Tài liệu ôn thi chuyên toán môn số học

bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên, bài tập số học dành cho học sinh thi chuyên,

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài tập số học BÀI TẬP SỐ HỌC Ba số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện a  b  c chia hết cho Chứng minh a  b  c   b  a  c   c  a  b  chia hết cho Cho số nguyên a, b, c cho a + b + c = chia hết cho Chứng minh có số a, b, c chia hết cho 3 a) Chứng minh số tự nhiên chọn số có tổng chia hết cho b) Chứng minh 17 số tự nhiên chọn số có tổng chia hết cho Tìm số có chữ số cho Tìm chữ số a, b, c khác cho Tìm tất số có hai chữ số cho Tìm tất số có sáu chữ số Cho thỏa số nguyên dương Tìm giá trị nhỏ Kí hiệu S(n) tổng chữ số số tự nhiên n Ví dụ S(134) = 1+ + = Tìm n biết: a) b) 10 Tìm tất số tự nhiên n cho chia hết cho n 1 n 11 Tìm tất số tự nhiên n cho 55  55  số nguyên tố 12 Cho m, n  thỏa m2  n2  chia hết cho m  n  Chứng minh m  n  không số nguyên tố 13 Cho a,b số tự nhiên cho số tự nhiên Gọi d ước chung lớn a b Chứng minh Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài tập số học 14 Cho a, b, c ba số nguyên dương thỏa 1   Gọi d ước chung lớn a b c ba số Chứng minh d (b  a) số phương 15 Cho n số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh k   k  1 n  k n  chia hết cho k  k  16 Tìm số nguyên tố p cho p  p  số nguyên tố 17 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh số p  chia hết cho không chia hết cho 18 19 Cho a,b hai số nguyên dương thỏa mãn 4a  chia hết cho 4ab  Chứng minh a  b 20 Tìm số nguyên tố p, q thỏa mãn hệ thức p  q   p  q  21 Cho số nguyên n  Chứng minh n5  n  không số nguyên tố 22 Tìm tất số nguyên a, b cho a  4b4 số nguyên tố 23 Cho x, y hai số tự nhiên thỏa 3x  x  y  y Chứng minh x  y số phương 24 Cho n số nguyên lớn Chứng minh n  n  số nguyên tố n2  n2  16  chia hết cho 720 Hỏi có chiều ngược lại không ? 25 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau 3( xy  yz  zx)  xyz 26 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau xy  yz  zx  xyz  27 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau ( x  y )  3x  y   z 28 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau x2 y  y z  z x  3xyz 29 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài tập số học x  y    16 y 30 Chứng minh với n > tồn số phân biệt cho 31 Tìm số tự nhiên, tích hai số trừ chia hết cho số lại 32 Tìm tất số nguyên tố p cho tổng ước dương p số phương 33 Tìm tất số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x, y thỏa phương trình 34 Tìm tất số tự nhiên n cho số phương 35 Tìm tất số tự nhiên n cho có ước nguyên tố khác 36 Cho số tự nhiên với ước thỏa Chứng minh : không lớn Tìm 37 Tìm tất cặp số nguyên dương cho 38 a) Tìm cho với b) Chứng minh với d tập cho 39 Tìm tất số tự nhiên số phương tồn hai số số phương cho tồn n số nguyên liên tiếp mà tổng chúng số phương 40 Chứng minh số phương với tổng hai số phương 41 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu chia hết cho 43 Tài liệu ôn thi vào lớp 10 42 Giả sử Bài tập số học số nguyên tố với số nguyên dương lũy thừa a a  b2  c c2  b2 43 Cho a, b, c số nguyên khác 0, a  c thỏa Chứng minh a  b2  c số nguyên tố 44 Cho p, q, r số nguyên tố n số tự nhiên thỏa p n  q n  r Chứng minh n = 45 Chứng minh abc số nguyên tố b2  4ac số phương 46 Chứng minh 3x  y,3 y  x số phương x, y chia hết cho    914 n 20 n  n 1 47 Tìm tất số tự nhiên n cho An   48 Tìm tất cặp số nguyên a, b cho 49 Tìm tất số nguyên tố   n 1 số nguyên tố số phương p cho hệ phương trình có nghiệm nguyên 50 Tìm tất số tự nhiên n cho A  n2  n  số nguyên n2  n  51 Tìm tất số nguyên dương x, y cho x  y y  x số phương 52 a) Cho số nguyên x, y Chứng minh x2  y chia hết cho x y chia hết cho b) Cho số nguyên a, b Chứng minh a  4ab  5b2 chia hết cho a b chia hết cho c) Cho số nguyên dương a, b Giả sử số a  2b, b  2a bình phương số nguyên a b chia hết cho Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài tập số học 53 Cho số tự nhiên a, b, c thỏa: a  2b, b  2c, c  2a bình phương số tự nhiên a) Chỉ số thỏa đề b) Giả sử số a  2b, b  2c, c  2a có số chia hết cho Chứng minh rằng: P   a  b  b  c  c  a  chia hết cho 27 54 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 5x2  y  20412 55 Tìm tất số nguyên tố p cho tổng ước dương p số phương 56 Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa: 5x  y  y  57 Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa ab = cd Chứng minh a + b + c + d hợp số 58 Cho số nguyên dương a, b thỏa 2a  a  3b2  b a) Tìm a, b biết a b hai số nguyên tố b) Chứng minh a – b 2a + 2b + số phương 59 Tìm tất số nguyên dương m, n cho 2m  n  60 Tìm tất số nguyên dương n cho T  2n  3n  4n số phương 61 Giải phương trình tập số nguyên dương:  x  1 y  z   xyz  62 Cho số nguyên a, b, c thỏa a  b  c chia hết cho a  b2  c chia hết cho 36 Đặt A  a3  b3  c3 a) Chứng minh A chia hết cho b) A có chia hết cho 27 không? Tại sao? 63 Xét tập S tập số tự nhiên biểu diễn dạng 12m  5n , m, n số nguyên dương a) Chứng minh 19  S b) Tìm phần tử nhỏ S Nguyễn Tăng Vũ | Trường Phổ thông Năng khiếu