Chuyên đề 24 phương trình bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chuyên đề 24 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A Kiến thức cần nhớ  A nÕu A 0 Định nghĩa giá trị tuyệt đối: A    A nÕu A < Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: a) Dạng 1: * f ( x )       f ( x )   (   0) * f ( x )  g ( x )   g ( x )  f ( x )  g ( x )  f ( x )   b) Dạng 2: * f ( x )      f ( x )    (  0)  f ( x )  g( x ) * f ( x )  g( x )    f ( x )   g ( x ) c) Dạng 3: f ( x )  g ( x )   f ( x )   g ( x )  Một số bất đẳng thức quan trọng giá trị tuyệt đối: a  b  a  b xảy dấu đẳng thức: ab 0 a  b  a  b xảy dấu đẳng thức: ab 0 a  b B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x  2015 b) x  3 x  c) ( x  3)  x   ( x  4)( x  4) 0 * Tìm cách giải: Các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng đơn (có dấu | nghĩa giá trị tuyệt đối để giải Giải a) Cách 1: * Nếu x  0  x   x  2 x  Ta có x  2015  x 2024  x 1012 (Thỏa mãn) * Nếu x    x  x  9  x Ta có  x 2015   x 2006  x  1003 (thỏa mãn) Nghiệm phương trình là: x  1003; x 1012  x  2015  x 1012  Cách 2: x  2015    x   2015  x  1003 b) * Với x 1,5 x  2 x  |) Ta sử dụng định Phương trình thành x  3 x   x 1 loại x 1,5 * Với x  1,5 x  3  x Phương trình trở thành  x 3x    x   x 1, thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình x 1,  x  3 x   Chú ý: Tránh mắc sai lầm x  3 x     x  4  3x  x 1  x 1,  Rồi kết luận ln nghiệm phương trình x 1 x 1, 4 Sai lầm chỗ vế trái không âm nên 3x  0  x  Do giải kiểu phải thử lại nghiệm trước kết luận 2 c) PT  x  x   x   x  16 0  x  6 x  25 * Với x 2,5 ta có x  6 x  25  x 5 * Với x  2,5 ta có  x 6 x  25  x 3,75 (loại) Phương trình có nghiệm x 5 Ví dụ 2: Giải phương trình: a) x  x 18 b) x  x  31 2 c) x  x  8 x  x  * Tìm cách giải: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối Giải 2 a) Với x 0 x x; x  x 18  x  3x  18 0  x   ( x  3)( x  6) 0   Loại x   x 6 2 Với x  x  x ; x  x 18  x  x  18 0  x 3  ( x  6)( x  3) 0   Loại x 3  x  Nghiệm phương trình x 6  x  x  31  x  x  32 0  b) x  x  31    x  x   31  x  x  30 0  x 8 Phương trình x  x  32 0  ( x  8)( x  4) 0    x  Phương trình x  x  30 0 vơ nghiệm Vì x  x  30 ( x  2)2  26  0, x Vậy nghiệm phương trình x 8 x  c) Do x  x  ( x  1)2   0, x nên x  x   x  x  Do PT  x  x  8 x  x   x 3  x  x  0  ( x  3)( x  2) 0    x 2 Ví dụ 3: a) Giải phương trình: x    21 b) Giải phương trình: x     10 15 * Tìm cách giải: Các phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối lồng vào (Dạng lồng): ax  b  c  d e ax  b  c  d  e h Ta sử dụng phương pháp bỏ dần dấu giá trị tuyệt đối từ vào Giải  x    12  a) PT  x    21    x   12  x   (lo¹i)   x  19  x   19  x     x  19  x 12  x     25 PT  x     25   b)  x    25  x    33 (lo¹i)  x    17    x   17  x   17  x   13 (lo¹i)  x   21     x  21  x  21  x  10  x 11  Ví dụ 4: Giải phương trình: a) x   3x    x 8 2 b) x   x  25 26 c) x   x   x  10 x * Tìm cách giải: Các phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối rời (dạng rời) ax  b  cx  