Bài 3 những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

CHUYÊN ĐỀ BÀI NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP THEO) Mục tiêu  Kiến thức + Phát biểu bốn đẳng thức đáng nhớ: Lập phương tổng, lập phương hiệu, tổng hai lập phương, hiệu hai lập hương + Phân biệt khác lập phương tổng (hiệu) tổng (hiệu) lập phương + Vận dụng đẳng thức việc tính tốn, chứng minh đẳng thức, tìm x  Kĩ + Tính nhanh giá trị biểu thức cách thu gọn biểu thức, áp dụng đẳng thức đáng nhớ + Làm tốn tìm x dựa vào phương pháp học + Biết cách tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, chứng minh đẳng thức Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Lập phương tổng Ví dụ: ( A  B)3  A3  A2 B  AB  B Lập phương hiệu ( x  2)3  x3  x 2  3.x.22  23  x  x  12 x  Ví dụ: ( A  B)3  A3  A2 B  AB  B (2 x  3)3 (2 x)3  3.(2 x)  3.(2 x).32  33 8 x  36 x  54 x  27 Tổng hai lập phương Ví dụ: A3  B  A  B   A2  AB  B  x  27 y  x  (3 y )3  x  y   x  x.3 y  (3 y )  Chú ý: A2  AB  B gọi bình phương thiếu hiệu Hiệu hai lập phương ( x  y )  x  xy  y  Ví dụ: A3  B  A  B   A2  AB  B  x  y (2 x)3  y  x  y   (2 x)  x y  y  Chú ý: A2  AB  B gọi bình (2 x  y )  x  xy  y  phương thiếu tổng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Sử dụng đẳng thức viết lại biểu thức cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Viết lại biểu thức x  12 x  x  dạng lập phương tổng Bước Căn vào nội dung đề xác Hướng dẫn giải Xác định biểu thức A, B định biểu thức tương ứng A, B Ta có A3 8 x (2 x)3  A 2 x Bước Liên hệ đẳng thức phù hợp B 1 13  B 1 Liên hệ đẳng thức Bước Viết lại biểu thức dạng thu ( A  B)3  A3  A2 B  AB  B x  12 x  x  gọn (2 x)3  3.(2 x)  3(2 x).12  13 (2 x  1)3 Ví dụ mẫu 2 Ví dụ Rút gọn biểu thức  x  y   x  xy  y  Hướng dẫn giải  x  y   x  xy  y   x  y   (2 x)  x.3 y  (3 y )  (2 x)3  (3 y )3 8 x3  27 y Trang Ví dụ Sử dụng đẳng thức viết lại biểu thức sau a) 27 x3  54 x  36 x  b) x  12 x  48 x  64 2 c)  x  y   x  x y  y   x y   x2 y2       d)  x 2  2y x   4y Hướng dẫn giải a) 27 x  54 x  36 x  (3x)3  3.(3 x) 2  3.(3 x).2  23 (3x  2)3 b) x3  12 x  48x  64 x  3.x  3.x.42  43 ( x  4)3 2 2 2 c)  x  y   x  x y  y   x  y    x    x  y  (3 y )     x    y  8 x  27 y  x y   x2 y2   x y    x   x   y  y2            d)        x   y x    y   y   x  x   2y x   4y 3  x   y x3 y        x  2y   x  8y Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Rút gọn biểu thức a)  x    x  x     x   2 2 b)  x  y   x  3xy  y    x  y   x  3xy  y  c) x  36 x y  54 xy  27 y 3 2 d)  x  y    x  y   x  xy  y  Đáp án 3 a)  x    x  x     x    x     x    x3   x  10 2 2 b)  x  y   x  3xy  y    x  y   x  3xy  y  Trang 3  x   y    x   y    27 x  y  27 x  y 2 y 2 c) x3  36 x y  54 xy  27 y  x    x  y   x   y    y  3  x  y  2 d)  x  y    x  y   x  xy  y  3  x  3.x  y   3.x  y    y    x   y     x3  x y  12 xy  y  x  y  x y 12 xy Câu 2: Sử dụng đẳng thức rút gọn biểu thức a) x  36 x  54 