121 đề hsg toán 8 bắc giang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN LỚP Ngày thi: 30/3/2013 Câu (4,5 điểm) 2 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a  7a b  7ab  2b 2 2) Cho x  x 1 Tính giá trị biểu thức Q x  x  x  x  x  x  Câu (4,5 điểm) x 1  4026  x R    : x  x x  x x  x   x Tìm x để biểu thức xác 1) Cho biểu thức định, rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: x   x  1  x  1  x   4 Câu (4,0 điểm) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n  n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Câu (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD 2 AB 2 AD BC a a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I trung điểm BC , H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC  Chứng minh HDI 45 2) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1      la lb lc a b c Câu (1,0 điểm) 2 Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a  b a  b Tính giá trị lớn biểu thức: S a b  a 1 b 1 ĐÁP ÁN Câu 1) Ta có: P 2  a  b3   7ab(a  b) 2  a  b   a  ab  b   ab  a  b   a  b   2a  2b  5ab   a  b   2a  4ab  2b  ab   a  b   2a  a  2b   b  a  2b    a  b   2a  b   a  2b  Kết luận P  a  b   2a  b   a  2b  2) Ta có: Q x  x  x  x    x  x  x   x  x  x  2 x  x  x    x  x   x  x  x  4 Vậy Q 4 Câu 1)  x  x x 1 R     x x  x x  x x         4026  Ta có:  x 0 x  x   0    x 2 ĐK: Khi đó: R   x  x 1      4026  x  x  x    x  1  x     x  1  x    4026 x2  2 x  4   4026 x  2013  x 0  R  x 2 2013 Vậy R xác định  2) +Nếu x 2, phương trình cho trở thành :  x    x  1  x  1  x   4   x  1  x   4  x  x 0  x  x   0  x 0(ktm)    x  5(tm)  x  5( ktm)  +)Nếu x  2, phương trình cho trở thành:   x   x  1  x  1  x   4   x    x  1  x  1  x      x  1  x     x  x  0 5    x    0 2  vơ nghiệm Phương trình có nghiệm x  Câu 3 1) Ta có: n  n n  n  1  n  1 Vì n  1; n; n  ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho Do n  n  8 (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với  1 ;   suy n  n  24  dpcm  2 2) Giả sử n  4n  2013 m  m   Suy  n   2  2009 m  m   n   2009   m  n    m  n   2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau: m  n  2009 m 1005 TH 1:   m  n    n 1002 m  n  287 m 147 TH :   m  n    n 138 m  n  49 TH 3:   m  n   41   m 45   n 2 Vậy số cần tìm 1002;138;2 Câu A B H I D E C 1) a) Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân Từ suy AB  AD a, BC 2a Diện tích hình thang ABCD AB  CD  AD  a  2a  a 3a  S   2   b) ADH  ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có: AD IB   , DC BC hai tam giác ADC IBD đồng dạng   Suy ACD BDI (2)   Từ  1 ,    ADH BDI 0      Mà ADH  BDH 45  BDI  BDH 45 hay HDI 45 2) M A B D C Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M   Ta có: BAD  AMC (hai góc vị trí đồng vị)  DAC  ACM (hai góc vị trí so le trong)     Mà BAD DAC nên AMC  ACM hay ACM cân A, suy AM  AC b AD BA c   Do AD / / CM nên CM BM b  c CM  AM  AC 2b  Mà c AD 1 1       b  c 2b la  b c  1 1 1 1     (2);     (3) lc  a b  Tương tự ta có: lb  c a  Cộng  1 ;   ;  3 vế theo vế ta có điều phải chứng minh Câu 2 2 Ta có: a  2a; b  2b  a  b  2a  2b  a  b 2 1   Chứng minh với hai số dương x, y x y x  y   S 2    1  2  a  b  a   b    Do đó: Vậy GTLN S 1, dạt a b 1 (1)