Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
Trang 1Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https: /www.facebook.com /anhtui §1 Ơn tập về định lí Ta-lét và tam giác đồng dạng
a Ví dụ i Cho tam giác ABC cĩ (AB < AC), AD là phan giác Qua Ở kể tia z sao cho BCz = BAD va tia CB nam giữa hai tia CA va Cx Tia AD cat Cr tai E a) Chứng mỉnh ring ADCE 4 ADAB va ABDE ~ AADC;
b) Tam giác EBC là tam giác gì?
)
trỦ£]
m {
|
|= c) Ching minh ring AB.AC = AD2 + DB.DC
= d) Ha reac Goi G là điểm đối xứng của Ở qua EH Chứng mỉnh rằng Ư và G đối xứng nhau
P qua AB
e Vi du 2 (HSG Việt Yên, Bắc Giang, 2017)
s Cho tam giác ABC vuơng tai A (AC > 4P), dường cao AH (H e BC) Trên tia HC lay điểm D sao cho HD = HA Dường vuơng gĩc với BƠ tại D cắt AC tại E
TEN
a) Chứng mỉnh rằng hai tam giắe BEC va ADC đồng dạng
IN
b) Chứng mình tam giác AEB Vuơng cân
Yoo e) Gọi A là rung điểm của ia AM cf iG Ghtaeniiis Oe oo
: Đ Quê (ƠN “ie cua doan BE, tia AM c&t BC tai G Chứng minh: BC AH RAC
A Ví dụ 3 (Đề thi HSG 9, tỉnh Phú Yên, năm 2018)
(J Cho tam giác ABC vuơng tại 4A Trên nửa mặt phẳng bờ BƠ khơng chứa A dựng hai tia Br, Ởu vuơng gĩc với cạnh Œ Trên tỉa Bz lấy diém D sao cho BD = BA, trén tia Cy lay điểm E sao cho CE = CA Goi G la giao diém cia BE va CD, K va L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC
a) Chứng mình rằng: ŒA = ŒK và BA = BL
b) Dung thang qua G song song với BƠ cắt AD, AP thứ tự tại J, J Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc
của G lén BC Chứng mỉnh rằng tam giác !H/ vuơng cân Ví dụ 4 (Đề thi HSG 9, tinh Vĩnh Phúc, năm 2018)
Cho hinh thoi ABCD c6é BAD = 50°, O 1a giao diém cia hai đường chéo Gọi H là chân đường vuơng gĩc kẻ từ @ đến đường thẳng AB Trên tia đối của tia BƠ lấy điểm M (M khác B), trên tia đối của tia
(—) DC lay diém N sao cho dutng thang HM song song véi dudng thing AN a) Chứng mình rằng AB: DN = BH- AD b) Tính số đo gĩc MON Ví dụ 5 (Đề thi vào Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2014, vịng 2)
Cho hình vuơng ABŒ7 với tâm Ĩ Gọi A7 là trung điểm AB, các điểm N,P thuộc BŒ,CD sao cho ÁN ƒ AP Chứng mình rằng:
a) Tam giác BVO đồng dạng với tam giác DOP va gĩc NOP = 45° b) Ba đường thẳng 8D, AX, PA/ đồng quy
Vi du 6 (Bai todn T4/484, Tap chi THTT, thang 10 nam 2018)
Cho hinh chit nhat ABCD cé6 AB = BCY2 M la mot diém trén canh CD (M khac D) Ké BI L AM
tại 7 Gọi giao điểm của €7 và DI với 4B lần lượt là E và Ƒ Chứng minh rằng AE, BF va AB là độ
đài ba cạnh của một tam giác vuơng
Ví dụ 7 (Chuyên Quảng Nam, 2016) S
Cho tam giác nhọn 4B cĩ hai đường cao BD và ỚP cắt nhau tại H Các tỉa phân giác các gĩc PHB, DHC cắt AB, AC lần lượt tại 7 và K Qua 7 và K lần lượt vẽ các đường vuơng gĩc với AB, AC ching
cắt nhau tại Àƒ
a) Chứng mình AI = AM
b) Giả sử tam giác nhọn 4Ð cĩ hai đỉnh B,C cố định, đỉnh A di động Chứng mình đường thắng
MAI luơn đi qua một điểm cố định
Trang 25) Wd LVHI ) ry OO Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Hi hittps://www.facebook.com /anlitu 12/4 BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ 1 Fw sieunaleee Sienna EAST AT ATS VOTERS IRENE TEESE eR aannaaannn Ngày
VN 1 Cho hinh chit nhat ABCD (AB > AD) Vé AE vuơng gĩc véi BD tai E a) Chứng mình rằng AABE ¬ ADBA va AB? = BE.BD;
b) Giả sử AE cắt BC, DC lần lượt tại G và F Chứng minh rằng EA? = EG.EF c) Goi J và H lần lượt là các trung điểm cla BF và DG Chứng minh ring JH LEC
VN 2 (HSG Giao Thủy, Nam Dinh, 2017)
Cho A.4BC nhọn, các đường cao 4D, BE,CF cắt nhau tại H Từ H hạ HM vuơng gĩc với EF' tại Àí
và HA vuơng gĩc với ED tại N
a) Chimg minh ring ABED ~ ABCH b) Chimg minh ring HM = HN
e) Gọi I,J,Q,K lần lượt là hình chiếu của F trén AC, AD, BE, BC Chimg minh rằng I, J.Q.K thẳng hàng
VN 3 (HSG 9, Tây Ninh, 2018) Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc đều nhọn (4B < AC) i trong tam Œ Một đường thing di qua G cat các cạnh 4B, AC lần lượt tai M va N Tinh 2M + ay"
Trang 3{ Ị }9Ì( | IN Ueq NY IVE LVL tr Na r )NYĐ OO L
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei https://www.facebook.com/anhtuan
§2 On tap vé dién tich
Ví dụ 1 Cho tam giác ABŒ vuơng tai A (AB < AC) và trung tuyến AD Ké đường thẳng vuơng gĩc
với AD tại D lần lượt cắt AC tại và AB tại Ƒ
a) Chứng minh rằng A DỢE « ADFB b) Ching minh ring AE.AC = AB.AF
4 = 19) AD?
