TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC: 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (5 điểm) a) Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x x 1 x x x x 1 b) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 11x Câu (5 điểm) a) x Chứng minh 2 y z 2 x y z x 1 x x x x x 0 998 997 996 995 b) Tìm x, biết: 1000 999 Câu (3 điểm) Cho biểu thức A 3x x3 x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên? c) Tìm giá trị lớn A Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AC AB , đường cao AH Trên tia HC lấy HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM ĐÁP ÁN Câu a) x 1 x x x x 1 x x x x x x x x 1 Vậy với giá trị x biểu thức cho không phụ thuộc vào biến x b) x x 11x x x x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 3 Câu a) Ta có: x y z 0 x y z x y z x y z yz x y z 2 yz x y z yz x y z x y x z y z 4 y z x y z 2 x y x z y z x y z x y z x y z x y x z y z x y z x y z x 1 x x x x x 0 1000 999 998 997 996 995 x 1 x2 x 3 x4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995 b) x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 x 1001 0 x 1001 1000 999 998 997 996 995 Câu a) A x 1 x 1 3x 3 2 x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x Muốn A nhận giá trị nguyên x 1U 3 1; 3 Nếu x x Nếu x x Nếu x 1 x 0 A 3 - Nếu x 3 x A 1 b) - 2;0; Vậy tập hợp giá trị x để A nhận giá trị nguyên A x nhận giá trị lớn x có giá trị nhỏ c) Mà x 1 với x Vậy Max A 3 x 0 Câu A E F B M H D a) Kẻ EF AH Tứ giác HDEF hình chữ nhật EF HD mà HD AH ( gt ) EF AH C BAH Xét HBA FAE có: H F 90 , AH EF , FEA (phụ FAE ) Do đó: HBA FAE g g AE AB AM BE b) Ta có BAE vuông A DM BE BDE vng D Do đó: AM DM Xét AHM DHM có: AM MD; AH HD; HM cạnh chung AHD AHM DHM AHM MHD 450 Vậy AHM 45