Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
GV: Nguyễn Tiến Lâm Ôn tập tổng hợp Với a,b,c > thoả mãn a+b+c =2, chứng mỉnh a2Ð2 + b2c? + c2a? < I Với a,b,c > thoả mãn a+b-+c =2, chứng minh a2bẺ + b°c” + c”a” + abe < Với a,b,c số thực thoả mãn a+b+c= 0, chứng minh rằng, @h? +b? +a? — babe > -3 4` Với x,y,z số thực không âm thoả mãn x+ y+z =3, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ iF F=3(2+y?+z2)—202y?+y22 + z2y?) Với a,b,e số thực thay đổi ludn tho’ man a+b-+c=4,a? +b? +c? =6, tim gid tri Idn nhat _/&á trì nhỏ ca G= a +B +03 — Gọi a,b,c ba nghiệm phân biệt đa thức Ø(x) = x` — 3#+ I { Cho đa thức P(x) = 2x4 —x3 — 5x2 + 5x f Tinh P(a).P(b).P(c) 7) Cho n,a,b,c,d số nguyên dương thoả mãn n2 < a 0, chứng minh =f b € sires c+a Ta+b € 2+5 ae 3+2 2222/7126 | +2x+6 œ 2+2 a pz) 2! b+e ~ y)+2y+6 © Bài (6 điểm) a) Tìm số nguyên dương x,y thoả mãn 3ˆ + y = 27073, b) Xét a,b.c số nguyên dương thoả man bt +522 +c4 chia ht cho 4a? +b? +c, chting minh ring 4a? +b? +c la hop sé c) Tim cdc sé nguyén t6 a,b,c va cdc s6 nguyén dương k thoả mãn @ +B 44c? = 425 Bai (4 diém) a) Với a,b,c >0 thoả mãn a?+b?+c?= “hổ thợ tui tổng hai số lại chứng ba số v/4,v5,€ có số b) Cho đa thức P(x)= *) +ngẺ +nx+P xác số thực a,b,c thoả mãn Pù +e,P(b)=c+a,P(c)=a+b Chứng minh P(a+b+c)= (b +€)[e+a)(a+ð) Bài (2 điểm) » a) Với a,b,c > thôẩ mãn wre =3, chứng minh ọ : ab+a cụ, chbe+bch CS ca+ec y L.BẾP 2B1+5b+2 T 2c5+5e+2 2a? +5a+2 ~ b?c + c?a thod man (a? +b?)(b? +c?) Bài (2 điểm) a) Xét số nguyên dương n số nguyên tố p thoả man p—2 chia hết cho n, déng thai m3 +n-+2 chia hét cho p Chứng minh 4p~7 số phương b) Điền số nguyên dương 1,2, ,9 vao bang x cho số điền vào mộtô Mỗi lần phép chọn hàng cột tuỳ ý thay thé ba sé a,b,c được hàng cột (theo thứ tự từ trái sang phải với hàng từ xuống với cột) ba số không âm a—x,b— xc+x theo thứ tự 'hoặc ba số khơng âm a+x,b—x,c—x theo thứ tự đó, x số thực dương tuỳ ý Hỏi lúc đầu ta điền số bảng đây, sau số hữu hạn lần thực phép biến đổi có tất số bảng hay không? Tại sao? L233: 4|5|6 7|8|9 GV: Nguyễn Tiến Lâm LƯU HÀNH NỘI BỘ Ôn tập tổng hợp sơ 01 Bài tập lớp Giải phương trìnình Giải Lời giải L.3_ *+!1 xs _= e+) › Các kỹ thuật để giải phương trình chứa là: nâng luỹ thừa, sử dụng lượng liên hợp, nhóm thành bình phương, đặt ẩn phụ (một