PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Câu (4,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x xy y y x 2 3 2) Cho a 3ab 5 b 3a b 10 Tính S 2016a 2016b Câu (5,0 điểm) 4x 8x2 x 2 A : x x x 2x x 1) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A tìm giá tri x để A 2) n Chứng minh 2 3n 1 chia hết cho 24 với n số tự nhiên Câu (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 3x x y y 2 2) Một đa thức P x chia cho x x dư x chia cho x x dư 3x Tìm số dư phép chia P x cho x x Câu (6,0 điểm) Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF 1) Chứng minh AE vng góc với BC 2) Gọi H giao điểm AE , BC Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng 3) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định 1 1 Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz Tìm giá trị lớn Q biểu thức x yz x y zx y z xy z ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) 2 3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x xy y y x x xy y y x x xy xy y x y x x y y x y x y x y x y 1 2 3 4) Cho a 3ab 5 b 3a b 10 Tính S 2016a 2016b 2 a 3ab 5; b3 3a 2b 10 a 3ab b3 3a 2b 52 102 a 6a 4b2 9a 2b b6 6a 2b 9a 4b 25 100 a 3a 4b 3a 2b4 b 125 a b 53 a b 5 S 2016a 2016b2 2016 a b 2016.5 10080 Câu (5,0 điểm) 4x 8x2 x 2 A : x x x 2x x 3) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A tìm giá tri x để A x x 2 4x 8x2 x 4x 8x2 A : : x( x 2) x x x 2x x x x x x x 8x : x x x x x x x x x 2 x x x x x x x2 dk : x 2; x 3 Để A x Ta có x 0 với x, để A x x Đối chiếu với điều kiện ta có A x 3, x 2, x 0 4) n Chứng minh 2 3n 1 chia hết cho 24 với n số tự nhiên B n 3n 1 n 3n 1 n 3n 1 n n 3 n 3n n n 3 n 1 n Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2,3, nên B24 Câu (4,0 điểm) 3) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 3x x y y x3 3x x x 3x x y y y x x 2 x 2 x x nguyên x x y nguyên x x x x 25 x x 27 x 27 x x 3;9; 27 x 2 x2 27 x 1 7(ktm) 5 (ktm) 145 *) x y (ktm) 27 *) x 1 y *) x y *) x 5 y 5 Vậy x; y 1; 3 ; 5;5 2 4) Một đa thức P x chia cho x x dư x chia cho x x dư 3x Tìm số dư phép chia P x cho x x Giả sử P x x x 1 Q x R x ( Q(x): thương, R(x): dư) P x x x 1 x x 1 Q x R x P x R x x x 1 x x 1 P x , R x 2 có số dư chia cho x x x x R x x x 1 mx n x x x 1 px q x m p m n q p n m p q n q m n 4 p q 0 Vậy R x x x x Câu (6,0 điểm) Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF D C I H O A F E K M B 4) Chứng minh AE vng góc với BC BE / / MD (do DMA EBM 45 ) mà AC DM (tính chất đường chéo hình vng) BE AC Xét CAB có CM AB, BE AC AE BC (tính chất ba đường cao) 5) Gọi H giao điểm AE , BC Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng Gọi AC DM O Vì AHC 90 OH AC DM OH 2 DM DMH DMH có vng H nên MHD 90 Chứng minh tương tự MHF 90 Vậy ba điểm D, H , F thẳng hàng OH 6) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định Gọi I DF AC , DMF có DO OM , OI / / MF ID IF Kẻ IK AB K trung điểm AB (tính chất đường trung bình hình thang) IK AB , AB cố định nên I cố định Vậy DF qua I cố định M di chuyển AB 1 1 Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy yz xz Tìm giá trị Q lớn biểu thức x yz x y zx y z xy z 1 1 1 1 xyz xyz z x y xyz xy yz xz xy yz xz Xét yz x yz x yz yz x.xyz yz x x y z Tương tự : zx y y z x y ; xy z x y z x z x y z Q Q x yz x x x xy zx y zx y z xy z y y z z yz x y zx yz Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cosi: x x 1 x z y y 1 y y z z 1 z z ; ; x y zx 2 x y xz yz x y 2 yz x y zx yz 2 zx yz 1 x x y y z z Q 2 x y zx yz x y zx yz x z x y y z Q z x z x x y x y y z y z Q 1 Q 2 Max Q x y z Vậy