Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 §1 P Vi du (HSG dạng Việt Yên, Bắc Giang, 2017) Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > 4P), dường cao AH (H e BC) Trên tia HC lay điểm D cho HD = HA Dường vng góc với BƠ D cắt AC E a) Chứng mỉnh hai tam giaée BEC va ADC đồng dạng b) Chứng tam giác AEB Vng cân Yoo IN TEN giác đồng c) Ching minh ring AB.AC = AD2 + DB.DC d) Ha reac Goi G điểm đối xứng Ở qua EH Chứng mỉnh Ö G đối xứng qua AB = e) Gọi A rung điểm “ie : A (J lí Ta-lét tam a) Chứng mỉnh ring ADCE ADAB va ABDE ~ AADC; b) Tam giác EBC tam giác gì? |= s định /anhtui hai tia CA va Cx Tia AD cat Cr tai E | e tập /www.facebook.com Ví dụ i Cho tam giác ABC có (AB < AC), AD phan giác Qua Ở kể tia z cho BCz = BAD va tia CB nam m { ) trỦ£] a Ơn Fi https: Đ Q (ƠN Ví Cho góc Goi ia AM cf iG Ghtaeniiis Oe oo AH RAC cua doan BE, tia AM c&t BC tai G Chứng minh: BC dụ (Đề thi HSG 9, tỉnh Phú tam giác ABC vuông 4A Trên với cạnh Œ Trên tỉa Bz lấy diém G la giao diém cia BE va CD, K a) Chứng rằng: ŒA = ŒK Yên, năm 2018) nửa mặt phẳng bờ BƠ không chứa A dựng hai tia Br, Ởu vuông D cho BD = BA, trén tia Cy lay điểm E cho CE = CA va L giao điểm AD, AE với cạnh BC BA = BL b) Dung thang qua G song song với BƠ cắt AD, AP thứ tự J, J Gọi H hình chiếu vng góc G BC Chứng mỉnh tam giác !H/ vng cân Ví dụ (Đề thi HSG (—) 9, tinh Vĩnh Phúc, năm 2018) Cho hinh thoi ABCD c6é BAD = 50°, O 1a giao diém cia hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ @ đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BƠ lấy điểm M (M khác B), tia đối tia song song véi dudng thing AN DC lay diém N cho dutng thang HM Ví dụ (Đề thi vào Chun b) Tính số đo góc MON = BH- AD a) Chứng AB: DN ĐHSP Hà Nội năm 2014, vịng 2) Cho hình vng ABŒ7 với tâm Ó Gọi A7 trung điểm AB, điểm N,P thuộc BŒ,CD cho ÁN ƒ AP Chứng rằng: a) Tam giác BVO đồng dạng với tam giác DOP va góc NOP = 45° b) Ba đường thẳng 8D, AX, PA/ đồng quy Vi du (Bai todn T4/484, Tap chi THTT, thang 10 nam 2018) Cho hinh chit nhat ABCD cé6 AB = BCY2 M la mot diém trén canh CD Gọi giao điểm €7 DI với 4B E Ƒ Chứng (M khac D) Ké BI L AM minh AE, BF va AB độ đài ba cạnh tam giác vng Ví dụ (Chun Quảng Nam, 2016) S Cho tam giác nhọn 4B có hai đường cao BD ỚP cắt H Các tỉa phân giác góc PHB, DHC cắt AB, AC K Qua K vẽ đường vng góc với AB, AC ching cắt Àƒ a) Chứng AI = AM b) Giả sử tam giác nhọn 4Ð MAI có hai đỉnh B,C cố định, đỉnh A di động Chứng đường thắng ln qua điểm cố định ef Sete 12/4 5) BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ Ngày Wd LVHI VN aannaaannn Fw sieunaleee Sienna EAST AT ATS VOTERS IRENE TEESE eR Cho hinh chit nhat ABCD /anlitu Hi hittps://www.facebook.com - 0914 396 391 Tran Anh Tuan (AB > AD) Vé AE vuông góc véi BD tai E a) Chứng AABE ¬ ADBA va AB? = BE.BD; b) Giả sử AE cắt BC, DC G F Chứng minh EA? = EG.EF c) Goi J H trung điểm cla BF DG Chứng minh ring JH LEC VN (HSG Giao Thủy, Nam Dinh, 2017) Cho A.4BC nhọn, đường cao 4D, BE,CF cắt H Từ H hạ HM vuông góc với EF' Àí ry OO ) HA vng góc với ED N a) Chimg minh ring ABED ~ ABCH b) Chimg minh ring HM = HN e) Gọi I,J,Q,K thẳng hàng hình