nhiều ẩn phụ), đánh giá (bất đẳng thức, đơn điệu) Mục tiêu cuôi làm mắt cho đỡ ngứa mắt Ở tốn có nhiều cách giải: nâng luỹ thừa, sử dụng lượng liên hợp, đặt ẩn phụ Diễu kiện xác định x > (đừng quên nhé) Dưới đây, ta trình bày hai cách giải Cách Sử dụng lượng liên hợp để khử Lưu ý nhẩm thấy x = I nghiêm ta tìm cách tách nhân tử x— Ngồi nhẩm x = nghiệm nên ta sé tách thành nhân tử (x— 1)(x— 3) May mắn thay x= 1,x= V*?z đóa cy hay tuong duong £ W ss Kỳ nên ta viết lại phương trình cho dạng, 2+7 = er) +4 "F3, nti ¥2 4x43 2q#9)` (+1) Tới tự làm di nhá, khơng giúp đâu nhắc điều có dại dột rit gon x*—4x+3 toang Ia Cách Cách cách tạo toán Trước hết, ý hai đẳng thức sau (bản chất định lý Vieta đảo) X?~ (a+b)X +ab= (X—a)(X —b) X? + (a+b)X +ab = (X +a)(X +b) Phuong trinh da cho dugc viét Jai P47 = (242) Chia hai cho x, ta hay tương đương nt, ( :) X+—=(24+=)]4/xt= x x x (+2)x -É+Ÿ)4*+‡+2‡=0 x eee Tới tự mà làm nha Tuy nhiên phòng thi, chả nghĩ cách Cách cách nâng luỹ thừa có hiệu nghiệm nhanh Trình bày vào dé bạn có thêm cách tiếp cận, nha n x=y+6 Giải hệ phương trình —z+6 2=x+6 GV: Nguyễn Tiến 1, an thự Lời giải Rất nhiều bạn giải hệ phương trình đầu thứ tự bieniến aLưu ý làtròta biến khơng Thí tư biến vai trị biến Tuy nhiê n tron g te e l cho xem hệ phương (chẳng hạn muốn vai trị 2,y có hay khơng đơi vai tr TU) trình có bị thay đổi hay khơng, nêu thay đổi tức vai trị x,y khơng nhau)đổi.ƠI Cụ thể Cách Tuy nhiên ô = + Tết giải hết, hốn vị vịng quanh x,y,z ng trình pas max déu hệ khơng đổi (thử đị) nên ta có thểthì giảhệ sửphươ x= max(x,}:2) {mut nD cho Hi ythay D3 46 tính tham lam nên thích lớn nhất, to nhất) Thê xˆ > z Suy y>x Vì x= max(x,y,z) nén x= y, Tới tự giải tiếp Ầ hấy nghiệm Cách Cách chả cần quan tâm xem hệ có phải hệ hốn vị , vịng quanh khơnơ g Ta thây a nẹi iém cu e hệ (x,y,z) = (2,2,2) nên ta tìm cách tách thì, viết lại ba nhân tử x—2,y—l 2,#~ —2.2: Thế Thê thì, vị hệ dạng xT-8=y-2 y-8=7-2 3-8=x-2 hay (x-2)(07 42x44) =y-2 Ú~2)02+2y+4)=z—2 (‡—2)(2+2z+4) =x—2 Tới tiếp nhở? - Tìm số nguyên tổ p,4,r thoả mãn (p°+1)(2 +1)= 2+1, Lời giải Bài liên quan tới số nguyên tố Thế nh £ì gặp số nguyên tố, số nên nhớ (cịn muốn nhớ hay khơng tuỳ điều bạn) e Số nguyên tổ có hai ước dương «Nếu a,b nguyên p số nguyên tố thoả mãn p | ab pÌa p | b Gặp tốn trên, ta nghĩ tới điều : số phương (kẹp, đồng dư mod 3, mod ) Chú ý số phương chia cho 3,4 cho số dư Nếu hại số Pa lẻ trái chia hết z2 = (mod 4) vơ lí Do đó, hai số P,q phải có sé chin Khơng mắt tính tổng qt, giả sử p chẵn p nguyên tố nên p= Thay vào đề bài, ta có 5(?+1)=+1 Tới xét riêng = Cịn ¿#23 =1 (mod 3) nên 5+1) =1 (mod 3), dẫn tới r? chia hết cho Q Tìm số nguyên dương x,y thoả mãn y'+4o(2+y?) + 62y2 =4'+62+3x+2, Lời giải Chỉ cần cộng xf vào hai (x+y) =a 44346243249, Suy xt +43 6243x4218 luỹ thừa bậc số nguyên dương tới sử dụng kỹ thuật Kẹp thần chưởng Nếu số tự nhiên a,b số nguyên dương k > thoả mãn a" < b" < (a+-k)" U* €{(a+1)”, (a+k— 1)" a - Xét a> đ> b >c >0 số nguyên dương thoả mãn ab —cả chia hết cho a+d—b—c Chứng minh a+b+c+ hợp số GV: Nguyén Tién Lam hạn kết quen thuộc May bai kiểu quen nhé, có nhiều giống giống Chẳng ˆ Sak hợp SỐ a Á Nếu a,b,c, số nguyên dương thoả mãn ab— chia hết cho a+b+c-+đ a+b+c+ Có nhiều cách giải tốn trên, ta giả sử a = max(a,b,e,đ) đăng thức sau = min(a,b,c,d) sử dụng (a+b)? (c+d)? =(atb+c+d)(a+b—c-d) at+b+c+d| (a+b)*—(c+d)?—(4ab—4cd) hay a+b+e+d|(a—b)?—(e—4)?= (a+e~b~đ)(a+d~b~°): Trở lại toán lúc đầu, ta cần điều chỉnh đôi chút chứng minh Cụ thể a+d—b-e| (a—b)?—(c—d)?+4(ab—ed) = (a+b)? (c+4) = (a+b—c~d)(a+b+c+3) + ĐỂ > 2ab, tìm giá trị lớn F = a' Với a,b thoả mãn 0< a< b2 Dự đoán dầu xảy ra, ta Trước hết, ta viết lại giả thiết b-+2a > 2ab 2!+19 > bt+áể Cụ thể bắt dau tir vé 24+ 1Ý biến Kinh nghiệm ln lớn biến có chứa thông tin a+1= (3) #+(3) a! : na _ b Ta có ~=() 09: (() a\t pes Chú ý từ giả thiết a143 >2 ta € chứng minh B) “Lins + ( +(2) )*“ ` g > bất đẳng thức AM-GM a (hạ bậc) + ca), chứng beb-+ Với a,b,e > thoả mãn a2+b2+c2=2(a atbtet — ye 24 > \| ca) be + + Loi giải Một số khai thác từ giả thiết a° + b?+-c° = 2(ab + ca), + be(ab © (a+b+c)?=4 oath t= (a—b)?+(b-c)? + (c—a)’, ° (a+b—c)? =4ab, e Trong ba số v⁄4, Vb,V€ có số tổng hai số cịn lại Thể : a+b+c+ —= 2abc a+b+ eHH : a+b+c+ =—= 4abc (a+b—e)(a+b—e)c` Tới tách lượng a+b+e để khử mẫu phân số lại bất đẳng thức AM-GM Lưu ý giả sử e= min(a,b,e) để dam bao a+b—c>0 a _Xét tap M gm n số vô tỉ phân biệt thoả mãn với hai phần tử a,b € M hai số tra b TẾT nề £'f ẩn ae HÌ H, GV: Nguyễn Tiền Lạ a) Chứng minh A/ không chứa phần tử a,b,e mà mm ——~i” m số hữu tỉ b) Hỏi M có nhiều phần tử? Lời giải Trong M khơng có ba phần tử a,b,e mà ~“— — — $6 hữu tỉ b+1 ane Thật vậy, giả sử M có ba phần tử a,b,c mà —— = r a + a mạ —— hữu tỉ Khơng mắt tính tổng me gia sit— c+1 edi c an ott = — +1 a EQ The thi — bel bt a €Q Suy €Q kéo theo c€ Q, trái giả thiết Do đó, bảng khơng b+1 €Q Từ = 144 tổn số a,b,c thoả mãn Sa số hữu tỉ Xét cặp (a,e) đề số hữu tỉ Nếu bang có số a,b, c,d thi +) Xét hai số a,b hai sốmỉ Nỗi `, mm, hữu tỉ Khơng mắt tổng quát giả sử eI +) Xét ba số a,b,c theo lập luận + = hữu tỉ +) Xét ba số a,b,đ theo lập luận a hitu ti hữu tỉ i ’ +) Xét hai số c,đ a —T hữu tỉ Khơng mắt tổng quát giả st — T hữu tỉ Nhưng số b b,d,c lại thoả mãn aut tàn = ni tỉ, trái với giả thiết Vậy bảng có nhiều số ví dụ số thoả mãn v2,2+- TU Bài tập nhà Giải phương trình x= 1/6 + 6+ ÿ6+x x-xtl=y Giải hệ phương trình yŸ~y+l=z Z—z+l=z Xét số nguyên tố a,b,e,d thoả mãn < a< b< e< đ< a+ 10 Chứng minh a+-b-Ƒc + đ chia hết cho 60 Với a,b,c > thoả mãn 4? + bŸ + c? = 2(ab-‡ be -} ca), chứng ba số v⁄4,VB,€ có số tổng hai số cịn lại Với a,b,c >0 thoả mãn a2 + b2 + c? =2(ab+ be + ca), chứng minh &+b+2(5+;+z)> + a) Chứng minh số vô tỉ bắt kỳ tồn số a,b,c mà a+b,b+e,e+a số vơ tỉ b) Có 10 số thực phân biệt khác thoả mãn với hai số bắt kỳ tổng tích chúng số hữu tỉ Chứng minh bình phương 10 số số hữu tỉ Tìm tất số nguyên dương x,y số nguyên tố p thoả mãn xỶ + yŸ = p(xy-Èp) Lời giải Phương trình cho viết lại thành (x+y)@Ÿ~ay+3”) = p(xy+p) Giờ xét hai trường hợp GV: Nguyễn Tiến Lâm ® x+ty chỉa hết cho p x+ y = kp, với k € Đ* Thay vào phương trình k(x? -xy+y?) =ay+p Nếu k>2 x+y > 2p K(x? —xy+y") > 207 -ay ty’) = — +yŸ)+ sứ +y) 20+ zen? PIE: Do k€ {1,2} Với k= p= (x— y)? loại Cịn với k = 2(2-+y?)=+? Theo lập luận 2(x?— xy+-y?) > xy+ p dấu xảy khỉ x = y = 7: Trong tình huồng ta có nghiệm (x,y,p) = (p,p,p) với p nguyên to bat kỳ e Nếu x+y không chia hết cho p viết lại phương trình thành (3x) + (3y)3 +p —3.3x.3y.p = p`+21p? hay tuong duong (3x+3y+ p)(9x° +9y + p® — 9xy— 3px —3py) =p *(p+2!) Ộ ta tìm nghiệm (x,)) Nếu p=3 (x+y+1)@2+y2+I—xy~x—y) = J0 tới Từ chia hết cho 3x+ 3y +p kéo theo p-+-27 > 3x+3y+p Néu p43 thi (äx+3y+p,p) = I nên p+27 x+y nên 4?+b—1= p* với ke Ñ* Từ giả thiệt suy |Í ph|(Ê+a—1)— (a2+b—1)=(b—a)(b+a— 1) Lưu ý b—a,b+a— khơng thể đồng thời chia hết cho p ngược lại a= (mod p)vàb+a—1= 2a—1 (mod p) Khi đó, p |2a— 1, đẳng thời p |4(g” +a— 1) = 4a? —1+-2(2a— 1)— Từ p | vơ lí Do đó, ta phải có pŸ |b—a pŸ |b-+a—1 Tuy nhiên rõ < |b—a| < max(a,b) p* =a? +b~1 Tir day ta c6 a= n Cho a,b,e số nguyên dương thoả mãn a < b < e < a+b Chứng c(ø— 1) +b không ước c(b— l)+a 31} = GV:Nguyễn Tiến Lâm Chứng minh Giả sử phản chứng ca — c + b |cb—c+a thi ca—c+b| cab—ca+a’ Hơn nữa, ta có ca = c+b cab — cb+ bỀ Suy ca—c+b |ca+b— cb— a3, Dể ý ca + b — cb— a = (b— a)(b+ a) — c( — 8) = (b—a)(b+a—e) >0 Nói riêng, ta suy ca—c+b a+ b > c suy cb+ a2 + b > c+ b2, mâu thuẫn n Cho số nguyên tổ p số nguyên dương n thỏa mãn (13 +1)(23+1) ((n—1)3 +1)? 41) chia hét cho P Chứng minh pn+1 lưu ý thừa số kÊ +1 tích phân tích thành (+ 1) —k+ 1) k+1 ạu +4a) Tương tự v1+2ð2 > sú +4Ð) Từ 6= VI1+242+V1+2b2> g(1+44+1+4b) Suy F 2V3 nag fk Ƒ 2v3 Dấu xảy chẳng hạn a = 0,b = 2v giá trị nhỏ nhật Ngồi cách sử dụng phương pháp dồn bién 14282 thoả mãn x+y+z= Lời giải Viết $22? + Qxyz 3, tìm giá trị nhỏ cla P= xy? + 2xy(z— 1) = 2ay(e— 1) +32 +22? y)? P= (x+ B 62+ 9- (+9 _Gor Xét hai khả +) Nếu 03(s—1)- 2) 432-649 = 52h 243) +2 > —z)? Đây ý tưởng sử dụng tính chất hàm bậc va max f(x) = max{ f(a), f(B)}- Cho tập hop A = {1,2, , 15} Xét tap %0 f(x) =Ax+ với x € |,] ƒ(x) =ein Su, xảy x=y= Giá trị nhỏ P Niw +) Nếu 1 DUNG ae NI = AOE X A có tính chất: X khơng chứa phần tử mà tích chúng số phương Hỏi X có nhiều phần tử? Phân tích Ý tưởng vét cạn, tức liệt kê tất ba có ba phần tử mà tích chúng số phương, sau phép chọn đa hai phân tử Lời giải Xét tập h sp phương : uỷ tập có phần tử tích phần tử tập số {1,4,9},X2 = {2,7, 14},X3 = {5, 12, 15},X4 = {3,6,8} Thể X tập hợp thoả mãn tốn có phần tử tập X; không thuộc X Suy |X| < 11 Tuy nhiên ta chứng minh |X| = không thoả mãn, tức tập 11 phần tử A chứa phần tử mà tích chúng số phương Thật vậy, giả sử phản chứng tổn tập 11 phần tử không thoả mãn tính chất Thế với tập X; có phần tử X; nằm X, đồng thời X chứa ba phan tử lại 10,11,13 Xét tập X có ba khả +) 5,12€X #X, kéo theo 7,14 € X Suy # X từ 3,6 € X Nhưng 3.12 = 6ˆ nên X khơng chứa phần tử Xị, mâu thuẫn +) 5,15 €X £ X, kéo theo 6,8 € X Nhưng 5.8.10 = 20? a s6 phương, mâu thuẫn +) Trường hợp lại tự xét 10 Chứng minh số thực x # thoả mãn 2° va a+? số hữu tỉ x số hữu tỉ o