x  27 b) 27 a  27a  9a  2 c)  a  2b    a  2b   a  2ab  4b  d)  x  y   xy  x  y   x Đáp án 3 a) x3  36 x  54 x  27  x    x    x  32  33  x   3 b) 27 a3  27 a  9a   3a    3a    3a  12  13  3a  1 2 c)  a  2b    a  2b   a  2ab  4b  a  3.a  2b   3.a  2b    2b    a  2b   a  a.2b   2b     a  6a 2b  12ab  8b3   a3  8b3  a  6a 2b  12ab  8b3  a  8b3 6a 2b  12ab 6ab(a  2b) 3 d)  x  y   xy  x  y   x x  3.x  y   3.x  y    y   x y  12 xy  x  x3  x y  12 xy  y  x y  12 xy  x  8y Dạng 2: Sử dụng đẳng thức để khai triển biểu thức cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Khai triển (2 x  1)3 Hướng dẫn giải Trang Bước Xác định biểu thức A, B Bước Liên hệ sử dụng đẳng thức Xác định biểu thức A, B : A 2 x; B 1 Liên hệ đẳng thức phù hợp Bước Sử dụng tính chất lũy thừa, ( A  B)3  A3  A2 B  AB  B Khai triển tính chất giao hốn để khai triển biểu thức (2 x 1)3 (2 x)  3.(2 x)  3.(2 x).12 13 8 x  12 x  x  Ví dụ mẫu Ví dụ Khai triển biểu thức sau b)  x  y  a) ( x  3)3 c) ( x  2)  2x 3y  d)    x   y e) x  27 y f) 27 x y  y3 125 Hướng dẫn giải a) ( x  3)3 x3  3x  3.x.32  33  x  x  27 x  27 3 2 b)  x  y   x    x  y  3.(2 x )  y    y  8 x  36 x y  54 x y  27 y c) ( x  2)3  x3  3.x 2  3.x.2  23  x  x  12 x  3 2  2x 3y   2x   2x   y   2x   y   3y  d)                   x   y   y  y   x   y  x   x   x3 x y 27 y  36  54  y3 y x x3 e) x  27 y (2 x )3  (3 y )3  x  y   (2 x)  x.3 y  (3 y)   x  y   x  xy  y  27 x3 y  x   y  f)       y 125  y    2  x y    3x  x y  y               y  y     y  3x y   x x y         y 25   y Bài tập tự luyện dạng Trang Bài tập Câu 1: Khai triển biểu thức sau a) ( x  2)3   2x 3y  c)      b) (2 x  3)3 d) 2x y  xy  3 e) 27 x  y x y 27  f) y Đáp án a) ( x  2)3  x3  3.x 2  3.x.2  23 x  x  12 x  b) (2 x  3)3  x    x    x  32  33 8 x  36 x  54 x  27 3 2 3 27 y  2x y   2x   x   y   x   y   y  8x c)                     x y  xy     27           d) x y  xy    x y    x2 y   xy    x y   xy    xy  8 x y  12 x y  x y  x y 3 2 3 e) 27 x  y  3x    y   x  y    x    x   y    y    x  y   x  xy  y  3 x3 y 27  xy     xy    xy  xy            f)        y    y  y    y  y     xy   x y 3xy       2 y  y   Câu 2: Khai triển biểu thức sau a) (2 x  y )3   c)  xy  x y    b) (3x  y )3 Đáp án 2 a) (2 x  y )3  x    x   y    x   y    y  8 x  36 x y  54 xy  27 y 3 b)  3x  y   3x    x   y    3x   y    y 27 x  27 x y  xy  y 3   c)  xy  x y   xy     2  3  3    xy   x y    xy   x y    x y  2  2  2  8 x y  18 x y  27 5 27 x y  x y Dạng 3: Sử dụng đẳng thức tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Trang Ví dụ: Cho M  x3  x  12 x  Tính giá trị M x  Hướng dẫn giải Biểu thức A có chứa x3 23 , biểu thức Bước Liên hệ đẳng thức phù hợp có dấu cộng nên ta liên tưởng tới đẳng thức ( A  B)3  A3  A2 B  AB  B A3  x3  A x B 8 23  B 2 M  x3  x  12 x  Bước Xác định biểu thức A, B Bước Rút gọn biểu thức  x3  3.x 2  3.x.22  23 ( x  2) Bước Thay giá trị tương ứng x, y Với x  , ta có M (  2)3 13 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau a) A 27 x  27 x  x  x 3 b) B 8 x  36 x  54 x  27 x 2 c) C ( x  y )3  6( x  y )  12( x  y )  x 2; y 3 x  x  x  d) D   y     y   27   y   27 x 4; y 1 2  2  2  Hướng dẫn giải a) A 27 x3  27 x  x  (3x)3  3.(3x)  3.(3 x).1 13 (3 x  1)3 Với x 3 , ta có A (3.3  1)3 103 1000 b) B 8 x  36 x  54 x  27 (2 x)3  3.(2 x)  3.(2 x).32  33 (2 x  3)3 Với x 2 , ta có B (2.2  3)3 13 1 c) C ( x  y )3  6( x  y )  12( x  y )  ( x  y )3  3.( x  y ) 2  3.( x  y ).22  23 ( x  y  2)3 Với x 2; y 3 , ta có C (2  2.3  2)3 103 1000 x  x  x  d) D   y     y   27   y   27 2  2  2  x  x  x  x   y     y     y  32  33   y  2  2  2  2 4 Với x 4; y 1 , ta có D    2  3    03 0  Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau Trang 2 3 a) A  3x  y   x  xy  y    27 x  y  x 31 y 5 b) B x  y biết x  y 5 xy 2 Hướng dẫn giải 2 3 a) A  3x  y   x  xy  y    27 x  y   x  y   (3x )  x.2 y  (2 y )    27 x  y  3  x    y    27 x  y  27 x  y  27 x3  y  16 y  2(2 y )3 Với x 31 y 5 , giá trị biểu thức A A  2.(2.5)3  2.1000  2000 3 3 2 b) B  x  y  x   (2 y ) ( x  y )  x  x.2 y  (2 y )   x  y   x  xy  y   x  y   x  xy  y  xy   x  y    x  y   xy    Với x  y 5 xy 2 , giá trị biểu thức B B  x  y    x  y   xy  5  52  6.2  65   Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tính giá trị biểu thức a) N x  x y  27 xy  27 y x 1 y  2 b) P  3x  y    x  y   x  3xy  y  x 2 y 5 Đáp án a) N x  x y  27 xy  27 y  x  3.x y  3.x  y    y  3  x  y  Vậy với x 1 y  giá trị biểu thức N N     3  103 1000 2 b) P  3x  y    x  y   x  3xy  y  27 x  27 x y  xy  y   27 x  y  Trang 27 x3  27 x y  xy  y  27 x3  y 27 x y  xy 9 xy  x  y  Vậy với x 2 y 5 giá trị biểu thức P P 9.2.5   2.3 990 Câu 2: Tính giá trị biểu thức a) A x  x  12 x  x 12 b) B  x  1   x  1  12  x  1  x 5 2 c) C  x  y    x  y   x  xy  y  x 2 y 5 d) D  x3  y x  y 10 xy  Đáp án a) A x3  x  12 x  x3  3.x 2  3.x.22  23  x   Với x 12 giá trị biểu thức A A  12   103 1000 3 b) B  x  1   x  1  12  x  1   x  1   x  1   x  1 2  23 3  x     x  1 Với x 5 giá trị B B  2.5  1 113 1331 3 2 3 c) C  x  y    x  y   x  xy  y   x  3.x y  3.x  y    y    x   y    x  x y  12 xy  y   x3  y   x3  x y  12 xy  y  x  y 6 x y  12 xy 6 xy  x  y  Với x 2 , y 5 giá trị biểu thức C C 6.2.5   2.5  720 3 d) Ta có D  x3  y  x   y   x  y   xy  x  y  Với x  y 10 xy  giá trị D D 10     10 1000  360 640 Dạng 4: Tính nhanh Phương pháp giải Ví dụ: Tính nhanh 1013 Bước Tách hạng tử, số thành tổng tích số cách hợp lí (trịn chục, trịn trăm) Bước Liên hệ sử dụng đẳng thức phù hợp Bước Tính Hướng dẫn giải Vì 101 100  nên 1013  100  1 1003  3.1002.1  3.100.12  13 1000000  30000  300  1030301 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính nhanh Trang a) 993 b) 473  9.47  27.47  27 c) 10273  3.10272.27  3.1027.27  39 Hướng dẫn giải a) Ta có 99 100  nên 993  100  1 1003  3.1002.1  3.100.12  13 1000000  30000  300  970299 b) Ta có 473  9.472  27.47  27 473  3.47 2.3  3.47.32  33  47  3 503 125000 c) Ta có 10273  3.1027 2.27  3.1027.27  39 10273  3.1027 2.33  3.1027  33    33  3  1027  33  10003 1000000000 Ví dụ Tính nhanh a) 1023  23 b) 493  c) 173  33 Hướng dẫn giải a) Ta có A3  B  A  B   AB  A  B  Từ 1023  23  102    3.102.2  102   1003  612.100 1000000  61200 1061200 b) Ta có A3  B  A  B   AB  A  B  Từ 493  13  49  1  3.49.1  49  1 503  3.49.50 125000  7350 117650 b) Ta có A3  B  A  B   AB  A  B  Từ 173  33  17  3  3.17.3  17  3 203  153.20 8000  3060 4940 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tính nhanh a) 113 b) 93 c) 373  9.37  27.37  27 Đáp án Trang 10 a) Ta có 113  10  1 103  3.102.1  3.10.12  13 1000  300  30  1331 b) Ta có 93  10  1 103  3.102.1  3.10.12  13 1000  300  30  729 c) Ta có 373  9.37  27.37  27 373  3.37 2.3  3.37.32  33  37  3 403 64000 Câu 2: Tính nhanh a) 9993 b) 593  3.592  3.59  c) 5033  9.5032  27.503  27 Đáp án a) Ta có  A  B   A3  A2 B  AB  B  A3  B  AB  A  B  9993  1000  1 10003  13  3.1000.1 1000  1 997002999 b) Ta có  A  B   A3  A2 B  AB  B 593  3.592  3.59  593  3.592.1  3.59.12  13  59  1 603 216000 c) Ta có  A  B   A3  A2 B  AB  B 5033  9.5032  27.503  27 5033  3.5032.3  3.503.32  33  503  3 5003 125000000 Câu 3: Tính nhanh a) 513 b) 493 c) 1033  9.1032  27.103  27 Đáp án a) Ta có 513  50  1 503  3.502.1  3.50.12  13 125000  7500  150  132651 a) Ta có 493  50  1 503  3.502.1  3.50.12  13 125000  7500  150  117649 c) Ta có 1033  9.1032  27.103  27 1033  3.1032.3  3.103.32  33  103  3 1003 1000000 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức rút gọn biểu thức Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh  x  2y Bước Liên hệ đẳng thức phù   x  y   x  xy  y  6 xy  x  y  Hướng dẫn giải Áp dụng đẳng thức lập phương tổng hiệu Trang 11 hợp hai lập phương  A  B  A3  A2 B  AB  B , Bước Xác định biểu thức A B A3  B  A  B   A2  AB  B  A  x B 2 y đẳng thức Bước Viết lại biểu thức  x  2y x  3.x 2 y  3.x  y    y   x3  x y  12 xy  y  x  y   x  xy  y   x  y   x  x.2 y   y      x3   y   x3  y Bước Chứng minh, rút gọn biểu thức  x  2y   x  y   x  xy  y   x  x y  12 xy  y   x  y   x  x y  12 xy  y  x  y 6 x y  12 xy 6 xy  x  y  2 Vậy  x  y    x  y   x  xy  y  6 xy  x  y  Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau 2 2 a)  x  y    x  y   x  xy  y   27 y  x  y   x y b)  a  b  c  a  b3  c   a  b   b  c   c  a  Hướng dẫn giai 2 a)  x  y    x  y   x  3xy  y   27 y  x  y   x3  3.x  y   3.x  y    y     x  y   x  x.3 y   y     27 y x  54 y       x3  x y  27 xy  27 y   x  27 y   27 y x  54 y  x  x y  27 xy  27 y  x  27 y  27 y x  54 y  9x y Vậy  x  3y   x  y   x  xy  y   27 y  x  y   x y b) Ta có  a  b  c    a  b   c  Trang 12  a  b    a  b  c   a  b  c  c a  3a 2b  3ab  b3   a  b  c   a  b  c  c3 a  b3  c3  3ab  a  b    a  b  c   a  b  c a  b3  c3   a  b   ab   a  b  c  c  a  b3  c3   a  b   ab  