Bài 4 bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

BÀI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Mục tiêu  Kiến thức + Phát biểu khái niệm giá trị tuyệt đối  Kĩ + Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Nhắc lại giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối số a, kí hiệu a định nghĩa sau: a a a 0 a  a a  2 Ví dụ: a a  3 Giải số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bước 2: Giải phương trình khơng có dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phương trình x  2 Vì x   0, x nên phương tình cho tương đương với: x  2  x 1 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Thông thường giải theo bước sau: Bước Dựa vào định nghĩa tính chất để bỏ dấu trị tuyệt đối Bước Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn biểu thức Ví dụ: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức: A 2 x   x  x  Hướng dẫn giải Trong ví dụ này, x  ta có  x  nên  x 5  x Vậy A 2 x   x   x  Ví dụ mẫu Ví dụ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức sau: a) A x   x x 0 x  b) B   x  x   x x  2 c) C   x    x  d) D  x2  x  x  1   x  1 x  0, x 1 Hướng dẫn giải a) Khi x 0 ta có x 0 nên x 2 x Trang Vậy A x   x 3x  Khi x  ta có x  nên x  x Vậy A  x   x  x  b) Cách 1: Khi x  ta có  x   x  nên  x    x  5 x  x  x  Vậy B  x   x  x  25 x  x  x  23 x  x  2 Cách 2: Ta có:  x   x  25 x , x Khi x  ta lại có  x  nên  x  x  Vậy B 25 x  x  x  23x  x  2 c) Vì x 0, x nên x   0, x Do x   x  2 2 Vậy C   x    x   x   x   d) Khi x    x  nên x  x  x  x x2    x  x  x  1 x2  x x    Vậy D   x  1   x  1   x  1  x  1   x  1  x  1  x Bài tập tự luyện dạng Câu Rút gọn biểu thức sau: a) A  x    x x 0 b) B   x  x  x   1 c) C  x  1  x  x  x   x  2  Dạng Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài toán f  x  k (trong f  x  biểu thức x; k số cho trước) Phương pháp giải  Nếu k  phương trình vơ nghiệm  Nếu k 0 ta có f  x  0  f  x  0  Nếu k  ta có  f  x  k f  x  k    f  x   k Ví dụ: Giải phương trình x   1 Hướng dẫn giải Chuyển hạng tử tự vế ta được: x  3 Trang  x  3  x 1   Vì  nên x  3    x    x   x    x   1  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  ;  1 5  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: a) c)   3x  5 b) x  13  25% 15  2,5 : x  3 4 Hướng dẫn giải a) Ta có: Mà 9 1   3x     3x      3x    x  5 5 5 1  nên phương trình cho vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S  b) Ta có: x  13  25 25%  x  13    x  13 0  x  13 0  x 13 100 Vậy tập nghiệm phương trình S  13 c) Ta có: 15 15  2,5 : x  3   2,5 : x  4 4   : x 4  x  : 2  10 x  Vì 10  nên 10 3 x   10 x      x    10  10 3 4x3     x   10   17 3 4x6    x   23  34  x   x   46   34  46  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  ;  9  Ví dụ Tìm m để phương trình x   7  m có nghiệm Hướng dẫn giải Ta có: x   7  m  x  5  m Trang Phương trình có nghiệm  m 0  m 5 Vậy với m 5 phương trình có nghiệm Khi nghiệm phương trình x  Bài toán f  x   g  x  Phương pháp giải  f  x  g  x  f  x  g  x    f  x   g  x  Ví dụ: Giải phương trình x    x Hướng dẫn giải  x  5  x Ta có: x    x    3x  x  Trường hợp 1: 3x  5  x  x 1  x  Trường hợp 2: 3x   x   x   x  9 1   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  ;  4  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: a) x   x  0 b) x   2x  2 c) x  x   x  0 Phân tích tư Cách 1: Sử dụng công thức f  x  g  x   f  x  g  x  Ta có biến đổi x  x    x    x  3  x  x  Sau xuất nhân tử chung x  Cách 2: Đánh giá giá trị biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Sau so sánh hai vế để giải phương trình Hướng dẫn giải a) Ta có: x   x  0  x   x 1  x  7 x   1 3    x 14  x   x   x    x  1  3 Vậy tập nghiệm phương trình S    14  Trang b) Ta có: 1 x   x    x  3  x  2 1   x  3 2 x      x  3 1  x  1  x  2 x     x  1  x  2 3  x 2    x   2   x 3   x     1 Vậy tập nghiệm phương trình S  ;  3  c) Cách 1: Ta có: x  x   x  0   x    x  3  x  0  x  x   x  0  x   x   1 0 Vì x  0, x nên x    0, x Do đó, x   x   1 0  x  0  x  0  x  Vậy tập nghiệm phương trình S   3 2 Cách 2: Vì x  x  0, x x  0, x nên x  x   x  0   x  0  x    x  3 0  x  x  0       x  0   x  0  x  0  x  0    x 2    x   x   x   Vậy tập nghiệm phương trình S   3 Bài tốn f  x  g  x  Phương pháp giải Ta làm theo hai cách sau: Cách 1: Mọi x mà g  x   khơng thỏa mãn phương trình nên ta có cách giải sau:  g  x  0  f  x  g  x     f  x  g  x     f  x   g  x  Giải phương trình kiểm tra điều kiện Cách 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách chia khoảng giá trị: Trường hợp 1: Với f  x  0 , phương trình có dạng f  x  g  x  ; Trường hợp 2: Với f  x   , phương trình có dạng  f  x   g  x  Ví dụ: Giải phương trình x  x  Hướng dẫn giải Cách Ta có: x   x  Trang  x 1    x  x     x   x    x     x 4    3x 2   x     x 4   x    So sánh điều kiện x  ta thấy x 4 thỏa mãn x  thỏa mãn  2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S  4;   3  2 x  x  Cách Ta có: x   3  x x   Trường hợp 1: Với x  3 phương trình có dạng: x   x   x 4 (thỏa mãn điều kiện x  ) 2 Trường hợp 2: Với x  x , phương trình có dạng:  x  x   3x 2  x  (thỏa mãn điều kiện 3 )  2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S  4;   3 Nhận xét: Ưu điểm cách trường hợp dùng chung điều kiện, điều hạn chế nhầm lẫn bước kiểm tra Tuy nhiên, số phương trình, ta nên sử dụng cách (như phương trình chứa hai hay nhiều dấu giá trị tuyệt đối đề cập tốn 4) Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: a) x    x 0 b) x  x   x 0 Hướng dẫn giải a) Ta có: x    3x 0  x  3 x  3x  0     x  3x     x  1  x  So sánh điều kiện x    x 3   x      x 10   x 3   x     x 2 ta thấy x  không thỏa mãn x 2 thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình cho S  2 2 b) Ta có: x  x   x 0  x  x   x Trang  x 0   x 0  x 0  x 0  x         x  x   x    x  0    x 3    x      x  x  0     x  x  x   x  x  0      x    x 3 So sánh điều kiện x 0 ta thấy x  không thỏa mãn, x 3 không thỏa mãn x  thỏa mãn, x  thỏa mãn   Vậy tập nghiệm phương trình cho S   3;  Bài toán Phương trình chứa hai hay nhiều dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Thông thường giải theo bước sau: Bước 1: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bước 2: Căn vào bảng xét dấu, chia khoảng để giải phương trình (kiểm tra điều kiện tương ứng) Ví dụ: Giải phương trình: x   x  2 x  Hướng dẫn giải  x  x  x     x  x    x  x 3 Và x   3  x x  Từ ta có bảng sau: x 1 x 1  x x 3 x x 1 3 x x 1 x Trường hợp 1: Nếu x   phương trình trở thành:  x   x  2 x   x  (không thỏa mãn x   ) Trường hợp 2: Nếu   x  phương trình trở thành: x   x  2 x   x  (thỏa mãn   x  ) Trường hợp 3: Nếu x 3 phương trình trở thành: x   x  2 x   0.x 1 (vô nghiệm) 5  Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: a) x   x x  