Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG Chủ đề 7: Hình học không gian24701

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Chủ đề 7: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ƠN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9-10 Hệ thức lượng tam giác vuông : Cho ABC vuông A ta có : 2 a) Định lý Pitago : BC  AB  AC A 2 b) BA  BH BC ; CA  CH CB c) AB AC = BC AH d) e) BC = 2AM f) sin B  b c 1   2 AH AB AC B b c b c , cosB  , tan B  , cot B  a a c b g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = M H C a b b  , sin B cos C b = c tanB = c.cot C Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c * Định lý Sin:    2R sin A sin B sin C Các công thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: S a.b.c 1  p.r  a.ha = a.b sin C  4R p.( p  a )( p  b)( p  c) với p  abc 2 AB AC ,* ABC cạnh a: S  a b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng Đặc biệt :* ABC vuông A : S  (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao d/ Diện tích hình thoi : S = e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S   R Các hệ thức quan trọng tam giác đều: 122 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH a Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = d(O; (P)) = OH a H O H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = d(O; (P)) = OH O P Q 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng P H A a d(a;b) = AB b B §4.GĨC Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S S'  Scos   góc hai mặt phẳng (P),(P’) A C  B Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a  b2  c2 , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = 123 ThuVienDeThi.com Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG II/ Bài tập: LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy 1) Dạng 1: Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Ds : a Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ Ds : 9a Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có ฀ ABC nên AB AI   & AI  BC C' A' B' A  A 'I  BC(dl3 ) 2S SA'BC  BC.A 'I  A 'I  A'BC  BC AA '  (ABC)  AA '  AI C I B ฀ A 'AI  AA '  A 'I2  AI2  Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a C' a2 SABCD = 2SABD = D' B' A' C D A 60 B a a ฀ DD'B  DD'  BD'2  BD2  a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề BD' = AC = Bài tập: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ a3 ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD'  a Tính thể tích ĐS: V  lăng trụ Đs: V = 2a3 124 ThuVienDeThi.com Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 2) Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết a3 A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ DS : ฀ Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ A' Lời giải: C' ฀ ABC  AB  AC.tan 60o  a Ta có: AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C) B' nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ฀BC'A = 30o 30o ฀ AC'B  AC'  A C a o 60 AB  3a t an30o V =B.h = SABC.AA' ฀ AA'C'  AA'  AC'2  A'C'2  2a ฀ ABC nửa tam giác nên SABC  B a2 Vậy V = a3 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ A' D' C D o 30 A a Lời giải: Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD'  (ABCD)  DD'  BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = ฀DBD'  300 B' C' B ฀ BDD'  DD'  BD.tan 300  Vậy V = SABCD.DD' = a a3 4a S = 4SADD'A' = 3 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a ฀BAD = 60o biết AB' hợp với 3a o đáy (ABCD) góc 30 Tính thể tích hình hộp 125 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài tập : Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a3 16 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o a3 ĐS: AB'  a ; V  Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a , biết a3 (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 60 Tính thể tích lăng trụ DS : Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: ฀ ABC  AI  BC mà AA'  (ABC) nên A'I  BC (đl  ) ฀ 'IA = 30o Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A C' A' 2x  x Ta có 2 AI x A' AI : A' I  AI : cos 30    2x 3 Giả sử BI = x  AI  B' A 30o C A’A = AI.tan 300 = x 3 x Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 B x I Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = x2 Do VABC.A’B’C’ = 126 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật D' C' A' B' Lời giải: Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vng nên OC  BD CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl  ) Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = ฀ = 60o COC' Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD hình vuông nên SABCD = a2 C D ฀ OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = 60 O A B Vậy V = a a a3 Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật D' A' C' B' BC  AB  BC  A'B (đl  ) Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ฀A 'BA  60o ฀ A 'AC  AC = AA'.cot30o = 2a 2a D A o 60 B o 30 C Lời giải: Ta có AA'  (ABCD)  AC hình chiếu A'C (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ฀A 'CA  30o 2a 3 4a ฀ ABC  BC  AC2  AB2  3 16a Vậy V = AB.BC.AA' = ฀ A 'AB  AB = AA'.cot60o = Bài tập: Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs: V  2a 3 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a 127 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a ฀BAC  120o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ a3 Đs: V  