chiếu F trén AC, AD, BE, BC Chimg minh I, J.Q.K i VN (HSG 9, Tây Ninh, 2018) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (4B < AC) tam Œ Một đường thing di qua G cat cạnh 4B, AC tai M va N Tinh 2M + ay" Œ@%gese—————————————>Z Nos SPA OEM }9Ì( Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei https://www.facebook.com/anhtuan §2 | On tap vé dién tich Ví dụ Cho tam giác ABŒ vuông tai A (AB < AC) trung tuyến AD Ké đường thẳng vng góc với AD D cắt AC AB Ƒ tr a) Chứng minh A DỢE « ADF B IN Ueq NY IVE LVL b) Ching minh ring AE.AC = AB AF ©) Đường cao 4ƒ tam giác ABC = 19) cắt EF I Chứng minh co AAE AD? = mm Vi du (Dé thi HSG 9, tinh Tiền Giang, năm 2018) Cho ABCD 1a hinh thang vuông với AD song song vdi BC (AD < BC) va ADC = 90° Goi M la trung điểm 4B CM = > Tìm diện tích hình thang ABCD, biết BC + ŒD + DA = 17 )NYĐ OO r Na Ví dụ (HSG Đồng Tháp, vòng 2, 2015) Cho Ä điểm nằm tam giác ABC, đường thing AM, BM,CM cắt cạnh BC, CA, AB theo thứ tự A’, 8! Œ, Dat $1, So, 93, 54,55 , S5 lan lượt diện tích tam giác MA'B , MU AC, MB'C, MB'A, MC'A, MC'B Chitng minh ring néu + = + = thi M la tam tam gidc ABC L { Ị Song song véi BC, E la diém trén BC cho AE song song với AC, F la diém trén AC cho MF Song song véi AB Ki hiéu Sapo va Spgp điện tích tam giác ABŒ tam giác DEF Chứng ring Sage > 3SŠDppp Ví dụ (Dé thi HSG Ha Nội năm 2011-2012) a) Chứng minh rằng: Điều kiện cần đủ để tam giác có đường cao hy; hạ; hạ bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác 1 In + 2hy* Tat hy * hg tO, = b) Cho 8045 diém mặt phẳng cho điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Chứng minh rằng: Ln cạnh tam giác có điện tích nhỏ có 2012 điểm nằm tam giác Ví dụ (Đề thi HSG 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2018) Cho tam giác AC vng A có AB = 19 cm, AC = 16 cm Goi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BƠ Chứng minh đường thẳng B7 vuông góc với đường thẳng AM] Ví dụ (T4/478-Tốn học & Tuổi trẻ, tháng năm 2017) Cho hinh thang ABCD (AB / CD) c6 AB < CD Goi P, Q lan lượt thuộc đường chéo AC B7 cho PQ khong song song với AB Tia QP cắt BƠ M, tia PQ cat AD tai N, goi O 1a giao diém cua AC va BD Gia sit MP = PQ = QN Chitng minh ring OP 0Q_ oF Op >! O* A XGŒŸ8@«@—————D —†Ƒ—ẹ—.-.-.Ỷ-.- Ei https: // www.facebook.com/anhtuanveu Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 144 =) BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ l61U/S5/NMH sheeaaraDeee aani an s2 nnsd Họ về:TĐẾNG c0 ceeeondesa NGÀY teiacneo s CHẲNE sesmeesoseui năm 2021 TOPS vua nhe 6n olen asians STRSTR Chữ kí PHHŠ: - VN (HSG Ha Nam, 2017) Cho tam giác ABC vuông Œ (CA > ỚB), điểm ï cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm Ở người ta kẻ tia Az, Bự vng góc với AB Đường thẳng vng góc với TƠ kẻ qua Ở cắt Az, Bự diém M, N a) Chứng mỉnh tam giác ỞA1 đồng dạng với tam giác CBN ueq d) Tim vị trí điểm cho điện tich AJMN lớn gấp đơi diện tích AABŒ (HSG Giao Thủy, Nam Định, 2017) chứa diem N Cho tam giaée MNP vuông N, c6 NP > NM Trén ntta mat phẳng bờ AƒP không Biét NP,NM trén D cia chiéu hình tự thứ theo H,K Goi D vé tam giéc DMP vuong can tai VN [ OO