0 b) x  1 1  x  x  x  x 6 x 12 20 30 Trang Hướng dẫn giải a) Ta có: x   x  1  x  1 -  x  0 Nếu x 1  Khi x  0  x 1  - x   Nếu   x   Khi x  0 x    - x   Nếu x    Khi x   x    Do đó, ta có bảng sau: x 1 x2  x2  x 2 x  x2 x2  2 x 2 x x2  x Trường hợp 1: Nếu x   phương trình trở thành: x   x   x  0  x   x  x 0  x  x  0  x 1 1     x    0   x      2 2    x  2   x  2     x  2  (không thỏa mãn x   ) Trường hợp 2: Nếu   x  phương trình trở thành  x  x   x  0   x  x  x 0  x 1  x  (thỏa mãn   x  ) Trường hợp 3: Nếu  x  phương trình trở thành x   x   x  0  x   x  x 0  x  x  0  x 1 1     x    0   x      2 2    x  2   x  2     x  2  3 3 So sánh điều kiện  x  ta thấy x   không thỏa mãn x   thỏa mãn 2 2 Trường hợp 4: Nếu x  phương trình trở thành x   x  x   0  x   x  x 0  x 1  x  (không thỏa mãn x  )   ;  Vậy tập nghiệm phương trình cho S    2  b) Ta nhận thấy vế trái không âm với x Trang - Nếu x  x  nên phương trình cho vơ nghiệm - Nếu x 0 x 0 Khi tất biểu thức dấu giá trị tuyệt đối dương nên phương trình trở thành: 1  1  1       x    x    x    x    x   2  6  12   20   30    1 1  x        6 x  12 20 30  1 1    5x        6 x  1.2 2.3 3.4 4.5 5.6   x 1  1 1 1 1         2 3 4 5  x 1   x So sánh điều kiện x 0 x  thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài tập tự luyện dạng Câu Giải phương trình sau: a)  x  1 b)  x  x  c) x  x  0 d)  x  x  x  0 Câu Giải phương trình sau: a) x   x   x  2 b) x    2 c) x  x   x  Dạng Sử dụng miền giá trị giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Ta đánh giá miền giá trị biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối vào kiện tốn để giải Thường sử dụng tính chất: Với a   ta có a 0 Chú ý: Do A  x   B  x   A  x   B  x  Nên A  x   B  x   A  x   B  x   A  x  B  x  0 Ví dụ: Tìm x, y thỏa mãn:  x  y  0 Trang 10 Hướng dẫn giải   x 0, x Ta có:  nên  x  y  0  y  0, y Do phương trình tương đương với:   x 0 1  x 0    y   y     Vậy x 1 y   x 1   5  y  5 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm x, y thỏa mãn: a) y  x  y  c)  x  y  2020 0 13 b)  x  1  y  0  2019 y  0 Hướng dẫn giải a) Ta có: nên y  x  y  0 13 Do bất phương trình tương đương với:  y  x 0    y    13   y  x 0    y    13  y x    x y  13  y 13 Vậy x  y  13  x  1 0, x  b) Ta có:   y  0, y 5  x  1 0, x nên  x  1  y  0  2 y  0, y  x  1 0  x  0   Do phương trình tương đương với:  y   y     Vậy x 1 y   x  y  2020 0, x, y  c) Ta có:   y  0, y Nên  x  y  2020  x 1    y   x  y  2020 0, x, y  2019 y  0, y  2019 y  0 Do phương trình tương đương với:  x  y  2020 0  x  y 0     y  0  y  0  x  y    y 2  x    y 2 Trang 11 Vậy x  y 2 Ví dụ Giải phương trình sau: a) x    x  x  b) x   3x   x  3 Hướng dẫn giải a) Ta có: x    3x  1    x   x    x , x Do đó, x    x  x    x  1   x  0 Ta có bảng xét dấu sau: x  3x    2x +   3x  1   x  0 Từ bảng xét dấu ta thấy:  3x  1   x  0  + + +  +  1 x  1 5  Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  x    x   2  b) Ta có: x   3x   x   x    3x  x    x  3    x   x    x  x     x    x  1 3, x Do đó, phương trình tương đương với điều kiện xảy đẳng thức  x  3   x  1 0     x    x  1 0  x    3x  1 0    x    x  1 0 3x  0 3 x   2 x  0 2 x   x   3x  0  x 1 3x  0     2 x  0  x 1 2 x  0   x 2  Suy khơng có x thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu Giải phương trình sau: a) x   x  11 b) x   x   x  0 c) x 1  x   x  50 x 1.3 3.5 97.99 Trang 12 d) x 1 1  x  x   x  101x 1.5 5.9 9.13 397.401 Trang 13 ĐÁP ÁN Dạng Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu a) Khi x 0 ta có: x  0 nên x  3  x x  x A 3  x   x 5 2 b) Ta có: B   x  x  x    x   x  x  49 x  x  x  48 x  x  Trường hợp 1: x  x   x  Khi đó: B 48 x  x  Trường hợp 2: x   x   x  Khi đó: B 48 x  x  c) Khi x  , ta có: x  1  x  Khi đó: 2 1 1 1   C  x  1  x  x  x    x  1  x    x3  x  x  2 2 2   Dạng Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu  x  2  a) Ta có:  x  1  x  2    x     x 2   x 3  7 3 Vậy tập nghiệm phương trình S  ;  2 2  x 6   x 3x   x 6   b) Ta có:  x  3x     x 4   x 5  x  x 4   4 Vậy tập nghiệm phương trình S 6;   5 c) Xét phương trình x  x  0  x 1 Trường hợp 1: x 0 ta có: x  x  0   (thỏa mãn x 0 )  x 2  x  Trường hợp 2: x  ta có: x  x  0   (thỏa mãn x  )  x  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1; 2 d) Xét phương trình  x  x  x  0 2 1  Ta có:  x  x   x    0, x nên  x  x 1  x  x 2  Khi phương trình tương đương:  x  x  x  0  x 6  x  Trang 14  Vậy tập nghiệm phương trình cho S    Câu a) Xét phương trình x   x   x  2 Ta có bảng xét dấu sau: x x 2 x x  x  x x 3 x  3 x x  x x 4 x  4 x  4 x x Trường hợp 1: Nếu x  phương trình trở thành:  x   x   x 2  3x 7  x  (không thỏa mãn x  ) Trường hợp 2: Nếu  x  phương trình trở thành: x    x   x 2  x 3 (không thỏa mãn  x  ) Trường hợp 3: Nếu  x  phương trình trở thành: x   x    x 2  x 3 (thỏa mãn  x  ) Trường hợp 4: Nếu x  phương trình trở thành: 11 x   x   x  2  3x 11  x  (không thỏa mãn x  ) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  3 b) Ta có: x  0, x  x    0, x nên:  2x    4 10 2x     2x     2x      5 10  2x   10  13   x  20  x 20   13  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  ;   20 20   x  x  x   c) Ta có: x   0, x nên x  x  x    2  x  x   x  2  x 1   Trường hợp 1: x  1  x      x     x  1   x  x   0   x 2   x 1  2 Trường hợp 2: x  x   0 Ta thấy: x 0, x  x 0, x x  0, x  x  0, x nên x  x    0, x Do trường hợp vô nghiệm Trang 15 3 1 Vậy tập nghiệm phương trình cho S  ;  2 2 Dạng Sử dụng miền giá trị giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu a) Ta có: x   x    x  x    x  x  11, x Do x   x  11    x   x   0  5  x 3 5   Vậy tập nghiệm phương trình cho S  x    x 3   b) Ta có: x   x   3x  0  x   x   x   x  Mà x   x   x   x   x  nên x   x   x    x  1  x  3 0    x 3   x  Vậy nghiệm bất phương trình cho   x 3  c) Ta nhận thấy vế trái không âm với x Nếu 50 x  x  nên phương trình cho vơ nghiệm Nếu 50 x 0 x 0 nên tất biểu thức dấu giá trị tuyệt đối dương nên phương trình trở     1        thành:  x    x      x   50 x  49 x    50 x 1.3   3.5  97.99  97.99     1.3 3.5 1  x    1.3 3.5 97.99 2  2x     1.3 3.5 97.99  x 1  1 1      3 97 99  x 1  99  2x   x 98 99 49 99 So sánh điều kiện x 0 x  49 thỏa mãn 99 Vậy phương trình cho có nghiệm x  49 99 d) Ta nhận thấy vế trái không âm với x Nếu 101x  x  phương trình cho vơ nghiệm Trang 16 Nếu 101x 0 x 0 nên tất biểu thức dấu giá trị tuyệt đối dương nên phương trình         trở thành:  x    x    x      x   101x 1.5   5.9   9.13  397.401    1    100 x        101x 397.401   1.5 5.9 9.13 1 1  x     1.5 5.9 9.13 397.401 4 4  4x      1.5 5.9 9.13 397.401  x 1  1 1 1        5 9 13 397 401  x 1  401  4x  400 401 100  x 401 100 So sánh điều kiện x 0 x  thỏa mãn 401 100 Vậy phương trình cho có nghiệm x  401 Trang 17