4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ A' Lời giải: Ta có C'H  (ABC)  CH hình chiếu CC' (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)]  ฀C'CH  60o C' B' ฀ CHC'  C'H  CC'.sin 600  o 60 C A H B a SABC =  3a 3a 3 a2 Vậy V = SABC.C'H = Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ A' C' B' A 60 o C a O H B Lời giải: 1) Ta có A 'O  (ABC)  OA hình chiếu AA' (ABC) ฀ Vậy góc[AA ',(ABC)]  OAA '  60o Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ) AO  BC trung điểm H BC nên BC  A 'H (đl  )  BC  (AA 'H)  BC  AA ' mà AA'//BB' nên BC  BB' Vậy BB'CC' hình chữ nhật 2a a AH   3 ฀ AOA '  A 'O  AO t an60o  a a3 Vậy V = SABC.A'O = 2) ฀ ABC nên AO  Bài tập: Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vuông cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336 Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c ฀BAD  30o biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ 128 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp A a_ B C / / Lời giải: Ta có (ABC)  (SBC)  AC  (SBC)   (ASC)  (SBC) Do V  SSBC AC  \ S a2 a3 a 12 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh mặt bên tam giác vng a3 2) Tính thể tích hình chóp DS : 24 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) a3 hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp DS : Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: 1) Ta có SA  (ABC) CD  AD  CD  SD ( đl  ).(1) ฀ Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o S H 60 A ฀ SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V  SABCD SA  a a  3 o D 2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH  AH  (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) B a 1 1    2 2 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = ฀ SAD  C Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài 2: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết a3 129 ThuVienDeThi.com Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG SA  (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Đs: V  a3 48 Bài 3: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA  (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3 Bài 4: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o SA  (ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a Đs: V  Tính thể tích khối chóp SABCD 2) Dạng : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy a3 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB a3 2) Tính thể tích khối chóp SABCD DS : Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)  (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải: Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) A Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a a B H C a 3 2a ฀ BCD  BC = 2HD = suy 1 a3 V = SBCD AH  BC.HD.AH  3 & HD = AD.cot60o = 60 o D Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC 130 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Lời giải: a) Kẻ SH  BC mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả ฀  45o thiết ฀SIH  SJH S Ta có: H A 45 C I SHI  SHJ  HI  HJ nên BH đường phân giác ฀ ABC suy H trung điểm AC a a3 b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC SH  12 J B Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) 1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC a3 Đs: V  24 2) Tính thể tích khối chóp SABC Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích SABC Đs: V  a3 12 ฀ Bài 3: Cho hình chóp SABC có ฀BAC  90o ;ABC  30o ; SBC tam giác cạnh a (SAB)  (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC 3) Dạng : Khối chóp Đs: V  a2 24 Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao a 11 kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC DS : 12 Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác a3 2) Tính thể tích khối chóp SABCD DS : Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải: a) Gọi O tâm ABC  DO  ( ABC ) V  S ABC DO a2 a S ABC  , OC  CI  3 131 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG D DOC vng có : DO  DC  OC  a a a a3 V   12 M b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH A C MH  H O I a DO  1 a a a3  VMABC  S ABC MH   3 24 a Vậy V  B a3 24 Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  3a3 16 Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o a a3 Đs: V  1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = 2) Tính thể tích hình chóp SABC Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 4) Dạng : 60o a3 Đs: V  24 Tính thể tích hình chóp SABC Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC  a , SA vng góc với đáy ABC , SA  a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: a)Ta có: VS ABC  S ABC SA SA  a + ABC cân có : AC  a  AB  a  S ABC  1 a3 a Vậy: VSABC  a a  b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm,ta có : SG  SI 132 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG  // BC  MN// BC S  N C G A  SM SN SG    SB SC SI VSAMN SM SN   VSABC SB SC 2a V  V  Vậy: SAMN SABC 27 M I B Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A AB  a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD  a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE  ( ABD ) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: D a) Tính VABCD : VABCD  SABC CD  a c) Tính VDCEF :Ta có: VDCEF  DE DF (*) b) Tacó: AB  AC , AB  CD  AB  ( ACD )  AB  EC DB  EC  EC  ( ABD) F a E B C a A VDABC DA DB Mà DE.DA  DC , chia cho DA2 DE