d   px  q m Ta lập bảng xét giá trị tuyệt đối giải phương trình Câu c) ta nhận xét vế trái khơng âm nên suy x 0 Giải a) Lập bảng xét giá trị tuyệt đối (hay bảng phá dấu GTTĐ): x x 3–x | 3- x 2,5 | 3–x x–3 3x  6 – 3x 3x – | 3x – | 3x –  2x 2x – | 2x – 5 – 2x | – 2x Vế trái 14 – 6x | 0x + | 4x – | 6x – 14 Vậy: + Với x  14  x 8  x 1 (thỏa mãn) + Với  x 2,5 x  8 Vơ nghiệm + Với  x 3 x  8  x 4 (loại) 11 + Với x  x  14 8  x  (thỏa mãn) Nghiệm phương trình: x 1 x 3 b) Lập bảng xét GTTĐ: x 9 2,5 | 25  x | 25  x x  25 34  2x | x  16 | x  34 x2 x2  9 x x  25 Vế trái 2 x2  Với x 9; 34  x 26  x 4  x 2 Với  x  25; x  16 26 (Vô nghiệm) Với x 25; x  34 26  x 30  x  30 Vậy nghiệm phương trình x 2 x  30 c) Phương trình x   x   x  10 x có vế trái khơng âm nên 10 x 0  x 0 đó: x   x   3x  10 x  x 2 Ví dụ 5: Giải phương trình x    x  1 * Tìm cách giải: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng hỗn hợp (vừa lồng vừa rời): ax  b  c  dx  e   mx  n  p Ta phối hợp linh hoạt cách giải ví dụ trên: Giải (1)  x   1  x   3x   1  x   3x   x  6    3x     x   3x   x  4 a) Với x   x  6 ta lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x 3x  4  3x |  3x x 2  2 x x 2 | x 2 Vế trái  2x |  4x  | 2x  3x  -2 3x  Với x  2;  x 6  x 0 (thỏa mãn) Với   x  ;  x  6  x  (thỏa mãn) Với x  ; x  6  x 6 (thỏa mãn) b) Với x   x  4 lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x 3x  4  3x |  3x x 2  2 x x 2 | x 2 Vế trái  4x |  2x  | 4x  -2 Với x  2;  x 6  x  (không thỏa mãn) Với   x  ;  x  4  x 1 (thỏa mãn) Với x  ; x  4  x  (thỏa mãn) 3   Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 0; 1; ;    Ví dụ 6: Giải bất phương trình: a) x   25 b) x   x  Tìm lời giải: Các bất phương trình có dạng f ( x )   f ( x )  g ( x ) Do ta sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để giải giải theo cách giải sau * f ( x )       f ( x )   (  0) * f ( x )  g ( x )   g ( x )  f ( x )  g ( x ) (g ( x )  0) Sau giải xong lưu ý tập hợp nghiệm: nghiệm bất phương trình f ( x )   phải thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình f ( x )   f ( x )    ; nghiệm bất phương trình f ( x )  g ( x ) phải thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình f ( x )  g ( x ) f ( x )   g( x ) Giải a) x   25   25   x  25    20  x  30    x  7, b) Cách 1: Ta có x  2 x  x 3 x  6  x x  Vì thế: * Nếu x 3 x   x   x   x   x    x  * Nếu x  x   x    x  x    x    x  Kết hợp ta nghiệm bất phương trình 4   x  3  x  Cách 2: Ta có với x   x   Ta có: x   x    x   x   x  2 x   x   x     2 x    x  3 x  Nghiệm bất phương trình  x     x   x  Ví dụ 7: Giải bất phương trình biểu diễn nghiệm trục số: a) x   15 b) 2x   (với x 1) x c) x    x * Tìm lời giải: Các bất phương trình dạng f ( x )   f ( x )  g ( x ) Do ta sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để giải giải theo cách giải sau:  f ( x )   (  0) * f ( x )      f ( x )     f ( x )  g( x ) * f ( x )  g( x )    f ( x )   g ( x ) Sau giải xong lưu ý tập hợp nghiệm: nghiệm bất phương trình f ( x )   cần thỏa mãn hai bất