Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
Trang 1me ——_Š>—>```"- -```` `.- —>z>xXXEnEn
Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Ei https: //www.facebook.com/anhtuanveu
DUONG THANG SIMSON VA DUONG THANG STEINER I Các định lí
Định lí 1 (Đường thẳng Simson) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O), M là một điểm bat ki trên dudng tron Ké MD, ME, MF lần lượt ượL buơng, gĩc tới AB; ĐC, AC Chứng mình Tằng ba điểm Š
D,E,F thẳng hàng VỆC ^ Vob „\WỸ „ ru = AGH 2 (0 ; AED + Net, VỀ -) Vệ + ÉEH, (Q EF
Định lí 2 (Đường thang Steiner) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O), M lš một điểm
bắt kà trên đường trịn Gợi X,Y, Z lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, BC, AC
Chứng minh ring ba diém X,Y, Z thang hang EQU XY , BR WY? ~ x Yt do DEE
Ta cĩ một số tính chất của đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner a) Hai đường thẳng Simson và Steiner là song song
Rae WR AR > RỂ - ÁP 8 - Axe > Ơ ĐHCe NON, CUCM el EVEL Fao ee ef
b) Dường thang Steiner di qua trực tâm H ) Tường thẳng Steiner di qua trực tâm ORs © » ACE SABE 1 O0R 21 9 XH tuy c) Dudng thang Simson di qua trung điểm của ía đồn HM HM ` AB AC mr BG = d) Gia stt M thudc cung nho BC thi MD? MPO ME: = AjAo 5A 0% (.a) , S| 5 bọ 6 BE a A —=» BOSE —— —- —- WM w py PE PD A5 NINg ` 5 BÉ: TÂN Pe wt be he to ve Qy- Ba PL POLS ì — c \ Ort Ỉ lo + MEV) — B ; =|, „# VA \ | ĐO 2/2 oy 3 ] ~ 3 | | Da | wow { | `⁄ S$ | M | 11 Một so vi du
Bài 1 Cho tam giác ABŒ cĩ đường cao CE (F € AB) noi tiếp đường trịn (Ĩ) cĩ đường kính AD Gọi
Ƒ' là hình chiếu vuơng gĩc của Œ lên AD, M là trung điểm BC Chứng mình rằng FE, M, F thẳng hàng
Bài 2 Cho tam giác nhọn ABŒ nội tiếp đường trịn (Ĩ), các đường cao A/,ŒP' cắt nhau tại điểm 71 Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BƠ (P khác B,C); M, N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của P trên các
đường thẳng AB, AC
v0
BH EF
a) Ching minh ring OB | EF, Bo 7 2763
Trang 2Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 i https: //www.facebook.com/anhtuanven
b) Chứng minh rằng đường thang MN di qua trung diém cia HP
\Bai 3 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O), AD là đường phân giác trong gĩc A(D thuộc canh BC) Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của D lên 4B, ÁC Qua D vẽ đường thang vuơng
gĩc với HC, cắt trung tuyến AA của tam giác ABC tại N Chứng minh rằng P, X, Q thẳng hàng
Bài 4 Giả sử ABCD 1a tit giác nội tiép Goi P,Q, R là chân đường vuơng gĩc ha tit D lan lugt lên các đường thẳng BC, CA, AB
| = | a) Ching minh ring RQ = a0
Ề | b) Chứng mỉnh rang PQ = QR khi va chi khi phân giác gĩc ABC, AD cắt nhau trên ÁC
| E | (Bai 5 Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn, nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN,CP của |= | tầm giác ABC cùng đi qua điểm H Gọi Q là điểm bất kì trên cung nhỏ ØC (Q khác B và Q khác €) L⁄ Gọi E, F theo thứ tự là điểm đối xứng của Q qua các đường thẳng AB và AC
| S | a) Ching minh MH-MA=MP-MN b) Ching minh 2, H, F thang hang
| ° | c) Goi J Ia giao diém cia QE và AB, ï là giao điểm của QF và AC Tim vi tri diém Q trén cung nhỏ
| S BC dé (5 + Sr) nhỏ nhất
É, Bai 6 Cho tam giác ABŒ nhọn nội tiếp đường trịn (O), D là một điểm trên cung BC khơng chứa A
Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABŒ và ACE Goi P va Q lan
lượt là hình chiếu của # trên BƠ và AB, gọi I là giao điểm của EK với AC a) Ching minh rang ba diém P,/,Q thang hang
b) Ching minh rang PQ di qua trung điểm của KH
Bài 7 Giả sử D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B,C của tam giác 4BŒ Gọi M, N, P,Q lần
lượt là hình chiếu vuơng gĩc của D lên BE,CF, AB, AC Chứng mình ring M,N, P,Q thang hàng Bài § Cho tam giác ABŒ, cĩ AC > AB Giải sử P là giao điểm của trung trực cạnh BC và phân giác —_ trong của gĩc 4 Gọi X,Y lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của P lên AB, AC; Z la giao điểm của XY
, BZ 2 | va BC Tính tỉ số Ze
| Bai 9 Cho tứ giác ABŒD nội tiếp đường trịn (O) Goi # là điểm trên cung nhé AB Goi H, K, P,Q lan lượt là hình chiếu vuơng gĩc của Ư trên AC,ŒD, AE, DE Gọi AM, N lần lượt là trung diém cia AD, HK
| a) Chứng minh rằng 4D, PQ, HK đồng quy; b) Chứng minh rằng MMN L NB
Bài 10 Cho tam giác 4Œ nội tiếp (Ĩ; R) cĩ truc tam H, D là điểm trên cung nhé BC Dựng hình bình hành ADŒE; gọi K là trực tâm tam giác ACEF Gọi P,Q là hình chiếu vuơng gĩc của trên ĐC, AB ¡_ Chứng minh rằng PQ di qua trung điểm của HK Hl — 1) BA BLE = «
Bài 11 Cho tam giéc ABC, dudng trịn nội tiếp tâm 7 tiếp xúc với ba cạnh BŒ,CA, AB lần lượt tại
D,E,F Gọi M là trung điểm BC Ching minh ring EF, DI va AM déng quy
Bài 12 Cho ngũ giác lồi AXY ZB nội tiếp đường trịn đường kính À Gọi P,(Q, Đ, Š là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ Y lên các đường thẳng AX, BX, AZ, BZ Chứng minh rằng gĩc nhọn tạo bởi hai đường
Trang 3( ĐNYĐ O2 ĐN()ÐN H4 11 [Vd JYH.L !49 tt ) ( E00 = ¿„(%1 1) BA BLE = goe(%I + 1) F
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https: //www.facebook.com/anhtuanveu
_ BO ĐỀ HINH THANG VA AP DUNG
| I Định lí
Định lí 1 (Bồ đề hình thang) Cho hình thang ABCD (AB ƒ CD), E là giao điểm của AD tà BC, F la giao điểm của AC tà |BD; M,N là trưng điển của AB,CD Chứng mình rằng E,F,M,N thẳng
hàng
Định lí 2 (Bồ đề hình thang đảo) Trên đường trưng tuyến AD của tam giác ABC, lấu điểm E bat kì, đường thẳng BE cắt AC tại M tà đường thẳng CE cắt AB tại N Chứng mảnh rằng MN J BC bỊ \Í \ N ằ / fv ` / ớ —._ _ — ` L D N ở B Il Bài tập áp dụng lớp 9
Bài 1 Từ điểm A nằm ngồi (O; R), OA > 2R Vẽ AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) Vẽ dây BD ƒ AC Goi E là giao điểm của 47 với (O) (E khác D), F là giao điểm của AC và BE, AM là giao điểm của OC va BD, N là giao điểm của 4D và BƠ Chứng minh rằng M, N, F thẳng hàng
Bài 2 Cho đường trịn (Ø) đường kính 4 Vẽ tiếp tuyến Az với đường trịn (Ĩ) với A là tiếp điểm Qua điểm Ở thuộc tia Áz, vẽ đường thẳng cắt đường trịn (Ĩ) tại hai điểm D và # (D nằm giữa C và
E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng 4B) Từ Ĩ vẽ OH vuơng gĩc với đoạn thẳng DE tại H
Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và W Chứng minh ring: AM // BN
Bai 3 Cho AABC can tai A và ă là một điểm ở trong tam giác đĩ sao cho ABM = BŒM Goi H, I, K lần lượt là hình chiéu vudng géc cia M trén AB, BC, CA Goi E la giao điểm của MB và TH, F la giao điểm của MŒ và IK Giả sử hai đường trịn ngoại tiếp của các tam giác MEH và MEK cắt nhau tại N # M Chitng minh ring dudng thing NM di qua trung điểm của BC
( ‘Bai 4 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (Ĩ) cĩ trực tâm #ƒ P nằm trên đường trịn ngoại
tiếp tám giác HBC (P khác H,B,C) và nằm trong tam giác ABC, PB, PC c&t (O) 6 M,N; BM c&t AC 6 E; CN cat AB 6 F Đường trịn ngoại tiép tam giéc AME va dudng trdn ngoai tiép tam gidc ANF cit nhau 6 Q khac A
a) Ching minh ring M, N,Q thing hang;
b) Khi AP là phân giác gĩc MAN, chứng minh PQ đi qua trung điểm của BƠ
Bài 5 Cho AABC cĩ  = 60° Đường trịn (7) nội tiếp tam giác (với tâm 7) tiếp xúc với các cạnh BĐŒ.,CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường thẳng 7D cắt EF tai K, đường thẳng qua K và song song với
BC cắt AB, AC theo thi ty tai M,N
