Bài 21 phân thức đại số

Chuyên đề: Phân thức đại số toán – KNTT năm học 2023 - 2024 BÀI 21 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A LÝ THUYẾT 1) Phân thức đại số 36 x − x − x + Ví dụ 1: Các biểu thức ; ; ; gọi phân thức đại số 2x +1 x 3x + Kết luận: A  Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng , A, B B hai đa thức B khác đa thức  A gọi tử thức (hoặc tử) B gọi mẫu thức (hoặc mẫu) Nhận xét:  Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức Đặc biệt, số số coi phân thức đại số Ví dụ 2: a) Trong biểu thức: x+ y −x x2 + ; ; ; − 6; biểu thức không cho ta phân − y x − y2 thức? b) Viết mẫu thức phân thức câu a x Ví dụ 3: Cho biểu thức Đây có phân thức khơng? Vì sao? 1+ x 2) Hai phân thức Kết luận: A C C A  Hai phân thức gọi A D = B C Kí hiệu = B D D B x (1 + x ) x Ví dụ 4: Hai phân thức có hay khơng? 1− x 1− x Giải x (1 + x ) x = Vì x (1 + x ) (1 − x ) = x − x − x x nên 1− x 1− x 1− x Ví dụ 5: Cho Khẳng định hay sai? Vì sao? = x + x + 1 − x3 3) Điều kiện xác định giá trị phân thức giá trị cho biến x −1 Ví dụ 6: Cho phân thức Tính giá trị phân thức x = 2, y = x +y Giải −1 Với x = 2, y = giá trị phân thức là: = +3 Ví dụ 7: Cho phân thức Tính giá trị phân thức x = x −9 Giải 4 Tại x = giá trị phân thức = giá trị khơng tính −9 Nên để giá trị phân thức xác định ta cần có điều kiện biến để làm cho giá trị mẫu khác Kết luận: ( ) Th S: NGUYỄN DUY NINH ( ) SĐT: 0961 697 696 Chuyên đề: Phân thức đại số toán – KNTT năm học 2023 - 2024 A  Điều kiện phân thức điều kiện biến để giá trị mẫu thức B khác B  Để tính giá trị phân thức giá trị cho trước biến ta thay giá trị cho trước biến vào phân thức tính giá trị biểu thức số nhận Chú ý:  Ta cần quan tâm tới điều kiện xác định biến tính giá trị phân thức x2 − Ví dụ 8: Viết điều kiện xác định phân thức tính giá trị phân thức x = 6− x Giải Điều kiện xác định phân thức − x   x  −2 2 − −1 = Tại x = thỏa mãn điều kiện giá trị phân thức 6−2 B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Phương pháp giải: A  Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng , A, B B hai đa thức B khác đa thức  A gọi tử thức (hoặc tử) B gọi mẫu thức (hoặc mẫu) Bài 1: Xác định tử thức,mẫu thức phân thức sau x2 y3 x 4x b) c) d) 2 2x − x −9 x − x−6 Bài 2: Xác định tử thức,mẫu thức phân thức sau a) 2m − 2t − c) d) ( n − 3) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Xác định tử thức,mẫu thức phân thức sau a a) a + 2b 3u + b) v+2 ( x + 2) x3 − x + x − x2 − b) c) 2x + x2 + x + x2 − Bài 2: Xác định tử thức,mẫu thức phân thức sau a) d) e) x+2 f) 2t − y 3ab x2 + x + 2x + e) x2 − y x+ y x y + xy a) 6x + y x x ( x − y )3 x +1 −3x − x b) c) d) e) 2 2 x − xy + y 4− x x ( x − y) x −1 DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU Phương pháp giải: C A Hai phân thức gọi A  D = B  C D B Bài 1: Hãy giải thích sau phân thức sau lại ( x − y) ( x + 5) = x y 3x3 y y 20 xy = = = a) b) c) d) 15 x 28 x x ( x + 5) x ( x − y ) ( x − y )3 x2 + x x 3x + x −1 = =3 e) f) g) = 3x + x+2 x −1 x + Bài 2: Các phân thức sau có hay khơng? x+3 x + 3x a) 2x − x2 − 5x ( x + 1)2 x + x2 + x Bài 3: Tìm đa thức đẳng thức sau: b) Th S: NGUYỄN DUY NINH x + 3x − = x+4 h) x −1 ( x − )3 c) (9 − x ) ( − x )2 SĐT: 0961 697 696 Chuyên đề: Phân thức đại số toán – KNTT năm học 2023 - 2024 2x + = a) x+2 A x2 + x B = b) 2( x + 1) x2 + x − x + = d) x −1 D x−2 c) = x −4 C x2 + x F x2 − x G x + 3x E = f) g) = = 3x + x − x2 − x2 − x + Bài 4: Tìm cặp đa thức P Q thỏa mãn đẳng thức: e) x2 − x +1 = 2 ( x − x + 1) P ( x − x − 6)Q h) b − 3b b + 3b = H 2b − 3b − ( x + 1) P ( x − 1)Q = 2 x −4 x − 4x + x +1   Bài Hoàn thành chuỗi đẳng thức sau: = = , v?i x  2; x  x + x2 − x2 + x − BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Hãy giải thích sau phân thức sau lại a) a) x2 ( x + 2) x ( x + 2) x = x+2 ( b) )=x x x2 − b) x +1 −x c) x3 + = x+2 x2 − x + d) − x x2 − x + = 3+ x − x2 3a − 10a + 3 y2 − y + y2 − 3y + 1 2x −1 = = a− f) g) = 2(a − 3) y−4 y−2 2 x + 2 x + 3x − Bài 2: Các phân thức sau có hay không? −2 y − y u − 4u + x−2 x − 3x + −u + 3u − y3 − y a) b) c) x +1 (u + 2)(u − 1) − 10 y − u2 x2 − Bài 3: Tìm đa thức đẳng thức sau: x + 3x B x2 − 5x + x − x2 − C −2 x + A = = = a) b) c) d) = 3x + x −1 x +1 x−3 D x −4 x+2 e) x + 3x − x + y −1 = = g) ( y − 3)G y − y + x −1 F ( x + 3)M ( x − 1) N Bài 4: Cho đẳng thức với x  3 Tìm cặp đa thức M N thỏa mãn đẳng = x −3 x −9 thức cho DẠNG 3: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH A Phương pháp giải: Điều kiện xác định phân thức B  B Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 2x −1 x−2 5x 4x a) b) c) d) e) 3x − x + 2024 2x + x+3 x+2 Bài 2: Tìm điều kiện xác định phân thức sau e) x −1 E = x2 − x + f) x2 x −1 b) c) x2 − y − x2 x2 − Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức sau x x2 − x2 − a) b) c) x2 + x + ( x − 3)2 ( + x )3 a) d) x − y2 e) 7−x 25 − y d) x x − 2x +1 e) x y − 10 y + 25 2 Bài 4: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 3x − x+ y a) b) c) ( x − )( x + y ) 2x − 6x x − 3x Bài 5: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 3x − x+7 a) b) c) x − 5x + x − 6x + x − 4x + Th S: NGUYỄN DUY NINH d) d) x− y ( x + y )( x + y ) x − 6x + 2 e) x+7 x − x − 15 SĐT: 0961 697 696 Chuyên đề: Phân thức đại số toán – KNTT năm học 2023 - 2024 Bài 6: Tìm điều kiện xác định phân thức sau x−7 x +8 2x x2 − a) b) c) d) 2 x − 2x + x + x + x2 3x + x − x − 6x + 9x BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 5x − x+2 x a) b) c) d) 3x 3+ x x−4 6y Bài 2: Tìm điều kiện xác định phân thức sau y2 3x + 3x + a) b) c) y − x2 121 − 25 x x −9 Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức sau a) x2 ( 3x − ) b) ( y + 2) c) x − 36 x2 + x + Bài 4: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 3x − z−y a) b) c) y − 12 y ( y − 3)( z + y ) 3x + x e) 2x + 7 x − 3x − e) x +1 3x + x2 − d) 25 x − 16 y e) − 2x 49 − 25 z x x − 4x + e) x 81 y − 18 y + d) d) 2 x− y ( x − y )( x + y ) Bài 5: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 3x − x+7 x+7 a) b) c) d) e) x − x + 12 x + 3x − 10 x − 7x + x + 5x − x + 2x − Bài 6: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 2x + x +8 x−7 2x x2 − a) b) c) d) e) 2 x − 4x + 4x 3x − x − 10 4x + 4x + x −8 x + + 3x 2 x + 3x + DẠNG 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC TẠI MỘT GIÁ TRỊ ĐÃ CHO CỦA BIẾN Phương pháp giải: Để tìm giá trị phân thức ta thay giá trị biến vào phân thức thực phép tính Bài 1: Tính giá trị phân thức x +1 x a) A( x) = với x  x = b) B( x) = với x  −1 x = x +1 x −1 Bài 2: Tính giá trị phân thức x2 − 5x + x2 + a) A( x ) = với x  −1 2x − = b) B( x) = với x  −1 x2 = x +1 x +1 3x − x x+3 c) C ( x) = với x  1 | x + 1|= d) D ( x ) = với x  −1 x2 − 3x + = x + x −1 Bài 3: Tìm giá trị x để phân thức sau nhận giá trị a) A = x2 − x2 + x b) B = x − 16 x−4 c) C = x2 − x + 2x +1 x2 − 4x + a) Tìm điều kiện xác định A b) Tính giá trị phân thức A x = c) Tìm giá trị x để phân thức A có giá trị x2 + x + Bài 5: Cho phân thức B = x2 − a) Tìm điều kiện xác định B b) Tính giá trị phân thức B x = c) Tìm giá trị x để phân thức có giá trị Bài 4: Cho phân thức A = Th S: NGUYỄN DUY NINH SĐT: 0961 697 696 Chuyên đề: Phân thức đại số toán – KNTT năm học 2023 - 2024 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tính giá trị phân thức x − 3x + a) A( x) = với x  −1 x = 2; x = −2 x +1 Bài 2: Tính giá trị phân thức b) B ( x) = x+2 với x  x = x−4 x2 − x + 2x −1 với x  3x − = b) B( x) = với x  −1 x2 = x +1 x+2 x + 2x +1 −2 x c) C ( x) = với x  | x |= d) D ( x ) = với x  x2 − 5x + = x−3 ( x − 3) a) A( x) = Bài 3: Tìm giá trị x để phân thức sau nhận giá trị a) A = x2 − x+2 b) B = x − 25 x+5 c) C = x2 − x + x+2 x2 + x + Bài 4: Cho phân thức C = x+2 a) Tìm điều kiện xác định C b) Tính giá trị phân thức C x = c) Tìm giá trị x để phân thức C nhận giá trị x2 − x + 3x + a) Tìm điều kiện xác định D b) Tìm giá trị x để phân thức D nhận giá trị c) Tính giá trị phân thức D x = DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ PHÂN THỨC Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức liên quan để giải qut tốn thực tế Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD hình vng EFGH hình bên (các số đo hình tính theo centimet) Bài 5: Cho phân thức D = a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vng diện tích hình chữ nhật ABCD Cho biết tử thức mẫu thức phân thức vừa tìm b/ Tính giá trị phân thức x = 2; y = Lời giải: 2 a/ Diện tích hình vng EFGH : x (cm ) Diện tích hình chữ nhật ABCD : xy (cm2 ) Phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vng diện tích hình chữ nhật ABCD : x2 x = xy y Tử thức x; mẫu thức 2y 2 = = b/ Giá trị phân thức x = 2; y = là: 2.8 16 Th S: NGUYỄN DUY NINH SĐT: 0961 697 696 Chuyên đề: Phân thức đại số toán – KNTT năm học 2023 - 2024 Bài 2: Một vườn có x + x − y − y cây, có x − y lấy gỗ lại ăn a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số lấy gỗ số ăn b/ Tính giá trị phân thức cho x = 100; y = 10 Lời giải: 2 2 a/ Số ăn là: x + 2x − y − y − x + y = 2x − y (cây) Phân thức biểu thị tỉ số lấy gỗ số ăn là: b/ Ta có: x2 − y2 2x − y x − y ( x − y )( x + y ) x + y = = 2x − y 2( x − y ) 100 + 10 110 = = 55 2 Bài 3: Một ô tô chạy với vận tốc trung bình x ( km / h ) Giá trị phân thức x = 100; y = 10 là: a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô chạy hết quãng đường 120km b) Tính thời gian tơ 120km trường hợp vận tốc trung bình tơ 60km BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Một xe máy hết quãng đường dài 150km thời gian t ( h ) a) Viết biểu thức biểu thị vận tốc trung bình xe máy quãng đường với đơn vị km / h b) Tính vận tốc trung bình xe máy biết thời gian xe máy hết quãng đường Bài 2: Trung bình bạn My gấp x hạc giấy a) Viết biểu thức biểu thị thời gian (tính giờ) bạn My gấp 80 hạc giấy b) Tính thịi gian bạn My gấp 80 hạc giấy hết trung bình bạn gấp 16 hạc giấy Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều rộng là: x ( m ) a) Viết biểu thức biểu thị chiều dài hình chữ nhật biết diện tích hình chữ nhật là: 45m2 b) Tính chiều dài hình chữ nhật biết chiều rộng 5m DẠNG 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO A M A+ B M A B = Bài 1: Cho hai phân thức thỏa mãn = A  B Chứng minh: M  N M +N N B N N B P R P P R R = Bài 2: Cho hai phân thức thỏa mãn = P  Q Chứng minh: R  S S Q+P S +R Q S Q A C A C E A+C − E A E = Bài 3: Cho hai phân thức , thỏa mãn = = Chứng minh: B D B D F B+D−F B F Th S: NGUYỄN DUY NINH SĐT: 0961 697 696