VN NV DNN c) Chứng minh MIN =90° r YN b) §o sánh hai tam giác ABC INŒ NP =a,NM =b (a,b > 0) Chimg minh rang Spywx > ab (HSG tinh Khanh Cho đoạn thẳng Hoa, 2017) dài a(cm) Lay điểm C bat kì thuộc đoạn thẳng 4B (C khác B) Vé tia Cx vuong g6c véi AB Trén tia Cr lay hai điểm D E cho CD = CA va CE = CB a) Chứng minh AE vng góc với BD b) Goi M va N Jan luot la trung diém AE va BD Tim vi tri cla diém C trén doan thang AB dé da gidc CMEDN cé dién tích lớn nhat c) Goi trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ đến A4 trí điểm Œ s00 (9 -T) 8A $ Ệ (oz tÑVN: X48 xe» WĐ4+ Wid khơng phụ thuộc vào vị Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Gi https://www.facebook.com/anht uanvct (DN ỹ )027 )NíDN trẻ4 r1 JVf LYH.L ! ueg J LUYEN TAP Bài (GHKI, Phan Đình Gist, 2018-2019) Cho hình chữ nhật ABŒD có AD < AB Qua Ơ, kẻ đường thẳng vuông gỐ e AD, AB tai M,N a) Ching minh AB- AN = AD AM 'e) ChứngP với AC, cắt đường thẳng É t9 b) Cho AD =3 cm, AB = om Tinh DM® AC’ minh: CD.CB = “4 kg MN 4) Gọi E trung điểm MC, kẻ ƠH L DB tai H Cho BB c&t CH tai K Chimg minh K trung diém cha CH CL ˆ CR A i Ứ i (RE k Bai (GHK1, Luong Thé Vinh, 2018-2019) Cho tam giác ABƠ vuông A , dudng cao AH Biét AB = cm; BC = 10 cm a) Tinh AC, AH b) Gọi E, Ƒ hình chiều # lên AB, AC Chitng minh ring AB-BE+AF-FC = BH-HC ' nơ EB (ABS3 - ©) ) Chứng g minhminh ring FG = (4) AG Bai (GHK1, NewTon, 2018-2019) Cho tam giác ABC vng A có = 60°, BC = 6em a) Tính AB, AC (do dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân) b) Kẻ đường cao AH tam giác ABƠ Tính HB, HC Trên e) Trên tia đối tỉ xo b8 = AB - 4€ AC BC Chú inh 22 tia đối tia BA lay diém D cho DB = BC Chứng minh BD CD d) Từ A kẻ đường thẳng song song với phân giác CBD ct CD tai K Chitng minh KD-KC AG?* Ape Bai (GHK1, AMS, 2018-2019) Cho tam giác ABC c6 ABC = 60°, BCA = 45° va AB = cm Kẻ hai đường cao 4D ỚE tam giác Gọi H, K tương ứng chân đường vuông góc kẻ từ D E tới AC a) Tinh dai cạnh BƠ, ỚA diện tích tam giác ABƠ b) Tính diện tích tam giác BDE e) (Dành riêng cho lớp 9A) Tính AH - AK Bài Cho hình thoi ABŒD có  = 120° Tia Ar tạo với a š % 1, cắt đường thăng CD tai W Chứng minh rang awe Bài Cho góc vng zĨy, diém A + sóc BAz= AN? 15° cắt cạnh BƠ t 3AB2" cé định thuộc tia Oy, diém B thuộc tia Ox cho OB = OA Diém M chay trén tia Br Dutng vudng géc véi OB tai B cit AM J Tim vi tri cia M cho đạt giá trị lớn + 3m Bài (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2010-2011, Lâm Đồng) Cho tam giác MPN MPN Biét DM can tai M(M < 90°) Goi D giao điểm đường phân giác tam giác = 25cm, DN = 3em Tính dai MN Bai Cho tam giác 4BŒ vuông 4, đường cao AH Gọi ï va K theo thứ tự hinh chiéu cla H trén AB, AC Dat AB =c, AC = b a X ) Tinh inh AH, ;1!, AI, AK 3E theoeo b 0,c 0YA*+e————————_—— b) Chitngig e# ÑeG mM minh CK ẻ BS SPA CFO ee vea Ei https://www.facebook.com/anhtuan Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 ( DNV) OD ONION tq ty IVa LYALL t9 wa | BAI TAP VE NHA SO Họ tên: . 77 990177 c9 te ó5 999992222 22 Ngày thẳng 2vc52sugx? năm 2022 g A, đường cao AH Gọi D, VN Cho tam giác ÁBỚ vuôn thức sau: AƠ Hãy chứng minh hệ LBD: s2v¿22/22226525902-225 Chữ kí PHHS: - - - - AE hình chiếu H b) AH?