©) Đường cao 4ƒ của tam giác ABC cắt EF tại I Chứng minh rằng co = mm AAE
Vi du 2 (Dé thi HSG 9, tinh Tiền Giang, năm 2018)
Cho ABCD 1a hinh thang vuơng với AD song song vdi BC (AD < BC) va ADC = 90° Goi M la trung
điểm của 4B và CM = > Tìm diện tích hình thang ABCD, biết BC + ŒD + DA = 17
Ví dụ 3 (HSG Đồng Tháp, vịng 2, 2015)
Cho Ä là điểm nằm trong tam giác ABC, các đường thing AM, BM,CM cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại A’, 8! Œ, Dat $1, So, 93, 54,55, S5 lan lượt là diện tích các tam giác MA'B, MU AC, MB'C, MB'A, MC'A, MC'B Chitng minh ring néu 2 + = + 2 = 3 thi M la trong tam tam gidc 3 4 6
ABC
Song song véi BC, E la diém trén BC sao cho AE song song với AC, F la diém trén AC sao cho MF Song song véi AB Ki hiéu Sapo va Spgp lần lượt là điện tích của tam giác ABŒ và tam giác DEF
Chứng mình ring Sage > 3SŠDppp
Ví dụ 5 (Dé thi HSG Ha Nội năm 2011-2012)
a) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để 1 tam giác cĩ các đường cao hy; hạ; hạ và bán kính đường
1 1
trịn nội tiếp r là tam giác đều là
In + 2hy* Tat hy * hg tO, =
b) Cho 8045 diém trên một mặt phẳng sao cho cứ 3 điểm bất kì thì tạo thành một tam giác cĩ diện tích nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng: Luơn cĩ thể cĩ ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của một tam giác cĩ điện tích nhỏ hơn 1
Ví dụ 6 (Đề thi HSG 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2018)
Cho tam giác AC vuơng tại A cĩ AB = 19 cm, AC = 16 cm Goi I là giao điểm các đường phân giác
trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BƠ Chứng minh rằng đường thẳng B7 vuơng gĩc
với đường thẳng AM]
Ví dụ 7 (T4/478-Tốn học & Tuổi trẻ, tháng 4 năm 2017)
Cho hinh thang ABCD (AB / CD) c6 AB < CD Goi P, Q lan lượt thuộc các đường chéo AC và B7 sao cho PQ khong song song với AB Tia QP cắt BƠ tại M, tia PQ cat AD tai N, goi O 1a giao diém
Trang 4YN ueq r NV OO DNN [ (oz Ệ -T) 8A $ (9 s00 Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei https: // www.facebook.com/anhtuanveu 144 BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ 2
=) Họ về:TĐẾNG c0 ceeeondennsdaaniDeee sa an s2 sheeaara l61U/S5/NMH TOPS vua và nhe 6n olen asians STRSTR
NGÀY teiacneo s CHẲNE sesmeesoseui năm 2021 Chữ kí PHHŠ: - VN 1 (HSG Ha Nam, 2017) Cho tam giác ABC vuơng tại Œ (CA > ỚB), một điểm ï trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB cĩ chứa điểm Ở người ta kẻ các tia Az, Bự vuơng gĩc với AB Đường
thẳng vuơng gĩc với TƠ kẻ qua Ở cắt Az, Bự lần lượt tại các diém M, N a) Chứng mỉnh rằng tam giác ỞA1 đồng dạng với tam giác CBN
b) §o sánh hai tam giác ABC và INŒ c) Chứng minh rằng MIN =90°
d) Tim vị trí điểm 7 sao cho điện tich AJMN lớn gấp đơi diện tích AABŒ
VN 2 (HSG Giao Thủy, Nam Định, 2017)
Cho tam giắe MNP vuơng tại N, c6 NP > NM Trén ntta mat phẳng bờ AƒP khơng chứa diem N vé tam giéc DMP vuong can tai D Goi H,K theo thứ tự là hình chiéu cia D trén NP,NM Biét
NP =a,NM =b (a,b > 0) Chimg minh rang Spywx > ab
VN 3 (HSG tinh Khanh Hoa, 2017)
Cho đoạn thẳng 4 dài a(cm) Lay điểm C bat kì thuộc đoạn thẳng 4B (C khác 4 và B) Vé tia Cx
vuong g6c véi AB Trén tia Cr lay hai điểm D và E sao cho CD = CA va CE = CB a) Chứng minh AE vuơng gĩc với BD
b) Goi M va N Jan luot la trung diém AE va BD Tim vi tri cla diém C trén doan thang AB dé da gidc CMEDN cé dién tích lớn nhat
c) Goi 7 là trung điểm của MN Chứng minh rằng khoảng cách từ 7 đến A4 khơng phụ thuộc vào vị
trí của điểm Œ
tĐVN: WĐ4+ Wid
Trang 5
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Gi https://www.facebook.com/anht uanvct
LUYEN TAP
Bài 1 (GHKI, Phan Đình Gist, 2018-2019)
Cho hình chữ nhật ABŒD cĩ AD < AB Qua Ơ, kẻ đường thẳng vuơng gỐ
AD, AB lần lượt tai M,N É t9
a) Ching minh AB- AN = AD AM b) Cho AD =3 cm, AB = 4 om Tinh DM® P AC’ 'e) Chứng minh: CD.CB = “4 kg MN J e với AC, cắt đường thẳng ˆ 4 i Ứ i 2 k
4) Gọi E là trung điểm của MC, kẻ ƠH L DB tai H Cho BB c&t CH tai K Chimg minh K là trung diém cha CH CL CR A (RE
Bai 2 (GHK1, Luong Thé Vinh, 2018-2019)
Cho tam giác ABƠ vuơng tại A , dudng cao AH Biét AB = 6 cm; BC = 10 cm a) Tinh AC, AH )NíDN trẻ4 r1 JVf LYH.L ! ueg b) Gọi E, Ƒ lần lượt là hình chiều của # lên AB, AC Chitng minh ring AB-BE+AF-FC = BH-HC EB (ABS3
- ©) Chứng ) g minh ring FG minh ' nơ = (4) AG
Bai 3 (GHK1, NewTon, 2018-2019) Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ 8 = 60°, BC = 6em a) Tính AB, AC (do dài cạnh làm trịn đến 1 chữ số thập phân) )027 (DN ỹ b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABƠ Tính HB, HC AB AC Trên tia đối của tỉ xo b8 = BC Chú inh 22 - 4€
e) Trên tia đối của tia BA lay diém D sao cho DB = BC Chứng minh BD CD d) Từ A kẻ đường thẳng song song với phân giác của CBD ct CD tai K Chitng minh
1 1 1
KD-KC AG?* Ape
Bai 4 (GHK1, AMS, 2018-2019) Cho tam giác ABC c6 ABC = 60°, BCA = 45° va AB = 4 cm Kẻ hai đường cao 4D và ỚE của tam giác Gọi H, K tương ứng là chân đường vuơng gĩc kẻ từ D và E tới AC
a) Tinh do dai các cạnh BƠ, ỚA và diện tích của tam giác ABƠ b) Tính diện tích tam giác BDE
e) (Dành riêng cho lớp 9A) Tính AH - AK
Bài 5 Cho hình thoi ABŒD cĩ Â = 120° Tia Ar tạo với a một sĩc BAz= 15° và cắt cạnh BƠ t 4 2 5 š % 1 ai
1, cắt đường thăng CD tai W Chứng minh rang awe +
AN? 3AB2"
