Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
me ——_Š>—>```"- -```` `.- —>z>xXXEnEn Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Ei https: //www.facebook.com/anhtuanveu DUONG THANG SIMSON VA DUONG THANG STEINER Fao ee ef Định lí (Đường thẳng Simson) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), M điểm bat ki dudng tron Ké MD, ME, MF ượL bng, góc tới AB; ĐC, AC Chứng Tằng ba điểm EVEL Định lí (Đường thang Steiner) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), M lš điểm el Các định lí Chứng minh ring ba diém X,Y, Z thang hang CUCM I Ta có số tính chất đường thẳng Simson đường thẳng Steiner D,E,F thẳng hàng VỆC ^ Vob „\WỸ „ ru = AGH (0 ; AED + Net, VỀ -) Vệ + ÉEH, (Q EF bắt kà đường tròn Gợi X,Y, Z điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, BC, AC EQU XY , BR WY? ~ x Yt DEE a) Hai đường thẳng Simson Steiner song song NON, b) ) Dường Tường thang thẳng Steiner Steiner didi qua qua trựctrực tâmtâm H Rae WR AR > RỂ - ÁP - Axe > Ơ ĐHCe ORs © c) Dudng thang Simson di qua trung điểm ía đồn HM HM » ACE SABE O0R 21 XH AC mr BG AB ` d) Gia stt M thudc cung nho BC thi MD? MPO ME: = = S| AjAo 5A 0% (.a) , 6BE bọ py WM PE —— w PD —- A5 A a —=» BOSE —- NINg be wt PL Pe POLS ` BÉ: TÂN he to — ve Qy- c \ =|, | ] S$ | | ì Ort lo + wow Š ĐO 2/ Ỉ MEV) „# — VA ; Ba B oy ~ Da | | \ | | `⁄ { M 11 Một so vi du Bài Cho tam giác ABŒ có đường cao CE (F € AB) noi tiếp đường trịn (Ĩ) có đường kính AD Gọi v0 Ƒ' hình chiếu vng góc Œ lên AD, M trung điểm BC Chứng FE, M, F thẳng hàng Bài Cho tam giác nhọn ABŒ nội tiếp đường trịn (Ĩ), đường cao A/,ŒP' cắt điểm 71 Gọi P điểm thuộc cung nhỏ BƠ (P khác B,C); M, N hình chiếu vng góc P đường thẳng AB, AC BH a) Ching minh ring OB | EF, Bo7 KER Gs VS EF 2763 of == SAP GEMS Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 i https: //www.facebook.com/anhtuanven b) Chứng minh đường thang MN di qua trung diém cia HP \Bai Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AD đường phân giác góc A(D thuộc canh BC) Gọi P,Q hình chiếu vng góc D lên 4B, ÁC Qua D vẽ đường thang vng góc với HC, cắt trung tuyến AA tam giác ABC N Chứng minh P, X, Q thẳng hàng Bài Giả sử ABCD 1a tit giác nội tiép Goi P,Q, R chân đường vng góc tit D lan lugt lên đường thẳng BC, CA, AB | = | Ề a) Ching minh ring RQ = a0 | b) Chứng mỉnh rang PQ = QR va chi phân giác góc ABC, AD | E | |= | L⁄ cắt ÁC (Bai Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN,CP tầm giác ABC qua điểm H Gọi Q điểm cung nhỏ ØC (Q khác B Q khác €) Gọi E, F theo thứ tự điểm đối xứng Q qua đường thẳng AB AC | S | a) Ching minh MH-MA=MP-MN | ° | c) Goi J Ia giao diém cia QE AB, ï giao điểm QF AC Tim vi tri diém Q trén cung nhỏ | S BC dé (5 É, +Sr) b) Ching minh 2, H, F thang hang nhỏ Bai Cho tam giác ABŒ nhọn nội tiếp đường tròn (O), D điểm cung BC khơng chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K trực tâm tam giác ABŒ ACE Goi P va Q lan lượt hình chiếu # BƠ AB, gọi I giao điểm EK với AC a) Ching minh rang ba diém P,/,Q thang hang b) Ching minh rang PQ di qua trung điểm KH Bài Giả sử D, E, F chân đường cao hạ từ A, B,C tam giác 4BŒ —_ , BZ va BC Tính tỉ số Ze | | Hl — 1) BA BLE = « Gọi M, N, P,Q hình chiếu vng góc D lên BE,CF, AB, AC Chứng ring M,N, P,Q thang hàng Bài § Cho tam giác ABŒ, có AC > AB Giải sử P giao điểm trung trực cạnh BC phân giác góc Gọi X,Y hình chiếu vng góc P lên AB, AC; Z la giao điểm XY Bai Cho tứ giác ABŒD nội tiếp đường tròn (O) Goi # điểm