Trang 4} 7 ON ueq pL IVE LYHL fp veg r * SNYD OO DNA ( ( 800 = sw(%T— U 8ê 82£ = s(%I + 1) )
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 i https: //www.facebook.com/anhtuanvcu
a) Chứng mình rằng: các tứ giác IFAfK và IMAN nội tiếp
b) Gọi 7 là trung điểm của cạnh BƠ Chứng minh ba điểm A, K, J thang hang
e) Gọi r là bán kính của đường tron (J) va Š là diện tích tứ giác IEAF Tinh S$ theo r va ching minh
ŠIwN > : (S„„x chỉ là diện tích AIMN)
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AZ và tia tiếp tuyến 4z cùng phía với nửa đường trịn
đối với 4B Từ điểm Aƒ trên Az kẻ tiếp tuyến thứ hai MŒ với nửa đường trịn (C là tiếp điểm) Kẻ CH
vuơng gĩc với 4B (H € 4B) Chứng minh ring: MB di qua trung điểm của đoạn thing CH
Bai 7 (IMO 2000) Cho hai đường tron (C;), (C2) cit nhau tai M, N Tiếp tuyến chung gần M tiếp xúc
(C;), (C;) lần lượt tại A, ư Đường thẳng qua M và song song với 4 cắt (C¡), (Ca) tại điểm thứ hai là C, D; AC c&t BD tai E; AN, BN c&t CD tai P,Q Chimg minh rang EP = EQ
Bài §„ Cho đường trịn (Ĩ, R) và dây cung BƠ cố dịnh (BƠ < 2R) Một điểm A di động trên đường trịn (O, R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn Goi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác
ABC
a) Đường thẳng chứa phân giác ngồi của BHỠ cắt AB, AC lần lượt tại M va N Ching minh rằng
tam giéc MNP can
b) Gọi E, Ƒ là hình chiếu của D lên BH,CH Chứng minh rằng ĨA vuơng gĩc với EF'
e) Đường trịn ngoại tiếp tam giác AM cắt đường phân giác trong BAỞ tại K Chứng minh rằng
HK luơn đi qua một điểm cố định
Trang 5yHu, sys wey J ¥ 2N Yÿ?) YI UNIJUN “94 H21 LVd d, L ( EUUE sœeU6L— L) 4À ý 2b = sọp6L TL) J
¬——._ UU B8 1IUUJ22</ / VY ACCU tay CEE UO OE
DINH Li CEVA VA MENELAUS
Định lí 1 (Menelaus) Cho tam gide ABC Cac diém A’, B',C' lan lượt nam trén cdc đường thắng
BC,CA, AB sao cho trong chúng hoặc khơng cĩ điểm nào, hoặc cĩ đúng 2 điểm thuộc các cạnh của cà thi dé A’ B!.C! thang ha bhi va cht Hai 4C ĐA GP a1
tam giác ABC Khi do A’, B',C' thang hàng khi va chi i GB AC BA : A’ B Cc Định lí 2 (Ceva) Cho tam giác ABƠ Ba điểm A', B',C' lan lượt trên ba canh BC,CA, AB Khi do $ : AC’ BA' CB' 3 r ⁄ 1 ax Eb eat i ihe Se ba dudng thang AA’, BB',CC' dong quy khi va chi khi OB ACG BA 1 B 4 Œ
Bài 1 Cho tam giác 4BŒ nội tiếp đường tron (O) (AB < AC < BC), tiếp tuyến tại A của (Ĩ) cắt
đường thẳng BƠ tại D; tiếp tuyến tại cắt AC tại E và tiếp tuyến tại Œ cit AB tai F Chimg minh ring D, E, F thẳng hàng
Bai 2 Cho AABC va diém D nam trén tia déi cla tia CB sao cho CD = AC Đường trịn ngoại tiếp cia AACD c&t dudng tron đường kính BC tại P BP cắt AC tai E, CP cit AB tai F, AP cit BC
tai Q
a) Chứng mỉnh rằng PC là phân giác QPD b) Chtmg minh ring D, FE, F thing hang
Bai 3 Cho hinh binh hanh ABCD véi A < 90° Đường trịn đường kính AC cắt đường thẳng ŒB và
C theo thứ tự tại E và F Tiếp tuyến với đường trịn đường kính AC tại A cắt BD tại P Chứng mỉnh rằng P, E, F thang hang
Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (Ĩ), hai đường cao 8E, CF cắt nhau tại Gọi
A là điểm trên cung nhỏ BƠ của (Ĩ), đường thing MC cắt đường thing BE tai L, đường thẳng FŒ cắt đường thắng BM tại KÝ Chứng mình rằng đường thẳng EF di qua trung điểm đoạn KL
Trang 6{ DNV YO UNION 9M ĐI 1V LY Hb fy ee i) S9 L) ¥4 BL
ee ene Us “UU EOE MB UUpor) / OW RAUUU UU ROU Guu V k tá
( Bai 5) Cho tam giée ABC va diém J 1a tam đường trịn bàng tiếp trong gĩc 4 của tam giác Đường trịn này tiếp xúc với AB, AC, BƠ tai K,L, M theo thức tự LAM cắt BJ tại F, KM cắt ỞJ tại G Goi
S,T lan lượt là giao điểm của AF, AG với BƠ a) Chitng minh ring FG // BC
b) Ching minh ring M la trung diém doan ST
(Bai 6.)Cho tam giac ABC nhon AB < AC Ké dutng cao AH Dudng tron (O) dudng kinh AH cat
canh AB, AC tuong tg tai D, E Đường thẳng D# cắt đường thing BC tai S a) Chứng mình rằng 8DEC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng SB.SC = SH?
c) Dudng thing SO c&t AB, AC tương ứng tại M, , đường thẳng DE cit HM, HN tuong itng tai P,Q Chimg minh ring: BP, CQ va AH dang quy
Bai 7 Cho tam giéc ABC can voi BAC = 120°, ndi tiép dudng trdn (O) Goi D 1a giao diém cia
đường thăng ÁC với tiếp tuyến của (Ĩ) tại B; E 1A giao diém cia đường thẳng BĨ với đường trịn (Ĩ)
(E # B); Ƒ,I lần lượt là giao điểm của DO với AB, BC: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC a) Chứng minh tứ giác 4DBN nội tiếp
b) Ching minh F,N, E thing hang
c©) Chứng minh rằng các đường thẳng A71, BO, Ƒ đồng quy
Bài 8 Trên đường trịn (O) đường kính 4B lấy điểm Ở (khác A và B), điểm D nằm trên đoạn thẳng
AB sao cho BD = AC Kẻ DE vuơng gĩc với AC tai E, đường phân giác trong của gĩc ⁄BAC cắt
DE và (O) lần lượt tại Œ và F' (F khác 4) Dường thẳng ŒG cắt AB và (Ĩ) theo thứ tự tại 7 và H (H khác Œ) Chứng minh rằng
a) Tứ giác AGDH nội tiếp đường trịn b) Ba diém H, D va F thang hang
e) Điểm 7 là trung điểm của doan thing AD
Bài 9 Cho tam giác ABC khơng cân Gọi E, Ƒ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AC, AB sao cho EF song song véi BC Cac tiép tuyén tại E, F của đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF cat đường thang BC lan lugt tai M và A Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng Ƒ tại K và đường thẳng
CF cắt đường thẳng EM tại L
a) Chitng minh ring ZK AB = ZLAC
b) Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng CF tại X và đường thẳng EN cắt đường thẳng PM tại Y Chứng minh rằng đường thẳng XY luơn đi qua điểm cố định khi Z, F thay đổi
BAN 35) 6 Cal
Trang 7
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Bi https:/ /www.facebook.com/anhtuanvcu
§1 Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định
I Một số chú ý
1 Tìm hiểu bài tốn
w# Xác định yếu tố cố định và khơng cố định (điểm, đường cố định)
w Xác định yếu tố khơng đổi (độ dài đoạn thẳng, độ lớn gĩc, )
w Xác định các quan hệ khơng đổi (song song, vuơng gĩc, thing hàng, ) 4 IVa LY 2 Dự đốn điểm cố định Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đốn điểm cố định Thơng thường ta tìm | | | | | | | | | z một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác như tính chất đối xứng, song song, #3 | thẳng hàng, để dự đốn điểm cố định !4| Am thường xác định tứ giác nội tiếp liên quan đến điểm cố định =< IL Một số ví dụ me :
4 | Bai 1 Cho doan thing AC cé dinh, diém B cé dinh nim giita 4 và Œ Đường trịn (Ø) thay đổi luơn đi
“| qua A va B Goi PQ la dung kinh cia dudng trịn (Ĩ), PQ vuơng gĩc 4B, (P thuộc cung lớn 48) Gọi CP c&t dudng tron (O) tại điểm thit hai J Chimg minh Q/ ludn di qua mot diém cé dinh khi dudng tron (O) thay déi
Bài 2 (Thi vào 10, Sở GD & ĐT Hà Nội, 2015 - 2016)
Cho nửa đường trịn tâm Ĩ cĩ đường kính A7 Lấy điểm Œ trên đoạn AO (C khác A, Œ khác Ø) Đường thẳng đi qua Œ và vuơng gĩc với 4 cắt nửa đường trịn tại K Gọi Af là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, A khác P) Dường thẳng ŒK cắt các đường thẳng AAf, BM lần lượt tại H và D Đường thẳng BH cắt nửa đường trịn tại điểm thứ hai N Khi A/ di động trên cung Ư, chứng minh dudng thang MN luơn đi qua một điểm cố định
Bài 3 (Đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Bến Tre, 2016)