Bài 6 Cho gĩc vuơng zĨy, diém A cé định thuộc tia Oy, diém B thuộc tia Ox sao cho OB = OA Diém
M chay trén tia Br Dutng vudng géc véi OB tai B cit AM 6 J Tim vi tri cia M sao cho 4 + 3m
đạt giá trị lớn nhất
Bài 7 (Đề thi chọn học sinh giỏi Tốn 9 năm học 2010-2011, Lâm Đồng)
Cho tam giác MPN can tai M(M < 90°) Goi D là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác
MPN Biét DM = 25cm, DN = 3em Tính do dai MN
Trang 6( DNV) OD ONION tq ty IVa LYALL t9 wa | eos + TÌ } gag(Al — 1) MA PLE = £0'0
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei https://www.facebook.com/anhtuanvea
BAI TAP VE NHA SO 4
Họ và tên: ĩ5 9999922222992 2 c9 te 017777 LBD: s2v¿22/22226525902-225
Ngày thẳng 2vc52sugx? năm 2022 Chữ kí PHHS: - - - - 2
VN 1 Cho tam giác ÁBỚ vuơng tại A, đường cao AH Gọi D, lần lượt là hình chiếu của H trên AE và AƠ Hãy chứng minh các hệ thức sau:
CE _ (<4); b) AH? = BC-BD-CE;
4) Bp ~ \AB) ) om
c) 3AH? + BD? + CE? = BC*; 4) YBD? + YCE = YBC
Cho tam giác ABC vuơng tai A (AB < AC) Ké AH vuong gĩc với BC tại H Gọi D, E lần lượt là hình
chiếu của ï trên AB, AC
a) Biết AB = 6cm, HC =6,4cm Tinh BC, AC
VN 2 (Dé thi chon HSG Tốn 9 năm học 2017-2018, Huyện Tiền Hải - Tỉnh Thái Bình)
b) Chứng minh ring DE* = BC.BD.CE
c) Đường thẳng kể qua B vuơng gĩc với BƠ cắt HD tại M, đường thẳng kẻ qua Œ vuơng gĩc với BC
ct HE tai N Chimg minh ring M, A, N thing hang
d) Chứng minh rằng BN,CM, DE đồng quy
VN 3 (Đề thi Tốn 9 Học sinh giỏi năm học 2016-2017, Sở GD Bến Tre)
Cho tam giác ABC cân tại Á, cĩ gĩc A nhé hon 90° Từ B 2 ké BM vuơng gĩc với AC tai diém M (diém M € AC) Chứng minh rằng: antl =2(44) -
Trang 7f DNYĐ ỢD ĐN/TDN t4 ti IVd DVL re wa | ( #00 = s(⁄1— 1) tê 82£ = s(%T + 1) )
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 m Fi https: //www.facebook.com/anhtuain
Chương 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG
šI Hệ thức về cạnh và đường cao I Bài tập áp dụng
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuơng tại 4, đường cao Ai Phân giác trong của gĩc cắt phân giác của : ý,
TT na < „ ”
gĩc TÁC tại E Phan giác trong của gĩc Œ cắt phân giác của gĩc HAB tai M F la giao điểm của BE với AC, N là giao điểm của ƠM với AB Chứng mình rằng
a) BE.BF = AP) b) BE.BF +CM.CN = BC?
dụ 2 Cho tam giác ABƠ cân tại A với hai đường cao 4H và BK Chứng minh rằng
1 1 1 Bo
8) ng = BG † ga: b) BC? = 2CK.AC
Vi du 3 Cho tam giác AB nhọn, H là trực tâm Gọi M, W lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng HB, HC sao cho AMC = 90° va AM = AN Trên nữa mặt phing ba AN vé tia Ar sao cho AN la tia phân giác gĩc BAz Trén tia Az léy diém K sao cho AK = AB Ching minh rằng ba diém B, N, K thẳng
hàng Ví
Ví dụ 4 (Đề thi vào 10, Tốn chuyên, thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018)
Cho tam giác ABC (AB < AC) vuơng tại Á cĩ dung cao AH Goi E, F lan lượt là hình chiều AB,AC của H lên a) Chứng minh rằng BEVCN + CFVBH = AHVBC
b) Gọi D là điểm đối xứng của qua và gọi Ĩ là trung điểm của BƠ, Đườn; vuơng gĩc với BƠ cắt AG tại K, Ching minh ring BK vuơng gĩc với AO
€)GHỆ - HE 8, RO Arg Ge
Ví dụ 5 (HSG THCS Câu Giây) Vong 2, 2020 - 2021) Cho tam giác ABC (A = 90°) 1 1 1
g thẳng di qua D va ; đường cao AI Độ dài các cạnh của tam giác là các số nguyên và AB + AG + aR = 1 Xác định các cạnh của, tam giác ABŒ
\ympic Tốn Quốc Tế, MI, 2009)
à 6 chung cạnh huyền AC (B, D nằm khác
AC va AB > AD), lay dié ; lấy điểm M trên AB sao cho AM = AD, đ ê phía so với đường thẳng
, đường thẳng DM cắt BƠ tai N Goi H 1a hình chiếu của D trên AƠ và K là hình chiếu của C tren AN
a) Chứng minh rằng ŒD = ON b) Chimg minh ring MHN = MOR
SAP SION cu
Trang 8| ĐNVD O2 ĐNđĐN tq UE IVa LYHL FP weg ) see(%I +1) } 1G = T—I)0A® (%
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ki https: //www.facebook.com/anhtuanveu
BAI TAP VE NHA SO 3
HE neucc0isnsasodterft0 2006 E000 nlarbsuẩlbctSa2ERiS0629/E)00/86 LỐP: nen nh nh ke
năm 2022 (trữ ki-PITERGeeoesuasoiuhccsEEEBiasdinaiese VN 1 Cho tam giác ABC vuơng tại 4, cĩ AH là đường cao Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của trên
AB, AC Chứng minh rằng
a) AD.AB = AE.AC b) AED = ABC c) HB.HC = DA.DB+EA.EC
Sasep HB.HC,.,., |
d Ering = Ra Tw d6 chtmg minh ring Saasc 2 4Saep-
VN 2 Cho hình thang vuơng ABCD cé A=D= Ve va a a (AB < CD) Goi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và ƠB Chứng minh rằng ——; âm =a +o
VN 3 Cho tam giác ABC nhon, dutng cao CK, truc tam H Goi M là một điểm trên CK sao cho AMB = 90° Ching minh ring Same = VSapc-SaBH-
VN 4 (Dé thi HSG 9, tỉnh Bắc Ninh, năm 2018)
Cho tam giéc ABC vudng tai C c6 CD la dudng cao, X thuộc đoạn CD, K thuộc đoạn AX sao cho
BK = BC, T thuộc đoạn BX sao cho AT = AC, AT cắt BK tại M Chiing minh ring MK = MT UNL, WD, Ver,
W@YWAsse————————————m<Z 2 Se
Trang 10
| I{ JVd JVH1, HP weg [ION ue ) O00 ON ONY! Trần Anh Tuan - 0914 396 391 Fi https://www.facebook.com/anhtuanveu §4 Một số định lí quan trọng I Cơng thức diện tích
w#' Cho tam giác ABC cĩ A nhon, ta cé Sago = gÁB.AC sin A,
Y Cho tam giác ABC c6 A ti, ta cé Sago = gAB.AC sin(180° — A) /i du 1 Cho tam giéc ABC cé A = 60°, đường phân giác 4D
a) Chứng mình rằng (HSG Quận Hà Dơng 2018 - 2019) J 1 _ v3
AB AC AD’
b) Biết 4B + AC = S§em Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC
II Định lí hàm số cosin và cơng thức trung tuyến
Ví dụ 2 (HSG Vĩnh Tường, 2018) Cho tam giác ABC nhọn, cĩ hai trung tuyến BA và ƠN vuơng [ sue(%T +T) ) ll £ œ ( £0'0 = sœ(%1 — 1) 8A 5
gĩc với nhau Chứng minh ring cot A > 3 II Định lí ham sé sin
Vi du 3 Cho tam giác ABC nhọn, biết BƠ = a; CA =b; AB =c
` a e
hứng minh rang —— = — =—
a sin / snÐ sinC
7í du 4 (AMC 2008) Cho tam giéc ABC nhon, c6 C = 60° va BC = 4 Gọi D là trung điểm của BC Tính giá trị lớn nhất của tan BAD IV Cơng thức gĩc nhân đơi Ví dụ 5 Cho 0° < œ < 45° Chứng minh rằng a) sin2œ = 2sin œ cos œ; b) cos2a = 2cos?a — 1 = 1— 2sin? a; 2tana 2tana si =——-: d) tan 2a = ——_
a es 1+tan?a’ ) muơn 1— tan? a
Vi du 6 (HSG Quan Ba Dinh, vong 2, 2020 - 2021) Tinh sin 75°
Trang 11J )N trửq I3 V4 JyH1 I9 ueg NA J O0! INV i ( (%1 + 0 } SLE = & sor(3%T — T) BA R s00 Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https://www.facebook.com/anhtuanveu BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ 7 Họ và tên: TiổÏđ! suesesoiimnbEDsuusse Degpiatdfol.BU216.15 VN1
a) Cho tứ giác ABCD, cĩ AC và BD cắt nhau tại Ĩ và AOB =a < 90° Chứng mỉnh rằng Š¿scp = SAC.BD sin AOB
b) Cho tam giác ABC can tai A, c6 AB = AC = 5cm, A = 30° Trên tia đối của các tia AB va AC
lần lượt lấy các diém M,N sao cho AM + AN = 6cm Tinh diện tích lớn nhất của tứ giác BŒA1N VN 2 Cho tam giác ABC vuơng tại A, phân giác AD
š wa: op 2 1 1 a) Chimg minh ring AD = AB + AG
b) Hệ thức lượng trên thay đổi như thế nào nếu thay đường phân giác trong 4D bởi đường phân giác
ngồi AE
VN 3
a) Cho gĩc nhọn œ < 45° Chứng minh rang sin(2a) = 2sin a cosa
b) Cho tam giác ABŒ ( < 90°), canh AB = c, AC = b; AD la phan gidc trong Ching minh ring 2be A
AD ieee cos 7
VN 4 (Tuymaada 2015, Day 1, Problem 2, Senior League)
D là trung điểm AC của AABƠ Phân giác của các gĩc AŒB, ABD vuơng gĩc với nhau Tìm giá trị lớn nhất của ĐAC
Trang 13J tị TH TYH1 H0 trẻ ¥ DNYĐ QO ONDON ue r è ( Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Ei https: //www.facebook.com/anhtuanyeu Chương 2 ĐƯỜNG TRỊN
§1 Sự xác định đường trịn Đường kính và dây cung (tiết 1)
Ví dụ - Cho hình vuơng ABŒD Gọi A là trung diém BC, N 1a điểm thuộc đường chéo 4C sao cho
AN= 14C Chứng minh 4 điểm À, M,C, D nằm trên cùng một đường trịn
Ví dụ 2 (Học thuộc - Quan trọng (Kết quả của Bồ đề trực tâm)) - Cho tam giác 4BC nhọn nội tiếp đường trịn (O), trực tâm H, dudng kinh AA’, M là trung điểm ØŒ
a) Chứng minh rằng BHƠA! là hình bình hành;
b) Đường trịn đường kính 4H cắt đường trịn (Ĩ) tại điểm thứ hai là W (khác 4) Chứng minh rằng
A’, M,H,N thang hang; (HSG Quan Cau Gidy 2018 - 2019)
c) Gọi H' là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh rằng H” thuộc đường trịn (Ĩ)
q) Gọi K là hình chiếu vuơng gĩc của H lên 4A Chứng mỉnh ring B, H, K, C cùng thuộc một đường
trịn
e) Chimg minh rang AN, HK, BC dong quy
Vi du 3 (Quan trọng) Cho ABC là tam giác nhọn cĩ 4B < AC nội tiếp (O) Gọi D là giao điểm đường phân giác trong của gĩc BAC và đường trung trực của BC Chimg minh rằng D € (Ĩ) và DBC = DOB = +
Vi dụ 4 (APMO 2017) Cho ABC là tam giác cĩ 4B < AC Gọi D là giao điểm đường phân giác
trong của gĩc BAC và đường trung trực của BƠ Gọi Z là giao điểm đường phân giác ngồi của gĩc BAC và đường trung trực của AC Chứng mỉnh rằng trung điểm của đoạn thing AB nằm trên đường
trịn ngoại tiếp tam giác ADZ
Ví dụ 5 (Đường trịn Euler) Trong tam giác ABC, trực tâm H Gọi M,N, P lan lượt là trung điểm
của AB, BŒ,CA 4i, Bì,Ci lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh 4, ,C đến các cạnh đối điện Az, By, C› là trung điểm của HA, HB, HƠ Khi đĩ 9 điểm M,N, P, Ay, B,C), 4a, B;, C; cùng nằm trên một đường trịn gọi là đường trịn Euler của tam giác
Ví dụ 6 Cho tam giác 4Œ nhọn, nội tiếp đường trịn (O), AD là đường kính của (O) M la trung
điểm của BC, H là trực tâm của tam giác Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm D lên
HB,HC, BC Chứng minh 4 điểm X,Y,Z, cùng thuộc một đường trịn
Trang 14TaN 7 2NRN trửd t1 IVE LVHL Fp weg, r & INVD OO = ` ( ( tơo = gop(%I — 1) BA SLE = ege(%l + 1) ) Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Ei https: //www.facebook.com/anht1 Ae, BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ 8 „năm 2022 Ngày VN 1 (THPT Chuyên ĐHQG 2012 - 2013) VN
Cho tam giác nhọn 4 BC nội tiếp đường trịn tâm (Ø) Gọi Ä/ là một điểm trên cung nhỏ BỞ (M khác
B,C va AM khong di qua O) Gọi D là điểm đối xứng với điểm Aƒ qua O Giả sử P là một điểm thuộc
doan thing AM sao cho dudng tron đường kính AƒP cắt cung nhỏ BC tại điểm W khác A và cắt AD tại Q khác M
a) Chứng mỉnh rằng bĩn điểm A, D, Q,P cùng thuộc một đường trịn
b) Chứng mình rằng ba điểm X, P, D thẳng hàng
VN 2 Cho tam giác ABC nhọn, cé tric tam H Lay diém M,N thuoc tia BC sao cho MN = BC va M
nam gitta B,C Goi D, E lần lượt là hình chiếu vudng géc cia M,N lên AC, 4B Chứng minh các điểm
A, D, E,H cùng thuộc một đường trịn
VN 3 Cho tam giác ABC P là điểm bất kỳ PA, PB, PC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác 4B tại
Aj, By, Cy Goi Ag, Ðạ, C; là các điểm đối xứng với Áy, Bị, C¡ qua trung điểm của BC,CA, AB Chứng mỉnh rằng: 4;, By, C2 và trực tâm Ởƒ của tam giác ABC cùng thuộc một đường trịn
Trang 15— Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 EW htips:// w ww.facebook.com/anhtuanve u