cung AB Goi H, K, P,Q lan lượt hình chiếu vng góc Ư AC,ŒD, AE, DE Gọi AM, N trung diém cia AD, HK | ¡_ a) Chứng minh 4D, PQ, HK đồng quy; b) Chứng minh MMN L NB Bài 10 Cho tam giác 4Œ nội tiếp (Ĩ; R) có truc tam H, D điểm cung BC Dựng hình bình hành ADŒE; gọi K trực tâm tam giác ACEF Gọi P,Q hình chiếu vng góc ĐC, AB Chứng minh PQ di qua trung điểm HK Bài 11 Cho tam giéc ABC, dudng tròn nội tiếp tâm tiếp xúc với ba cạnh BŒ,CA, AB D,E,F Gọi M trung điểm BC Ching minh ring EF, DI va AM déng quy Bài 12 Cho ngũ giác lồi AXY ZB nội tiếp đường trịn đường kính À Gọi P,(Q, Đ, Š chân đường vng góc kẻ từ Y lên đường thẳng AX, BX, AZ, BZ Chứng minh góc nhọn tạo hai đường thẳng PQ Š$ nửa số đo góc XOZ, với Ĩ trung điểm AB RV Yox a),B(R1) ) PEW: %2) C20 34.5: Fence of Ne APE TO Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https: //www.facebook.com/anhtuanveu _ BO ĐỀ HINH THANG VA AP DUNG | Định lí Định lí (Bồ đề hình thang) Cho hình thang ABCD (AB ƒ CD), E giao điểm AD tà BC, F la giao điểm AC tà |BD; M,N trưng điển AB,CD Chứng E,F,M,N thẳng hàng Định lí (Bồ đề hình thang đảo) Trên đường trưng tuyến AD tam giác ABC, lấu điểm E bat kì, đường thẳng BE cắt AC M tà đường thẳng CE cắt AB N Chứng mảnh MN J BC bỊ \Í ( ĐNYĐ O2 ĐN()ÐN H4 11 [Vd JYH.L !49 tt I \ fv D ( E00 = ¿„(%1 1) BA BLE = goe(%I + 1) ) Il —._ N N ằ / ` — ` _ B / L Bài tập áp dụng lớp Bài Từ điểm A nằm (O;R), OA > 2R Vẽ AB, AC hai tiếp tuyến (O) Vẽ dây BD ƒ AC Goi E giao điểm 47 với (O) (E khác D), F giao điểm AC BE, AM giao điểm OC va BD, N giao điểm 4D BƠ Chứng minh M, N, F thẳng hàng Bài Cho đường trịn (Ø) đường kính Vẽ tiếp tuyến Az với đường trịn (Ĩ) với A tiếp điểm Qua điểm Ở thuộc tia Áz, vẽ đường thẳng cắt đường trịn (Ĩ) hai điểm D # (D nằm C E; D E nằm hai phía đường thẳng 4B) Từ Ĩ vẽ OH vng góc với đoạn thẳng DE H Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M W Chứng minh ring: AM // BN Bai Cho AABC can tai A ă điểm tam giác cho ABM = BŒM Goi H, I, K hình chiéu vudng géc cia M trén AB, BC, CA Goi E la giao điểm MB TH, F la giao điểm MŒ IK Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MEH MEK cắt N # M Chitng minh ring dudng thing NM di qua trung điểm BC ( ‘Bai Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (Ĩ) có trực tâm #ƒ P nằm đường trịn ngoại tiếp tám giác HBC (P khác H,B,C) nằm tam giác ABC, PB, PC c&t (O)6 M,N; BM c&t AC6 E; CN cat AB F Đường tròn ngoại tiép tam giéc AME va dudng trdn ngoai tiép tam gidc ANF cit Q khac A a) Ching minh ring M, N,Q thing hang; b) Khi AP phân giác góc MAN, chứng minh PQ qua trung điểm BƠ Bài Cho AABC có  = 60° Đường tròn (7) nội tiếp tam giác (với tâm 7) tiếp xúc với cạnh BĐŒ.,CA, AB D, E, F Đường thẳng 7D cắt EF tai K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thi ty tai M,N F MEPSLO moe cZT | Ne Som AVENE Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 i https: //www.facebook.com/anhtuanvcu a) Chứng rằng: tứ giác IFAfK IMAN nội tiếp ( r * SNYD OO DNA ON ueq pL IVE LYHL fp veg } b) Gọi trung điểm cạnh BƠ Chứng minh ba điểm A, K,J thang hang e) Gọi r bán kính đường tron (J) va Š diện tích tứ giác IEAF Tinh S$ theo r va ching minh ŠIwN > : (S„„x diện tích AIMN) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AZ tia tiếp tuyến 4z phía với nửa đường tròn 4B Từ điểm Aƒ Az kẻ tiếp tuyến thứ hai MŒ với nửa đường tròn (C tiếp điểm) Kẻ CH vng góc với 4B (H € 4B) Chứng minh ring: MB di qua trung điểm đoạn thing CH Bai (IMO 2000) Cho hai đường tron (C;), (C2) cit tai M, N Tiếp tuyến chung gần M tiếp xúc (C;), (C;) A, ö Đường thẳng qua M song song với cắt (C¡), (Ca) điểm thứ hai C, D; AC c&t BD tai E; AN, BN c&t CD tai P,Q Chimg minh rang EP = EQ Bài §„ Cho đường trịn (Ĩ, R) dây cung BƠ cố dịnh (BƠ < 2R) Một điểm A di động đường tròn (O, R) cho tam giác ABC tam giác nhọn Goi AD đường cao H trực tâm tam giác ABC a) Đường thẳng chứa phân giác BHỠ cắt AB, AC M va N Ching minh tam giéc MNP can b) Gọi E, Ƒ hình chiếu D lên BH,CH Chứng minh ĨA vng góc với EF' e) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AM cắt đường phân giác BAỞ K Chứng minh ( 800 = sw(%T— U 8ê 82£ = s(%I + 1) ) HK qua điểm cố nh X40 2174 &sâ oF Ne SAN DSA ơ._ UU B8 1IUUJ22 BD) Đường trịn nội tiếp (Ĩ) tứ giác ABCD emer eee LEA OE EA SS UA RRR ORE EA ERROR SS AR WEARER WEEE EEE A REE ARE RES Ị WNT tran Ảnh Tuân - 0914 396 391 Ei https: / /www.facebook.com/anhtuanveu TONG ON (1) Bài Cho tam giác nhọn 4BŒ (với AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm Ó Gọi H, E,F lan luot 1A ONY! QO DNAON Wed MPL IVE LYE He wed | chân đường eao hạ tit cdc dinh A, B, C cia tam giée ABC Cac tiép tuyén tai B va C đường tròn (O) cắt Gọi D giao điểm AT va BC, S 1a giao diém cha EF va BC, J 1a giao diem thứ hai TH với đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC a) Chứng minh HB.HC = HM.HS véi M trung điểm BƠ; b) Chứng minh ba điểm S, J, O thing hàng c) Goi L giao điểm thứ hai ĨD với đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC, K giao điểm thứ hai 47 với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh năm điểm Š$, J, D, K, L : ` +2 thuộc đường tròn Bài Cho tam giée ABC can tai A (BAC < 90°) AM trung điểm đoạn thẳng Láy điểm Ä thuộc đoạn thing CM cho CBN = ACM a) Chứng minh ring MAN = MCA b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BƠN AMN tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác c) Doan thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMAN điểm thứ hai P Gọi i la trung diém L ‘ đoạn thẳng BƠ Chứng minh đường thẳng MP di qua trung điểm đoạn thẳng A7 Bài Cho tam giác ABŒ nhọn (4B < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE CF tam giác 4BŒ đồng quy điểm H Đường thẳng EZƑ cắt đường thẳng BC điểm Qua kẻ tiếp tuyến 6X, SY tới đường tròn (Ó), với X, Y tiếp điểm a) Chứng minh D, X Y ba điểm thẳng hàng ( ĐUU— sgg⁄2L — LJ 9A BLE sopL P1) J b) Gọi giao điểm hai đường thing XY va EF Chứng minh đường thẳng TH qua trung điểm đoạn thẳng BƠ : Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Ä/ điểm gitta cung BC Goi J, J, K theo thứ tự chân đường vng góc ké tit M đến đường thẳng AB, BC, CA; X giao điểm cia BK va AJ; L 1a giao diém cia CX va IJ Vẽ tia Jy vuông góc với MK cắt AL T Chitng minh CT vng góc với IM -Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB < AC, M trung điểm cạnh BC Đường phân giác 4C Z cắt cạnh BƠ D cắt đường tròn (O) điểm P (khác 4) Gọi E điểm đối xứng với D qua AM, đường thẳng qua D vng góc đường thẳng BƠ cắt đường thẳng AO H, đường thang qua # vng góc đường thẳng BƠ cắt đường thing AD tai F Goi T la giao điểm khác Ƒ cia AD đường tròn ngoại tiếp tam giác FŒ Đường tròn ngoại tiếp tam giác MT'P cắt đường thẳng TH điểm Q (khác T) Chứng minh ring QB- QC = QT - QH =QD* Bài Cho đường tron (O) có đường kính 4? cố định, M điểm di dong (O) cho AM khác với điểm A, B OM khơng vng góc với AB Các tiếp tuyến (O) A va M cắt tai C Gọi (1) đường tròn qua A/ tiếp xúc với đường thẳng AC C Đường thẳng