SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI THÀNH LẬP CÁC ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 6x Q : x 2 x 1 x 1 x x 1 Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q Q b) Tìm x c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài (6,0 điểm) 1) Giải phương trình : 2 x x x 1 2) Cho hai đa thức M ( x) x x x 1; Q( x) 3x x Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm 3) Cho M x Tính giá trị f x x px q Q x1 , Q x2 , Q x3 , Q x4 , Q x5 với p Z , q Z Chứng minh tồn số nguyên k để f k f 2019 f 2020 Bài (4,0 điểm) ab bc ca c a Chứng minh a b c 1) Cho abc 1 b a b2 a 2 c Chứng minh 2) Cho a, b, c số nguyên khác 0, a c cho b c 2 a b c số nguyên tố Bài (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD, gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vuong AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM DN b) Tứ giác EMFN hình ? c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC a b c 2 Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c 0, a b c 3 Chứng minh b c a ĐÁP ÁN 6x Q : x 2 x x x x Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q DK : x 1, x 6x Q : x 2 x 1 x 1 x x 1 x x x x 1 x 3x x 1 x x 1 ( x 2) x 1 x x 1 ( x 2) x 1 ( x 2) 2 x 1 x x 1 ( x 2) x x e) Tìm x Q 1 Q x x 3 x x 0 x x 1 Q x=2 Vậy để f) Tìm giá trị lớn biểu thức Q 1 x x x 1 1 3 x 2 Max Q x Vậy Q Bài (6,0 điểm) 4) Giải phương trình : ĐKXĐ: x 0; x 1 2 x x x 1 x 2(tm) x 1(ktm) 2 x 1 3x ( x 1) x x x 1 2 x x x 1 x x 1 x x 1 x x x 3x x 2 x x x x x x 0 x x 1 x 1 0 x 1 x3 0 x 0 x 0 x (tm) x 1(tm) S ;1 Vậy phương trình có tập nghiệm 5) Cho hai đa thức M ( x) x x x 1; Q( x) 3x x Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm Ta có : M x Tính giá trị Q x1 , Q x2 , Q x3 , Q x4 , Q x5 Q x 3x x x 1 3x 1 Vì x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm M(x) nên M ( x) x x1 x x2 x x3 x x4 x x5 M ( 1) x1 x2 x3 x4 x5 1 1 1 3 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 1 M 3 1 x4 x1 3 649 1 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 243 3 3 3 1 1 1 1 649 x2 x3 x5 3 3 3 3 243 1 1 1 Q x1 3 x1 1 x1 ; Q x2 3 x2 1 x2 ; Q x3 3 x3 1 x3 3 3 3 1 1 Q x4 3 x4 1 x4 ; Q x5 3 x5 1 x5 3 3 Q x1 Q x2 Q x3 Q x4 Q x5 1 1 1 1 1 35 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x4 x1 x2 x3 x5 3 3 3 3 3 649 243 3 1947 243 f x x px q 6) Cho với p Z , q Z Chứng minh tồn số nguyên k để f k f 2019 f 2020 Ta có : f x f x 1 f x x 1 p x 1 q f x x x px p q f ( x) x px q x p 1 f ( x) f x x p 1 2 f x f ( x).x pf x f ( x) f x f ( x ).x pf ( x) x px q 2 f x f ( x).x x pf x px q f ( x ) x p f x x q f f x x f 2019 f (2020) f f 2019 2019 f 20192 p.2019 q 2019 f k Với k 2019 p.2019 q 2019 Z Bài (4,0 điểm) ab bc ca c a Chứng minh a b c 3) Cho abc 1 b Ta có : ab bc ca 1 1 a b c b c a b c a a b b c c a 1 b c a b b c c a a b a b a 2b c c b bc a b b c c a 0 1 c a b c b c a b b c c a a c ca a 2b c 1 a b a b b c c a 2 0 c a b a c a ab abc a b 0 Do abc 1 2 0 b c 0 a b c abc c a 0 a b2 a 2 c Chứng minh 4) Cho a, b, c số nguyên khác 0, a c cho b c 2 a b c số nguyên tố a2 b2 a a b c b c a a 2c b 2c ab ac a 2c ac 2 b c c a c b 2c ab ac 0 ac a c b a c 0 a c ac b 0 b ac (do a c) a b c a ac c a 2ac c b 2 a c b a c b a c b 2 Giả sử a b c số nguyên tố hai nhân tử a c b a-c+b – *a c b 1 a b c a b c a b c 2a 2c b 1 2 a 1 b c 1 1 ( a, b, c Z ), ma`a c (ktm) a c 1 *a c b a b c a b c a b c 2a 2c 2 a 1 b c 1 1, ma`a, b, c Z b 1, a c 1, ma`a c ( ktm) *a c b 1 a b c a b c a b c 2a 2c b 1 2 a 1 b c 1 1 ( a, b, c Z ), ma`a c (ktm) a c 1 *a c b a b c a b c a b c 2a 2c 2 a 1 b c 1 1, ma`a, b, c Z b 1, a c 1, ma`a c ( ktm) 2 Vậy a b c số nguyên tố Bài (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vuong AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E Đường thẳng AH cắt DC F A B E M O N D F C H d) Chứng minh BM DN Xét ABM & ADN có : AB AD( gt ), BAM DAM (cùng phụ với MAD); AM AN ( gt ) ABM ADN (c.g c) e) Tứ giác EMFN hình ? ABM ADN (cmt ) ADN ABM 90 ADN ADF 180 N, D, F thẳng hàng Xét EOM & FON có : EOM FON 90 (tính chất đường chéo hình vng) OM=ON (tính chất đường chéo hình vng) EMO FNO (hai góc so le EM / / AB / /CD) EOM FON ( g.c.g ) EM NF Tứ giác EMFN có EM / / NF EM = NF nên hình bình hành Lại có EF MN (tính chất đường chéo hình vng) nên EMFN hình thoi f) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC Vì EMFN hình thoi nên MF=FN, lại có BM=DN (cmt) Nên Chu vi MFC MF MC CF FN MC CF FD DN MC CF DF FC BM MC DC BC 2 BC Do BC không đổi nên chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC a b c 2 a , b , c 0, a b c Bài (2,0 điểm) Cho Chứng minh b c a 2 a a ab ab a b ab ab a b2 b2 b2 b2 1 ab ab ab ab Do b 2b a a 2 1 b 2b 1 b 2b 1 b a ab b bc c ac a Cmtt : b ; c 2 1 b 1 c 1 a a b c ab bc ca ab bc ca a b c 3 2 1 b 1 c 1 a 2 Co ': a b c 3 ab bc ca ab bc ca 32 ab bc ca 3 a b c a b c 3 hay 2 2 2 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a Dấu xảy a b c 1