Cho đường trịn tâm Ĩ, bán kính R va điểm 4 nằm ngồi đường trịn Gọi đ là đường thẳng vuơng gĩc với OA tai A va M là điểm di động trên d (Mƒ khác 4) Vẽ tiếp tuyến MŒ với đường trịn (C là tiếp điểm, € khác phía với Àƒ đối với đường thẳng Ø4) Đường thẳng AC cắt đường trịn tại (B khác C) tiếp tuyến tại cắt đường thẳng MŒ tại E và cắt d tai D Kẻ tiếp tuyến DF với đường trịn (F' là tiếp điểm,
Ƒ khác Đ) Chứng minh đường thắng BF luơn di qua một điểm cố định khi Af di động trên d
Bài 4 (Đề thi vào 10, Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ an 2016)
| Cho điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (Ĩ) Kẻ các tiếp tuyén AE, AF cilia (Ĩ) (E, F là các tiếp ¡ điểm) Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DE < DF, D khơng trùng với E và tiếp tuyến tại D ¡ của (Ĩ) lần lượt cắt tia AF, AF lan lượt tại B, Ơ
|
J
a) Goi M, N lan lugt la giao điểm của đường thing EF vdi các đường thẳng OB, OC Chitng minh tứ giác BƠMN nội tiếp một đường trịn
b) Kẻ các tia phân giác DK của gĩc EDP, OI cia géce BOC (K thuéec EF, I thudc BC) Chứng mình OI || DK
c) Chứng minh đường thẳng luơn đi qua một điểm cố định
Trang 8
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Hi https: //www.facebook.com/anhtuanveu
BAI TAP VE NHA
Bài 5 Cho đường trịn (Ĩ: ?) và một đường thẳng đd cắt (O) tai C, D, Mot diém M di dong trén d sao
Ả cho MC > MD va M ở ngồi đường trịn (Ĩ) Qua AM kẻ hai tiếp tuyến AfA, AfB tới (Ĩ) Gọi H là trung ¡_ điểm ŒD, đường thẳng A4 cắt các đường thắng OAM 6 E va OH 6 F
|
|
| J
a) Chứng minh ring MEH F la tit gidc ndi tiép
b) Chứng minh rằng khi Aƒ di chuyển trên đ thì đường thẳng 4Ø luơn đi qua một điểm cĩ định
| Bài 6 (Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hà Tĩnh, 2016)
| Cho tam giác đều 4BŒ nội tiếp đường trịn (O) Điểm E thay đổi trên cung nhỏ AB, (E # A, E ¥ B) Từ B,C lần lượt kẻ các tiếp tuyến với đường trịn (Ĩ), các tiếp tuyến này cắt đường thắng A# theo thứ
Trang 9
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 E https:/ /www.facebook.com/anhtuanveu
§2 Chứng minh đường trịn di qua điểm cố định
Bài 1 Cho tam giác ABŒ cân tại A Gọi M là điểm di động trên cạnh 4, N là điểm trên tia đối tia CA sao cho trung điểm J clita MN nim trén canh BC Chứng minh rằng đường trịn qua 3 điểm A, M,N luơn đi qua một điểm cố định khác A
Bài 2 Cho tam giác ABŒ nội tiếp đường trịn (Ĩ), 7 là điểm chính giữa cung BŒ khơng chứa A Đường
trịn tâm đi qua J và tiếp xúc với AB tại , đường trịn tâm F di qua / va tiếp xúc với AC tai C K
là giao điểm của (E) và (F):
a) Chứng mình rằng B, K,C thing hang;
; 2 | Z a
b) Cho M 1a diém chuyén dong trén canh AB, N di động trên tia đối CA sao cho BM = CN Ching mỉnh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác AAƒA luơn đi qua một điểm cố định khác A 2NYĐ OĐ ĐN(ĐN t8 t1 IVE JLVHL !
Bài 3 (THPT Chuyên ngoại ngữ, 2001-2002)
Cho đường trịn (O; R) và điểm 4 cố định với OA = 2R Dường kính BŒ quay quanh O sao cho AABC nhọn Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABŒ cắt đường thẳng ĨA tại điểm 7 Dường thẳng 4B, AC cắt
(O; R) tại D, E Đường thẳng DE cắt ĨA tại K
a) Chimg minh ring O/.0A = OB.OC va AK.AI = AE.AC;
b) Tính độ dài đoạn OJ va AK theo R;
_©) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác 4E luơn đi qua một điểm cố định “Bài 4 (Đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn - Vịng 2, 2016)
\Cho đường trịn (O; R) và điểm A cố định sao cho QA = 2 Gọi BC là đường kính quay quanh O sao cho BC khong di qua A Dường trịn ngoại tiếp tam giác AC cắt AO tại 7 (I khác 4) Các đường thẳng AB, AC lần lượt cắt (O) tai D, E Gọi K là giao điểm của DE và AO
a) Ching minh bốn điểm , E, Œ, ï cùng nằm trên một đường trịn
b) Tính độ dài đoạn AT theo R
©) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE luén di qua mét điểm cố định khác A khi BC quay quanhO |
Bai 5 Cho dudng tron (O) và đường thẳng (đ) nằm ngồi đường trịn 7 là điểm di động trên (đ) Đường
trịn đường kính ĨT cắt (Ĩ) tại M, W Chứng minh đường trịn đường kính O7 luơn đi qua một điểm cố
định khác Ĩ và đường thẳng MA luơn đi qua một điểm cố định
Bài 6 Cho ba điểm thẳng hàng A, B, theo thứ tự đĩ Một đường trịn (Ĩ) thay đổi nhưng luơn đi qua œi Bvà C Từ 4A kẻ hai tiếp tuyến AM, AW đến đường trịn (O) Duong thang MN c&t hai doan AO, AC
lần lượt tại H và Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác OHK luơn đi qua hai điểm cố định
œ
=| }L| Bài 7 Cho tam giác ABC (các gĩc đều nhọn, cạnh BC cố định Các đường cao của tam giác 4BC là AD,BE,CF Dường thẳng EF cắt BƠ tại P Dường thẳng đi qua D song song EF c&t AC tai R va cit S| š|_ thay đổi ABGQ Ching minh dudng trịn ngoại tiếp tam giéc PQR ludn di qua một điểm cố định khi điểm 4 ¿j Bài 8.) Cho tam giác nhọn BC, D là một điểm bất kì trên cạnh BC Tren canh AC, AB lan lượt lấy các
S| điểm, F sao cho ED = EƠ, FD = FB Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp các tam giác
“| Cw ABC, BDF,CDE Ị
a) Goi H là trực tâm của tam giác JJ)K Chứng minh rằng IJJTK nội tiếp
b) Chứng minh rằng khi D chuyển động trên BƠ, đường trịn ngoại tiếp tam giác IƑK luơn đi qua một điểm cố định khác J
Trang 10: ttửJ VH INYD QO ONQON ved UPI Iva L © ` L (%1 +1) ) = oor goe(%l — 1) B SLE £0°0 { Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 i https: //www.facebook.com/anhtuanvcu BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 9 Cho đường trịn tam O đường kính 47, điểm Œ cố định trên đoạn ØB (C khác ,Ĩ) Diém M
chuyển động trên đường trịn Dường vuơng gĩc với AB tai C cắt AA, M theo thứ tự ở È, F Chứng mình đường trịn ngoại tiếp tam giác AFEF luơn đi qua qua một điểm cố định khác A
Bài 10 Cho đường trịn (O) va dây cung AB Lay điểm # trên dây cung 4 (E khác A và B) Qua E vẽ dây cung CD của đường trịn (Ĩ) Trên hai tia DA, DB lấy hai điểm P,Q đối xứng qua £ Chứng
minh ring đường trịn (1) tiếp xúc với PQ tại E và đi qua luơn đi qua một điểm cố định khi E di động trên dây cung 4Ư
Bài 11 Cho hai đường trịn (Ĩ) và (Ĩ') cắt nhau tại A và B Trên đường thẳng 4Ø lấy điểm M bất kì sao cho điểm 4 nằm trong đoạn BM (M # 4) Từ M kẻ tiếp tuyến MŒ, M7 tới (Ø') với C nằm ngồi (O) Dường thẳng AC cắt đường trịn (Ø) tại P và đường thẳng 4D cắt (Ĩ) tai Q (P,Q # A) Dường
thing CD c&t PQ tai K |
a) Ching minh ring ABCD ~ ABPQ;
b) Chứng minh rang khi M thay đổi thì đường trịn ngoại tiếp tam giác KŒP luơn đi qua một điểm cố định
Bài 12 Cho tam giác ABC cĩ AB = AC, các điểm D, E, Ƒ lần lượt nằm trên các cạnh BŒ, CA, AB sao cho DE / AB, DF J AC Đường trịn ngoại tiếp tam giác 4BŒ cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác
AEF tại các diém A, G Đường thẳng DE cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF tại diém H (H # E)
Đường thẳng qua Œ vuơng gĩc với GH cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm K (K # G), đường thẳng qua Ở vuơng gĩc với GŒ cắt cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm L (L # G) Goi P, Q lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác GDC, GDL Chứng mình rằng khi điểm D thay
đổi trên cạnh BC thì
a) Đường trịn ngoại tiếp tam giác GEF luơn đi qua hai điểm cố định
b) Dường trịn ngoại tiếp tam giác GPQ luơn đi qua một điểm cố định
Trang 11Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https: //www.facebook.com/anhtuanveu
§3 Chứng minh điểm thuộc đường thẳng cố định
