095 đề hsg toán 8 thanh chương 2012 2013

PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn thi: TỐN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x  xy  y  x  y  b) Chứng minh n   * n  n  hợp số c) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu x x x x  2012     2012 a) Giải phương trình: 2012 2011 2010 2 3 2012 2013 b) Cho a  b  c a  b  c 1 Tính S a  b  c Câu 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2 x  y  xy  x  y  18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác ab bc ac   a  b  c Chứng minh : a  b  c  a  b  c a  b  c Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E , F , G, H trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA M giao điểm CE DF a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng b) Chứng minh DF  CE MAD cân c) Tính diện tích MDC theo a ĐÁP ÁN Câu a)  x  y    x  y    x  y    x  y     x  y    32  x  y    x  y  1 b) Ta có: n3  n  n3   n   n  1  n  n  1   n  1  n  1  n  n   n     n   * Do nên n  n   .Vậy n  n  hợp số c) Gọi hại số a  a  1 Theo ta có: 2 a   a  1  a  a  1 a  2a  3a  2a   a  2a3  a    a  a    a  a    a  1   a  a  1 2 số phương lẻ a  a a  a  1 số chẵn nên a  a  số lẻ Câu a) Phương trình cho tương đương với : x x  2012 x x  2012  1  1      2012 2012 2012 2011 2010 x  2013 x  2013 x  2013 x  2013      0 2012 2011 2010 1 1    x  2013       0  x 2013 1  2012 2011 2010 b) a  b2  c a3  b3  c3 1  a; b; c    1;1  a  b3  c3   a  b  c  a  a  1  b  b  1  c  c  1 0  a  b3  c 1  a; b; c nhận hai giá trị  b 2012 b ; c 2013 c  S a  b 2012  c 2013 1 Câu A 2  x  xy  y   y  x  y  18 a) Ta có: A 2   x  y    x  y      y  y      2 A 2  x  y     y  3  1 b)  x 5 MinA 1    y  Vậy Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên: a  b  c  0;  a  b  c  0; a  b  c  Đặt x  a  b  c  0; y a  b  c  0; z a  b  c  yz xz xy x  y  z a  b  c; a  ;b  ;c  2 Ta có: ab bc ac  y  z  x  z   x  z  x  y   x  y  y  z    a b  c  a b c a  b c 4z 4x 4y  1  xy yz xz  xy yz xz        x  y  3z     x  y  z        4 z x y 2 z x y   4  y  x z  x  y z  z  x y     x  y  z                 z x   z y   y x     x  y  z   x  y  z  x  y  z Mà x  y  z a  b  c nên suy điều phải chứng minh Câu E A B H M F N D C G a) Chứng minh EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng nên EFGH hình vng   b) BEC CFD  ECB FDC mà CDF vuông C nên:      CDF  DFC 900  DFC  ECB 900  CMF vuông M hay CE  DF Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG  DF  GN / / CM mà G trung điểm DC nên N trung điểm DM Trong MAD có AN vừa đường cao, vừa đường trung tuyến  MAD cân A CD CM CMD FCD ( g g )   FD FC c) 2 SCMD  CD   CD     SCMD   S FCD S FD FD     Do : FCD 1 S FCD  CF CD  CD 2 Mà CD CD 2 FD Vậy Trong DCF theo định lý Pytago ta có: 1  DF CD  CF CD   BC  CD  CD  CD 4 2  SCMD  S MCD Do đó: CD 1  CD  a 5 CD 4