ÓŒ cắt lại (1) điểm thứ hai Z a) Chứng minh E trung điểm ÓG b) Gọi CD đường kính (7) Chứng minh đường thẳng qua vng góc với BƠ ln qua điểm cố định M động (Ó) -Bài Cho ABC tam giác có ba góc nhọn Goi A’, B’ va C’ điểm đối xứng với 4, B Œ qua ĐŒ, CA AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác 4B' ACC" có A, điểm chung thứ hai Tương tự ị C¡ điểm chung thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BAA’; BCC! va CAA’; CBB", Chitng minh đường thang AA;, BB, va CC, ding quy % Bi https://www.facebook.com/anhtuanvcu Tran Anh Tuấn - 0914 396 391 TONG ON (2) Bai Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O), từ điểm D cung nhỏ A4 đường trịn kể đường thẳng vng góc với 4D, đường thẳng cắt BƠ Af Đường trung trực đoạn thẳng DA cắt cạnh AB, AC, DB E, F, N Chứng minh rang a) B,N,F, C nằm đường tròn b) Tứ giác 4EA/F' hình bình hành Bài Cho tam giác 4B nội tiếp đường trịn (Ĩ) Lấy Ƒ' điểm thuộc cung AB (khong chứa C) cho F khong tring với diém A, B Goi M 1a diém chinh gitta cla cung BC (không chứa UC ĩ ' NVt OO ONQON ™ A) va N điểm cung AC (khong chita B) Dusng thẳng qua Œ song song với đường thang MN c&t dudng tron (O) tai diém P(khác C) Gọi 1, 1, 1› tâm đường tròn nội tiếp tam giac ABC, FAC, FBC Dung thang PI c&t đường tròn (O) điểm G (khác ?) a) Chting minh NPMT7 1a hinh binh hanh b)_Chimg minh diém 4, 1, G, F nằm đường tròn - Bài 10 Cho tam giác BƠ không cân nội tiếp (O) P điểm nằm tam gidc ABC va khong trùng Ó 4P cắt (O) D khác A DE, AF đường kính (O) EP, FP cắt (O) tai G, H khác E, F Giả sử AH giao DG K Gọi L hình chiếu lên đường thẳng OP a) Chứng minh điểm 4, L, K, D thuộc đường tròn Gọi đường tròn (5) b) Chứng minh đường thẳng ÓP cắt EF' điểm thuộc (8) Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn (Ĩ), có đường cao 4D (D € BC) Ké DE, DF vng góc véi AB, AC (E € AB, F € AC) Goi I 1a giao diém cia BF va CE a) Goi K 1a giao diém ciia BF va DE, L 1a giao điểm CE va DF Ching minh rang KL song song với ĐC sop(%áT + T) ) b) Goi M, N trung điểm AD va AI Chứng minh Aƒ, N, O thang hang ( £00 soe(%T — I) WA §' N Bai 12 Cho tam giac ABC cé AB = AC, cac diém D, E, F lan lust nim trén cic canh BC, CA, AB cho DE |/ AB, DF j/ AC Dutsng tron ngoai tiép tam gidc ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tai cdc diém A, G Dudng thing DE cat dudng tròn ngoại tiếp tam giac AEF tai điểm H (H + E) Dudng thing qua G vudng géc véi ŒH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AØŒ điểm K (K G), đường thẳng qua G vng góc với GƠ cắt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tai điểm L (L # G) Gọi P, Q tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác GDŒ, GDL Chứng điểm D thay đổi cạnh BƠ a) Đường trịn ngoại tiếp tam giác ŒEF' ln qua hai điểm cố định b) Dường tròn ngoại tiếp tam giác ŒPQ di qua điểm cố định Bài 13 Cho tứ giác ABỚD nội tiếp Gọi P, Q, # chân đường cao hạ từ D xuống đưi đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh PQ= QRR đường phân giác góc ABC va ADC cắt AC Bài 14 Cho tam giác ABƠ có trực tâm H Goi P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E chân đường cao hạ từ xuống cạnh AC Vẽ hình bình hanh PAQB va PARC, AQ giao với HR tai X Ching minh EX song song với AP Bài 15 Cho tam giác ABŒ nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tai B va C c&t M, AM cit (O) tai điểm thứ hai N Goi P, Q giao điểm đường thẳng vng góc WŒ Ở với (O) BN AP cắt BC tai R Ching minh ring Q, M, R thang hang MEE vs =f 2S PP EEO