phương trình f ( x )   f ( x )    ; nghiệm bất phương trình f ( x )  g ( x ) cần thỏa mãn hai bất phương trình f ( x )  g ( x ) f ( x )   g( x ) Giải  x   15  a) x   15    x    15  2x   x  1 2x      b) x  x     x   x  22  x      x  11  x     2x   x   10    x  1   x   x 4  x   (*)   x   (**)  x   x    x   Giải (*) có  Giải (**) có   x  Hợp nghiệm  x  x     x   *  x 1 **   x   x    x    x   Nghiệm bất phương trình cho  x    x2    2x  x  x   0(*)  c) x   x     x   x   x  x   0(**) x 2 Giải (*): x  x    ( x  4)( x  2)     x   Giải (**): Do x  x  ( x  1)2   0, x nên (**) vô nghiệm Biểu diễn nghiệm: Ví dụ 8: Giải bất phương trình: a) x   x  ; b) x  x   x   3x  * Tìm cách giải: Các bất phương trình cho (viết tắt BPT) có nhiều biểu thức dấu giá trị tuyệt đối rời Ta lập bảng xét giá trị tuyệt đối biểu thức để giải bất phương trình Giải a) Cách 1: Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x x 4 x -3 | 4 x 3x   3x  3x  | x 3x  * Với x   (1)   x   3x   x   6,5 * Với   x 4 BPT   x  3x   x   1, 25 * Với x  BPT  x   3x   x   6,5 (loại) Hợp hai khoảng nghiệm:  6,5  x     x   1,25 ta nghiệm bất phương trình  6,5  x   1, 25 Chú ý: Ta cách giải khác đơn giản dựa vào: f ( x )  g ( x )   f ( x )   g ( x ) Cách 2: Bình phương hai vế ta có: BPT  x  x  16  x  54 x  81  x  62 x  65   (4 x  5)(2 x  13)    6,5  x   1, 25 b) Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x x -1 | x 1  x x 1 | 2x  5  2x |  2x | x x * Với x   BPT   x  x    x  3x    x   12  x  2, (loại) * Với   x  BPT   x  x    x  x    x    x  (loại) * Với  x  2,5 BPT  x  x    x  3x    x   10  x  * Với x 2,5 BPT   x  x   x   3x    x  (đúng với x ) Vậy nghiệm bất phương trình x  C Bài tập vận dụng 24.1 Giải phương trình: 0 2,5 | x x 1 | x 1  2x x 2x  a) x 16  x  5 b) x  3x  x 1 2  Hướng dẫn giải – đáp số a) Biến đổi PT  x  12 10 x  32 Ta có x  12 0 nên 10 x  32 0  x 3, Khi x  12 5 x  12 Phương trình trở thành x  12 10 x  32 ta tìm x 4 (thỏa mãn); Vậy nghiệm phương trình x 4 b) Biến đổi PT  3x  22  x Xét với x  4 ta tìm x 2 Xét với x  ta tìm x  3 24.2 Giải phương trình: a) x   1 b) x  2 x  Hướng dẫn giải – đáp số  x 5  x 2,5  a) PT  x  2    x 0,5  x 1 b) * Với x 2 x   x  Phương trình trở thành  x  2 x   x 2 x  Với x 0 , ta có x 2 x   x 4 (thỏa mãn) Với x  0, ta có  x 2 x   x  (loại) * Với x  x  2  x Phương trình trở thành   x 2 x   x 8  x Với x 0, ta có: x 8  x  x  (loại x  2) Với x  0, ta có:  x 8  x  x 8 (loại) Phương trình có nghiệm x 4 24.3 Giải phương trình: a) x   x  10 b) x   x   x  5 c) x    x  x 5  x Hướng dẫn giải – đáp số Lập bảng xét giá trị tuyệt đối giải phương trình a) Tập nghiệm  5 x  4 b) Bảng xét giá trị tuyệt đối: x 2x  6  2x -2 |  2x x 5 x x 2 Vế trái | 2x  2x  | 5 x | 5 x x  x x2 | x2 | x2  x  13 |  4x  | 0x  | x  13 * Với x   PT   x  13 5  x 4 (loại) * Với   x  PT   x  5   x    x 1 * Với  x  PT  x  5  x 8 (vô nghiệm) * Với x 2,5 PT  x  13 5  x 18  x 9 Tập nghiệm S  1;9 c) Lập bảng xét GTTĐ Nghiệm x  0,25; x 0,5 24.4 Giải phương trình: a) x  x  2 b) x   x c) x  x  x   