Bài 1 Cho đường trịn tâm Ĩ, đường kính A4 cố định Qua ï là điểm cố định thuộc đoạn ĨA (ï khơng trùng A và O) vẽ đường thẳng vuơng gĩc với AB cắt đường trịn tâm Ĩ tại M va N Gọi Œ là điểm tùy ý thuộc cung lén MN (C khong tring các điểm M, N và B), E 1a giao diém cia AC va MN
Chứng mình khi diém C thay đổi trên cung lén MN cia đường trịn tâm Ĩ thì tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ME luơn thuộc một đường thẳng cố định
J
Bài 2 Cho hình thoi ABŒD cĩ gĩc BAD = 120° Céc diém M, N chay tren BC va CD tương ứng sao cho gĩc
MAN = 30° Chứng minh rằng tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AƒAA chạy trên đường thắng cố định | Bài 3 Cho nửa đường trịn (O) đường kính 4 và Œ là trung điểm của AQ Đường thẳng a vuơng gĩc với 4B
tại Ở và cắt nửa đường trịn (O) tai J K nằm trên đoạn C7 (K khơng trùng với Œ và I) Tia AK cắt nửa đường tron (O) tai M, tiếp tuyến của (O) tại M cắt a tai N, BM c&t a tại D
a) Chứng minh rằng MNK là tam giác cân;
b) Khi K là trung điểm của đoạn thẳng C7, tính diện tích tam giác ABD theo R
c) Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đường thẳng Œï thì tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác 4AKD luơn nằm trên một đường thẳng cố định 9D QO ONAON 84 HỊI IVH LYHL He tủ
Bài 4 Cho đường trịn (Ĩ) cĩ tâm Ĩ và bán kính Đ Hai điểm phân biệt B,C cố định nằm trên (Ĩ) sao cho BC =a < 2R Goi A 1a diém bat kì thuộc cung lớn BƠ của (O), A khơng trùng với 8,C Gọi D là chân đường phân giác trong kế từ A của tam giác ABC Hai điểm ƑE, F lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp các tam giác
ADB va ADC
NY
a) Chứng minh rằng hai tam giác AEO và ADŒ đồng dạng b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo ø và đ
c) Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định
Bài 5 Cho ba điểm cố định 4, B,C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) Goi (O) la một đường trịn thay đổi luơn
di qua B và Ở (tâm Ĩ khơng thuộc đường thẳng BC) Từ A kẻ các tiếp tuyến 4D, AE đến đường trịn (Ĩ) (D,
E là các tiếp điểm và 7D, Ĩ nằm cùng trên nửa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng BC) Gọi K, H lần lượt là trung
điểm của BC và DE
a) Chứng minh AE? = AB: AC
b) Trên DE lấy điểm M sao cho BM song song với 4D Chứng mỉnh tứ giác BMKE nội tiếp đường trịn và MK song song véi DC
c) Chtmg minh ring khi dudng ‘tron (O) thay ddi thì tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OHK thuộc một
đường thẳng cố định
Bài 6 Cho đường trịn tâm Ĩ và dây cung 4 cố định (Ĩ ý AB) Œ là điểm di động trên đoạn AB (C khơng
trùng với A, Ð và trung điểm của 4B) Dường trịn tâm P đi qua điểm Ở và tiếp xúc với đường trịn (Ĩ) tại A,
đường trịn tâm Q đi qua Œ và tiếp xúc với đường trịn (Ĩ) tại Ở Các đường trịn (P), (Q) cắt nhau tại điểm thứ hai là M Các tiếp tuyến của đường trịn (Ĩ) tại A và cắt nhau tại J
a) Chiing minh MC la tia phân giác của gĩc AMB và các điểm A, M,Ĩ, B, Ï cùng thuộc một đường trịn Cc
b) Chimg minh khi diém %4 thay đổi thì tam đường trịn ngoại tiép tam gide MPQ ludn thudc mot dudng thẳng cố định
Bài 7 Cho đường thẳng d và điểm A cố định khơng thuộc ở, H là hình chiếu của A trên ở Các điểm B,C thay
đối trên d sao cho HB.HC = 1, H nam giita B va Ở Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tai M,N a) Chứng minh đường thẳng MA đi qua một điểm cố định
b) Gọi Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ÐMƠ Chứng mình Ĩ chạy trên một đường thẳng cố định
KREG ees oF 0 N& =2 282%
———._—————_
Trang 12J ỒN tử !Ị JVH JVH.L 112 veg NYO 09 ONA (5 8 '2£ = se(%I + 1) ) TA see(%T — T) £00
Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Fil https://www.facebook.com/anhtuanveu Bai 8 Cho tam giéc ABC nhon, khéng cân và nội tiếp (Ø) Một đường trịn (J) thay đối đi qua B, Ở và cắt các đoạn thẳng 4, AC lần lượt tại D, E Trên đường thẳng BƠ lấy hai điểm phân biệt #‡, 8 sao cho (DER), (DES) tiếp xúc với đường thẳng BƠ Giả sử (ADE) c&t (O) tai M khác A Gọi (Ø') là đường trịn ngoại tiếp tam giác RSM
a) Chứng minh rằng đường trịn (Ø') đi qua trực tâm của tam giác ARS
b) Chứng minh rằng điểm Ĩ' luơn di động trên một đường thẳng cố định khi (J) thay đổi
Bài 9 Cho tam giác nhọn ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn œ Đường trịn œ' thay đổi đi qua B, Ở cắt
các cạnh AB, AC lan lugt tai E, P (E,F # A) Dường trịn ngoại tiếp tam giác AEF cat lại đường trịn œ tại K(A # K) KE, KF lần lượt cắt lại đường trịn œ tại Q, P (P,Q # K) Gọi 7 là giao điểm của BQ va CP Goi 1M, N lần lượt là trung điểm BF, CE
Chứng mình rằng 7 thuộc một đường thẳng cố định khi đường trịn œ' thay đổi
Bài 10 Cho đường trịn (Ø) đường kính 4Ø cố định Biết điểm Œ thuộc đường trịn (Ĩ), với Œ khác A va B Vẽ
đường kính CD của đường trịn (Ĩ) Tiếp tuyến tại B của đường trịn (Ĩ) cắt hai đường thẳng AC và 4D lần lượt tại E và F
a) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường trịn
b) Gọi H 1a trung điểm của đoạn thing BF Ching minh ring OE vuơng gĩc với AH
c) Goi K la giao diém của hai đường thing OF va AH Ching minh rằng điểm K thuộc đường trịn ngoại tiếp tit giac ECDF
d) Gọi 7 là tâm của đường trịn (T) ngoại tiếp tứ giác ECDF Chitng minh rằng điểm 7 luơn thuộc một đường thẳng cố định và đường trịn (T) luơn đi qua hai điểm cố định khi C di động trên đường trịn (Ĩ)
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 11./Cho nửa đường trịn (Ĩ) đường kính AĐ Gọi Œ là điểm cố định thuộc doan thing OB (C khác O và
g dung thang đ vuơng gĩc với AB tai diém C, c&t nita dutng tron (O) tai diém M Trén cung nhd MB lấy điểm N bat ky (N khéc M va B), tia AN c&t đường thẳng d tai diém F, tia BN cat đường thẳng đ tại điểm E Dường thẳng AE cắt nửa đường trịn (Ĩ) tại điểm D (D khác A)
a) Chứng minh ba điểm B, Ƒ, D thẳng hang va F 1a tam đường trịn nội tiếp tam giác CDN
b) Goi J là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng mình rằng điểm 7 luơn nằm trên một đường
thẳng cố định khi điểm @ di chuyển trên cung nhỏ MB
Bai 12 Cho 3 diém A, B,C cé dinh thing hàng ( nằm giữa A và C) Vẽ đường tron (O; R) bat kì di qua B,C (BC # 2R) Tit A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O; R) (M, N là các tiếp điểm) Gọi 7, K lần lượt là trung điểm của ĐC và MN, MN cắt BC tại D Chứng minh:
a) AM? = AB.AC
b) Goi O' la tam đường trịn ngoại tiếp tam giác OID Chứng mình @' thuộc đường thẳng cố định khi đường trịn (Ĩ; R) thay đổi
Bai 13, Trên đường trịn tam O dutng kinh AB = 2R lay diém N sao cho AN = R va diém M thay đổi trên cung nhỏ BXN (M khơng trùng với B, N) Gọi 7 là giao điểm của AM và BA Đường thẳng đi qua điểm 7 và
vuơng gĩc với ÁP tại H, cắt tia AN tại điểm Ơ
a) Chứng minh ba điểm , Ở, M thẳng hàng
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vì của tứ giác ABAfAN là lớn nhất
c) Chứng mình tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AHN thuộc một đường thẳng cố định khi A/ thay đổi
trên cung nhỏ BK của đường trịn (Ĩ; #)
đ) Gọi P là điểm chính giữa cung AB khơng chứa điểm W của đường trịn (O;) Đường thẳng MP cắt AB
MD MD
Lại D Ching minh rang MA Ì MB khơng đối khi Aƒ di động trên cung nhỏ 8N của đường trịn (Ớ: R)
4 z ` ,
Trang 13142 ướt J DOO ONAON Yq 144 IVE LYHL ONY | |_ EƠ0 = s(%I — L) tê 82E = s„(I + D) J Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https: / / www.facebook.com/anht anve
§4 Chứng minh điểm thuộc đường trịn cố định
