PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ VANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn : TỐN Năm học 2012-2013 Bài (4 điểm) a) x Giải phương trình : 2 x x 43 x x 1 x m x b) Cho phương trình: Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm Bài (2 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 1 0 2 b2 c Nếu a b c a b c abc ta có a Bài (2 điểm) 1 1 S S 101 102 103 200 Chứng minh 12 Cho Bài (4 điểm) Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Bài (6 điểm) Câu Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngồi hai tam giác ABE ; ACF , lại dựng hình bình hành AEPF Chwnngs minh PBC tam giác Câu Cho tam giác ABC có BC 15cm, AC 20cm, AB 25cm a) Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b) Gọi CD đường phân giác ACH Chứng minh BCD cân 2 2 2 c) Chứng minh: BC CD BD 3CH BH DH Bài (2 điểm) 3 5 2 Cho a, b số dương thỏa mãn a b a b Chứng minh a b 1 ab ĐÁP ÁN Bài a) x 2 2 x 2. x 43 x x x x 43 Đặt x x t Điều kiện : t Khi ta có phương trình: t 7( ktm) t 2t 35 0 t t 0 t 5(tm) x 5 t 5 x x 0 x Với Vậy S 5; 1 x x 1 b) ĐK phương trình: x m x x m 0 x m x 0 x 1 (*) Từ (*) x x 1 x 1 x m mx 2 m ** Với m 0 PT ** có dạng x 2(VN ) Với m 0 PT (*) có nghiệm x 2 m m 2 m x m nghiệm PT * phải thỏa mãn điều kiện Nghiệm 2 m 1 m m m 1 m Tức là: m 1 m Như PT (*) vô nghiệm với giá trị m 2;0;1 2 m m m m 0 m 1 m 0 m x m x 1 Bài 1 2 Theo giả thiết: a b c nên a 0; b 0; c 0 1 1 1 1 1 1 2 4 4 a b c a b c ab bc ca Ta có: a b c 1 a b c 2 4 a b c abc a b c a b c abc ( gt ) 1 abc Vì 1 1 1 2 dfcm a b2 c a b2 c Bài 1 1 1 A 150 + 151 152 153 200 101 102 103 Ta có: Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta 1 1 50 150 150 101 102 103 1 1 50 200 200 151 152 153 1 1 1 1 A 150 + 151 152 153 200 12 101 102 103 1 1 1 A 150 + 151 152 153 200 12 101 102 103 Bài Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ,0 a, b, c, d 9, a 0 Ta có: abcd k k , m ,31 k m 100 a 1 b 3 c d 3 m 2 Do đó: m k 1353 m k m k 123.11 41.33 k m 200 abcd k abcd 1353 m m k 123 m k 11 m k 41 m k 33 m 67 (TM ) m 57 m 37 ( KTM ) k 4 Vậy số cần tìm abcd 3136 Bài Câu A E F P B C Ta có: AEPF hình bình hành nên AEP AFP Xét EPB FPC có: EB FP AE ; EP FC AF ; PEB PFC (vi 60 AEP 60 AFP ) EPB FPC c.g.c PB PC (1) 0 Ta có: EAP AEP 180 A3 E1 60 mà E1 E2 60 A3 E2 EPB ABC (cgc) PB BC Từ (1) (2) suy PB PC BC Vậy PBC Câu C B H D a) Dùng định lý Pytago đảo chứng minh được: ABC vuông C 1 AC.BC 20.15 S ABC AC.BC AB.CH CH 12cm 2 AB 25 Ta có: b) Dễ dàng tính được: HA 16cm, BH 9cm CD tia phân giác ACH nên suy AD 10cm, HD 6cm Do đó: BC BD 15cm Vậy BDC cân B c) Xét vng: CBH , CAH Ta có: BC BH CH ( Pytago) CD DH CH Pytago BD BC BH CH Pytago 2 2 2 Từ suy BC CD BD 3CH BH DH A Bài Xét số dương : 2 2 Xét : a b 1 ab a b ab 1 a b a b ab a b (Vi a b 0) a b3 a b a b3 a b3 a b a b5 (Vi a b3 a b ) a 2a 3b3 b a ab5 a 5b b 2a 3b3 ab5 a 5b ab a 2a 2b b 0 ab a b 0 a, b 2 3 5 Vậy : a b 1 ab với a, b dương a b a b