Chuong 2 DUGNG TRON
(A1 2 §1 Sự xác định đường trịn, Đường kính và dây cung (tiết 1) = Vi du P Cho hinh vuéng ABCD Goi M là trung điểm BƠ, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho eS a AN = 14G Chimg minh 4 điểm M, N,C,D nim trén cùng một đường trịn,
= & Ví dụ 2 (Học thuộc - Quan trọng (Kết quả của Bồ đề trực tâm))
Cho tam giác 4B nhọn nội tiếp đường trịn (O), trực tâm TH, đường kính AA', M là trung điểm BƠ
>
x a) Chứng minh ring BHC’ la hinh binh hanh;
b) Đường trịn đường kính A cắt đường trịn (Ĩ) tại điểm thứ hai là N (khác 4) Chứng minh rằng = Q A’, M,H,N thang hang: (HSG Quận Cầu Giấy 2018 - 2019)
+ rer yy a2 ae >
= > ©) Gọi H” là điểm đối xứng với qua ĐƠ Chứng minh rằng #ï' thuộc đường trịn (Ĩ)
a d) Gọi K là hình chiếu vuơng gĩc của ?ï lên 4A Chứng minh rằng Ư, H, K,Œ cùng thuộc một đường
is tron
|S
cy -
= ©) Chứng minh ring AN, HK, BC đồng quy
@ Ví dụ 3 (Quan trọng) Cho ABC là tam giác nhọn cĩ AB < AC nội tiếp (O) Goi D 1a giao điểm
S—7
đường phân giác trong của gĩc BAC và đ
DBC = PCB = Ê ường trung trực của BC Ching minh rằng D € (Ĩ) và
* Vi du 4 (APMO 2017) Cho ABC là tam
trong cla goe BAC va dudng trung trực của BAC và đường trung trực của AC Chứng mi trịn ngoại tiếp tam giác ADZ
giác cĩ AB < AƠ Gọi D là giao điểm đường phân giác BC Gọi Z là giao điểm đường phân giác ngồi của gĩc nh rằng trung điểm của đoạn thing AB nằm trên đường Ví dụ 5 (Đường trịn Euler) Trong tam giác AB, trực tâm #7 Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của 4B, BC,CA Ai, Bị,C¡ lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh A, 8,C đến các cạnh đối diện
4a, Bo, C2 1a trung điểm của HA, HB, HƠ Khi đĩ 9 điểm M,N,P, Ai, Bì, Ci, Ao, Bo, Cy cùng nằm trên
một đường trịn gọi là đường trịn Euler của tam giác
Ví dụ 6 Cho tam giác ABC nhon, nội tiếp đường trịn (O), 4D là đường kính của (O) M là trung
điểm của BC, H là trực tâm của tam giác Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm D lên HB, HC, BC Ching minh 4 điểm X, Y, Z, M cùng thuộc một đường trịn
=-4 =x22§ `9)
REY Vee oY | Ne
Trang 16} DN trửq H{ [V41 LVH.L !9 uêt Ð O2 DONA r ONY ( Wa82£= sw(I +1) ) £0'0 = goe(%I — T) Í C Tran Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei hitps://ww w.facebook.com anhtuany BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ 8 Ngày tháng năm 2022 Chữ kí PHHổ: co VN 1 (THPT Chuyên ĐHQG 2012 - 2013)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm (Ĩ) Gọi M là một điểm trên cung Sedu,
B,C va AM khong di qua O) Goi D 1a diém déi xứng với điểm M qua O Gia st P là một điểm thuộ
đoạn thẳng AM sao cho đường trịn đường kính AƒP cắt cung nhỏ BC tại điểm A' khác M va cit MD
tại Q khác M
a) Chứng mình rằng bốn điểm A,D,Q,P cùng thuộc một đường trịn b) Chứng minh ring ba điểm N, P, D thang hang
VN 2 Cho tam giác ABC nhọn, cĩ trực tâm H Lay diém M,N thudc tia BC sao cho MN (= BC vaM nằm giữa B,C Gọi D, E lần lượt la hinh chiéu vuơng gĩc của M, W lên AC, AB Chứng minh các điểm
A,D,E,H cùng thuộc một đường trịn
VN 3 Cho tam giác ABC Plà điểm bất ky PA, PB, PC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại
Ái, Bì,CI Gọi Aa, Bạ, C; là các điểm đối xứng với Á¡, B,C; qua trung điểm của BŒ,CA, AB Chứng minh ring: Ao, By, Cy va trực tâm H của tam giác ABC cùng thuộc một đường trịn
KET cos
Trang 17LUYEN TAP www facebook.com/anhtnanven
- 2 du 1 Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) Các đường cao AD, BE,CF của tam giác cắt nhau tại a) Chứng minh rằng bốn điểm A, E,H,P nằm trên một đường trịn Tìm tâm ï của đường trịn đĩ b) Tim tam K của đường trịn đi qua ba điểm B,F,E
c) Ching minh ring 1K di qua trung điểm của EƑ d) Chứng minh rằng điểm A nằm ngồi đường trịn (K)
e) Chứng mình ring EF < BC
Vi du 2 (THPT Chuyén, TP Ha Noi 2014-2015)
Cho tam giác đều ABŒ nội tiếp đường trịn tam (O), H là trung điểm BC, M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng BH (M khác 8) Lấy điểm X thuộc đoạn thẳng C/A sao cho CN = BM Gọi 7 là trung diém MN a) Chứng minh rằng bốn điểm O, M, H, ï cùng thuộc một đường trịn Tìm vị trí của A2 để đường trịn này cĩ bán kính bé nhất ONYOĐ OĐ ĐN(N trữq 1 [VH LVYH.L !Ð weg 5
Ví dụ 3 (Chuyên Tây Ninh, 2017) Cho điểm A cố định trên đường trịn (O; #) Hai dây cung thay b) Xác định vị trí của điểm A để đoạn thẳng MA cĩ độ dài nhỏ nhất
đổi AB, AC của đường trịn (Ĩ) thỏa man AB.AC = 2V/2R? (B khác Œ và AABƠ nhọn), kẻ 4H vuơng
gĩc với BC (H thuộc đoạn BC)
LE
DPD
OTL
a) Ké duéng kinh AA’, ching minh ring AH.AA’ = AB.AC tit dé suy ra AH = RyV2
b) Goi D va K lan lượt 1a hinh chiéu vung géc cia H trén AB, AC Ching minh ring dién tích tam giác ABŒ bằng hai lần diện tích tam giác ADK
Ví dụ 4 (Chuyên KHTN, Vong 2, 2016)
Cho hình vuơng ABŒ?D nội tiếp đường trịn tam (O) P là điểm thuộc cung nhỏ 47D của đường trịn (Ĩ)
và P khác 4,D Các đường thẳng PƯ, PC lần lược cắt AD tại M, N Đường trung trực của Ậ/ cắt
đường thẳng AC, PB lần lượt tại E, K Đường trung trực 2X cắt các đường thẳng BD, PŒ lần lượt tại F,L ) soe(ÉMI — 1) BA SLE = se(%T + 1) )
| a) Chiing minh ba diém K, O, L thẳng hàng
Trang 18Bg Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Ei https: / /www.facebook.com/anhtuarveu BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ 9 Lớp: Gv eee Chữ kí PHHSS )
