành AEDF AE ED 11 cm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ đồng dạng với theo tỉ số k, chứng minh tỉ số chu vi hai tam giác ABC A’B’C’ k Câu 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC 10 cm, CA 14 cm, AB 6 cm Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF có cạnh nhỏ cm Tính cạnh lại tam giác DEF MB Qua M kẻ đường thẳng song song với MC AC cắt AB D Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E Câu 3: Cho tam giác ABC, lấy M cạnh BC cho a) Tìm cặp tam giác đồng dạng tìm tỉ số đồng dạng b) Tính chu vi tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC 24 cm Câu 4: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số Tính chu vi tam giác biết hiệu chu vi hai tam giác 51 cm Dạng Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng Phương pháp giải Từ tam giác đồng dạng suy tỉ số đồng dạng biến đổi đẳng thức cần chứng minh Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, có AB 6 cm, AD 5 cm Lấy F cạnh BC cho CF 3 cm Tia DF cắt tia AB G a) Chứng minh GBF ” DCF GAD ” DCF b) Tính độ dài đoạn thẳng AG c) Chứng minh AG.CF AD AB Hướng dẫn giải Trang a) Xét GBF có CD / / BG AB / / CD suy GBF ” DCF Xét GAD có BF / / AD BC / / AD suy GBF ” GAD Suy GAD ” DCF ” GBF b) BF CB CF 5 2 cm ABCD hình bình hành suy AB CD 6 cm, AD BC 5 cm Ta có GBF ” DCF suy BG BF BG CD CF Suy BG 4 cm AG 4 10 cm c) GAD ” DCF GA AD GA.CF CD.AD DC CF Mà AB CD suy AG.CF AD AB (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC, kẻ tia Ax song song với BC Từ trung điểm M cạnh BC, kẻ đường thẳng cắt Ax N, cắt AB P cắt AC Q Chứng minh PN QN PM QM Câu 2: Cho tam giác MNP Từ điểm Q cạnh NP, kẻ đường thẳng song song với cạnh MN, MP cắt MN, MP E, F Chứng minh rằng: a) ENQ ” MNP, FQP ” MNP b) ME MF 1 MN MP ĐÁP ÁN Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng Câu 1: Xét ABC có DE / / BC suy ABC ” ADE (định lí) (1) Xét ADE có CF / / AD suy CEF ” AED (định lí) (2) Từ (1) (2) suy ABC ” CFE (tính chất) Xét AIB có CF / / AB suy AIB ” CIF (định lí) Xét BIC có EF / / BC suy BIC ” FIE (định lí) Ta có DF / / BC DFB (so le trong) CBF Trang (so le trong) BD / /CF DBF CFB Lại có BF cạnh chung hai tam giác DFB CBF Suy DFB CBF g.c.g suy DFB ” CBF (tính chất) Câu 2: Xét AOB có AB / / CD suy AOB ” COD Dạng Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua tam giác đồng dạng Câu 1: ABC ” A ' B ' C ' AB BC CA k A ' B ' B 'C ' C ' A ' Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: AB BC CA AB BC AC AB BC AC k hay A ' B ' B ' C ' C ' A ' A ' B ' B ' C ' A ' C ' A ' B ' B ' C ' A ' C ' Câu 2: ABC ” DEF AB BC AC 10 14 DE EF DF DE EF DF Cạnh nhỏ DEF phải tỉ lệ với cạnh nhỏ ABC DE 9 cm 10 14 EF DF Suy EF 15 cm; DF 21 cm Câu 3: a) BM BM CM ; CM BC BC Xét BAC có DM / / AC suy BDM ” BAC với tỉ số đồng dạng BM BC 1 Xét BAC có ME / / AB suy MEC ” BAC với tỉ số đồng dạng CM BC 2 Từ (1) (2) suy BDM ” MEC với tỉ số đồng dạng BM : CM 3 b) Vì tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng (chứng minh câu suy ra: 1) Chu vi tam giác BDM 24 7 cm Trang Chu vi tam giác MEC 24 16 cm Câu 4: Ta gọi chu vi hai tam giác ABC MNP x, y Theo giả thiết, ta có: x y x 51 Từ tính y 85 cm; x 34 cm y Dạng Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng Câu 1: Xét PAN có BM / / AN suy PBM ” PAN PM BM PN AN 1 Xét QMC có AN / / MC suy QMC ” QNA QM MC QN AN Lại có MB MC (M trung điểm BC) QM MB QN AN 2 Từ (1) (2) suy PN QN (điều phải chứng minh) PM QM Câu 2: a) Xét MNP có QE / / MP suy ENQ ” MNP (định lí) Xét MNP có QF / / MN suy FQP ” MNP (định lí) b) Xét tứ giác MEQF có QE / / MF , QF / / EM nên hình bình hành Suy QE MF ; ME QF Ta có ENQ ” MNP (chứng minh trên) Suy QE NQ MF NQ , mà QE FM nên MP NP MP NP 1 Ta có FQP ” MNP (chứng minh trên) Suy QF PQ ME PQ , mà ME QF nên MN NP MN NP Từ (1) (2) suy 2 ME MF PQ NQ NP 1 MN MP NP NP NP Trang