DC a2    2 DA DA 2a 2 DF DC a2    Tương tự: 2 DB DB DC  CB  Từ (*)  a3 VDCEF  Vậy VDCEF  VABCD  36 VDABC Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng 133 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG S N M D A O B C Lời giải: Kẻ MN // CD (N  SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) V SN 1 + SAND    VSANB  VSADB  VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1     VSBMN  VSBCD  VSABCD Mà VSBCD SC SD 2 4 VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN Do :  V ABMN ABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I  SO  AM Ta có (AEMF) //BD  EF // BD S V  S ABCD SO với S ABCD  a b) S ABCD  + ฀ SOA có : SO  AO.tan 60  M E I B C F VS ABCD a3  c) Phân chia chóp tứ giác ta có O A Vậy : a D VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có :  SM  SC SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: V SM SF SI SF      SAMF  VSACD SC SD SO SD  VSAMF 1 a3  VSACD  VSACD  36  VS AEMF  a3 a3  36 18 134 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ SA  a Gọi B’, D’ Lời giải: S a) Ta có: VS ABCD a3  S ABCD SA  3 b) Ta có BC  ( SAB )  BC  AB ' & SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC ) nên AB'  SC Tương tự AD'  SC Vậy SC  (AB'D') B' C' D' c) Tính VS A B 'C ' D ' VSAB 'C ' SB ' SC ' (*)  VSABC SB SC SC '  SAC vuông cân nên SC 2 SB ' SA 2a 2a 2     Ta có: SB SB SA2  AB 3a I + Tính B A O D C VS AB 'C ' : Ta có: Từ (*)  VSAB ' C '  VSABC  VSAB 'C ' + a3 a3   3 VS A B 'C ' D '  2VS A B 'C ' 2a  Bài tập: Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs: k  Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3 Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho AB  thể tích tứ diên AB'C'D Đs: V  a 2a ;AC'  Tính a3 36 5) Dạng : Ôn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 135 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: S a)Ta có V  S ABCD SA 2 + S ABCD  (2a )  4a + SAC có : SA  AC tan C  2a H A 8a  V  4a 2a  3 B b) Kẻ MH / / SA  MH  ( DBC ) 60o Ta có: MH  D C 2a 1 SA , S BCD  S ABCD 2 2a  VMBCD  V  Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ A B Ta có : V O D Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V  AB AD.AA '  a 3.a  a 3 ABD có : DB  AB  AD  2a M C * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên: B' A' C' D' a3  VOA ' B 'C ' D '  V  3 b) M trung điểm BC  OM  ( BB ' C ') 1 a a a3  VO BB 'C '  S BB 'C ' OM   3 2 12 c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : C ' H  3VOBB 'C ' SOBB ' ABD có : DB  AB  AD  2a  SOBB '  a  C ' H  2a 136 ThuVienDeThi.com Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích B C A' Khối CB’D’C’ có B' 1 V1  a a  a 3 + Khối lập phương tích: C' D' a V2  a  VACB ' D '  a  a  3 a Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE Lời giải: E A I B a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, F C  VA ' B ' BC  S A ' B ' B CI a a a3  2 12 b) Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ + Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên B' A' VA 'CEF  SCEF A ' A J C' SCEF a2 a3  S ABC   VA 'CEF  16 48 + Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B ' CF  SCFB' A ' J a2 SCFB'  SCBB '  a a a3  V A ' B ' CF   24 + Vậy : VCA'B'FE a3  16 137 ThuVienDeThi.com Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG Bài tập: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 a3 Đs:V = 12 ฀ Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA  (ABC) ACB = 60o, BC = a, SA = a ,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC Đs: VMABC = a3 Các toán thi TN - CĐ - TSĐH năm từ 2012 đến 2014 Bài (TN-2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A SC  2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  trung điểm M cạnh AB Góc đường thẳng SC  ABC  600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a 2a 15 Bài (CĐ-2014) Đáp án Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SC tạo với đáy góc 450 a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD) Đáp án a3 a V  , d ( B, ( SCD ))  d ( A, ( SCD ))  AH  3 Bài (ĐH-K.D-2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng ( SBC ) vng góc với mặt đáy a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABC b) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA, BC a3 a , d ( BC , SA)  HK  HK đường vng góc chung BC,SA 24 Bài (ĐH-K.A-2014) 3a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SD  , hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD) trung điểm cạnh AB Đáp án V  a) Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SBD) Đáp án 138 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài (TN-2013) a3 Đáp án Bài (CĐ-2013) Đáp án 3a a 13 V  ; MN  MK  NK  139 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài (ĐH-K.A-2013) Đáp án Bài (ĐH-K.B-2013) Đáp án 140 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài (ĐH-K.D-2013) Đáp án Bài (TN-2012) a3 Đáp án -Hết 141 ThuVienDeThi.com ... án 138 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài (TN-2013) a3 Đáp án Bài (CĐ-2013) Đáp án 3a a 13 V  ; MN  MK  NK  139 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Bài (ĐH-K.A-2013)... 5) Dạng : Ôn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 135 ThuVienDeThi.com Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG 1)...  C ' H  2a 136 ThuVienDeThi.com Tài liệu ôn thi mơn Tốn THPTQG Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: