UBND HUYỆN CHI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 A Câu (6,0 điểm) Cho biểu thức x 3x x2 x x2 1; B x 9 x 3 x x x a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A B xác định b) Rút gọn P A : B ? c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x2 x 1 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình x x Câu (2,0 điểm) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng số phương Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD cho EOH 45 Gọi M, F trung điểm AB BC Chứng minh a) FOE COH b) HOD ∽ OEB c) ME / / AH a, b, c a2 b2 c2 1 2 2 2 Câu (2,0 điểm) Cho a ab b b bc c c ca a Tìm giá trị lớn biểu thức S a b c ĐÁP ÁN Câu (6,0 điểm) Cho biểu thức x 3x x2 x x2 A 1; B x 9 x 3 x x x d) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A B xác định ĐKXĐ: x 3; x 2 e) Rút gọn P A : B ? A x 3x x 3x x 3( x 3) 3 x 9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x B x2 x x x2 x2 x2 4 x2 x x 3 x x x x 3 x x 3 x x P A : B 3 x : x 3 x 3 x 2 f) Tìm giá trị ngun x để P có giá trị nguyên P Z x U (3) 1; 3 x 1; 3;1; 5 x2 Đối chiếu điều kiện x 5; 1;1 P đạt giá trị nguyên x2 x 1 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình x x x2 x 1 x x 1 7 x x 1 x 2x x x 1 6 x x 1 x x x x 0 VN Câu (2,0 điểm) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp x, x 1, x 2, x x 0 Ta có : x x 1 x x 3 x x 3 x 1 x x 3x x 3x x 3x 1 x 3x 1 x x 1 x 3x 1 Vậy tích bốn số tự nhiên liên tiếp ln số phương Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD cho EOH 45 Gọi M, F trung điểm AB BC Chứng minh A M B F O D E H C d) FOE COH Ta có OBC vng cân O (do ABCD hình vng) OF phân giác nên FOC 45 FOE EOC 45 1 EOH 45 gt EOC COH 45 Mặt khác Từ (1) (2) suy FOE COH (dfcm) e) HOD ∽ OEB Có BEO 90 FOE; HOD 90 HOC mà FOE HOC (chứng minh câu a) BEO HOD Xét HOD & OEB có HOD EOB 45 (do ABCD hình vng) BEO HOD cmt HOD ∽ OEB ( g g ) Và f) ME / / AH Có HOD ∽ OEB(cmt ) HD OD BD BD BD 2 AB AB HD.EB OD.OB (3) OB EB 2 4 AB AB EB AD BM AD AB HD.EB BM AD 4 5 2 BM HD Mà Từ (3), (4) suy Mà EBM ADH 90 BME ∽ DHA(c.g c) BME DHA Từ (5) (6) suy Mà BAH DAH (so le ) (8) Từ (7) (8) suy BME BAH ME / / AH (dfcm) a, b, c a2 b2 c2 1 2 2 2 a ab b b bc c c ca a Câu (2,0 điểm) Cho Tìm giá trị lớn biểu thức S a b c a a ab b a 2b ab a2 2 a ab b Ta có a ab b Áp dụng bất đẳng thức Co si ta có : a a ab b a 2b ab ab a b a2 a b 2a b a a 1 2 2 a ab b a ab b 3ab 3 b2 2b c c2 2c a ; 3 2 2 c ac a Chứng minh tương tự : b bc c Từ (1), (2), (3) suy a2 b2 c2 a b c 2 2 2 a ab b b bc c c ca a a b c 1 a b c 3 Max S 3 a b c