ac  bc  c  a  b3  c3   a  b   a  b  c   c  b  c   a  b3  c3   a  b   b  c   a  c  Vậy  a  b  c  a  b3  c   a  b   b  c   c  a  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Chứng minh 2 a)  x    x  10 xy  25 y    x  y   30 xy  x  y   30 xy b) Cho a  b  c 0 Chứng minh a  b3  c 3abc Đáp án 2 a) Xét  x  y   x  10 xy  25 y    x  y   30 xy  x  y  2 2  x  y    x   x.5 y   y      x    x  y   x   y    y    60 x y  120 xy     3  x    y    x3  60 x y  150 xy  125 y   60 x y 120 xy 8 x3  125 y  x3  60 x y  150 xy  125 y  60 x y  120 xy  30xy 2 Vậy  x    x  10 xy  25 y    x  y   30 xy  x  y   30 xy b) Ta có a  b  c 0  c  a  b Xét a  b3  c  3abc a  b3    a  b   3ab   a  b  (do c  a  b ) a  b3   a  b   3a 2b  3ab a  3a 2b  3ab  b3   a  b   a  b    a  b  3 0 Vậy với a  b  c 0 a  b3  c3 3abc Bài tập nâng cao Câu 2: Cho x  y  z 0 Chứng minh x  y  z 6 xyz Đáp án Trang 13 Ta có x  y  z 0 suy x  y  z Xét 3 x  y  z  xyz  x  y    x  y   xy   x  y  x  y   x  y   x y  12 xy 2 3 3 x3  3.x 2 y  3.x  y    y    x  y   x  y    x  y  0 Vậy với x  y  z 0 x  y  z  xyz 0 3 3 Câu 3: Cho a  b  c  d 0 Chứng minh a  b  c  d 3  b  c   ad  bc  Đáp án Ta có a  b  c  d 0  a  b  c  d   a  b    c  d   a  3a 2b  3ab  b3   c  3c d  3cd  d   a  b3  3ab  a  b    c  d   3cd  c  d   a  b3  c  d  3ab  a  b   3cd  c  d  3 3 Vì a  b  c  d  a  b  c  d  3ab   c  d   3cd  c  d   a3  b3  c  d 3  c  d   ab  cd  (điều phải chứng minh) Dạng 6: Tìm x từ điều kiện cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Tìm x, biết x  3x  3x   3x   Bước Khai triển, viết lại đẳng Ta có x  3x  3x   3x   thức, rút gọn biểu thức  x  1 3  3x   x  3 x  x  x 5  Bước Đưa phương trình dạng Bước Tìm x  x 4 x  Vậy x  Bước Kết luận Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm x biết a) x  x  12 x   x  1 b) x  36 x  54 x  27 0 Hướng dẫn giải a) Ta có x  x  12 x   x  1 b) Ta có x  36 x  54 x  27 0 x  3.x 2  3.x.22  23  x 1  2x   x    x  32  33 0  x  3 0 Trang 14  x  2  x  1 x  0 x  x  2 x  x  x 1  x x  Vậy x  Vậy x  3 3 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tìm x biết a) x  x  27 x  27 0 b)  x  1   x  1  x  x 1 0 Đáp án a) x3  x  27 x  27 0  x  3.x  3.x.32  33 0   x  3 0  x 3 Vậy x 3 3 2 3 b)  x  1   x  1  x  x 1 0   x    x    x  1    x    0  x 12 x  x   x  0  12 x  x 0  x 0  x 0  x  x  1 0      x  x     Vậy x 0 x  1 Câu 2: Tìm x thỏa mãn a) x  x  3  x  3   x    x  x    x  x   0 2 b) x   x  3  x  x    x  x  x  1  13 0 Đáp án a) x  x  3  x  3   x    x  x    x  x   0  x  x     x    x  x  22   x  x 0  x  x   x3  23   x  x 0  x  x  x   x  x 0  x  x  0  x  x  x  0 Trang 15  x  x     x   0   x    x   0  x  0     x  0  x   x 4  Vậy x  x 4 2 b) x   x  3  x  x    x  x  x  1  13 0  x   x  3   x   x.3  32   x  x  x  13 0    x    x   33   x  x  x  13 0    x  x3  27  x  x  x  13 0   x  x  14 0   x  x  0   x  x  x  0   x  x  1   x  1 0   x  1   x   0  x  0  x        x  0  x 2 Vậy x  x 2 Trang 16