Bài 1 Cho đường trịn (Ĩ; R) và điểm A cố định ở ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng đ vuơng gĩc với OA tai A Trén d lay diém M, qua M ké hai tiép tuyén ME, MF tdi dudng tron (O; R), tiép diém lần
lượt là E và F :
Chimg minh tam J dudng trịn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường trịn cố dinh khi M chuyen
động trên đ
Bài 2 Cho nửa đường trịn tam O, đường kính 4 Một diém M nim trên cung 4, A⁄ khác 4 và Ư
Gọi H là điểm chính giữa của cung AM Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại 4 của nửa đường trịn (Ĩ) tại Các tia AH, BM cắt nhau tại 8
a) Chimg minh rằng điểm Š nằm trên một đường trịn cố định
b) Kéo dài AM cắt đường trịn (B, BA) tai điểm thứ hai là N Chứng minh tứ giác BISN là tứ giác nội tiếp
Bài 3 Cho đường trịn (O; R) và dây cung BƠ cố định Gọi 4 là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác 4Œ nhọn Bên ngồi tam giác 4Œ dựng các hình vuơng ABDE, AOFG và hình bình hành
AEKG
Chứng minh rằng A thay đổi trên cung lớn BC của (Ĩ; R) thì K luơn thuộc một đường trịn cố định Bai 4 Cho tam giác AB, trực tâm H, tâm đường trịn nội tiếp 1, M là trung điểm BƠ, N đối xứng với Ï qua M P là điểm bất kì trên đường trịn ngoại tiếp tam giác BC (P nằm ngồi tam giác ABC) Goi X,Y, Z là hình chiếu vuơng gĩc của W trên BC,CP, PB Gọi K là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác XYZ Chứng minh rang K luơn thuộc một đường trịn cố định khi P di chuyển
Bài 5 Cho 4B là một dây cố định khác đường kính của đường trịn (O) cố định Gọi Ä/ là trung điểm của cung nhỏ 4Ư Xét đường trịn (C') thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng 4 và tiếp xúc trong với (Ĩ) tại một điểm thuộc cung lớn AB (Ø' khác phía với AM so với đường thẳng AB) Các đường thẳng qua AM
vuơng gĩc với @'A,@'B cắt đoạn thẳng 4Ø lần lượt tại các điểm Œ, D
a) Chứng minh rằng AB = 2ŒD
b) Gọi 7 là một điểm thuộc (O!) sao cho ATB = 90° Giả sử tiếp tuyến của (O') tại 7 cắt đoạn thẳng AB tai N và đường thẳng MN cắt (Ĩ) tại K khác AM Vẽ đường trịn qua M, K và tiếp xúc ngồi với (G') tại S Chứng minh rằng điểm 8 luơn di động trên một đường trịn cố định khi (O’) thay
đổi
Bài 6 Cho hai đường trịn (Ĩ) và (Ø') cắt nhau tại hai điểm A và B Qua A ké hai dung thing Ay va
A»: , trong dé A, cat hai dudng tron (O) va (O’) lan lugt tại hai diém C va D; A; cắt hai đường trịn (O) va (O') lan lugt tai hai diém E va F (C, D, E, F khác A) Các đường trung trực của các đọan thẳng
ŒPD và EF cắt nhau tại điểm K Đường thẳng đ thay đổi đi qua K cắt đường trịn (O’) tai hai điểm P va Q Chứng minh rằng trực tâm tam giác 4Q luơn nằm trên một đường trịn cố định
Bài 7 Cho đường trịn (Ĩ, R) và một đường thẳng ở cố định, khơng cắt đường trịn (Ĩ, F), M là một
điểm bắt kỳ trên đường thẳng d Từ điểm Á kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trịn (Ĩ, R), trong đĩ
A,B là tiếp điểm
Khi điểm A di chuyển trên đường thẳng đ, chứng minh rằng điểm 7 nằm trên một đường trịn cố định
Bài 8 Cho nửa đường trịn (Ĩ) cĩ đường kính AB =2R CD 1A dây cung thay đổi của nửa đường trịn sao cho CD = R va C thuộc cung AD (Œ khác A và D khác B) AD cắt BƠ tại H; hai dudng thing AC
va BD c&t nhau tai F
a) Chitng minh rang ttt gidée CFDH noi tiếp b) Ching minh CRCA=CH.CB
c) Goi J la trung diém cia HF Chứng minh tia O/ 1a tia phân giác của gĩc COD
(5309 2e»e c1, Nà, SPP CTOR
Trang 14VH1L I9 wea | ¥ 500 DNAON ¥eq HPL IVE DL iy (a cog(l — 1) BA BLE = gog(%I + 1) ) | s00
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 E] https://www.facebook.com/anhtuanvcu
d) Chứng minh điểm 7 thuộc một đường trịn cố định khi ŒD thay đổi
Bài 9 Cho đường trịn (Ĩ) đường kính 4B cố định Biết điểm Ở thuộc đường trịn (0), với Œ khác A
và B Vẽ đường kính ŒD của đường trịn (Ĩ) Tiếp tuyến tại của đường trịn (O) cắt hai đường thắng
AC va AD lần lượt tại E và Ƒ
a) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường trịn
b) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BƑ Chứng minh rằng ĨE vuơng gĩc với AH
c) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH Chứng minh rằng điểm K thuộc đường trịn ngoại tiếp tứ giác ECDF
d) Goi J là tâm của đường trịn (I) ngoại tiếp tứ giác ECDF Ching minh rang điểm 7 luơn thuộc một đường thẳng cố định và đường tron (J ) luơn di qua hai điểm cố định khi Œ di động trên đường trịn (Ĩ)
Bài 10 Cho đường trịn (Ĩ; R) đường kính AB Gọi M là điểm nằm giữa A và B Qua M vẽ dây CD
vuơng gĩc với AB, lấy điểm E đối xứng với 4 qua M
a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
b) Gọi và K lần lượt là hình chiếu củaM trên AC và BƠ Chứng minh rằng:
HM MK _ CD HK MC 4R°
c) Goi C’ la diém déi xing vi C qua A Chứng minh rằng C' nằm trên một đường trịn cố định khi
M di chuyển trên đường kính 4 (M khác Á và B)
Trang 15J DN ueq pL IVA LVHL Me ug D ON IO ¥ T T h ONY [ „(%1 — 1) VÀ 828 = au(%I +1) ) £00 (
Tran Anh Tuan - 0914 396 391 fi https: //www.facebook.com/anhtuanveu
Chứng minh hai đường trịn tiếp xúc nhau
Bài 1 Kí hiệu œ là đường trịn bàng tiếp gĩc của tam giác ABŒ (AB < AC) Gọi D, E, P` tương ứng là các tiếp điểm của œ với các đường thẳng BƠ, ƠA, AB Đường trịn (AEF) cắt đường thắng BŒ tại P
va Q Gọi A/ là trung điểm của đoạn thẳng 4D Chứng minh rằng đường trịn (MPQ) tiếp xúc với đường
tron w
Bai 2) Cho tam gidc nhon ABC ndi tiép dudng tron (O) Cac dutng cao AD, BF, CE của tam giác ABC đồng quy tại H (D, F, E tương ứng nằm trén BC, CA, AB) Dung thing AH cắt đường trịn (O) tai điểm thứ hai là Gọi A7 là trung điểm của BƠ Đường thẳng 4A cắt đường trịn (Ĩ) tại điểm
thứ hai là L Đường trịn đường kính 4H cắt đường trịn (Ĩ) tại điểm thứ hai là 7 Dường thang qua 1
vuơng gĩc với AM tại P cắt BƠ, KL lần lượt tại Y, X Đường thẳng L cắt đường thẳng BC tại Z Chứng mình rằng Bốn điểm 7, 1, K, X cùng thuộc một đường trịn; bốn điểm 7, Y, Z, X cùng thuộc một đường trịn và đường trịn ngoại tiếp tam giác XY Z tiếp xúc đường trịn (Ĩ)
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABŒ (AB < AC) nội tiếp đường trịn (Ĩ) P là một điểm nằm trong tam giác
sao cho PAB = PAC Goi K la tam đường trịn ngoại tiếp tam giác PBƠ PK cắt trung trực của đoạn thẳng ÁP tại L Đường thẳng qua A song song với BƠ cắt đường trịn (Ĩ) tại điểm thứ hai D khác A
Trên đường thẳng AD, lấy E khác A, sao cho LE = LA Gọi F là điểm đối xứng với 4 qua ĨL Chứng mỉnh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác FED tiếp xúc đường trịn ngoại tiếp tam giác PBƠ
Bài 4 Cho hai đường trịn (C) và (C") cắt nhau tại P và Q Tiếp tuyến chung (gần P hơn Q) của hai đường trịn tiếp xúc (C), (Œ") lần lượt tai A va B Các tiếp tuyến của (C) và (C") tại P lần lượt cắt đường
trịn kia tại E và Ƒ (E, F khác P) Gọi Af, N lần lượt nằm trên các tia 4F, BE sao cho AAƒ = AP,
BN = BP, K là giao của EM và FA Chứng mỉnh rằng PA/ là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác KQ
Bai 5, Cho tam giác ABC cĩ AC > AB Trên các cạnh 4B, AC lần lượt lấy hai điểm P , Q sao cho
PQ song song với BŒ Gọi Ĩ là giao điểm của hai đoạn thang BQ va CP Goi 4! là điểm đối xứng của
A qua BC Đoạn 4O cắt đường trịn ngoại tiếp (C) của tam giác APQ tai S
a) Gọi X là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua A và song song với BƠ và đường trịn (C) Chứng minh ba diém X , O , A’ thang hang
b) Chứng mỉnh đường trịn ngoại tiếp tam giae BCS tiếp xúc với đường trịn (C)