VN 1 (Amsterdam 2002-2003) Cho nửa đường trịn tâm (Ĩ), đường kính BŒ và một điểm 4 nằm trên nửa đường trịn (A khác B và Ở) Hạ 4H vuơng gĩc với BƠ (H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa A dựng hai nửa đường trịn đường kính 7B và HC, chúng lan lust cit AB va AC tai E và F
a) Chứng minh ring AB.AB = AF.AC
b) Goi J, K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC Chứng minh rằng ba điểm 7, 4, thẳng hàng
c) Tim vi tri cha A dé EF cé do dài lớn nhất
VN 2 (Đề thi HSG Hà Nội năm 2011-2012, vịng 1)
Trang 19
DIV FCS) sâm
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei https://www.facebook.com,
IH Dau hiéu 2: Tong hai géc déi dién bang 180°
Cau 1 (Dé thi vao 10, Chuyén Luong Van Tuy, Ninh Binh, 2017)
~) Cho hai đường tron (O) va (O’) c&t nhau tại hai diém A, B (O, O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ 4) l= Tiếp tuyến chung gần Ư của hai đường trịn lần lượt tiếp xúc với (Ĩ) và (Ớ') tại Ở và D Qua 4 kẻ đường
| = thang song song v6i CD lan lugt c&t (O) va (O’) tai M va N (M, N khéc A) Cac dutng thing CM và
|= | DN cắt nhau tai FE Goi P và Q lần lượt là giao của hai đường thẳng Aƒ/ với đường thắng BƠ và đường
| thẳng BD Chứng minh rằng:
a) Duong thing AE vuơng gĩc đường thẳng ŒD = | b) Tứ giác BCED nội tiếp
| ¢) Tam giác ƑPQ là tam giác cân
Câu 2 (Đề thi vào 10, Chuyên Vĩnh Phúc Vịng 2, 2017)
Cho 10 hình thang ABCD véi AD, BC là hai cạnh đáy; BƠ > AD,BƠ = BD = 1,AB = AC,CD < 1, BAC + BDC = 180°, goi # là điểm đối xứng với D qua đường thẳng ĐC
a) Chứng minh rằng 4 điểm A,Œ, ƒ, B cùng nằm trên một đường trịn và BEC = 2AEC
| b) Duong thing AB cat dudng thang CD tai điểm K, đường thẳng ØC cắt đường thẳng AE tại điểm F Chứng minh rằng /A ƑD và đường thẳng !D tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác
ADK
c) Tinh do dai canh CD
Câu 3 (Đề thi vào 10, Chuyên KIITN Hà Nội vịng 2, 2017)
Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC F,F lần lượt là trung diem | của các cạnh CA, AB Trung trực của đoạn thẳng E EF cét_BC BC tai D | D Gia sử cĩ điểm nằm trong FEAF và nằm ngồi tam giác AE sao cho PEC = DEF va PFB = DFP Đường thẳng PA cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác PEF tai Q khác P
a) Chimg minh rang EQF = BAC + EDF
b) Tiép tuyén tai P cha đường trịn ngoại tiếp tam giác Ƒ cắt các đường thang CA, AB lan luot tại Äf, M Chứng minh rằng bốn điểm Œ, M, N, Ở cùng nằm trên một đường trịn Gọi đường trịn này là đường trịn ()
Câu 4 (Đề thi vào 10, Chuyên ILê Quý Đơn, Quảng Trị, 2017)
Cho đường trịn tâm Ĩ, đường kính Œ Gọi A là điểm thuộc đường trịn (A khác Đ, Ở), H là hình chiếu
của A lên BƠ Vẽ đường trịn (T) đường kính A/ cắt AB và AC lần lượt tại M va N
a) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp
b) Vẽ đường kính AK của đường trịn (Ĩ), gọi P là trung điểm của 17K Chứng minh ring EM = EN Câu 5 Cho tam giác ABŒ nhọn nội tiếp đường trịn tâm O cé truc tam H Goi M 1a diém trén cung | BC khong chita diém A (M khac B,C) Goi N, P theo thit tự là điểm đối xứng của Aƒ qua các đường
| thẳng AB, AC |
= a) Chimg minh ring AHCP ni tiếp đường trịn b) Chimg minh rang N, H, P thang hang
c) Tim vị trí của điểm M7 để độ dài NP lớn nhất
Câu 6 Cho tam giác 4J#C nhọn, đường cao AT Gọi Äf, Đ lần lượt là trung điểm của 4B, AC Đường
tron ngoại tiếp Lam giác HA cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác CHN tại E
Trang 20ONY OO DNDN Hq UE TED VN, tị nữ pina a | Ie am = va GI — 1) WS TREE sa |
Tran Anh Tuan - 0914 396 391 ii https: / /www-.facebook.com/anhtuanveu a) Ching minh rang AMEN néi tiép
b) Chứng minh 3 Ia tiép tuyén dudng tron ngoai tiép tam gide BHM
c) HE di qua trung diém cha MN
Cau 7 (DHQGHN 2012-2013) Cho tam giéc ABC nhon (AB > AC) nội tiếp đường trịn (O) Giả sit M, N là hai điểm thuộc cung nhé BC sao cho MN j/ BC vatia AN nam giita hai tia AM AB Goi P là hình chiếu vuơng gĩc của điểm C trén AN và Q là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A/ trên 48 Giá sử
T là giao điểm của CP va QM
a) Chứng mình rằng 4C M7 là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng PQ song song với BC;
c) Gọi giao điểm của MQ và (O) là P khác X Giả sử AM cắt PQ tại S Chứng mình rằng 4RQS nội
tiếp
Câu 8 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), hai đường cao BD và ŒE cắt nhau tại H Gọi 7 là trung
điểm BC Đường trịn ngoại tiếp các tam giác 8EI và CDI cắt nhau tại K (K khác 7) a) Chứng minh rằng BEDC nội tiếp
b) Chứng minh rằng AEK D nội tiếp và xác định tâm đường trịn đĩ
c) Chứng mình A,7, thẳng hàng
Câu 9 Cho tam giác 4B vuơng cân tại A Một đường trịn (Ĩ) tiếp xúc với AB, AC tại B,C Tên
cung Œ nằm trong tam giác AC của đường trịn (O) lấy một điểm A7 (khác B,C) Goi J, H, lan lượt là hình chiếu của M trên BƠ, ƠA, AB và P là giao điểm của A với IK, Q là giao điểm của AfŒ với IH
a) Ching minh ring BIMK,CIMH 1a cac tit giác nội tiếp b) Ching minh ring MIK = MCB
c) Ching minh MPIQ néi tiép d) Chứng minh rằng PQ // BC
Câu 10 Cho đường trịn (Ĩ) đường kính A = 2Ï và Œ là điểm chính giữa của cung AĐ Lấy điểm A/
tùy ý trên cung nhỏ 8Œ (M khác B) Gọi W là giao điểm của hai tia QŒ và BA; H, ï lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng 4O, AM; K là giao điểm của các dudng thing BM va HI
a) Chứng minh rằng 4, #, K và N cùng thuộc một đường trịn
RV10 2?
Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp trong đường trịn (Ø) Gọi 7 là tâm đường
trịn nội tiếp tam giéc ABC D là hình chiếu của điểm 7 trên đường thẳng BŒ và Œ là giao điểm thứ
hai của đường thẳng AD với đường trịn (0) Goi F điểm chinh giita cung lén BC cita dudng trịn (0)
Đường thẳng FG cat dudng thing /D tai diém H
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BƠ (M khác B) sao cho AK =
a) Chứng minh tứ giác ĐC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi ÿ là giao điểm thứ hai của đường thẳng A1 với đường trịn ngoại tiếp tam giác Đ/Œ Chứng minh BH = CJ
c) Gọi N la giao điểm thứ hai của đường thẳng /*1J với đường trịn ngoại tiếp tam gide BIC Ching
minh dudng thang NJ di qua trung diém cia canh BC
Trang 21J req UA IVE LVHL, !Đ 0841 [ ĐNY9 09 ĐNAĐN ở sw(%6I + 1) ) sep(%I — 1) RM SLE 2 ° ) §2 Vị trí tương đồ tính chất
Vi du 1 Cho tam gidc ABC vuơng tại A (AB < AƠ), đường e qua H Đường trịn tâm Ĩ đường kính EC cắt AC tại K Chứng
Ví dụ 2 (Chuyên Đại học Sư Phạm Vinh,2016)
Cho hình vuơng ABCD tam O Goi #, N lần lượt là trung điểm của cạnh 4B, BƠ và # là t
của WŒ Từ 4 kẻ đường thẳng song song với KƑ cắt CD tại G Chứng minh rằng ƑŒ là tiếp đường trịn tâm Ĩ nội tiếp hình vuơng ABŒD (đường trịn nội tiếp hình vuơng là đường trịn tiếp
cA cạnh của hình vuơng)
Vi du 3 (SGD Hà Nội, 2016) Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường trịn (O;R) với A và B là cẤ: tiếp điểm Gọi H là chân đường vuơng gĩc vẽ từ 4 đến đường kính BƠ của đường trịn Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm ï của AH
Ví dụ 4 (HSG Hồ Chí Minh, Quận 1, 2016) é
Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (Ĩ; R) Vẽ AB, AC là che tiếp tuyến của (Ĩ) (B, C là eà tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của ĨA và BƠ, M là điểm di động trên đoạn thẳng 8H, đường thẳng AM cắt đường trịn (Ĩ) tại D và E (D nằm giữa A và M) Vẽ ON vuơng gĩc với DE tại N
a) Chứng minh rằng AB? = AM.AN;
b) XÃ: định vị trí điểm M để S = AD - 3AN + AE đạt giẤ trị nhỏ nhất; ©) Chứng minh rằng bốn điểm D, E,Ĩ, H cùng thuộc một đường trịn
Ví dụ 5 Cho tam gidc nhon ABC Goi O la trung điểm của BƠ Dựng đường trdn tam O đường kính
BƠ Vẽ đường cao AD của tam giẤc ABC và cẤ: tiếp tuyến AM, AN với đường trịn (Ĩ) (M, N là cẤc tiếp điểm) Gọi E là giao điểm của MN với AD Hãy chứng minh ring AE.AD = AM?
Vi du 6 (HSG Hé Chi Minh, Quan 9, 2015) - -
Cho tam gidc ABŒ nhọn Đường tron (O) đường kính 8Œ cắt cAc cạnh AB, AC lần lượt tại E, D CÁ: tiếp tuyến của (Ĩ) tại D và E cắt nhau tai M Ching minh rằng AM vuơng gĩc với BƠ
Ví dụ 7 (Đề thi vào 10, chuyên Tốn, Tin tỉnh Hưng Yên, năm 2018)
Cho đường trịn tâm (Ĩ; R) và một đường thẳng đ khơng cĩ điểm chung với đường trịn Trên d lay mat
điểm M bat kì, qua AM kẻ cÃo tiếp tuyến MƒA, MB với đường trịn (Ĩ) (A, B là c& tiếp điểm) Kẻ đường kính AC của đường trịn tâm (Ĩ) Tiếp tuyến của đường trịn tâm (Ĩ) tại Ở cắt AB tại E
a) Chứng minh rằng: BE - MB = BC -OB
b) Goi Ấ là giao điểm của ỞM với OE Chitng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của hai đoạn thẳng OM va CE vuong géc với đường thẳng 8A
e) Tìm giA tri nhỏ nhất của dây 4 khi điểm M di chuyén trén dudng thing d Biét R = 8 cm va khoang cAch tit O dén dudng thing d bằng 10 cm
Trang 22) 3 eq WY TV LVHGL !yo ue “OO DNIION 0 ĐNYĐ Trần Anh Tuần - 0914 396 391 ( ( 800 sw(%1— 1) BA BLE = gon %T + 1) }
VN 1 (Thi HKI1, Bắc Từ Liêm, Hà Nội, 2018)
Cho đường trịn (0; R) dudng tinh AB Qua diém A ké tia tiép tuyén Ax dén dudng trịn (Ø) Trên tai Az lấy điểm C sao cho AC > R Từ điểm kẻ tiếp tuyến CM véi đường trịn (Ø) (M là tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng bốn điểm 4, , Ĩ, M cùng thuộc một đường trịn
b) Chứng minh rằng MB // OC
c) Goi K là giao điểm thứ hai cia BC với đường tron (O) Chitng minh ring BC - BK = 4R?
d) Chứng minh ring CMK = MBC
VN 2 (Đề thi học sinh giỏi cấp Quận -'TPHCM - 2010)
Cho điểm M thuộc đường trịn (Ĩ) và đường kính AB (M# A,B và MA< MB) Tia phan gids cia géc AMB c&t AB tai C Qua C,vé dudng thẳng vuơng gĩc với AB cit cÁc đường thẳng AM và BA lần lượt tại D và H
a) Chứng minh hai đường thẳng A/ và 8D cắt nhau tại điểm W nằm trên đường trịn (Ĩ)
b) Goi # là hình chiếu của trên tiếp tuyến tại A của đường trịn (Ò) Chứng minh tứ gidc ACHE
là hình vuơng
c) Goi Ƒ là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại Ư của đường trịn (O) Chứng mình bốn điểm E,M,N,F thẳng hàng
đ) Gọi Š¡, 5; là diện tích của tứ giẪ& ACHE va BCDF Ching minh CM? < 5,5)
VN 3 Cho tit gidc ABCD cĩ đường trịn đường kính AD tiếp xúc với BƠ và đường trịn đường kính
BC tiếp xúc với AD Chứng minh rằng AB//CD My ope §
Trang 23[ DNYD OO ONADN Bq MPL IVd LYHL HP wes] At +1) ) %T — 1) SA 82£
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei https://www.facebook.com/anhtt
§2 Gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
1 Gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
a) MAD = 5s AD = ACD = ABD: b) MBD = 5sa BD = BCD = BAD
2 Tinh chat phuong tich MA? = MB? = MC.MD = MO? — R?
3 Tính chất cát tuyến (chưa hết)
AD BD
M,A, ù 6 Ộ Ờ ịn; ——=—
a) AI, A,B,H,O cùng thuộc một đường trịn b) AC = BG
4 Dấu hiệu tiếp tuyến: Gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng gĩc nội tiếp chắn bởi dây cung đĩ
Bài 1 (Đề thi vào 10, chuyên Lê Quý Đơn, tỉnh Vũng Tàu, Vịng 1, năm 2018)
Cho đường trịn (O) cĩ AB là dây cung khơng đi qua tâm và 7 là trung điểm của dây 4Ø Trên tia đối của tia 4 lấy điểm Aƒ khác điểm A Vẽ hai tiếp tuyến MŒ và AƒD đến (O) (tiếp điểm Œ thuộc cung nhỏ 4B, tiếp điểm D thuộc cung lớn 4P)
a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp b) Ching minh MD? = MA- MB
c) Đường thẳng Ĩ7 cắt cung nhỏ A4 của (O) tại điểm X, giao điểm của hai đường thẳng DX và AƒB là £ Chứng minh tam giác MŒE cân tại A1
1 4
d) Đường thẳng ØN cắt đường thang CD tai diém Ƒ Chứng minh shar + ME “GP
Bài 2 (Bình Thuận TST 2018-2019 vịng 1)
Cho tam giác ABŒ nhọn cĩ AB < AC Các đường trịn (Ớ\), (Ĩ;) cùng đi qua 4 và theo thứ tự tiếp xtic v6i BC tai B, C Goi D là giao điểm thứ hai của (Ớ¡) và (O;) Chứng mình đường thẳng 4D đi qua trung điểm của cạnh BC
Bài 3 (KonTum TST 2018-2019 vịng 2)
Cho điểm 7' nằm ngồi đường trịn (Ø) Từ 7' kẻ hai tiếp tuyến 7A, 7 đến (Ĩ) với 4, Ư là các tiếp
điểm, Gọi Œ là điểm bất kỳ thuộc (Ø) sao cho vẽ được dây cung ŒA song song với 4#, A77 cắt (Ĩ) tại điểm thứ hai J Chứng minh ring JC chia doi doan AB
BA 6 We So RLSM
Trang 24
Trần Anh Tuan - 0914 396 391 Fi https://www.facebook.com/
Bài 4 (Đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội, vịng 1, 2018)
Cho tam giác 4BŒ cĩ đường trịn nội tiếp (1) tiếp xúc với ba cạnh BŒ,ŒA, AP lần lượt tại các đ : D,E,F Goi K là hình chiếu vuơng gĩc của trên đường thẳng DE, M là trung điểm của đoạn thẳng _
DF
a) Chứng mỉnh rằng hai tam giác BK M va DEF dong dang
b) Gọi L là hình chiếu vuơng gĩc của Œ trên đường thing DF, N 1a trung điểm của đoạn thẳng DE
Chứng mình rằng hai đường thẳng AƒK và W song song
c) Goi J, X lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng XL, ID Chứng minh rằng đường thẳng JX vuơng gĩc với EF II IVH LVHL ME
Bài ð (Đề thi vào 10 chuyên Tốn V2, chuyên Đại Học Vinh, tỉnh Nghệ An, năm 2018) Cho hai đường trịn (Ĩ; R) và (Ĩ';r) c&t nhau tai hai diém A va B (R > r) sao cho Ĩ và Ĩ' ở hai phía 5 đối với đường thang AB Goi K 1a diém sao cho OAO'K là hình bình hành ee là a) Chứng mỉnh rằng tam giác ABX là tam giác vuơng 2
(3 b) Đường trịn tâm bán kính XA cắt các đường trịn (O; R) và (';r) theo thứ tự tại Äf và W (AM, = A khác 4) Chứng minh ring ABM = ABN
> c) Trén dudng trịn (O; R) lấy điểm Œ thuộc cung 4A khong chita B (C khac A, M) Đường thẳng jz ĩ CA cắt đường trịn (O';r) tai D Chimg minh ring KC = KD
BÀI TẬP VỀ NHÀ
VN 1 (Đề thi vào 10, chuyên Bến Tre, năm 2018)
Cho nửa đường trịn (O; #) cĩ đường kính 4 Vẽ đường thẳng đ là tiếp tuyến của (O) tại Ư Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (Mƒ khác 4, B), tia 4M cắt đường thẳng d tại điểm X Gọi Œ là trung điểm đoạn
thẳng 4A/, tia CO cắt đường thẳng đ tại điểm D a) Chứng minh tứ giác OBWƠC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi E là hình chiếu của X trên đoạn thẳng 4D Chứng minh rằng ba điểm ,Ĩ, E thẳng hàng và
oe NE-AD _
= > In
oF c) Ching minh ring CA-CN = CO-CD
S d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất