Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
Trang 1GV: Nguyễn Tiến Lâm Ôn tập tổng hợp sô 02 Bài tập tại lớp Ấ Giải phương trình 9+ /9+ x=x Lời giải Đặt a = /x > 0 thì phương trình trở thành 9+ 4+9 = a? Đặt b= a+9 >0 thì ta có hệ a.=b+9 n bẼ=a+9 xỞ6y?+12yỞ8=0 - Giải hệ phương trình 4 yỲỞ6z?+ 12zỞậ =0 z2Ở6?+12xỞậ=0 Lời giải Nêu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì ta chứng minh được x,y,z > 0 Ngoài ra viết phương trình đầu của hệ là x Ở8 = 6y(yỞ2)
Tương tự với các phương trình còn lại, sau đó nhân lại oO Các số nguyên dương a,b thoa mãn điều kiện a? + bỶ + 1 | aẼb Ở 2, chứng minh rằng aỲ + bỢ + 1 là hợp số
Lời giải Giả sử phản chứng p=a? +b? +118 số nguyên tố thì g2 = Ởb?Ở1 (mod p) nên dồbỞ2= Ở(bỲ+b+2) (mod p) n Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn aỢ + bỲ + c? =3 Chứng minh rằng (2-4)(2Ởb)(2~e) > abe Goi y Chitng minh (2Ởa)(2Ởb) 3 c b)? +4
Lời giải Ta có (2-a)(2Ởb) =422(04b) bab > 4Ở FAT #4 5 ap n
_'Cho các số thực dương x,y,z thỏa mấn 8(x2 +y? +27) = 9(xy+yz+2x) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ ont cla F= 224228 EE Got y Déi bién a=Ộ mye byte ) Ệ lại Lời giải Vi ả thiết thành 8(x+y+z)ồ=25@y+yz+ụ) hay tương đương ậ x y Ỳ ậ ri ặ x ý sẽ : + =7: xtytzxtytz xtytzxtytz xtytextyt+z2 25
Do đó nêu dit a= ỞỞ=ỞỞỞc= x Để ẨỞ thìa+b+e=1 và ab+be+ca= 5 Suy raatb= x+y+Z x+ytz x+y+zZ
1Ởc,ab= x +c2Ởe Sử dụng bất đẳng thức (a+)? > 4ab ta suy ra ; <a,b,c<
Lưu ý là
FC W8 0, TC, es .S!/AADES ý:
1
Quy về tim min, max của abc với điều kiện ậ <a,b,c< * n Cho các số nguyên dương x,y,z thoả mãn đồng thời các điều kiện (x,y,z) = I và z | xy,x | yz,y | zx Chứng minh
Trang 2
GV: Nguyễn Tiến Lâm
Lời giải Cách giải nhanh nhất là sử dụng số mũ đúng Ngoài ra có thể gọi đị = (x,y),đỈ = (y.z).đỈ = (z,x) thì
ả\,da,dỈ đôi một nguyên tổ cùng nhau Do x chia hết cho d},d3 nén x chia cho djd3, tức là x = djd3.x
Tuong tu thi y = dodyy,,z = d3d2z) Theo giả thiét thi z| xy nén dsd2z1 | d?dzd3x1y) TU đó z¡ đ?xyyi Tuy nhiên ta có thể chứng minh z¡ nguyên tố cùng nhau với đị,xị,yị Làm tiếp đi nhé n 7 Với a,b,e là các số thực dương thoả mãn i > 1 Chứng minh rằng a Oo rồi sử dụng phép nhóm abel Thực tế thì bài này dùng AM-GM cũng được
8 Cho lưới ô vuông cỡ 3 x7 Tô màu mỗi nút lưới bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn
tại một hình chữ nhật có bốn đỉnh là bốn nút lưới được tô cùng màu
Lời giải Dưới đây sẽ trình bày hướng giải bài này bằng phương pháp đếm hai cách Lap bang 6 vuông 3x7 và viết vào mỗi ô vuông một trong hai số 0 hoặc 1 tượng trưng cho màu xanh và màu đỏ Giả sử trong hai
màu xanh, đỏ có một màu được tô ở ắt nhất 11 ô vuông, giả sử là màu xanh Suy ra số số 0 trong bảng lớn
hơn hoặc bằng 11 Ta đếm số cặp (0,0) trên mỗi cột Giả sử cột thứ ¡ có chứa m; sô 0 Thê thì sô cặp (0,0) ='Í 2Ở 7 là điểm 1) = a Suy ra số cặp (0,0) trên toàn bảng là k= 3 (mỳ + + + mỆỞ lú tìm +m) Đặt x=mị + ma + : +mạ, dp dung bat đẳng thức Cauchy-Schwarz thì gst day +n + +7)? -( >;|;tm 2 m7) my +m + tim) =1⁄(1z-1)>|n(1nỞl) >3 ++++ +7 =z*|j 25ồ 7 8
Suy ra có ắt nhất 4 cặp (0,0) trên toàn bảng Các cặp (0,0) này thuộc hai trong ba hàng nên có 3 cách chọn 2 hàng để chứa cặp (0,0) Suy ra phải có hai hàng chứa hai cặp (0,0) Phép chứng minh hoàn tất n Bài tập về nhà 1 Giải phương trình xẼ +vx+5 2 Giải hệ phương Ni t 3 Cho a,b,c,d > O'thoa man a2+b? +c2+d? = 1 Chitng minh ring (1Ởa)(1Ởb)(1Ởc)(1Ởd) > abcd
4 Cho a,b,c,d > 0 thod man a? +B? +c? = * Chứng minh rằng (1Ởa)(1Ởb)(1Ởe) > abe 5 Cho a,b,c la độ dài ba cạnh của một tam giác, ged(a,b,c) = 1 va
@4+P-c B+e-a Ce+a-b
a+b-c ` b+c-a ` c+a-b
đầu là các số nguyên Chứng minh rằng (a+bỞe)(b+eỞa)(c+aỞ b) hoặc 2(a+bỞc)(bđ+cỞa)(e+aỞb) là một số chắnh phương
6 Cho các số thực không 4m a,b,c thoả mãn a?+bẼ-++c? =2(ab-+be+-ca) Chứng minh rằng
Trang 3
PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY _ ĐỀTHI THỬ VÀO LÓP 10 THPT CHUYÊN
THCS CẦU GIẤY Năm học 2023 - 2024
Ở=Ở ~~000=~-~~~~~~~~ Mơn: Tốn
S Ú Thời gian làm bài: 150 phút DE CHÍNH TH ic (Khơng kể thời gian phái đề) Bài 1 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình z +1Ở c= ovr = 1 x 2) Cho cde sé thyc đương z,y thỏa mãn z +2z =8 va 4yỢ~ 6zy = 9 Tinh giá trị của biểu thức M = 3z + 2Ữ Bài 2 (2,0 điểm) TU _9
1) Giải phương trình nghiệm nguyên - 8m-U ` = 7
2)_ Cho các số nguyên tố p và ạ sao cho ?` + pạ + gẼ là số chắnh phương Chứng minh rằng ?Ợ - pq + qỢ là số nguyên tố
Bài 3 (2,0 điểm)
1) Cho b và c là các số thực thỏa mãn phương trình bac hai 2ồ + br +c =0 có hai
nghiệm mà một trong hai nghiệm là bình phương của nghiệm còn lại Chứng minh ring b <= và b3 Ở3be +ẻ +e=0
2) Cho các số thực không âm 2, y, 2 thỏa mãn zự + Ữz + z = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của
ân +4 3214, 3.14
z+Ụ ụ+z z+z#
Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam gidc ABC tryc tam H noi tiếp (0) Goi M 1a trung diém BC
MH cit (0) tai Q T la trung diém QH Duong tron dudng kinh Qi cat (0) tại K
khac Q
1) Chiing minh rang @ thudc dudng tron đường kắnh 4H
2) Kẻ HX vuông góc HM (X e BC) Ching minh rang PX 1 TO
3) U là trung diém AQ MU giao QK tai N Ching minh rang tt giác WKDM nội tiếp, với D là chân đường cao hạ từ 4 của tam gidc ABC
Bài 5 (1,0 diém) Cho tập hợp # = {1;2:3: ;20}
1) Tìm một tập hợp con 4 có 5 phần tử của 5 sao cho trong 4 không có hai phần tử z, nào mà zỮ chỉa hết cho z + Ữ
Trang 4CHUYEN DE: ON TAP VAO 10 CHUYEN Bail 1) Cho các số thực x, y thỏa mãn: (x+ Vy? +1 |(s: Yx?+l ) =1 Tắnh giá trị của #=x` + y = = 2) Giai phuong trinh sau trén tap s6 thuc: 7Vầ3xỞ7 +(4xỞ7)/7Ởx =32 By +142y(x =4y)x242y
3) Giai hé phuong trinh sau: y +ItAyx+l=4yjx r2p+l
y(y-x)=3-3y với (x, y eR)
Bài H
1)Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn ae = 202120 Hãy tìm số dư của phép chia của biểu thức
A=aồ+b)+cồỞ3 cho 24
2)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x:y) nguyên tố cùng nhau sao cho: xỢ + y =(x~ y)
3)Tim tắt cả các số nguyên x,y và số nguyên tố p để xồ~3xy+ pồy? =12p
Bài II
1) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a+b+e=6,abe =4 Chứng minh: aỢb? +đồe? +cồa? >33 2) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xẼ2+yồ+zồ =]
a) Chứng minh Se ete i
l+z l+x 4 ậ\z x
b) Tìm giá trị lớn nhất của p= 47-3 vet
1 Ze, HỌ 16x zỢ
Bài IV Cho tam giác nhọn 48C(.4B < 4C) nội tiếp đường tròn (O) các đường cao 4D,BE,CF cắt nhau tại H, 4H cắt EF tại điểm K Gọi M,7 lần lượt là trung điểm của BC, AH, N là giao
điểm của IM với EF HD AD 1) Chứng mình: =4, NI Ae 2) Chứng minh: BK L 7C 3) Goi P là giao điểm của EF với 4O Chứng minh: DP||IN
Trang 5Kiểm tra định kỳ lớp 9 lần 4 Thời gian: 150 phút (Không kế thời gian phát để] Ngày thẳng năm 2023 Câu 1 (2 điểm] ay @ : Ả ma se
2) Cho cae sd thue duung a fv y thea man dong thai cde di@ukiénae ad boat ste lai và [3y 12v: lÌ =2Ủb {| 3 Chứng mink rang a} y= ah 3 3 7 ` Pete " * ầ _ bị Giải hệ phương trình 4 5 2x" > Sy" ~~ 4-4 Oy = 4, Cau 2 (2 diém) vt Vet
ể - a XS XE, VỀ Ans sai =
3} Che cắc sỏ nguyễn dương v.v thoà mãn v/7 + = Chứng mình rằng v7 ể ì : 2
b) Tim ede số nguyên tổ p,g.r thoả mãn pegars= pare Câu 3 (2 điểm]
a) Vai x.y =O thod man a7y7 4 2c`y = 1, tìm giá trắ nhỏ nhất của FƑ =x + v
b) Via > O thea man a} & = 2 china mint ring
Câu 4 (3 diém) Cho ABC, AB < AC 6 duang trén (1) ndi tiép, 18n luet tibp xde BCLCALAB tại Đ.E.PF Kệ AH vuông gắc vái BC tat H Ké đường lim DM cia (f) Tia phần giác của góc AET cất Al tai G Goi duting thing MG cSt AM tai K
a) Chimg minh AK = AE
b) Goi MK cat (7) tai P (khdc M) Goi AP cắt (7ì tại L (khác P) Ching minh D.K.L thing
hàng
c} Gọi X là trung điểm PL Goi đường thắng Kf cất dường thẳng ĐC tại ỷ Chứng mình đường
tròn đường bắnh Aử tiếp xúc vải (f1
Câu 5 (1 điểm) Trên một cánh đẳng hình wuậng cỡ ụ xn gom nxn ô vuông, người ta đất một
số máy bơm nước vào các ô vuông sao cho mỗi õ vuông có tôi đa một máy hơm nude Biết rằng mdi may bom nước chỉ có thể tưổi nước cha ô vuông chứa nẻ và các ỏ vuông chung đỉnh với ô chứa nó, bỏi phải đặt ắt nhất bao nhiều máy bơm nước để có thể tưới che tồn bơ cánh dang trong mai trang hop sau
aja=4 bj a = 2023,
Trang 6
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM ĐÈ KIỀM TRA CHỌN ĐỘI TUYẾN TOÁN 9
TỎ TOÁN - TIN Ngày thi: 12/02/2022
TT TT MÔN: TOÁN 9 (VÒNG 2)
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát dé)
Bai I (5,0 điểm)
1) Cho cde sé thye a,b,c,d thoa man (2x-1)' =(ax+ b} +(x? text) với mọi giá trị của x e 8 Tắnh giá trị của biểu thức P=a+2b+3e + 4d
2) Giải phương trình xx +x/2Ởx = x`~2x+3
Bai II (5,0 điểm)
1) Cho P(x) là đa thức bậc bốn và có hệ số của bậc cao nhát là 1 Biết rằng P(1)=2, P(2)=3, P(3)=4,
P(4)= 5 Chứng minh rằng P(5) là một số tự nhiên và chia hết cho 5
2) Cho a,b là các số nguyên dương sao cho a+bồ chia hết cho aỢồ+3ab+3ƯỢ-1.Chứng mỉnh rằng
4ồ + 3ab +3b2 Ở1 chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1
Bai III (2,0 điểm) Với các số thực đương a,b,c thoa mãn Ahh a b c 4abe 4 C Ở, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=aồ +b? +c
Bai IV (6,0 diém) Cho tam gidc nhon ABC (AB < 4C) ngoại tiép (1) Cac tiép diém cia (7) voi BC,CA,AB lin luot ld D,E,F Goi M,N,P lan lượt là trung điểm của BC,C4, AB Dudng thing NP cit cdc dung thing
DE, DF lần lượt tại O.R
1) Chứng minh rằng tam giác 4@Z vuông và ỷ,/,2 thẳng hàng 2) Gọi 'H là trực tâm của tam giác ARO Chimg minh ring HAR= OAT 3) Chimg minh ring H,/,M thang hang
Bai V (2,0 diém)
VU on Xếp
1) Cho a,b,c là các số nguyên đương lẻ sao cho chúng nguyên tố cùng nhau và ae Ee ae at+tb-c b+c-a
Cra abs P Sees 3
a đều là các sô nguyên Chứng minh răng (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)| là sô chắnh phương c?a=
2) Mỗi ô vuông của lưới vuông 10 x 10 được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ sao cho tại mỗi ô có màu
xanh thì tổng số các ô màu đỏ ở hàng và cột chứa ô màu xanh đó không nhỏ hơn 10
a) Đưa ra một cách tô thỏa mãn số ô màu xanh và số ô màu đỏ đều là 50
Trang 7
= 2 Á
TRƯỜNG DẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIÊN THỨC LỚP 9
N'RƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM HỌC 2022 - 2023
Mơn: TỐN (Tốn chung - Đợt 2, 18/3/2023)
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề ) Cau I 1) Giải phương trình
In +6Vz+2+2 = 20? + 16r +4 +3Viz + 2 3) Giải hệ phương trình Lượng: 823 Ở ys = 27y? + 6 zu(Jz Ở v) =1
Cau TL, 1) Tim cóc cấp số nguyên đương (e¡y) thoả mãn
z2? + 4 = 4z? + ? + 3z + 3g
các số thực đương ở và b, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a+3b + đa+b
V2a? + 2nb + 5? 5a? + 2ab+ 292)
Câu I1 Cho tam giée ABC nhon nội tiếp trong đường tròn (ử) P là một điểm nằm trong tam giác A BƠ sao cho ƯP.BA = /PCA Trên các cạnh CA, AB lần lượt lấy các điểm EF, f sao cho AEPF là một hình bình hành