= BC-BD-CEom; ) 4) YBD? + YCE = YBC CE _ ( II Định lí ham sé sin Vi du Cho tam giác ABC nhọn, biết BƠ = a; CA =b; AB =c ` a e hứng minh rang —— = — =— a sin / snÐ sinC sue(%T +T) ) 7í du (AMC 2008) Cho tam giéc ABC nhon, c6 C = 60° va BC = Gọi D trung điểm BC Tính giá trị lớn tan BAD £ ll ( £0'0 = sœ(%1 — 1) 8A œ IV Công thức góc nhân đơi Ví dụ Cho 0° < œ < 45° Chứng minh a) sin2œ = 2sin œ cos œ; si a es 2tana =——-: Vi du (HSG Tinh sin 75° MET Ar 1+tan?a’ b) cos2a = 2cos?a — = 1— 2sin? a; d) tan ) muôn 2a 2tana = ——_ 1— tan? a Quan Ba Dinh, vong 2, 2020 - 2021) 220s PP ETOR Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 Fi https://www.facebook.com/anhtuanveu VN1 a) Cho tứ giác ABCD, )N trửq I3 V4 có AC BD cắt Ó AOB =a < 90° Chứng mỉnh Š¿scp = SAC.BD sin AOB b) Cho tam giác ABC can tai A, c6 AB = AC = 5cm, A = 30° Trên tia đối tia AB va AC lấy diém M,N cho AM + AN = 6cm Tinh diện tích lớn tứ giác BŒA1N VN Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD š wa: op 1 a) Chimg minh ring AD = AB + AG b) Hệ thức lượng thay đổi thay đường phân giác 4D đường phân giác AE VN i INV J O0! NA TiổÏñ! suesesoiimnbEDsuusse Degpiatdfol.BU216.15 Họ tên: JyH1 I9 ueg J BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ ( a) Cho góc nhọn œ < 45° Chứng minh rang sin(2a) = 2sin a cosa b) Cho tam giác ABŒ ( < 90°), canh AB = c, AC = b; AD la phan gidc Ching minh ring AD VN (Tuymaada 2015, Day 2be A ieee cos 1, Problem 2, Senior League) R s00 sor(3%T — T) BA SLE = & (%1 + } D trung điểm AC AABƠ Phân giác góc AŒB, ABD vng góc với Tìm giá trị lớn ĐAC BES Cues aus PP EEO tẻ4q ti JVH LVYHL ) O2 ĐN5N * ` \ Y Biét tana = Tinh gid tri A = — sina + cos a VN Không dùng máy tính tính giá trị biểu thức sau: A = sin2 10° + sin220° + - - - + sin? 70° + sin” 80°; 2sina + cos a@ VN a) nhon, trực tam Tt mot H điểm M nim trung cao L 4/2 giac ve MD đường tam điểm b) B = cos? 15° — cos* 25° + cos? 35° — cos? 45° + cos? 55° — cos” 65° + cos? 75° ABC c) C = tan 20° tan 40° tan 50° tan 60° tan 70° giae Cho tam giác ABC nhon L AB Chứng VN Cho tam tan Ư tan Œ = VN MF max {MA, MB, MC} > 2min{MD,ME,MF} có cạnh BƠ = AB lan luot cit AD, DC = Trên canh AB E, F Chứng BC, L minh AC, ME va lấy điểm N cho dude hiểu đoạn nhỏ nhat ba doan thang MD,ME, MF ABCD 2v3 > —— Cho hinh chit nhat 4N < Dường trung trực DN Trong max {A/A, MB, AC} hiểu đoạn thẳng lớn ba đoạn thang MA, MB, MC min{MD,ME,MF} VN 0.2< ` Chitng minh rang Serp Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Ei https: //www.facebook.com/anhtuanyeu tị TH TYH1 H0 trẻ J Chương ĐƯỜNG TRỊN §1 Sự xác định đường trịn Đường Ví dụ - Cho hình vng ABŒD Gọi A AN= kính dây cung trung diém BC, N (tiết 1) 1a điểm thuộc đường chéo 4C cho 14C Chứng minh điểm À, M,C, D nằm đường trịn Ví dụ (Học thuộc - Quan trọng (Kết Bồ đề trực tâm)) Cho tam giác 4BC - nhọn nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, dudng kinh AA’, M trung điểm ØŒ a) Chứng minh BHƠA! hình bình hành; b) Đường trịn đường kính 4H cắt đường trịn (Ĩ) điểm thứ hai W (khác 4) Chứng minh QO ONDON ue ¥ A’, M,H,N thang hang; (HSG Quan Cau Gidy 2018 - 2019) c) Gọi H' điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh H” thuộc đường trịn (Ĩ) q) Gọi K hình chiếu vng góc H lên 4A Chứng mỉnh ring B, H, K, C thuộc đường tròn ( r è DNYĐ e) Chimg minh rang AN, HK, BC dong quy Vi du (Quan trọng) Cho ABC tam giác nhọn có 4B < AC nội tiếp (O) Gọi D giao điểm đường phân giác góc BAC đường trung trực BC Chimg minh D € (Ó) DBC = DOB = + Vi dụ (APMO 2017) Cho ABC tam giác có 4B < AC Gọi D giao điểm đường phân giác góc BAC đường trung trực BƠ Gọi Z giao điểm đường phân giác góc BAC đường trung trực AC Chứng mỉnh trung điểm đoạn thing AB nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác ADZ Ví dụ (Đường tròn Euler) Trong tam giác ABC, trực tâm H Gọi M,N, P lan lượt trung điểm AB, BŒ,CA 4i, Bì,Ci chân đường cao hạ từ đỉnh 4, ,C đến cạnh đối điện Az, By, C› trung điểm HA, HB, HƠ Khi điểm M,N, P, Ay, B,C), 4a, B;, C; nằm đường tròn gọi đường tròn Euler tam giác Ví dụ Cho tam giác 4Œ nhọn, nội tiếp đường tròn (O), AD đường kính (O) M la trung điểm BC, H trực tâm tam giác Gọi X, Y, Z hình chiếu vng góc điểm D lên HB,HC, BC HR p eee Chứng minh điểm X,Y,Z, thuộc đường tròn es: AR EIDN Tran Anh Tuan - 0914 396 391 Ae, Ei https: //www.facebook.com/anht1 BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ Ngày VN (THPT „năm 2022 Chuyên ĐHQG 2012 - 2013) VN Cho tam giác nhọn BC nội tiếp đường tròn tâm (Ø) Gọi Ä/ điểm cung nhỏ BỞ (M khác B,C va AM khong di qua O) Gọi D điểm đối xứng với điểm Aƒ qua O Giả sử P điểm thuộc doan thing AM cho dudng tron đường kính AƒP cắt cung nhỏ BC điểm W khác A cắt AD Q khác M a) Chứng mỉnh bón điểm A, D, Q,P thuộc đường trịn b) Chứng ba điểm X, P, D thẳng hàng VN Cho tam giác ABC nhọn, cé tric tam H Lay diém M,N thuoc tia BC cho MN = BC va M nam gitta B,C Goi D,E hình chiếu vudng géc cia M,N lên AC, 4B Chứng minh điểm A, D, E,H thuộc đường tròn VN Cho tam giác ABC P điểm PA, PB, PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 4B Aj, By, Cy Goi Ag, Ðạ, C; điểm đối xứng với Áy, Bị, C¡ qua trung điểm BC,CA, AB mỉnh rằng: 4;, By, C2 trực tâm Ởƒ tam giác ABC thuộc đường tròn Chứng ( tơo = gop(%I — 1) BA SLE = ege(%l + 1) ) ( = ` INVD OO r & 2NRN trửd t1 IVE LVHL Fp weg, TaN MEGS re Z2 PRECIO — Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 EW htips:// Chuong DUGNG (A1 = eS a = & > x = Q = > a is |S cy = @ S—7 §1 Sự xác định đường tròn, Đường w ww.facebook.com/anhtu anve u TRON kính dây cung (tiết 1) Vi du P Cho hinh vuéng ABCD Goi M trung điểm BƠ, N điểm thuộc đường chéo AC cho AN = 14G Chimg minh điểm M, N,C,D nim trén đường trịn, Ví dụ (Học thuộc - Quan trọng (Kết Bồ đề trực tâm)) Cho tam giác 4B nhọn nội tiếp đường tròn (O), trực tâm TH, đường kính AA', M trung điểm BƠ a) Chứng minh ring BHC’ la hinh binh hanh; b) Đường trịn đường kính A cắt đường trịn (Ĩ) điểm thứ hai N (khác 4) Chứng minh A’, M,H,N thang hang: (HSG + rer yy a2 ©) Gọi H” điểm đối xứng vớiae Quận Cầu Giấy 2018 - 2019) > qua ĐƠ Chứng minh #ï' thuộc đường trịn (Ĩ) d) Gọi K hình chiếu vng góc ?