104 đề hsg toán 8 vũ thư 22 23

UBND HUYỆN VŨ THƯ _PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU MƠN TỐN _ 2022-2023 A Bài (3,0 diểm) Cho biểu thức 2x x2 x   x 2      x   x x  x   x 3  Rút gọn biểu thức A Tìm x để A 0 Bài (4,0 điểm) x 1) Giải phương trình  2  x  x  x  2 m  0 2) Xác định m để phương trình : x  x  có nghiệm Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh n  n  6 với số nguyên n 2 2) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x  x   y Bài (3,0 điểm) f x 2 x  ax  bx  1) Cho đa thức   chia hết cho x  x  f x Hãy xác định a b biết đa thức   3 2) Cho biết x  x  x  17 0 y  y  y  11 0 Chứng minh x  y 2 Bài (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M (M không trùng với A B) Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = AM Gọi I trung điểm MN, đường thẳng DI cắt BN E.Chứng minh DN  NB.NE Bài (4,0 điểm) Cho ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H AE AF  a) Chứng minh : AB AC AFE ACB S AEF b) Cho biết : BAC 60 Hãy tính S ABC c) Gọi M điểm nằm D C Qua A kẻ đường thẳng vng góc với HN M Gọi I giao điểm AH EF Chứng minh NM tia phân giác DNI Bài (1,0 điểm) Cho số thực x; y thỏa mãn x  0, y  0, x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B x y   y 1 x 1 x  y ĐÁP ÁN A Bài (3,0 diểm) Cho biểu thức 2x x2 x   x 2      x   x x  x   x 3  Rút gọn biểu thức A Tìm x để A 0 A 2x x2 3x   x 2  2x x 2 3x        x   x x  x   x 3  x  x   x    x    x  x  3   x    x    x  x  x  x   x    x    x  3  x    x  3  x  3x x   x    x  3 x  x 0   x 2 x A 0  Bài (4,0 điểm) x  x  x  x  1) Giải phương trình   x  x  x  x    x  x    x  x   0 2 2 2 2  x  x  0(VN )  x  x      x 1 x  x  0   x  x     x   2 m  0 2) Xác định m để phương trình : x  x  có nghiệm Điều kiện x  1; x 2 m  0  1   x    m( x  1) 0    m  x   m 0   x 1 x  Để pt (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn x  1; x 2 )m 2     x  0(VN ) m   m    m ) m      x     m 0 2 m  m  2   m Vậy để phương trình cho có nghiệm m 0; m 2 Bài (3,0 điểm) 3) Chứng minh n  n  6 với số nguyên n Ta có : n  7n n  n  6n (n  1)n(n  1)  6n  n  1 n  n  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho n  1 n  n 1 3, mà nguyên tố  chia hết cho  n  1 n  n  1  6n6n   n  7n  6n Suy Vì n số nguyên nên 2 4) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x  x   y Ta có : x  x   y   x  x  1  y    x  1  y    x   y   x   y    x   y 1  x   x   y   x 0         x   y   y 2  x   y 3  y   x   y 3  x 0  x   y        x   y   y 2  x   y 1 Vay ( x; y )   2;  ,  0;   ,  0;  ,   2;    x    y  Bài (3,0 điểm) 3) Cho đa thức f  x f  x  2 x  ax  bx  Hãy xác định a b biết đa thức chia hết cho x  x   f   1 0   f    Theo đề ta có :    a  b  0   2  a  b  0 a  b 5   a  b 1 a 3  b 2 Vậy a=3, b=2 3 4) Cho biết x  x  x  17 0 y  y  y  11 0 Chứng minh x  y 2 Ta có : x  3x  5x  17 0   x  1   x  1  14 0  1 Cmtt : y  y  y  11 0   y  1   y  1  14 0   Cộng vế với vế (1) (2) ta có : 3  x  1   y  1   x  y   0 2   x  y     x  1   x  1  y  1   y  1   0    x  y  0 2 2 (  x  1   x  1  y  1   y  1     x  y     x  1   y  1     2 Suy x  y =2 Bài (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M (M không trùng với A B) Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = AM Gọi I trung điểm MN, đường thẳng DI cắt BN E.Chứng minh DN NB.NE A M B I D E C N Xét ADM & CDN : A C 90 , AC DC ( gt ), AM CN ( gt )  ADM CDN (c.g c)  DM DN  1 , ADM CDN   Ma`ADM  MDC 90  3 ,   , (3)  CDN  MDC 90  MDN 90   Từ (1) (4) suy MDN vng cân D đường trung tuyến DI đồng thời đường cao Xét NIE & NBM : NIE NBM 90 , N chung  NIE ∽ NBM ( g , g )   NE.NB NM NI   Lại có : NE NI  NM NB DMN ∽ IMD ( g.g )  Mà DM MN   MD MI MN IM MD MI IN ( gt )  MD IM MN   Từ (5) (6) suy MD NE.NB   Từ (1), (7) suy DN  NE.NB Bài (4,0 điểm) Cho ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H A N I F E H C P D M AE AF  d) Chứng minh : AB AC AFE ACB Xét AEB AFC ta có : AEB AFC 90 , Achung  AEB ∽ AFC ( g g )  AE AF  AB AC AE AF   cmt  , Achung  AEF ∽ ABC (c.g.c)  AFE ACB AB AC Xét S AEF e) Cho biết : BAC 60 Hãy tính S ABC AEF & ABC : S S AB  AE  AEF ∽ ABC (cmt )  AEF   AEF   , BAC 60  AE  S ABC  AB  S ABC Vì f) Gọi M điểm nằm D C Qua A kẻ đường thẳng vng góc với HN M Gọi I giao điểm AH EF Chứng minh NM tia phân giác DNI DC EC  , CED ∽ CBA( g g )  CED CBA  1 AC BC AFE ∽ ACB  cmt   FEA CBA   ,  1 , (2)  CED FEA   ADC ∽ BEC ( g g )  Ma` AEB BEC 90  gt   FEA  FEB CED  DEB   Từ  3 ,    FEB DEB  EB EH tia phân giác IED  tia phân giác BED HD ED   5 HI EI Vì EA  HE  EA tia phân giác góc ngồi IED  AD ED   6 AI EI HD AD HD HI     7 AI AD AI Từ (5) (6) suy HI Giả sử NH không tia phân giác DNI Kẻ NI ' cho NH phân giác góc DNI ( I thuộc AD) HD HI '   8 Chứng minh tương tự, ta có : AD AI ' HI HI ' HI  AI HI ' AI ' AH AH      AI AI ' AI AI ' Từ (7) (8) suy AI AI ' Suy NH tia phân giác góc DNI Bài (1,0 điểm) Cho số thực x; y thỏa mãn x  0, y  0, x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B x y   y 1 x 1 x  y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : x 4 x y  x  y  1  x   x  xy  1 Cmtt :  y  xy   y 1 y 1 9 x 1 9 x y 8     x  y   xy   1 ,    B  y 1 x 1 x  y 9 x y 1  x  y     x  y   xy  3 x y 9 Từ giả thiết x  y 1    x  y  1  xy  x  y   x 1   xy    Áp dung BĐT AM-GM vào (3) , kết hợp (4) (5) ta có : B 2    9 Dấu xảy Min B   x  y  Vậy x y  x y    x  y 1