PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NAM ĐÈ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (5,0 điểm) x2 x x3 x 2 x2 A : x 2x2 x x2 x x2 x 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x với x 0; x 1 919193 113 91919 11 3 2) Chứng minh 91919 91908 91919 91908 3) Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Bài (4,0 điểm) 2 2 1) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a c b d Chứng minh a b c d hợp số 2) Cho đa thức P x P x x x x x 2034 Tìm số dư phép chia cho đa thức x 10 x 19 Bài (4,0 điểm) 2 1) Tìm tất số x, y, z nguyên thỏa mãn : x y z xy x z 0 a b c a b c 2) Cho a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab Bài (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD a) Chứng minh : B đối xứng với D qua O b) Chứng minh BM MK Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam AB BC CA 2 2 giác ABC Chứng minh AM BN CP 4 Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên x x; y phương trình y 28 17 x y 14 y 49 ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm) A x2 x x3 x 2 x2 : x3 x x x2 x x2 x 4) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức với x 0; x 1 x2 x x3 x 2 x2 A : x x2 x x2 x x2 x x x 1 x x 1 x x x 1 : x x x x x 1 x x 1 x x x 1 x x x x 1 x x 1 x2 : 2 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x2 : x x x 1 x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x x2 1 x x 2 x x Ta có : x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số x x x 1 x 1 2 x 1 4 x x x 1 x 1 x 1 1 x x Dấu xảy Vậy Min P 4 x 2 x 2(tm) x 0(ktm) 919193 113 91919 11 3 5) Chứng minh 91919 91908 91919 91908 91919 11 919192 91919.11 112 919193 113 919193 919083 91919 91908 919192 91919.91908 919082 91919 11 91919.11 91919 11 91919 91908 919082 91919 91919 91908 91919 11 919082 91919.11 91919 11 91919 91908 91908 91919.11 91919 91908 6) Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương n 41 q p, q n 18 p n 18 n 41 Để số phương : p q n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 Vì 59 số nguyên tố nên p q 59 p 30 q 29 n 18 p 302 900 n 882 2 Thay vào n 41 ta 882 41 841 29 q số phương Vậy n 882 n 18; n 41 số phương Bài (4,0 điểm) 2 2 3) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a c b d Chứng minh a b c d hợp số Xét a b c d a b c d a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 a a 1 2 Vì a số nguyên dương nên a; a hai số tự nhiên liên tiếp Tương tự ta có b b 1 ; c c 1 ; d d 1 a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 số chia hết cho số chẵn số chẵn Ta có : Do a b c d số chẵn mà a b c d , a b c d hợp số 2 a c b d a b c d 2 b d 4) Cho đa thức chia P x 2 2 P x x x x x 2034 Tìm số dư phép cho đa thức x 10 x 19 P x x x x x 2034 x 10 x 16 x 10 x 24 2034 Đặt t x 10 x 19 P x t t 2034 t 2t 2019 Do t 2t 2019 chia cho t có số dư 2019 Vậy P x cho đa thức x 10 x 19 có số dư 2019 Bài (4,0 điểm) 2 3) Tìm tất số x, y, z nguyên thỏa mãn : x y z xy 3x z 0 y2 3 x y z xy 3x z 0 x xy z z 1 y y 0 4 y x 0 x 1 2 y 2 x z 1 y 0 z 0 z 1 2 y 0 y 2 Vay x; y; z 1; 2;1 a b c a b c 4) Cho a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức a b c Ta có a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a b c ab bc ca 0 a2 a2 a2 a 2bc a ab ac bc a b a c Tương tự : P P b2 b2 c2 c2 ; b 2ac (b a )(b c) c 2ab c a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a b a c b a b c c a c b a b a c b c 1 a b a c b c Bài (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD A B I M O H D C K c) Chứng minh : B đối xứng với D qua O BH / / DI AC BH DI OBH ODI BHDI Ta có tứ giác hình bình hành Có O trung điểm HI nên O trung điểm BD Vậy B đối xứng với D qua O d) Chứng minh BM MK Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH N MN BC N trung điểm BH MN đường trung bình AHB MN / / AB MN AB MN / / CK / / AB MNCK MN CK AB CN / / MK 1 Ta có : hình bình hành nên CN BM BMC có N trực tâm nên Từ (1) (2) suy BM MK Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam AB BC CA 2 2 giác ABC Chứng minh AM BN CP 4 A N P H C M B Vẽ Cx CP Cx / / AP Gọi D điểm đối xứng A qua Cx AB / / Cx AB AD BAD 90 Cx AD Ta có : ACD có Cx vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ACD cân C Ta có tứ giác APCI hình chữ nhật (vì PAI APC PCI 90 ) AI CP Mà AD 2 AI nên AD 2CP Xét điểm B, C , D ta có : BD BC CD 2 2 ABD vuông A nên : AB AD BD AB AD BC CD 2 AB 4CP BC AC 4CP BC AC AB 2 Tương tự AM AB AC BC ; BN AB BC AC Cộng vế theo vế ta : AM BN CP AB BC AC 2 AB BC CA 2 2 Vậy AM BN CP 4 Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên x; y phương trình x y 28 17 x y 14 y 49 x y 28 17 x y 14 y 49 x y 17 x y Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x y2 7 x y Dấu xảy 2 x2 y 2 17 x y x y x y x y 7 2 x y 2 x y x, y 2 x y 0 Vì Chúng có giá trị nguyên nên ta suy 2 x y 7 2 x y 1 x 2 y 3 Vậy phương trình có nghiệm 2;3