Bài 6 Cho ngũ giác lồi ABŒDE nội tiếp đường trịn (Ø) cĩ ŒD song song với BE Hai đường chéo CE
và BD cắt nhau tại P Diểm Aƒ thuộc đoạn thẳng BE sao cho MAB = PAR Diém K thudc đường thang AC sao cho MK song song vdi AD, diém L thudc dutng thing AD sao cho ML song song với AC
Đường trịn ngoại tiếp tam giác BƠ lần lượt cắt BD, CE tai Q,S (Q khac B, S khac O)
a) Chứng minh ba điểm W, \,Q thẳng hàng
b) Dường trịn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD,ŒE tại 7, R (T khác L, Đ khác ) Chứng
mình rằng năm điểm AM, S,Q, R,7' cùng thuộc một đường trịn
c) Chứng mình rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác PQÏ tiếp xúc với đường trịn (Ĩ)
KUNG),S.3
Trang 16INYD Qo ONTON tq EPL IVE LVAL hp weg ) T ( #00 s»(%1~ L) 9ê 82£ = sw(%I + 1) )
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei https:/ /www.facebook.com/anhtuanveu
Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh ŒA, AB Trung
trức của đoạn thẳng EF cắt BƠ tại D Giả sử cĩ điểm P nằm trong AE và nằm ngồi tam giác AEF
sao cho PEC’ = DEF va PFB = DFE Đường thẳng PA cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác PEF tại
Q khác P
a) Chứng mình rằng EQF = BAC + EDF
b) Tiếp tuyến tại P của đường trịn ngoại tiếp tam giác PEF' cắt các đường thẳng C'A, AB lan luot tai M,N Chứng minh rằng bốn điểm Œ, Af, N, ư cùng nằm trên một đường trịn Gọi đường trịn nay là đường trịn (K)
c) Chứng mình rằng đường trịn (X) tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF
Bài § Cho tứ diện lồi ABŒD Đường trịn (Œ) nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với các cạnh 4B, 4D tại A, W Đường trịn (C2) nội tiếp tam giác ŒBD tiếp xúc với các cạnh ŒD, PB tai P,Q Biét (C;) tiếp xúc với (C;) Chứng mỉnh rằng:
a) Tứ giác \NPQ nội tiếp một đường trịn
b) Các đường trịn nội tiếp của các tam giác ABC và ADC là tiếp xúc nhau
Bài 9 Cho tam giác ABC nhọn và 4B < AC Các đường cao 4D, BE,CF cắt nhau tại H biết D € BC; E € AC; F € AB Đường thẳng EF kéo dài cắt BC tại 9 Kẻ tiếp tuyến SK tới đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF biết rằng tiếp điểm K nim trong tam giac ABC Goi N là trung điểm của BC Chứng mình rằng các đường trịn ngoại tiếp hai tam giác DXN; BKC tiếp xúc với nhau
Bài 10 Cho tam giác nhọn BƠ nội tiếp đường trịn (O), trực tâm H Goi M 1a trung điểm của BƠ
Đường thẳng 4A, AH cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai là L, ý Đường trịn đường kính AHcắt đường
trịn (O) tai điểm thứ hai là 7 Đường thẳng qua H vuơng gĩc với AA/tại P cắt BC, KL lần lượt tại Y, X Dường thẳng KL cắt đường thẳng BC tại Z Chứng minh rằng Bốn điểm X,Y, Z,7 cùng thuộc đường trịn (0) và hai đường trịn (Ĩ), (u) tiếp xúc nhau
Bài 11 Các điểm P và Q được chọn lần lượt trên cạnh AB và AC của AABƠ sao cho PQ // BC Cac đoạn BQ va CP cắt nhau tại Ĩ Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC Doan A’O cắt
đường trịn ngoại tiếp œ của AAPQ tại S Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp của ABSƠ tiếp xúc
VỚI Œ
Bài 12 Cho tam giác 4B, D là một điểm tùy ý nằm trong cạnh 4 Các đường phân giác trong các
gĩc ABC va ADC cắt nhau tại E Các đường phân giác các gĩc BAC va BDG cAt nhau tai F Goi J là trung điểm đoạn thẳng ZƑ Chứng minh rằng các đường thẳng JD và AB vuơng gĩc với nhau khi và chỉ
khi đường trịn nội tiếp tam giác 4D tiếp xúc với đường trịn nội tiếp tam giác BDC
Trang 17
41014 7T-UI TS Ý VỚ14 0U Q01 &a NUtps:/ / WWW.lacebook.com/anhtuanveu , Luyện tập 08/01/2023 Câu 1 Cho đường trịn (O; R) cĩ hai đường kính AB và ŒD vuơng gĩc với nhau Trên day BC lay điểm cc.- l= ⁄ 3 sự # M (M khác B va C) Trén day BD léy diém N sao cho MAN = 204D: AN cắt CD tại K Từ M kẻ MH 1 AB(H € AB)
a) Chứng minh tứ giác ACMH và tứ giác ACMK nội tiếp
b) Ta AM cắt đường trịn (O) tại E (E khác 4) Tiếp tuyến tại E và của đường trịn (O) c&t nhau
tại F Chứng mình rằng AF' đi qua trung điểm của HM
©) Chứng minh MN luơn tiếp xúc với một đường trịn cố định khi A⁄ di chuyển trên dây BC (A khác
B vàC)
Câu 2 Cho tam giác ABC nhọn Một đường trịn qua Ư,C cắt các cạnh 4B, AC lần lượt tại E và F; BF cắt CE tại D Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành
a) Chứng minh rằng ^ BC đồng dạng với ADFE, AAKC đồng dạng với AADE
b) Hạ DM vuơng gĩc với AB, DN vuơng gĩc với AC Chứng minh rằng ăN vuơng gĩc với AK
c) Gọi Ï là trung điểm AD, J là trung điểm MN Chứng minh đường thẳng 77 đi qua trung điểm của canh BC [ BNYY Yo UNION 4 SLE LY HAL He td J
d) Đường thẳng J7 cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác IMAN tại T (khác 7) Chứng minh rằng 4D tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác DT7
Câu 3 Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính BƠ Gọi A là điểm di động trên nửa đường trịn (4 khác B, C) Kẻ AD L BC (D thuộc BC) sao cho đường trịn đường kính AD c&t AB, AC và
nửa đường trịn (Ĩ) lần lượt tại E, F, G (G khác 4) Đường thẳng AG cắt BC tại H
a) Tính BExCF AD3 theo R va ching minh H, E, F thang hang b) Chimg minh ring FG x CH+GH x CF =CG x HF
c) Trén BC lay M cé dinh (M khac B, C) Goi N, P lan lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp các tam
giác MAB và MAC Xác định vị trí của 4 để diện tích tam giác MP nhỏ nhất
Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tron (O), AB < AC, các đường cao BD, CE cit nhau tại H (D thuộc AC, E thuộc AB) Gọi M là trung điểm của BC, tia MH cắt đường trịn (Ĩ) tai N
a) Chứng minh rằng năm điểm A, D, E, H, N cùng nằm trên một đường trịn Ly V8 BLE — c06(/0L 7T LJ J
b) Lay diém P trén doan BC sao cho BHP = CHM , @ là hình chiếu vuơng gĩc của A trên đường thắng HP Chứng minh rằng tứ giác DENQ la hinh thang cân
c©) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với đường trịn (Ĩ)
99E\Z0L
Cau 5 Cho tam giác nhọn ABŒ cĩ AB < AC và nội tiếp đường trịn tâm Ĩ Đường trịn tâm đường BÀI TẬP VỀ NHÀ
kính BƠ cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F Gọi Ỡ là giao diém cha BF va CE
a
6U
U
a) Chứng minh tam giác AEF và tam giác 4Œ đồng dạng
b) Gọi A' là điểm đối xứng của 4 qua O Chứng minh 44' vuơng gĩc véi EF
Trang 18c) Tit A dựng các tiếp tuyén AM, AN đến đường trịn (K) với M, N là các tiếp điểm Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng
Câu 6 Cho hinh thoi ABCD (AC > BD) Đường trịn nội tiếp (Ĩ) của tứ giác ABCD theo thit tự tiếp
xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA tai cdc diém E, F, G, H Xét diém K trén doan HA va diém L trén
đoạn AE sao cho KL tiếp xúc với đường trịn (Ĩ)
a) Chứng minh rằng LOK = LBO va BL- DK = OB"
b) Đường trịn ngoại tiếp của tam giác CFL c&t canh AB tai diém M khác L và đường trịn ngoại tiép
Trang 19ONY! QO DNAON Wed MPL IVE LYE He wed | ‘ 4 L sopL P1) J ( ĐUU— sgg⁄2L — LJ 9A BLE tran Ảnh Tuân - 0914 396 391 Ei https: / /www.facebook.com/anhtuanveu TONG ON (1)
Bài 1 Cho tam giác nhọn 4BŒ (với AB < AC) nội tiếp đường trịn tâm Ĩ Gọi H, E,F lan luot 1A
chân đường eao hạ tit cdc dinh A, B, C cia tam giée ABC Cac tiép tuyén tai B va C của đường trịn
(O) cắt nhau tại 7 Gọi D là giao điểm của AT va BC, S 1a giao diém cha EF va BC, J 1a giao diem thứ hai của TH với đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC
a) Chứng minh rằng HB.HC = HM.HS véi M là trung điểm BƠ;
b) Chứng minh rằng ba điểm S, J, O thing hàng