ï lên 4A Chứng minh Ö, H, K,Œ thuộc tron đường - ©) Chứng minh ring AN, HK, BC đồng quy Ví dụ (Quan trọng) Cho ABC đường phân giác góc BAC DBC = PCB = Ê tam giác nhọn có AB < AC nội tiếp (O) Goi D 1a giao điểm đ ường trung trực BC Ching minh D € (Ó) * Vi du (APMO 2017) Cho ABC tam giác có AB < AƠ Gọi D giao điểm đường phân giác cla goe BAC va dudng trung trực BC Gọi Z giao điểm đường phân giác góc BAC đường trung trực AC Chứng mi nh trung điểm đoạn thing AB nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác ADZ Ví dụ (Đường tròn Euler) Trong tam giác AB, trực tâm #7 Gọi M,N, P trung điểm 4B, BC,CA Ai, Bị,C¡ chân đường cao hạ từ đỉnh A, 8,C đến cạnh đối diện 4a, Bo, C2 1a trung điểm HA, HB, HƠ Khi điểm M,N,P, Ai, Bì, Ci, Ao, Bo, Cy nằm đường tròn gọi đường trịn Euler tam giác Ví dụ Cho tam giác ABC nhon, nội tiếp đường tròn (O), 4D đường kính (O) M trung điểm BC, H trực tâm tam giác Gọi X, Y, Z hình chiếu vng góc điểm D lên HB, HC, BC Ching minh điểm X, Y, Z, M thuộc đường tròn REY Vee =-4 oY | ee Ne =x22§ s24 `9) ?9)3% Tran Anh Tuấn - 0914 396 391 Ei hitps://ww w.facebook.com anhtuany Ngày tháng năm 2022 VN (THPT Chuyên ĐHQG 2012 - 2013) Chữ kí PHHổ: co Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (Ó) Gọi M điểm cung Sedu, khong di qua O) Goi D 1a diém déi xứng với điểm M qua O Gia B,C va AM st P điểm thuộ đoạn thẳng AM cho đường trịn đường kính AƒP cắt cung nhỏ BC điểm A' khác M va cit MD Q khác M a) Chứng bốn điểm A,D,Q,P thuộc đường tròn b) Chứng minh ring ba điểm N, P, D thang hang VN Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H Lay nằm B,C Gọi D, E la hinh chiéu vuông diém M,N thudc tia BC cho MN (= BC vaM góc M, W lên AC, AB Chứng minh điểm A,D,E,H thuộc đường tròn VN Cho tam giác ABC Plà điểm bất ky PA, PB, PC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ái, Bì,CI Gọi Aa, Bạ, C; điểm đối xứng với Á¡, B,C; qua trung điểm BŒ,CA, AB Chứng minh ring: Ao, By, Cy va trực tâm H tam giác ABC thuộc đường trịn Í C £0'0 = goe(%I — T) Wa82£= sw(I +1) ) ( r ONY Ð O2 DONA DN trửq H{ [V41 LVH.L !9 uêt } BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ KET cos SPP CTOR www facebook.com/anhtnanven LUYEN TAP [VH LVYH.L !Ð weg - du Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) Các đường cao AD, BE,CF tam giác cắt a) Chứng minh bốn điểm A, E,H,P nằm đường trịn Tìm tâm ï đường trịn b) Tim tam K đường trịn qua ba điểm B,F,E c) Ching minh ring 1K di qua trung điểm EƑ d) Chứng minh điểm A nằm ngồi đường trịn (K) trữq e) Chứng ring EF < BC Vi du (THPT Chuyén, TP Ha Noi 2014-2015) ONYOĐ OĐ ĐN(N Cho tam giác ABŒ nội tiếp đường tròn tam (O), H trung điểm BC, M điểm thuộc đoạn thẳng BH (M khác 8) Lấy điểm X thuộc đoạn thẳng C/A cho CN = BM Gọi trung diém MN a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, ï thuộc đường trịn Tìm vị trí A2 để đường trịn có bán kính bé (H thuộc đoạn BC) a) Ké duéng kinh AA’, ching minh ring AH.AA’ = AB.AC tit dé suy AH = RyV2 DPD góc với BC LE Ví dụ (Chuyên Tây Ninh, 2017) Cho điểm A cố định đường tròn (O; #) Hai dây cung thay đổi AB, AC đường trịn (Ĩ) thỏa man AB.AC = 2V/2R? (B khác Œ AABƠ nhọn), kẻ 4H vng OTL b) Xác định vị trí điểm A để đoạn thẳng MA có độ dài nhỏ b) Goi D va K lan lượt 1a hinh chiéu vung géc cia H trén AB, AC Ching minh ring dién tích tam giác ABŒ hai lần diện tích tam giác ADK Ví dụ (Chuyên KHTN, Vong 2, 2016) Cho hình vng ABŒ?D nội tiếp đường trịn tam (O) P điểm thuộc cung nhỏ 47D đường trịn (Ĩ) P khác 4,D Các đường thẳng PƯ, PC F,L | lần lược cắt AD M, N Đường trung trực AÄ/ cắt đường thẳng AC, PB E, K Đường trung trực 2X cắt đường thẳng BD, PŒ a) Chiing minh ba diém K, O, L thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng PO qua trung điểm doan thing EF {CNET ILE LON IEVY TPM EL PLD +——2—— £00 soe(ÉMI — 1) BA SLE = se(%T + 1) ) ) Bg Ei https: / /www.facebook.com/anhtuarveu Tran Anh Tuan - 0914 396 391 BÀI TẬP VỀ NHÀ SỐ ONY 37OØ ÐĐNfON té 1V LYELL 19 trêg ) Lớp: Gv Chữ kí PHHSS eee VN (Amsterdam 2002-2003) Cho nửa đường trịn tâm (Ĩ), đường kính BŒ điểm nằm nửa đường tròn (A khác B Ở) Hạ 4H vng góc với BƠ (H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trịn đường kính 7B HC, chúng lan lust cit AB va AC tai E F a) Chứng minh ring AB.AB = AF.AC b) Goi J, K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm 7, 4, thẳng hàng c) Tim vi tri cha A dé EF cé dài lớn VN (Đề thi HSG Hà Nội năm 2011-2012, vòng 1) Cho nửa đường trịn tâm Ĩ đường kính BC va A nằm đường trịn Từ A4 hạ AH vng góc BC vẽ đường trịn đường kính HA cắt AB; AC M N a) Chứng ÓA vuông géc MN b) Cho AH = v2; BƠ = V7 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CMN (8070 = „(%1 — 1) te 826 = s»(%I +1) ) WÑ> WỲ KET res o7 Ne DIV FCS) Trần Anh Tuấn - 0914 396 391 IH l= Dau hiéu 2: Tong hai géc déi dién bang 180° Cau (Dé thi vao 10, Chuyén Luong Van Tuy, Ninh Binh, 2017) Cho hai đường tron (O) va (O’) c&t hai diém A, B (O, O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ 4) Tiếp tuyến chung gần Ư hai đường trịn tiếp xúc với (Ó) (Ớ') Ở D Qua kẻ đường ~) | = thang song song v6i CD |= | | sâm Ei https://www.facebook.com, lan lugt c&t (O) va (O’) tai M va N (M, N khéc A) Cac dutng thing CM DN cắt tai FE Goi P Q giao hai đường thẳng Aƒ/ với đường thắng BƠ đường thẳng BD Chứng minh rằng: a) Duong thing AE vng góc đường thẳng ŒD = | b) Tứ giác BCED nội tiếp | ¢) Tam giác ƑPQ tam giác cân Câu (Đề thi vào 10, Chuyên Vĩnh Phúc Vòng 2, 2017) Cho10 hình thang ABCD véi AD, BC hai cạnh đáy; BƠ > AD,BƠ = BD 1, BAC + BDC= 180°, goi # điểm đối xứng với D qua đường thẳng ĐC = 1,AB = AC,CD < a) Chứng minh điểm A,Œ, ƒ, B nằm đường tròn BEC = 2AEC | b) Duong thing AB cat dudng thang CD tai điểm K, đường thẳng ØC cắt đường thẳng AE điểm F Chứng minh /A ƑD đường thẳng !D tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK c) Tinh dai canh CD Câu (Đề thi vào 10, Chuyên KIITN Hà Nội vòng 2, 2017) Cho cho khác tam giác ABC nhọn với AB < AC F,F trung diem | cạnh CA, AB Trung trực đoạn thẳng E.EF cét_BC BC tai| D D Gia sử có điểm nằm FEAF nằm tam giác AE PEC = DEF va PFB = DFP Đường thẳng PA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF tai Q P a) Chimg minh rang EQF = BAC + EDF b) Tiép tuyén tai P cha đường tròn ngoại tiếp tam giác Ƒ cắt đường thang CA, AB lan luot Äf, M Chứng minh bốn điểm Œ, M, N, Ở nằm đường tròn Gọi đường tròn đường tròn () Câu (Đề thi vào 10, Chuyên ILê Quý Đôn, Quảng Trị, 2017) Cho đường trịn tâm Ĩ, đường kính Œ Gọi A điểm thuộc đường tròn (A khác Đ, Ở), H hình chiếu A lên BƠ Vẽ đường trịn (T) đường kính A/ cắt AB AC M va N a) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp b) Vẽ đường kính AK đường trịn (Ĩ), gọi P trung điểm 17K Chứng minh ring EM | = | | = EN Câu Cho tam giác ABŒ nhọn nội tiếp đường tròn tâm O cé truc tam H Goi M 1a diém trén cung BC khong chita diém A (M khac B,C) Goi N, P theo thit tự điểm đối xứng Aƒ qua đường thẳng AB, AC a) Chimg minh ring AHCP ni tiếp đường tròn b) Chimg minh rang N, H, P thang hang c) Tim vị trí điểm Câu Cho tam giác tron ngoại tiếp Lam BER Giy Re0= giác M7 để độ dài NP lớn 4J#C nhọn, đường cao AT Gọi Äf, Ñ trung điểm HA cắt đường tròn ngoại = tiếp tam = giác CHN 4B, AC Đường E ee HOR TREE Tran Anh Tuan - 0914 396 391 ii https: / /www-.facebook.com/anhtuanveu a) Ching minh rang AMEN b) Chứng minh sa | néi tiép Ia tiép tuyén dudng tron ngoai tiép tam gide BHM T giao điểm CP va QM c) Gọi giao điểm MQ (O) P khác X Giả sử AM cắt PQ S Chứng 4RQS nội ONY OO DNDN UE a) Chứng 4C M7 tứ giác nội tiếp b) Chứng minh PQ song song với BC; | pina a Cau (DHQGHN 2012-2013) Cho tam giéc ABC nhon (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O) Giả sit M, N hai điểm thuộc cung BC cho MN j/ BC vatia AN nam giita hai tia AM AB Goi P hình chiếu vng góc điểm C trén AN Q hình chiếu vng góc điểm A/ 48 Giá sử Hq TED VN, tò nữ c) HE di qua trung diém cha MN tiếp Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), hai đường cao BD ŒE cắt H Gọi trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác 8EI CDI cắt K (K khác 7) a) Chứng minh BEDC nội tiếp b) Chứng minh AEK D nội tiếp xác định tâm đường trịn c) Chứng A,7, thẳng hàng Câu Cho tam giác 4B vuông cân A Một đường trịn (Ĩ) tiếp xúc với AB, AC B,C Tên cung Œ nằm tam giác AC đường tròn (O) lấy điểm A7 (khác B,C) Goi J, H, lan lượt hình chiếu M BƠ, ƠA, AB P giao điểm A với IK, Q giao điểm AfŒ với IH a) Ching minh ring BIMK,CIMH 1a cac tit giác nội tiếp b) Ching minh ring MIK = MCB c) Ching minh MPIQ néi tiép d) Chứng minh PQ // BC Câu 10 Cho đường trịn (Ĩ) đường kính A = 2Ï Œ điểm cung AĐ Lấy điểm A/ tùy ý cung nhỏ 8Œ (M khác B) Gọi W giao điểm hai tia QŒ BA; H, ï trung điểm đoạn thẳng 4O, AM; K giao điểm dudng thing BM va HI am = va GI — 1) WS Ie a) Chứng minh 4, #, K N thuộc đường tròn b) Xác định vị trí điểm M cung BƠ (M khác B) cho AK = RV10 2? Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn (Ø) Gọi tâm đường trịn nội tiếp tam giéc ABC D hình chiếu điểm đường thẳng BŒ Œ giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn (0) Goi F điểm chinh giita cung BC cita dudng tròn (0) Đường thẳng FG cat dudng thing /D tai diém H a) Chứng minh tứ giác ĐC tứ giác nội tiếp b) Gọi ÿ giao điểm thứ hai đường thẳng A1 với đường tròn ngoại tiếp tam giác Đ/Œ Chứng minh BH = CJ c) Gọi N la giao điểm thứ hai đường thẳng /*1J với đường tròn ngoại tiếp tam gide BIC Ching minh dudng thang NJ di qua trung diém cia canh BC REE roe oF IS Se HAA ETH