x  2 d) x  25  x  x  x  17 Hướng dẫn giải – đáp số  x  x  2  ( x  3)( x  1) 0  a) PT   2  ( x  1) 0  x  x   Tập nghiệm: S   1;3;1 b) Lưu ý: x 0 Tập nghiệm: S  2;3 c) Vế trái x  x 4  (4  x  x ) 4  (2  x) 4 Vế phải: áp dụng bất đẳng thức a  b  a  b ta có Vế trái: x   x   x    x  x    x 4 Suy vế phải vế trái  x 2 d) Áp dụng bất đẳng thức: a  b  a  b ta có: 2 2 Vế trái x  25  x   x  25  x  16 Mặt khác vế phải x  x  17 ( x  1)  16 16 Suy vế phải vế trái 16  x 1 24.5 Cho phương trình x   x  m (với m tham số) Hãy cho biết với giá trị m phương trình có hai nghiệm, vô số nghiệm, vô nghiệm? Hướng dẫn giải – đáp số Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x x x 2 x x | 5 x | 5 x x x Vế trái | |  2x 0x  2x  7 m 7 m   m  * Với x  (1)   x m  x  nghiệm 2 * Với  x 5 (1)  x m  vơ số nghiệm m 3 * Với x  (1)  x  m  x  m7 m7   m  nghiệm 2 Vậy m  (1) có hai nghiệm x  7 m m 7 x  2 Nếu m 3 (1) có vơ số nghiệm  x 5 Nếu m  (1) vơ nghiệm 24.6 Giải phương trình x   x   Hướng dẫn giải – đáp số 2 x   x  4  x  x  9  PT    x    x   x  x  1 Lập bảng xét giá trị tuyệt đối tìm tập nghiệm S   12;6 24.7 Giải phương trình x    x   11 12 Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x  t (t 0) Phương trình trở thành 2t   2t  11 12 Lập bảng xét giá trị tuyệt đối tìm t 2 t 8  x 7 Với t 2  x  2    x 3  x 13 Với t 8  x  8    x  24.8 Giải bất phương trình: a) x  x   14 c) x   b) x   x  x  2x  Hướng dẫn giải – đáp số  x  x  12  a) BPT   14  x  x   14    x  x  16  * x  x  16 ( x  2)2  12  x * x  x  12 ( x  6)( x  2)     x  Nghiệm bất phương trình   x   x  x  2 b) x   x  x    x  x   x   x  x     x  x    23  * x  x   x     0, x  2  x 0 * x  x  x ( x  3)     x   x 0 Nghiệm bất phương trình   x   6 x  15 2 x   1,25  x 5 c) BPT   6 x  15  x  24.9 Giải bất phương trình: a) 5x   5x  c) b) 2x   x 3   x 2 d)  x  x  2016 x  2018 Hướng dẫn giải – đáp số  x  0,6  2(5 x  1)  x   5x    a) BPT    2(5 x  1)   x  15 x   x   15  x  0,6 Nghiệm bất phương trình   x   15 b) Với x 2 bất phương trình cho tương đương với:   x  1         x  Hợp nghiệm   x  0       x    2x  x 0    x    x     x     x   7  x  trừ x 2 c) Với x  Tương tự (b) biến đổi BPT  x 2 x 3 Tìm   x   trừ x  2 d) Ta có  x  x  2016  x  x  2016 (do  x  x  2016  0; x ) x  2018  0, x nên BPT  x  x  2016  x  2018  x 2  x 1 24.10 Giải bất phương trình: a) 2x      89  91 b)  x  x  c) x   x  x  d)  x   x  x  Hướng dẫn giải – đáp số a)     89  (2  89).30 91.15  x  15  x 9  Do BPT  x  15    x   15  x  b) BPT  x  2  x  x  2  x  ( x  2)( x  3) 0     ( x  2)( x  1) 0  x  x    x 2    x     x 2  x  Tổng hợp nghiệm:   x   4x   x2  2x   x  x   c) BPT    2  x    ( x  x  5)  x  x  10  (1c ) (2c ) (1c)  x ( x  6)    x  (2) Vô nghiệm Nghiệm bất phương trình  x  1  d) Ta có  x  0; x x  x   x     0; x 2  Nên bất phương trình vơ nghiệm 24.11 Giải bất phương trình: a) x   x  b) x   x   x  11 Hướng dẫn giải – đáp số a) Bình phương hai vế Hoặc lập bảng xét giá trị tuyệt đối Nghiệm (1) x   b) Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x x 5 x x x 6 x | 6 x x 0x 1 | x  11 Vế trái 11  2x | * Với x  (2)  11  x  3x  11  x  4, | x * Với  x 6 (2)  x   3x  11  x  (loại) * Với x  (2)  x  11  x  11  x  (loại) Vậy nghiệm (2) x  4, 24.12 Giải bất phương trình: a) x     b) x   11   Hướng dẫn giải – đáp số  x    10  x   16  a) BPT  x    10    x    (lo¹i)  x     10  x   16  x  20    x    16  x   12 b) BPT  x   11     x   11    12  x   12  x   12      x   10    x    10  x   10   4,5  x  7,5   x    x      x  7,5 Hợp nghiệm ta nghiệm BPT    4,5  x   *Một số đề thi: 24.13 Giải phương trình x  x   x  7 (Đề thi vào lớp 10 chuyên, Quốc học Huế, năm học 1994-1995) Hướng dẫn giải – đáp số Lập bảng xét GTTĐ xét khoảng * Nếu x   PT   x  x   x  7  x  10 * Nếu   x   PT   x  x   x  7  x  (loại) * Nếu   x 0 PT   x  x   x  7  x 4 (loại) * Nếu x  PT  x  x   x  7  x  Phương trình có hai nghiệm x  10 x  3 2 24.14 Giải phương trình x   x  3 (Thi học sinh giỏi lớp TP Hồ Chí Minh, năm học 1994-1995) Hướng dẫn giải – đáp số x   x   x    x x    x 3 2 Dấu “=” xảy  ( x  1)(4  x ) 0   x 4   x 2    x 2     x 1    x     x 2    x   Nghiệm phương trình  x 2;   x  24.15 Giải phương trình x  x  2 (Thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh, năm học 1995-1996) Hướng dẫn giải – đáp số Lập bảng xét GTTĐ xét khoảng: * Với x 0 phương trình thành  x   x 2  x 4 vô nghiệm * Với  x 2 phương trình thành x   x 2  x 2 (nhận) * Với x  phương trình thành x  x  2  x  2 vô số nghiệm Vậy nghiệm phương trình x 2 24.16 Giải phương trình ( x  1)  x   0 (Thi học sinh giỏi lớp TP Hồ Chí Minh, năm học 2001-2002) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt y  x  y 0 Phương trình trở thành: y  y  0  ( y  2)( y  4) 0  y 2 y  (loại)  x  2  Vậy y 2  x  2    x    x 3  x   Nghiệm phương trình x 3 x  24.17 Giải phương trình x   x  x  (Thi vào lớp 10 khiếu ĐHQG TP.Hồ Chí Minh, năm học 2003-2004) Hướng dẫn giải – đáp số * Nếu x 2,5 x  2 x  x   x  3x   x  x  0  ( x  3)( x  2) 0  x  x 2 Loại x  * Nếu x   2,5 x   x   x   x  x   x  x  0  ( x  4)( x  1) 0  x  x  Loại x  Nghiệm phương trình x 2 x  24.18.Giải phương trình x   x  1  x  (Đề thi tuyển sinh THPT chuyên ĐHQG Hà Nội, năm 2004) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có ab  a b nên x   x  1  x   x  x   x   x   0  x   0   x   1  x   1 0    x   0 (1) (2)  x 0 ; (2)  x  1  * (1)  x  1    x   x 0  x 2  Tập nghiệm phương trình S   2;0; 2 24.19 Giải phương trình x  2005 2006  x  2006 2006 1 (Đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Thanh Hóa, năm học 2004-2005) Hướng dẫn giải – đáp số * Khi x 2005; x 2006 vế trái vế phải số trị Do x 2005 x 2006 nghiệm phương trình * Với x  2005 x  2005  x  2006  Do x  2005 2006  x  2006 2006   phương trình vơ nghiệm * Với x  2006 x  2005  x  2006  Do x  2005 2006  x  2006 2006   phương trình vơ nghiệm * Với 2005  x  2006  x  2005    x  2006   x  2005 2006  x  2005  x  2005 x  2006  x  2005 2006  x  2006 2006 2006  x  2006 2006  x  x  2005  2006  x 1  phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình x 2005 x 2006