: ` +2 %
c) Goi L là giao điểm thứ hai của ĨD với đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC, K là giao điểm thứ hai của 47 với đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng năm điểm Š$, J, D, K, L
cùng thuộc một đường trịn
Bài 2 Cho tam giée ABC can tai A (BAC < 90°) và AM là trung điểm của đoạn thẳng 4 Láy điểm
Ä thuộc đoạn thing CM sao cho CBN = ACM a) Chứng minh ring MAN = MCA
b) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác BƠN tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác
AMN
c) Doan thẳng AC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác AMAN tại điểm thứ hai P Gọi i la trung diém
của đoạn thẳng BƠ Chứng minh đường thẳng MP di qua trung điểm của đoạn thẳng A7
Bài 3 Cho tam giác ABŒ nhọn (4B < AC) nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AD, BE và CF
của tam giác 4BŒ đồng quy tại điểm H Đường thẳng EZƑ cắt đường thẳng BC tại điểm 9 Qua 9 kẻ các tiếp tuyến 6X, SY tới đường trịn (Ĩ), với X, Y là các tiếp điểm
a) Chứng minh D, X và Y là ba điểm thẳng hàng
b) Gọi 7 là giao điểm của hai đường thing XY va EF Chứng minh đường thẳng TH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BƠ
: Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường trịn và Ä/ là điểm chính gitta cung BC Goi J, J, K theo thứ tự là chân các đường vuơng gĩc ké tit M đến các đường thẳng AB, BC, CA; X là giao điểm cia BK va AJ; L 1a giao diém cia CX va IJ Vẽ tia Jy vuơng gĩc với MK cắt AL tại T Chitng minh CT vuơng gĩc với IM
-Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC Đường
phân giác trong của Z 4C cắt cạnh BƠ tại D và cắt đường trịn (O) tại điểm P (khác 4) Gọi E là điểm
đối xứng với D qua AM, đường thẳng qua D và vuơng gĩc đường thẳng BƠ cắt đường thẳng AO tại H, đường thang qua # và vuơng gĩc đường thẳng BƠ cắt đường thing AD tai F Goi T la giao điểm khác Ƒ
cia AD và đường trịn ngoại tiếp tam giác FŒ Đường trịn ngoại tiếp tam giác MT'P cắt đường thẳng TH tại điểm Q (khác T) Chứng minh ring QB- QC = QT - QH =QD*
Bài 6 Cho đường tron (O) cĩ đường kính 4? cố định, M là điểm di dong trên (O) sao cho AM khác với
các điểm A, B và OM khơng vuơng gĩc với AB Các tiếp tuyến của (O) tại A va M cắt nhau tai C Gọi (1) là đường trịn đi qua A/ và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C Đường thẳng ĨŒ cắt lại (1) tại điểm thứ hai là Z
a) Chứng minh E là trung điểm của ĨG
b) Gọi CD là đường kính của (7) Chứng minh đường thẳng qua 7 và vuơng gĩc với BƠ luơn đi qua
một điểm cố định khi M đi động trên (Ĩ)
-Bài 7 Cho ABC là tam giác cĩ ba gĩc nhọn Goi A’, B’ va C’ là các điểm đối xứng với 4, B và Œ lần lượt qua ĐŒ, CA và AB Đường trịn ngoại tiếp các tam giác 4B' và ACC" cĩ A, là điểm chung thứ hai Tương tự ị và C¡ là điểm chung thứ hai của các đường trịn ngoại tiếp các tam giác BAA’; BCC!
Trang 202 OO ONQON ™ NVt ĩ ' UC sop(%áT + T) ) N 6 soe(%T — I) WA §' ( £00 Tran Anh Tuấn - 0914 396 391 Bi https://www.facebook.com/anhtuanvcu TONG ON (2)
Bai 8 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O), từ điểm D trên cung nhỏ A4 của đường trịn kể đường thẳng vuơng gĩc với 4D, đường thẳng này cắt BƠ tại Af Đường trung trực của đoạn thẳng DA cắt các cạnh AB, AC, DB lần lượt tại E, F, N Chứng minh rang
a) B,N,F, C nằm trên một đường trịn
b) Tứ giác 4EA/F' là hình bình hành
Bài 9 Cho tam giác 4B nội tiếp đường trịn (Ĩ) Lấy Ƒ' là một điểm bất kì thuộc cung AB (khong chứa C) sao cho F khong tring với các diém A, B Goi M 1a diém chinh gitta cla cung BC (khơng chứa
A) va N là điểm chính giữa của cung AC (khong chita B) Dusng thẳng qua Œ song song với đường thang
MN c&t dudng tron (O) tai diém P(khác C) Gọi 1, 1, 1› lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp các tam giac ABC, FAC, FBC Dung thang PI c&t đường trịn (O) tại điểm G (khác ?)
a) Chting minh NPMT7 1a hinh binh hanh
b)_Chimg minh 4 diém 4, 1, G, F cùng nằm trên một đường trịn
- Bài 10 Cho tam giác 4 BƠ khơng cân nội tiếp (O) P là điểm bất kì nằm trong tam gidc ABC va khong trùng Ĩ 4P cắt (O) tại D khác A DE, AF là đường kính của (O) EP, FP lần lượt cắt (O) tai G, H
khác E, F Giả sử AH giao DG tại K Gọi L là hình chiếu của lên đường thẳng OP
a) Chứng minh rằng 4 điểm 4, L, K, D cùng thuộc một đường trịn Gọi đường trịn này là (5) b) Chứng minh rằng đường thẳng ĨP cắt EF' tại điểm 7 thuộc (8)
Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn (Ĩ), cĩ đường cao 4D (D € BC) Ké DE, DF lần lượt vuơng gĩc véi AB, AC (E € AB, F € AC) Goi I 1a giao diém cia BF va CE
a) Goi K 1a giao diém ciia BF va DE, L 1a giao điểm của CE va DF Ching minh rang KL song song với ĐC
b) Goi M, N lần lượt là trung điểm của AD va AI Chứng minh rằng Aƒ, N, O thang hang
Bai 12 Cho tam giac ABC cé AB = AC, cac diém D, E, F lan lust nim trén cic canh BC, CA, AB sao cho DE |/ AB, DF j/ AC Dutsng tron ngoai tiép tam gidc ABC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác
AEF tai cdc diém A, G Dudng thing DE cat dudng trịn ngoại tiếp tam giac AEF tai điểm H (H + E)
Dudng thing qua G vudng géc véi ŒH cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ÀŒ tại điểm K (K 4 G), đường thẳng qua G vuơng gĩc với GƠ cắt cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF tai điểm L (L # G) Gọi P, Q lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác GDŒ, GDL Chứng mình rằng khi điểm D thay
đổi trên cạnh BƠ thì
a) Đường trịn ngoại tiếp tam giác ŒEF' luơn đi qua hai điểm cố định b) Dường trịn ngoại tiếp tam giác ŒPQ luơn di qua một điểm cố định
Bài 13 Cho tứ giác ABỚD nội tiếp Gọi P, Q, # là chân các đường cao hạ từ D xuống các đưi đường thẳng
BC, CA, AB Chứng minh rằng PQ = QRR khi và chỉ khi các đường phân giác của các gĩc ABC va ADC cắt nhau trên AC
Bài 14 Cho tam giác ABƠ cĩ trực tâm H Goi P là một điểm nằm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và E là chân đường cao hạ từ xuống cạnh AC Vẽ các hình bình hanh PAQB va PARC, AQ giao với HR tai X Ching minh EX song song với AP
Bài 15 Cho tam giác ABŒ nội tiếp đường trịn (O) Tiếp tuyến tai B va C c&t nhau tại M, AM cit
(O) tai điểm thứ hai N Goi P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng vuơng gĩc WŒ tại Ở với (O) và
BN AP cắt BC tai R Ching minh ring Q, M, R thang hang
Trang 21J Di TVH IVHL MM tử oa = 7 ' 700 OND 7T ` DNY ĩ - sop(%I ĐH, 1) ) sec(%T — T) RA SLE ( £0°0
Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Fi https: //www.facebook.com/anhtuanveu
Bài 16 Cho tam giác nhọn ABC, D la diém thudc doan 4C Giả sử đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABD cắt đoạn thẳng BƠ tại E khác B Tiếp tuyến tại Ư, D của đường trịn ngoại tiếp tam giác 4B cắt nhau tại 7 4T cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD tai F khac A CF giao DE tai G, AG giao BC tai H M là trung điểm AF, DA/ cắt AE tại N Chứng minh ring HN song song AT
Bài 17 Cho tam giác ABC nhọn, cân tại 4 D là một điểm thuộc đoạn thẳng BƠ sao cho ADB < 90°
Từ điểm Œ kẻ các tiếp tuyén CM, CN téi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD, (AM, N thuộc đường trịn
ngoại tiếp tam gide ABD) Goi P, Q lần lượt là là trung diem diém CM, CN Gia sit PQ cá cắt đoạn t thang BC tai E Lay diém F trén doan thing AE sao cho EFC = DAC Chứng minh rằng BEF = BAC
