PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐAO TẠO CHI LĂNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM 2022-2023 Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 81 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x 3x 506 Câu (4,0 điểm) x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 a) Giải phương trình sau : 17 b) Cho a b c 0 a, b, c khác Hãy rút gọn biểu thức : A ab bc ca 2 2 2 a b c b c a c a2 b2 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh n n chia hết cho 30 với n thuộc N 15 14 13 12 b) Tính nhanh : M x x x x x x 2015 với x=7 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E , tia đối tia CB lấy F cho AE=CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD I trung điểm EF Chứng minh ba điểm O, C, I thẳng hàng Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD=AE Xác định vị trí điểm D, E cho a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 81 2 x 81 x 2.2 x 92 36 x x x x x x x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x 3x 506 2015 2015 2015 A x x 506 x 2.x x 4 2 4 2015 Min A x 2 Câu (4,0 điểm) x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 c) Giải phương trình sau : 17 x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 x 258 17 19 21 23 d) Cho a b c 0 a, b, c khác Hãy rút gọn biểu thức : ab bc ca A 2 2 2 a b c b c a c a2 b2 Từ a+b+c=0 suy a+b= c Bình phương hai vế ta a b 2ab c a b c 2ab, cmtt : b c a 2bc; c a b 2ca ab bc ca 3 A 2ab 2bc 2ca Câu (4,0 điểm) c) Chứng minh n n chia hết cho 30 với n thuộc N n5 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 6 (do có tích số tự nhiên liên tiếp)(1) Mặt khác : n5 n n n 1 n 1 n n 1 n n n 1 n 5n n 1 (n 2)(n 1)n(n 1)(n 2) 5(n 1)n(n 1) Vì ( n 2)(n 1)n(n 1)(n 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2;3;5 mà số nguyên tố nên ( n 2)( n 1) n( n 1)(n 2) chia hết cho 30 (2) Và 5(n 1)n(n 1) chia hết cho nên chia hết cho 30 (3) Từ (1), (2),(3) ta có đpcm 15 14 13 12 d) Tính nhanh : M x x x x x x 2015 với x=7 Với x 7 x 8 Khi ta có : M x15 x 1 x14 x 1 x13 x 1 x x 1 x 2015 M x15 x15 x14 x14 x x x x 2015 M x 2015 7 2015 2008 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E , tia đối tia CB lấy F cho AE=CF E I B F C O A D c) Chứng minh EDF vng cân Ta có ADE CDF (c.g.c ) EDF cân D Mặt khác ADE CDF (c.g c ) BED BFD Mà BED DEF EFB 90 BFD DEF EFB 90 EDF 90 Vậy EDF vuông cân D d) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD I trung điểm EF Chứng minh ba điểm O, C, I thẳng hàng Theo tính chất đường chéo hình vng suy CO trung trực BD 1 DI EF , Cmtt BI EF DI BI I 2 Mà EDF vuông cân nên thuộc đường trung trực DB nên I thuộc đường thẳng CO hay O,C,I thẳng hàng Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD=AE Xác định vị trí điểm D, E cho B D C A c) DE có độ dài nhỏ Đặt AB=AC=a khơng đổi, AE=BD=x (0 < x