s) Nói
P=
1) Chứng mình rằng hai tam giác PFB và PEC đồng dạng
Trang 8
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM ĐÈ KIỀM TRA CHỌN ĐỌI TUYỂN TOÁN 9
TO TOAN - TIN Ngay thi: 10/02/2022
Se MƠN: TỐN 9 (VÒNG 1)
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đè Bài L (5,0 điểm)
1) Cho a,b,c la cdc sé thre théa man a? +57 +c? =4 va a +b> +c =~8, tắnh giá trị biểu thức P=a+b+c 2) Giai phyong trinh x? Ở5x+2=-2V3xỞ2
Bài II (5,0 điểm)
1) Cho a,b,c và đ là các số nguyên tố thỏa mãn 5<ụ<b<c< đ<a+10 Chứng minh ring a+b+c+d chia hết cho 60 9n+Ế 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để là bình phương của 1 số hữu tỷ n+3
Bai IIL (3,0 diem)
1) Với các số thực a,b thỏa mãn: 0<b<a<4 và a+b<7, chứng minh ring a? +b? < 25
: 1 Ề
2) Với các số thue duong a,b,c théa mãn a+b+c=Ở, 6 tim gid tri lớn nhất cia po, ee a+l 2b+l 3c+l
Bai IV (6,0 điểm)
Cho tam giác nhon ABC(AB < 4C) nội tiếp (0) đường kinh 4K Gọi H,AẶ lần lượt là trực tâm của tam giác, trung điểm ZC, trung trực của 47 cắt 4đ, 4C lần lượt tại FẤE, đường thẳng qua ử vuông góc với OA cit
AB, AC lần lượt tại ử,P Gọi 7 là giao điểm của QE,PF, Ế là điểm đối xứng với Q qua O, SI cit AC tai
T, AH cắt BC tại D
1) Chimg minh ring AH =20M va BAD =CAK
2) Chimg minh ring CH || PF
3) Trung trực của PQ cắt 4D tại G Chứng minh rằng GÓT =90ồ
Bài V (1,0 điểm)
Có ba đồng sỏi có số sỏi tương ứng là 2020,2021và 2022 viên sỏi Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi như
sau: hai người lần lượt thực hiện tuần tự lượt chơi của mình; ở mỗi lượt chơi, người chơi được phép chọn ra hai đồng sỏi có số sỏi tương ứng là ụ và b viên sỏi, sau đó loại khỏi mỗi đồng sỏi đó (a,) viên sỏi trong đó (a,b) là ước chung lớn nhất của ụ và ỏ Người chơi đầu tiên loại bỏ hết sỏi ở một đồng sỏi nào đó là người chiến thắng An là người chơi trước, chứng minh rằng Bình có chiến thuật để chiến thắng
Trang 910 11, 12 15 | > ( / kc GV: Nguyễn Tiến Lâm Ôn tập chung Giải phương trình /x+1+x?=x+vx?+1 Véi a,b,c > 0 thoả mãn a+b c = abe, tắnh a x b 4 c 2abc 1+4 1+2 14 V(+a2)(1+02(1+c?) F=
Cho các số nguyên dương a,b thoả mãn a2b+a chia hết cho 47+ b và ab? +b chia hết cho b2Ở a Chứng minh rằng 4ab + 1 là số chắnh phương
Cho các số nguyên dương m,n > 1 thoả mãn m không là số chắnh phương va n?-+n+ 1 chia
hết cho m Chứng minh rằng
|mỞn| > V3nỞ2
Ấ Với n> 1 là số tự atin goi d 1a uéc cla n*+2n?+2 thod man d > n 2+1 Chứng minh rằng
d>n?+1+vn2ồ+ AN LN
Xét cdc s6 thuc a,b,c khdc 0 thoả mãn abc = 2, chứng minh rang, tong ba số 2aỞ1 ỹ ,2bỞ} và 2c-} 1 có tối đa hai số lớn hơn 2 \ ` Oo
Cho các số thực a,b,c dương thoả mãn đ? 442 sb Bons <3, chting minh ring
|
2ab+3 2be+3/~ đa 3
ero * GreR xa Ẻ J Kee a
Cho a,b,c thoả mãn a+b-+c = ab+be-+cas.Chiing minh rằng
2aỞ1 be 2bỞ1 leo) 3
aỞa+l b2Ở bE XI" (a+bỞ1)(b+eỞ1)(e+aỞ1)`
Trang 10SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ TUYẾN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2022 ~ 2023 ĐÈ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN (Chun Tốn) Ngày thi: 20/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút Bail (2,0 điểm)
1) Giải phương trinh 2? Ở 4c + 2V22 -1+1=0
2) Cho các số thực a,b và e thỏa mãn điều kién ab + be + ca = 1 Tắnh giá trị của biểu thức
a b Ạ 2
P= l+a y+ 140? z+ 1l+c? in a@+6b+cỞabe Ỉ
Bài H (2,0 điểm)
1) Chứng minh nếu ụỦ là số tự nhiên lẻ thì 3*"* Ở 7 chia hết cho 20
2) Tim tat cả cặp số nguyên dương (zẤy) sao cho g(z? + z +1) = (z +1) Ở 1) Bài II (2,0 điểm)
m3 và Hồ đêu là các sô nguyên tô na Sàn
m+n m+n
1) Tim hai s6 nguyén duong m va n sao cho
2) Với a,b và c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ụ + ỏ + c = 3, tìm giá trị lớn nhất của
ozÔ bed, Ce ber Oe
biểu thức P = ab + 2be + 3ca Ở 3abe
je bs x ì = 6 SS
Bai LV (3,0 diém)
Cho tam giác 4BỂ nhọn với 4B < AC Đường tròn (1) nội tiếp tam giác 4 BƠ, tiếp xúc với ba
cạnh BC,CA và AB lần lượt tại ba điểm D,E và F
1) Goi M là giao điểm của hai đường thẳng AI và DI Chứng mình đường thẳng ƠM vuông góc
với đường thing AJ
2) Goi N [a giao điểm của hai đường thẳng AI va DE Gọi X là trung điểm của đoạn thằng BC
Chứng minh tam giác ỘMN' là tam giác cân
3) Các tiếp tuyến tại M và W của đường tròn (K;M) cắt nhau tại điểm 9 Chứng minh đường
thing 4ử song song với đường thẳng 1D
ỘBài V (1,0 điểm)
Cho tap hop A gdm 70 số nguyên dương không vượt quá 90 Gọi ; là tập hợp gồm các số có dạng ~ + với zẠ A và yẠ 4 (z,y không nhất thiết phân biệt) Ẽ
1) Chứng minh 68 Ạ B
2) Chứng minh chứa 91 số nguyên liên tiếp
Trang 11GV: Nguyễn Tiến Lâm 9 ~ WV @ 3: On tập tổng hợp sô 04 Bài tập ở lớp Xét các số hữu tỉ x,y thoả mãn xỢ +yỢ =2xỲyỲ, chứng minh rằng v⁄1Ở xy là số hữu tỉ Giải phương trình 5x2? + 14x+9Ở V+x2ỞxỞ 20 = 5vx+ I 3_8y= n3, 2y Giải hệ phương trình {* Ở X3 +44 x Ở3y" =6
Cho các số nguyên dương a,b,c,đ,x,y thoả mãn ađ Ở bc = 1, đồng thời 2yts 5, Chứng , by d minh rằng y > b+đ 4 i Với a,b,c là các sô thực thoả mãn 1 < a,b,e < 2, tìm giá trị lớn nhất của eee cag DEG: 4Ó a+b+c ` Lời giải Giả sử b là sô nằm giữa a và c Thê thì (bỞ e)(bỏỞ a) < 0 cho ta b?+ac < ba+be ý SR Saath igo: Fg SR ý p ab Chia hai vê của bât đắng thức trên chó c ta được Tra < sre Suy ra 2 2 2 b b?Ởb, i 2 DU ee bé b fm 4 6N be ee pe yy be c Do đó, ;
Luu y la a < 2c, cK 2a.nén (aỞ2c)(cỞ2a) > 0, kéo theo a* +c? < ác: Lần lượt chia hai ` 5
về của bất đăng thức này cho a và cho c ta được ate < a va = +a< c Từ đó
oe ee 1S
+ Ở+b<Ọ5á+Ọc+b Ca, 2: 2
Vì b> min(a,c) va déng thời 2b > max(a,c) nén 3b > min(a,c) +max(a,c) =a+e Do đó,
3 11 1 11 3 11
s(a+e)+b==(a+c)+s(a+c)+b< gate) t gotb= ~(a+b+e) 2 ậ ậ ậ ậ
Từ các bất đẳng thức trên suy được
11 F<-
7-8
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi a= b = 1,c =2 oO
Một số bài toán tương tự Với a,b,c là các số thực thoả mãn 1 < a,b,e < 2, chứng minh
Trang 12
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2023-2024
Mơn thi: TỐN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) Z Z 1 2 3 a) Cho x, y, z là ba số thực khác 0 thỏa mãn x#2.+=l và Ở+Ở+Ở=0 Chứng 2 3 x y Zz 2 2 minh rang v4 4221, 4 9 b) Cho f(n)= 2 với ụ là số nguyên dương Tinh giá trị của biểu thức V2nt+1+ V2n-1 S=f(1)+f(2)+ f(3)+ -+f (40) Câu 2: (2,0 điểm) a) Giai phuong trinh 2(Vx-1 + 1) =x+Vx+2 vty =xytxỞyt2
b) Giải hệ phương trình J`, "` 7# T# x+yÌ=y(x+y+4)+x
Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác 48C nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (0) các đường cao 4D, BE, CF đồng quy tại 77 Gọi AẶ là trung điểm của cạnh BC, N 1a trung điểm của
đoạn 417, đường thăng EƑ cắt đường tròn (O) tại P, Q và cắt đường thắng BC tai S sao
cho P nằm giữa $ và # Chứng minh rang: a) Tit gidc AOMN là hình bình hành
b) AP? = AQ? = AE.AC
ẹ) Tứ giác DMEF nội tiếp va 2ồ = 27 l PS ES
Câu 4: (1,5 điểm)
a) Cho hai số nguyên dương Z, b thỏa mãn zÌ:;, b`:z Chứng minh (z' +b*)Ậab
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x(x? ~y)+(y-3)(* +1) =0 Câu 5: (1,5 diém)
a) Cho cdc số thực x, y, z thỏa mãn 0< x, y, z<4 Chứng minh rằng: x?y+yồz+z?x+16 > xy? + yz? +zx?
b) Ban đầu trên bảng viết 2023 số thực Mỗi lần biến đổi số trên bảng là việc thực hiện
như sau: Chọn ra hai sô a và ở nào đó ở trên bảng, xóa hai số đó đi và việt thêm lên bảng số a+b
Trang 13(Fr THN & 2 : ể ể GV: Nguyễn Tiến Lâm Buổi 2 Bài 1 (3 điểm) ~ a) Giải phương trình v5xẼ+ 14x+9Ở vx?ỞxỞ20 = 5v*% + l = 2y Ở6yỞ b) Giải hệ phương trình [ _ ae
c) Biết rằng đa thức P(x) = xỲ + 3x? Ở 1 có ba nghiệm phân biệt Chứng minh rằng trong ba
nghiệm đó tổn tại hai nghiệm a,b mà ab+a+ 1 =0
Bài 2 (2 điểm)
a) Xét các số nguyên dương x,y thoả mãn x2 +} y và y?+4x+3 đều là các số chắnh phương
Chứng minh rằng ậxy-+ 1 cũng là số chắnh phương
b) Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn
ry + 2xyỲ +x2y +3xy +27 +y! Ở3x+9y Ở 8 >0 Bài 3 (2 điểm) a) Với a,b,c > 0 thoả mãn aẼ-+ 2 + c? = 2abe+ 1 vàa-+b+e > 3, chứng mình rằng a+b+c<2Vvabe+] b) Với x,y,z > 0 thoả mãn xy+yz+zx+xyz = 4, tìm giá trị lớn nhất của x y z A& S47 44 _ x13 123 213 Bài 4 (2 điểm) a) Cho các số nguyên dươngỈa,b thoả mãn aỞ b = 5b Ở 4a? Chứng minh rằng 8b+1 IA hợp số b b) Với a,b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn a>b>c>dvaac+bd chia hét cho a+bỞ c+d Chúng mỉnh rằng aồc + bđẾ là hợp số Bài 5 (1 điểm)
a) Xét đa giác đều Al4Ư An với n >4 Tại mỗi đỉnh của đa giác ta viết một số thực sao cho
néu a, b,c,d là bồn số được viết ở bốn đỉnh liên tiếp theo thứ tự đó thì a-+đ = b+-c Chứng
minh rằng nếu ụ lẻ thì tất cả các số được viết đều bằng nhau
Trang 1411 10 Giải hệ phương trình _Ở_ 6V: Nguyễn Tiến Lâm Ôn tập tổng hợp số 05 Bài tập tại lớp x y=-xÌỞ=3/+6 - Với a,b,c là các sô thực thoả mãn 3aỲ +-2bồ -c? = 6, chứng minh rằng Ở6 <2(a+b+c) Ở abe < 6 - Với a,b,e > 0 thoả mãn ab + be + ca = 1, chứng minh rằng 2 + 2 a 3 2 16 @+1 B41 e4+1> 3ồ Véi a,b,c > 0 thoả mãn ab + bc + ca = 3, chứng mỉnh rằng a 4 b + Ạ 3 @24+7 B47 247-8 Cho các số nguyên dương a,b thoả mãn điều kiện aỞ b = 102 Ở 942 Chứng minh rằng 18b + I là hợp số Tìm các số nguyên dương z,b thoả mãn đồng thời các điều kiện a2+b?+-25 = 15ab và @ +ab+Db? la sé nguyén té Xét các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn đồng thời các điều kiện ab = cả > 2020! và |aỞ b| < 4040, |c Ở d| < 4040 Chứng minh rằng a?020.-+ 42020 Ở ằ2020 4 42020, Gọi đị < dạ < - < dự là tất cỗ các ước nguyên dương của số nguyên dương ự, tìm n biết ds Ở dy = 40 Tds + 8d7 = 3n
Biết rằng phương trinh x3 Ở 3x? +3 = 0 có ba nghiệm phân biệt Chứng minh rằng trong ba nghiệm này có hai nghiệm a,b thoả mãn ab+ 3 = a+2b
Trên bàn có 11 đồng sỏi, mỗi đồng có mười viên sồi An và Bình chơi trò chơi trò chơi sau đây Lần lượt họ lấy 1, 2 hoặc 3 viên sỏi cùng một lúc: An lấy đá từ bất kỳ đống đơn lẻ nào
Trang 15VN GV: Nguyén Tién Lam LUU HANH NOI BO Ôn tập tổng hợp sô 03 1 Bài tập ở lớp Xét số tự nhiên n thoả mãn n1 và 2ụ + 1 đều là các số chắnh phương Chứng minh rằng n chia hết cho 24
Gj ) Giai phuong trinh 8x9 4.29 = 3x2 + 4-4-2
(x-+y)(a? + 2y? + 3xy) = 12
5x7 + Ty? + 12xy= 12+6(x+y)
w
Ừ) Giải hệ phương trình {
4.)Giải phương trình nghiệm nguyén duong y* + 4xy(x2 +y?) + 6x7y? = 4x3 + 6x? + 3x42 5 Tim cdc số nguyên té p,g,r thod man (p?+1)(q?2+1) =? +1
6 Xéta>d>b>c>0 la cdc s6 nguyên dương thoả mãn ab Ở cđ dương và chia hết cho a+đỞbỞc Chứng minh rằng a+b+c+đ là hợp số 7 Với a,b,c > 0 thoả man ab + be + ca =3, tìm giá trị lớn nhất của PW aaa ; sks ipo at 1 3 8 Véi a,b,c > 0 thoả mãn ab + be+ ca = 3, chứng mi >z2xP+2 Sĩ 2 S > 2 f 16 9 1
ý Có thể ié 2 +b? > (ah) *hodc ỞỞỞỞỞỞ < =Ở,Ở_ + =
Goi y Cé thé lam bang nhiéu cdch a* + b* > lat oặc Z1P12ẾữnEgmT + i
9 Với a,b,c > 0 thod man (a? +b?) (62 +c2) (c2 + à2) = 2, chứng minh rằng a+b+c>2 Gợi ý Giả sử e = min(a,b,e) và x3a+Sy=b+Ế hoặc đánh giá b2 + c? < b2+bc,a2 + c2 < @+ac 10 Với x,y,z > 0 thoả mãn xyÈ> 1, chứng minh rang Ộ` | d-2
Goi y Lay +ườ từng phân số rồi dùng Bunhiacovsky cho mẫu số 11 Với a,b,e > 0 thoả mãn (+) (b+-c) (c+ a) = 1, chứng minh
a b c
(a+2b)* (b+c) ồ (b+2c)?(c-+a) 4 (c+2a)? (a+b)
SES, `
Gợi ý Bunhiacovsky hoặc Holder đều được
Trang 16
'TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG DE KIEM TRA DINH Ki LAN 01 - LỚP 9T0
024 6686 5087 Ở 0983 614 376 Mơn Tốn - Thời gian làm bài 90 phút, ngày 28/8/2022
Bài 1 (3 điểm)
a) Cho sé thực z = v2 + v3 Chứng mỉnh ring x4 Ở 10z? + 1 = 0, từ đó hãy tắnh F = 225 Ở x4 Ở 20x? + 102? + 2z
b) Giải phương trình z? + 3z + 5 = (x + 3) Va? + 5
e) Xét các số thực z, thoả mãn điều kiện (zTỞ 1+ #2? Ở 2z +4)(u+2+ v⁄# + 4 + 7) =3,
tắnh tổng z + g?
Bài 2 (3 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên n sao cho n* + 2nẾ + 3n? + m + 2 là số chắnh phương
b) Chứng minh ring aỖ + 20a chia hết cho 3 với mọi số nguyên a
e) Xét các số tự nhiên z, thoả mãn z? + 7z + 4 = 2 Chứng mỉnh y chin va từ đó tim x,y
thoả mãn đề bài
Bài 3 (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC; các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H; M là trung điểm của BC
a) Chitng minh ring B,C, E, F cing nằm trên một đường tròn và EF' < BƠ
b) Chứng minh rằng D, M, E, ' nằm trên một đường tròn (K) Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC, chứng minh rằng H, Ể, K thẳng hàng
c) Gọi X,Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên 4B, AƠ Chứng minh rằng XY || #F và bốn điểm B,C, X,Y cùng nằm trên một đường tròn
Bài 4 (1 điểm) Xét các số thực phân biệt a, b,c, d thoả mãn
(a2 + 02Ở 3)(a +) = (Ê+c2Ở 3)(b+ e) = (2+ đệ Ở 3)(c+ đ),
chứng minh rằng a+b+ e+ d =0
Trang 17
Website: http://khoabang.edu.vn/ Facebook: https://www.facebook.com/trungt am.khoabang
TRUNG TÂM LUYỆN THỊ KHOA BẰNG DE KIEM TRA DINH KI LAN 03- LOP 9T0
024 6686 5087 Ở 0983 614 376 Môn Toán - Thời gian làm bài 90 phút, ngày 30/10/2022 Bài 1 (2 điểm) a) Tìm các số hữu tỉ a,b để đa thức P(Ủ) = 2ồ + 32? + ar + b có nghiệm 2 + v3 b) Giải phương trình z? - z+ậ = 4vZ +3 Bài 2 (2 điểm) a) Cho z, là các số nguyên dương thoả mãn z2 + y? + 30 chia hết cho z Chứng minh rằng z, là các số lẻ và nguyên tố cùng nhau b) Tìm các số nguyên z,/ thoả mãn (# + 1)! Ở (z Ở 1)* = ỮỲ Bài 3 (2 điểm) a) Với z, là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thoả mãn 5z? + 12 + 2z Ở 4z < 0, tìm giá Ất cố 1 1 trị nhỏ nhất của P = =ỞỞ, + Ở + zy ory zy suề= Se 114 1 % b) Với a, b,c là các số thực dương thoả mãn s + 3 + z= 1, chứng minh rằng a hạẤẤỷ ae Ce xe, 3 a+ beh +Ợ ctab~ 2 Bai 4 (3 diém)
Cho tam giác A BƠ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao 4D, BE, CF cia tam
giác ABC cắt nhau tại H, EF cắt (O) tai P và Q (P thuộc cung nhỏ A) a) Chứng minh tam giác APQ cân b) Chứng minh DH : DA = DE: DF c) Lấy điểm M đối xứng với điểm P qua 4B, điểm N đối xứng với điểm Q qua AƠ Chứng minh MN || BC Bai 5 (1 diém)
Trên bảng viết các số > _ XD sar Mỗi lần cho phép xoá hai số a,b bất kỳ và thay bởi hai số lu : 2 va Ở Thực hiện liên tiếp các phép biến đổi nói trên, chứng minh rằng dù thực hiện
như thế nào thì trên bảng không thể xuất hiện một số lớn hơn 1
Trang 18
Website: http://khoabang.edu.vn/ Facebook: https://www.facebook.com/trungtam.khoabang
TRUNG TAM LUYEN THI KHOA BANG DE KIỀM TRA ĐỊNH KÌ LẦN 03 - LỚP 9T0
024 6686 5087 Ở 0983 614 376 Mơn Tốn - Thời gian làm bài 90 phút, ngày 08/01/2023
Bài 1 (2,5 điểm)
ả) Với a,b,e đôi một khác nhau, chứng minh rằng
~ a+b b+c etpete Bre ore |
a=bb-=c b-cc-a c-aa-b- b) Giải phương trình 2z? Ở 5z = v% Ở 2+ 2+ - 5 + 4-Ở z e) Tìm các số thực z, , z thoả mãn àà 2y 2z 2+ -1 Bài 2 (2,5 điểm) Ja) Cho các số nguyên a,b théa man a? + ab + b? chia hết cho 10 Chứng minh rằng aÊ + ab + 0? ~~ chia hết cho 100 b) Tìm các số tự nhiên z, y thoả mãn \ = Mikey z3ụu+z+=x~ụu+ 2a Bài 3 (1,0 điểm)
-a) Với a,b,c > 0 thoả mãn ụ + b + e = 6, chứng minh rằng (b+ 2)(c +2) > ab
b) Cho a,b,e > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c? = 3 Chứng mỉnh rằng
a b c
a a ee
212013 112613 2+2a+8 " _ >
Bai 4 (3,0 diém)
Cho tam giác ABỂ (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (7) và J 1a tam đường tròn bàng tiếp góc 4 Gọi A7 là điểm chắnh giữa cung BƠ không chứa 4, N là điểm chắnh giữa cung A1A của đường tròn (O) Các đường thang NI, W7 cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là S va T,
a) Chứng minh rằng A/ là tâm đường tròn đi qua cdc diém B,C, I, J
b) Chứng minh rằng SJ77 nội tiếp và MN? = NJ.NT c) Chứng minh rằng S7, BƠ và AI đồng quy
Bài 5 (1,0 điểm)
a) Với a,b,e, d là các số nguyên dương đôi một phân biệt thoả mãn ụ + b = e + đ = 2027, chứng
mỉnh rằng abcd không là số chắnh phương
b) Cho lưới ô vuông cỡ 4 x n, trong dé n Ạ N*,n > 2 Tô màu mỗi nút lưới bởi một trong ba
màu: xanh, đỏ, vàng Chứng mỉnh rằng luôn tìm được một hình chữ nhật có bốn đỉnh là bốn
nút lưới được tô cùng màu, trong các trường hợp sau
1 n= 82, 2.n=19
Trang 19
Website: http://khoabang.edu.vn/ Facebook: https: //www.facebook.com/trungtam.khoabang
TRUNG TAM LUYỆN THỊ KHOA BẢNG ĐỀ KIEM TRA ĐỊNH RÌ LẦN 04 - LỚP 9T0
024 6686 5087 Ở 0983 614 376 Mơn Tốn - Thời gian làm bai 90 phiit, ngay 26/03/2023 Bài 1 (2,0 điểm) a) Giải phương trình 4z? Ở zTỞ 3= 2v +2 b) Giải hệ phương trình 3a? + y? =5 + Qry + 2x Ở 2 2x? + y? = 10 + 2x Ở By Bai 2 (2,0 diém) a) Xét a là số tự nhiên thoả mãn (ụ,35) = 1, chứng minh rằng (at Ở 1)(a4 + 15a? +1) chia hét cho 35 b) Tìm các số tự nhiên x,y thod man xy? + Qry + 11 = 2? + 9y? + 0 + By Bai 3 (2,0 diém) a) Với ụ,b,c > 0, chứng mỉnh rằng
ậ(a? + b?+ 2) ab + be + ca 27(a+b)(b+ e)(c+a) (e+b+)3 > =e
b) Xét các số thực dương z, thoả mãn zy > z + yỲ, tìm giá trị nhỏ nhất của F = x + 3y
Bài 4 (3 điểm)
Cho đường tròn (Ó) và dây cung BC cố định (BƠ không đi qua Ó) Trên cung lớn BƠ lấy điểm A
sao cho A.4BƠ nhọn, có (4B < AC) Vẽ đường kắnh 4D của (O); đường thẳng BD cắt AC tại E, CD cắt AB tại F Gọi P,Q là lượt là các điểm đối xứng của D qua AB, AC
1 Chứng minh rằng 4, E, Ƒ, P,Q cùng thuộc một đường tròn, gọi đó là đường tròn (9)
2 Gọi MẶ là trung điểm của ZƑ, đường thẳng DAM cắt (S) tại điểm N (M thuộc đoạn VD), I là hình chiếu vuông góc của E lên AN Chứng minh rằng , , M thang hang
3 Các tiếp tuyến tại E, Ƒ' của đường tròn (5) cắt nhau tại X Chứng mình rằng, khi A thay đổi trên cung lớn BƠ thì đường thẳng 4X luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 (1,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a,ỏ,e thoả mãn điều kiện
a =gcd(Ê + 1,c? + 1),b = ged(c? + 1,a? + 1),e = ged(a? + 1,02 + 1),