Bai 18 Cho tam giắe ABC, trén cdc canh AB, AC lan luot lấy các điểm P,Q sao cho BC // PQ Goi X,Y lan lượt là giao điểm của các đường thẳng BQ và ŒP với đường trịn (k) ngoại tiếp tam giác 4PQ
và D D, E lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AX, AY với cạnh BC Gọi AƑ là phân giác của gĩc
BAC (Ƒ thuộc BC) Chứng mình rằng, BƠ = 2DE khi và chỉ khi (k) di qua F
Bài 19 Cho hai đường trịn (C) và (C') cắt nhau tại P và Q Tiếp tuyến chung (gần P hơn Q) của hai đường trịn tiếp xtic (C), (C') lần lượt tai A và B Các tiếp tuyến của (C) va (C’) tai P lần lượt cắt đường
trịn kia tại E và Ƒ (E, F khác P) Gọi AM, ÁN lần lượt nằm trên các tia AF, BE sao cho AM = AP, BN = BP, K là giao của EM và FN Chứng minh rằng PA là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác FKQ
Bài 20 Cho đoạn thẳng 4 cố định (K), (L) là hai đường trịn luơn đi qua A, B sao cho X, L nằm về hai phía của đường thắng AB Lấy điểm E € (R), F € (L) sao cho AEF tiép xtic (L) và 4F tiếp xúc (K)
tại 4 Chứng minh rằng khi (JY) và (L) thay đổi thì đường trịn ngoại tiếp tam giác AFF luơn đi qua một điểm cố định khác A
Trang 22) ĐĐ t4 HỊ{ TVII UVTLI, Ho 94 OO PNT: i ‘ i?) i) dO ONY [ Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Fi https://www.facebook.com/anhtuanveu TONG ON (4)
Bai 29 Cho ba diém A, M, B phan biệt, thing hàng và A/ nầm giữa hai diém A, B Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 4, dựng hai tam giác đều AMC va BMD Goi P 18 giao diém cia
ADwaBC
a) Chứng mình ACMB = AAMD va AMPC [a tit gidc noi tiếp được đường trịn
b) Đường thẳng nối tầm của hai đường trịn ngoại tiếp hai tứ giác 4AMPC va BMPD c&t PA, PB tuong ứng tại E, F Chứng minh tứ giác CDEF là hình thang:
Bài 30 Cho tam giác nhọn 48C cĩ các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H
a) Chứng mình rằng 4C - BD - CE = BE-.CD- BH
b) Goi 7, J lan lượt là trung điểm của 4H và BC Đường trịn đường kính 4H cắt đoạn thẳng 17 tại Ä Tia 4K cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác 4C tại M và cắt đoạn thing BC tai P Tia MD
cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác 4C tại Q Chứng mình rằng tứ giác 4QDP là tứ giác nội tiếp Bài 31 Cho tam giác 4B nội tiếp đường trịn (O) Phân giác gĩc BAC cắt (O) tại D khác 4 Goi P
là một điểm nằm trên đoạn Ĩ7D Trên các cạnh CA, AB lin lần lượt lây cá cac diém E, F sao cho PE song song
với DŒ, PF song song với DB Lấy Q trên (Ĩ) sao cho QAB= PAC
a) Trên đoạn DC lay K và trên đoạn D lay L sao cho PK // AC va PL jf AB Ching minh ring
PK = PL
b) Chimg minh ring QE = QF
Bai 32 Cho tam giée ABC ndi tiép đường trịn tâm Ĩ Trên đường thẳng O4, lấy điểm P tùy ý nằm
trong tam giác 4C Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuơng gĩc của P trên các đường thẳng 44C và 4B Xét điểm Q di động trên đoạn thẳng £Ƒ Đường thẳng vuơng gĩc với 4Q tại Q cắt PE, PF tương tmg tai M, N ( nằm trong doan PF, ă nằm ngồi đoạn PE) Gọi K là tâm đường trịn ngoại tiếp tam
giác 4A và gọi D là hình chiếu vuơng gĩc của K trên đường thẳng BƠ Chứng mình rằng đường thẳng di qua D và song song với AQ luơn đi qua một điểm cố định
Bài 33 Cho tam giác nhọn, khơng cân 4C nội tiếp đường trịn (Ĩ) P là một điểm nằm trong tam giác
sao cho PAB = PAC Gọi K là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác PBƠ PK cắt trung trực của đoạn
thẳng 4P tại L Đường thẳng qua 4 song song với BƠ cắt đường trịn (Ĩ) tại điểm thứ hai D khác A Trên đường thẳng AD, lấy E khác A, sao cho LE = LA Gọi Ƒ là điểm đối xứng với A qua ØL Chứng mỉnh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác F'ED tiếp xúc đường trịn ngoại tiếp tam giác PBC
Bài 34 Cho tam giác 48C nhọn, với 4B < AC, nội tiếp đường trịn (Ĩ) Tiếp tuyến tại 4 của (Ø) eắt
ĐC tại T Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của 4 lên ØT Đường trịn ngoại tiếp tam giác TBH cắt (Ĩ) tại điểm thứ bai D khác B BD cat TO tai K Chimg minh ring
AT KT
HO ~ ?KO'
Trang 23
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https: //www.facebook.com/anhtuanveu
TONG ON (3)
Bai 21 Cho tam giác ABƠ cĩ ba gĩc nhọn và 4B < AC (tam giác ABC khơng cân) Gọi Ĩ, ï lần lượt
là tâm m đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABŒ AD (D € BC) là đường phân giác trong của
gĩc BAC Dường thẳng 4D cắt đường trịn () tại điểm E (E # A) Dường thẳng đ đi qua điểm ï và vuơng gĩc với 4J cắt đường thẳng C tại điểm K Dudng thẳng KA, XE cắt đường trịn (Ĩ) lần lượt
tại các điểm Af, W (AM # A, N # E) Dường thẳng ND, A7 cắt đường trịn (O) lần lượt tại các điểm P,
Q(P#N,Q#N)
a) Chiing minh ring IN L KE
b) Chiing minh ring £Q 1a đường trung truc cia doan thang M P
Bài 22 Cho đường trịn tâm O va diém Aƒ nằm ngồi đường trịn Vẽ cát tuy vén MAB bién thién dén
đường trịn (A nam gitta M va B) Cac tiép tuyén tai A va B cit nhau ở C Vé CD vudng goc vdi MO,
DE vuơng gĩc với CA, DƑ vuơng gĩc với ƠB Chứng minh rằng đường thẳng EƑ luơn đi qua một điểm cố định DN ưúq tt{ TH IVHL ep = S
a Bai 23 Cho đường trịn (Ĩ, R) Từ một điểm 4 ngồi đường trịn kẻ 2 tiếp tuyế én AB, AC (B,C 1a tiép
S điểm) và cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E), BƠ cắt ĨA tại H Từ H kẻ đường thẳng song song với Fs BE cat AB tai K Chitng minh BD đi qua trung điểm của HE
“a Bai 24 Cho tam giác ABC nhon Hai diém M, N nim trén canh BC sao cho M, Ý khơng trùng với a B,C đồng thời BAƒ = CN Đường thẳng qua Àƒ vuơng gĩc với Ở4, cắt đường thẳng 4 tại F Dudng
(CC thẳng qua X vuơng gĩc với 4, cắt đường thẳng AC tai E MF cắt NE tại P Trên đường trịn ngoại
tiếp tam giác PEF lấy điểm Q sao cho PQ BƠ Gọi đ là điểm đối xứng với Q qua trung điểm của BC Chimg minh ring AR L BC
Bai 25 Cho hinh thoi ABCD c6 BAD1.LMaiTrang, TrnAnhTun, TngtrngkinhtVitN amnhntphatngcu, 1
120° Gọi M là điểm nằm trên cạnh #C (M khơng trùng với các đỉnh Ư, Ở), đường thẳng AA/ cắt đường
thing CD tai diém N va goi # là giao điểm của đường thẳng DA và đường thẳng BN Chitng minh ring
đường thẳng BC tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác ŒEN
Bài 26 Cho tam giác 4Œ nhọn (AB > AC) nội tiếp đường trịn (Ĩ) Vẽ hai đường cao 4D và Œ#
của tam giác ABƠ Gọi 1 là trung điểm của D# Tia AI cắt (O) tai K (K # 4) Chứng minh rằng tâm ` đường trịn ngoại tiếp tam giác /DK nằm trén BD
=|_ Bài 27 Cho tam giác ABC, Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp, 7 là tâm đường trịn nội tiếp D là giao = điểm thứ hai của (O) và AI P là giao điểm của BC và đường thẳng qua 7 vuơng gĩc với AI @ là điểm & đối xứng của 7 qua Ĩ Chứng minh rằng PAQ = PDQ = 90°
|| Bài 28 Cho tứ giác ABCD cĩ ABD = ACD = 90° Kẻ BH L AD tại H Trên đường chéo AC lấy
x AI = AB Goi O là trung điểm của AD Đường thẳng vuơng gĩc với ĨT tại 7 cắt BH va CD lan lust tai
>œ%|_ E và F Chứng mỉnh rằng IƑ = 2IE
(
Trang 24Trần Anh Tuần - 0914 396 391 BE https:/ /www.facebook.com/anhtuanvcu DNYD OO ONDON "tq MPL IVA LVHL le wg ] soe(%T + T) ) (e070 = s(%1~ 1) BLE Tổng hợp một số kết quả hình học THCS Trần Anh Tuấn, DT 0914 396 391 I Bổ đề trực tâm
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (Ĩ), các đường cao 4D, BE, CF cắt nhau tại H Đường trịn đường
kính 4H cắt (Ĩ) tại điểm thứ hai là P, M là trung điểm BƠ, đường kính AX, H' đối xứng với H qua BC
a) BFEC nội tiếp đường trịn đường kính ĐC
b) H là tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF;