Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
GV: Nguyễn Tiến Lâm Ơn tập tổng hợp sơ 02 Bài tập lớp „ Giải phương trình 9+ /9+ x=x Lời giải Đặt a = /x > phương 4+9 = a? Đặt b= a+9 9+ trình trở thành >0 ta có hệ n a.=b+9 bˆ=a+9 x—6y?+12y—8=0 - Giải hệ phương trình yŸ—6z?+ 12z—§ =0 z2—6?+12x—§=0 Lời giải Nêu (x,y,z) nghiệm hệ ta chứng minh x,y,z > Ngoài viết phương trình đầu hệ x —8 = 6y(y—2) oO Tương tự với phương trình cịn lại, sau nhân lại Các số nguyên dương a,b thoa mãn điều kiện a? + bỶ + | aˆb— 2, chứng minh aŸ + b” + hợp số (mod p) nên d°b—2= —(bŸ+b+2) +118 số nguyên tố g2 = —b?—1 Lời giải Giả sử phản chứng p=a? +b? (mod p) n Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a” + bŸ + c? =3 Chứng minh (2-4)(2—b)(2~e) > abe Goi y Chitng minh (2—a)(2—b) c b)? +4 Lời giải Ta có(2-a)(2—b) =422(04b) bab > 4— FAT #4 ap n _'Cho số thực dương x,y,z thỏa mấn 8(x2 +y? +27) = 9(xy+yz+2x) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ont cla F= 224228 EE Gotmyey Déi bién Lời giải Vi lại a=“ Ệ byte ) ả thiết thành 8(x+y+z)°=25@y+yz+ø) hay tương đương x ý y xtytzxtytz Ÿ : § ri xtytzxtytz £ + x xtytextyt+z2 § =7: 25 x Để Do nêu dit a= ——=———c= x+y+Z x+ytz thìa+b+e=1và ab+be+ca= Suy raatb= Ẩ— x+y+zZ 1—c,ab= x +c2—e Sử dụng bất đẳng thức (a+)? > 4ab ta suy ; abcd (1—a)(1—b)(1—c)(1—d) Cho a,b,c,d > thod man a? +B? +c? = * Chứng minh (1—a)(1—b)(1—e) > abe Cho a,b,c la độ dài ba cạnh tam giác, ged(a,b,c) = va @4+P-c a+b-c B+e-a ` b+c-a Ce+a-b ` c+a-b đầu số nguyên Chứng minh (a+b—e)(b+e—a)(c+a—b) 2(a+b—c)(bđ+c—a)(e+a—b) số phương Cho số thực không 4m a,b,c thoả mãn a?+bˆ-++c? =2(ab-+be+-ca) Chứng minh 4(d2+bŸ+cŠ) > (a+b+e)Š PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY _ ĐỀTHI THỬ VÀO LÓP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2023 - 2024 THCS CẦU GIẤY Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phái đề) —=— ~~000=~-~~~~~~~~ Ú S ic TH DE CHÍNH Bài (2,0 điểm) 1) Giải phương trình z +1— c= ovr = x 2) Cho cde sé thyc đương z,y thỏa mãn z +2z =8 va 4y”~ 6zy = Tinh giá trị biểu thức M = 3z + 2ÿ Bài (2,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên - TU 8m-U ` _9 = 2)_ Cho số nguyên tố p cho ?` + pạ + gˆ số phương Chứng minh ?” - pq + q” số nguyên tố Bài (2,0 điểm) 1) Cho b c số thực thỏa mãn phương trình bac hai 2° + br +c =0 có hai nghiệm mà hai nghiệm bình phương nghiệm lại Chứng minh ring b 33 2) Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn xˆ2+y°+z° =] a) Chứng minh Se ete l+z l+x b) Tìm giá trị lớn p= §\z x 47-3 Ze, Hš i vet 16x z” Bài IV Cho tam giác nhọn 48C(.4B < 4C) nội tiếp đường tròn (O) đường cao 4D,BE,CF cắt H, 4H cắt EF điểm K Gọi M,7 trung điểm BC, AH, N giao điểm IM với EF AD 1) Chứng mình: HD =4, NI Ae 2) Chứng minh: BK L 7C 3) Goi P giao điểm EF với 4O Chứng minh: DP||IN Bài V Trong 100 số lẻ 1,3,5,7,9, ,199 hay tìm số tự nhiên & bé cho chon k sé tùy ý số 100 số có số mà số bội số lại Kiểm tra định kỳ lớp lần Thời gian: 150 phút (Không kế thời gian phát để] Ngày thẳng năm 2023 Câu (2 điểm] @ Ä ma 2)ay Cho cae sd: thue duung a fv y thea man dong thai cde di@ukiénae [3y 12v: lÌ =2œb {| Chứng mink rang a} y= ah bị ` Pete " Giải hệ phương trình * ¥ ad boat se ste lai _ 2x" > Sy" ~~ 4-4 Oy = 4, b) XE, VỀ Ans sai = v/7 + =.ì Chứng : v7 Tim ede số nguyên tổ p,g.r thoả mãn pegars= ¬ vt ¬ 3} Che cắc sư- nguyễna dương v.v thoà XS mãn Vet Cau (2 diém) pare Câu (2 điểm] a) Vai x.y =O thod man a7y7 2c`y = 1, tìm giá trí nhỏ FƑ =x + v b) Via > O thea man a} & = china mint ring Câu (3 diém) Cho ABC, AB < AC duang trén(1) ndi tiép, 18n luet tibp xde BCLCALAB Ð.E.PF Kệ AH vuông gắc vái BC tat H Ké đường lim DM cia (f) Tia phần giác góc AET cất Al tai G Goi duting thing MG cSt AM tai K a) Chimg minh AK = AE b) Goi MK cat (7) tai P (khdc M) Goi AP cắt (7ì L (khác P) Ching minh D.K.L thing hàng c} Gọi X trung điểm PL Goi đường thắng Kf cất dường thẳng ĐC Ö Chứng đường trịn đường bính À tiếp xúc vải (f1 Câu (1 điểm) Trên cánh đẳng hình wuậng cỡ ø xn gom nxn ô vuông, người ta đất số máy bơm nước vào cácô vuông cho õ vng có tơi đa máy hơm nude Biết mdi may bom nước tưổi nước ch vng chứa nẻ vng chung đỉnh vớiơ chứa nó, bỏi phải đặt bao nhiều máy bơm nước để tưới che tồn bô cánh dang mai trang hop sau aja=4 bj a = 2023, TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM ĐÈ KIỀM TRA CHỌN ĐỘI TUYẾN TOÁN Ngày thi: 12/02/2022 TỎ TỐN - TIN TT MƠN: TỐN (VỊNG 2) TT Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát dé) Bai I (5,0 điểm) 1) Cho cde sé thye a,b,c,d thoa man (2x-1)' =(ax+ b} +(x? text) biểu thức P=a+2b+3e + 4d 2) Giải phương trình xx +x/2—x với giá trị x e Tính giá trị = x`~2x+3 Bai II (5,0 điểm) 1) Cho P(x) đa thức bậc bốn có hệ số bậc cao nhát Biết P(1)=2, P(2)=3, P(3)=4, P(4)= Chứng minh P(5) số tự nhiên chia hết cho 2) Cho a,b số nguyên dương cho a+b° mỉnh chia hết cho a”°+3ab+3¿”-1.Chứng 4° + 3ab +3b2 —1 chia hết cho lập phương số nguyên lớn Bai III (2,0 điểm) Với số thực đương a,b,c thoa mãn Ahh a b c 4abe C —, tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a° +b? +c Bai IV (6,0 diém) Cho tam gidc nhon ABC (AB < 4C) ngoại tiép (1) Cac tiép diém cia (7) voi BC,CA,AB lin luot ld D,E,F Goi M,N,P lan lượt trung điểm BC,C4, AB Dudng thing NP cit cdc dung thing DE, DF O.R 1) Chứng minh tam giác 4@Z vng Ư,/,2 thẳng hàng 2) Gọi 'H trực tâm tam giác ARO Chimg minh ring HAR= OAT 3) Chimg minh ring H,/,M thang hang Bai V (2,0 diém) VU 1) Cho a,b,c số nguyên đương lẻ cho chúng nguyên tố ae at+tb-c on Xếp Ee ae b+c-a Sees Cra absđều sôP nguyên Chứng minh a (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)| sơ phương c?a= 2) Mỗi vng lưới vuông 10 x 10 tô hai màu xanh đỏ cho có màu xanh tổng số màu đỏ hàng cột chứa màu xanh khơng nhỏ 10 a) Đưa cách tô thỏa mãn số ô màu xanh số ô màu đỏ 50 b) Chứng mỉnh với cách tô thỏa mãn điều kiện trên, số ô màu xanh không lớn số ô màu đỏ ĐỀ KIỂM TRA KIÊN THỨC LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN N'RƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN “ Á = Mơn: TỐN (Tốn chung - Đợt 2, 18/3/2023)đề) phát (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian Cau I 1) Giải phương trình +4 +3Viz+ In +6Vz+2+2 = 20? + 16r Lượng: phươ zu(Jz — v) =1 ng trình 3) Giải hệ 823 — ys = 27y? + Cau TL, 1) Tim cóc cấp số nguyên đương (e¡y) thoả mãn z2? + = 4z? + s) Nói ? + 3z + 3g số thực đương b, tìm giá trị lớn biểu thức a+3b V2a? + 2nb + 5? P= + đa+b 5a? + 2ab+ 292) Câu I1 Cho tam giée ABC nhon nội tiếp đường tròn (Ø) P điểm nằm tam giác A BƠ cho ¿P.BA = /PCA Trên cạnh CA, AB lấy điểm EF, f cho AEPF hình bình hành 1) Chứng hai tam giác PFB PEC đồng dạng 2) Gọi giao điểm đường thẳng PT" với đường tròn (O) X, Y Chứng minh EX EY = ƑX FY 3) Gọi AZ đường kính (O) Chứng P trực tim tam giác XYZ Câu IV Cho số thực dương a,b,e Chitng minh ring Be b+c | cha a+b n atbte a xố ˆ?2 Vâ(+lP?+) ——HÊT—— TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM ĐÈ KIỀM TRA CHỌN ĐỌI TUYỂN TOÁN Ngay thi: 10/02/2022 TO TOAN - TIN Se MƠN: TỐN (VỊNG 1) Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đè Bài L (5,0 điểm) 1) Cho a,b,c la cdc sé thre théa man a? +57 +c? =4 va a +b> +c =~8, tính giá trị biểu thức P=a+b+c 2) Giai phyong trinh x? —5x+2=-2V3x—2 Bài II (5,0 điểm) 1) Cho a,b,c đ số nguyên tố thỏa mãn 5