063 đề hsg toán 8 lục nam 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NAM ĐÈ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (5,0 điểm)  x2  x x3  x 2  x2  A :    x  2x2  x  x2 x  x2  x  1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x  với x 0; x 1 919193  113 91919  11  3 2) Chứng minh 91919  91908 91919  91908 3) Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Bài (4,0 điểm) 2 2 1) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a  c b  d Chứng minh a  b  c  d hợp số 2) Cho đa thức P  x P  x   x    x    x    x    2034 Tìm số dư phép chia cho đa thức x  10 x  19 Bài (4,0 điểm) 2 1) Tìm tất số x, y, z nguyên thỏa mãn : x  y  z  xy  x  z  0 a  b  c  a  b  c 2) Cho a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn  Tính giá trị biểu thức P a2 b2 c2   a  2bc b  2ac c  2ab Bài (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD a) Chứng minh : B đối xứng với D qua O b) Chứng minh BM  MK Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam  AB  BC  CA  2 2 giác ABC Chứng minh AM  BN  CP 4 Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên x  x; y  phương trình  y  28  17  x  y  14 y  49  ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm) A  x2  x x3  x 2  x2  :     x3  x  x  x2 x  x2  x  4) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức với x 0; x 1  x2  x x3  x 2  x2  A :    x  x2  x  x2 x  x2  x   x  x  1  x  x  1  x  x  x  1 :      x  x  x  x  x  1 x  x  1  x  x  x  1 x     x x  x  1 x  x  1 x2 :   2 x  x  1 x  x  1  x  1  x 1  x2  :    x  x  x  1   x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x  x2 1 x   x   2 x x Ta có : x  1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số x  x  x  1 x  1  2  x  1  4 x x  x  1 x 1   x  1 1    x   x   Dấu xảy Vậy Min P 4  x 2  x 2(tm)  x 0(ktm)  919193  113 91919  11  3 5) Chứng minh 91919  91908 91919  91908  91919  11  919192  91919.11 112  919193  113  919193  919083  91919  91908   919192  91919.91908  919082   91919  11  91919.11 91919  11  91919  91908 919082  91919  91919  91908  91919  11 919082  91919.11 91919  11  91919  91908 91908  91919.11 91919  91908 6) Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương  n  41 q  p, q   n  18  p n  18 n  41 Để số phương : p  q  n  18    n  41 59   p  q   p  q  59  p  q 1   Vì 59 số nguyên tố nên  p  q 59  p 30   q 29 n  18  p 302 900  n 882 2 Thay vào n  41 ta 882  41 841 29 q số phương Vậy n 882 n  18; n  41 số phương Bài (4,0 điểm) 2 2 3) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a  c b  d Chứng minh a  b  c  d hợp số Xét a  b  c  d    a  b  c  d  a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1  a  a  1 2 Vì a số nguyên dương nên a; a  hai số tự nhiên liên tiếp Tương tự ta có b  b  1 ; c  c  1 ; d  d  1  a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 số chia hết cho số chẵn   số chẵn Ta có : Do a  b  c  d số chẵn mà a  b  c  d  , a  b  c  d hợp số 2 a  c b  d  a  b  c  d 2 b  d 4) Cho đa thức chia P  x 2 2 P  x   x    x    x    x    2034 Tìm số dư phép cho đa thức x  10 x  19 P  x   x    x    x    x    2034  x  10 x  16   x  10 x  24   2034 Đặt t  x  10 x  19  P  x   t    t    2034 t  2t  2019 Do t  2t  2019 chia cho t có số dư 2019 Vậy P  x cho đa thức x  10 x  19 có số dư 2019 Bài (4,0 điểm) 2 3) Tìm tất số x, y, z nguyên thỏa mãn : x  y  z  xy  3x  z  0  y2  3  x  y  z  xy  3x  z  0   x  xy     z  z  1   y  y   0  4   y  x  0   x 1 2  y 2     x     z  1   y   0   z  0   z 1 2   y  0  y 2    Vay  x; y; z   1; 2;1 a  b  c  a  b  c 4) Cho a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn  Tính giá trị biểu thức  a  b  c Ta có  a2 b2 c2   a  2bc b  2ac c  2ab a  b  c  ab  bc  ca 0 a2 a2 a2   a  2bc a  ab  ac  bc  a  b   a  c  Tương tự : P P b2 b2 c2 c2  ;  b  2ac (b  a )(b  c) c  2ab  c  a   c  b  a2 b2 c2 a2 b2 c2      a  2bc b  2ac c  2ab  a  b   a  c   b  a   b  c   c  a   c  b   a  b   a  c   b  c  1  a  b  a  c  b  c Bài (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC Gọi M , O, K trung điểm AH , HI CD A B I M O H D C K c) Chứng minh : B đối xứng với D qua O  BH / / DI   AC   BH DI  OBH ODI  BHDI Ta có tứ giác hình bình hành  Có O trung điểm HI nên O trung điểm BD Vậy B đối xứng với D qua O d) Chứng minh BM  MK Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH N  MN  BC N trung điểm BH  MN đường trung bình AHB  MN / / AB     MN  AB  MN / / CK  / / AB       MNCK MN  CK  AB    CN / / MK  1   Ta có :  hình bình hành nên CN  BM   BMC có N trực tâm nên Từ (1) (2) suy BM  MK Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM , BN , CP Gọi H trực tâm tam  AB  BC  CA 2 2 giác ABC Chứng minh AM  BN  CP 4 A N P H C M B Vẽ Cx  CP  Cx / / AP Gọi D điểm đối xứng A qua Cx  AB / / Cx  AB  AD  BAD 90  Cx  AD  Ta có : ACD có Cx vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ACD cân C Ta có tứ giác APCI hình chữ nhật (vì PAI APC PCI 90 )  AI CP Mà AD 2 AI nên AD 2CP Xét điểm B, C , D ta có : BD BC  CD 2 2 ABD vuông A nên : AB  AD BD  AB  AD  BC  CD  2  AB  4CP  BC  AC   4CP  BC  AC   AB 2 Tương tự AM  AB  AC   BC ; BN  AB  BC   AC Cộng vế theo vế ta :  AM  BN  CP   AB  BC  AC  2  AB  BC  CA 2 2 Vậy AM  BN  CP 4 Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên  x; y  phương trình x  y  28  17  x  y  14 y  49  x  y  28  17  x  y  14 y  49   x   y      17 x   y    Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x   y2  7      x   y Dấu xảy 2     x2   y      2 17  x   y      x  y    x  y   x  y  7 2 x  y 2 x  y x, y     2 x  y 0 Vì Chúng có giá trị nguyên nên ta suy 2 x  y 7   2 x  y 1  x 2   y 3 Vậy phương trình có nghiệm  2;3