Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
Trang 1rr 9 86_ =e Câu lạc bộ Tốn A1, Hotine 094 T6I 1986 - 085 290 5 — Lời giải - 9D2 Câu 1 (2 điểm) a) Giải phương trình 2+ x+6= v2x+5+ vx +3
Lời giải Diều kiện xác định: x > ~š
Viết lại phương trình dưới dạng V2x+5~ vx+6+vx+3~2=0 và nhân liên hợp, ta được -1 aR + Tea hay tương đương —_————'+——=-Ì” 1 1 oa +5+vx+6 as) 1 >0 nên ta phải o6 x= 1.thod man diéu kign Var RB ata +2 TS > oO
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất x=l — b) Xét các số thực phân biệt a,b,c,đ thoả mãn
(42+b2—3)(a+b) = (bẦ+'”= 3)@+e)= =(2+4?—3)(e+3),
chứng minh rằng a+b+c+d=0.` ( Saks
Chứng minh Viết lại đẳng thức lu “nhánh =(b?°+c?—3)(b+c) thành aŠ+a?b+ab? BÀ “3(a+B) =3+Cb+ch> +b —3(c+b) hay tuong duong (a—e)[d2+ae+e2+(a+e)b+b°~—3] =0 Vì a#c nên ta phải cĩ a2+b2+c2+ab+be+ca=3 — (1) Tương tự, ta cũng cĩ 42+b°+c°+db+be+cd=3 — (2) Trừ hai đẳng thức (1) và (2) là ta cĩ ngay a+b-+-c+4=0 n Câu 2 (2 điểm) : Digg 2
a) Với x> =) tìm giá trị lớn nhất của F = V2x?1-5x+2+2Vx+3— 2x
Lời giải Ta viết F = /(2x+1)(x+2)+ W(x+3).4— 2x và sử dụng bất đẳng thức AM-GM,
ta cĩ pig Set dchash 2 PES phot +1 4x42 4 5 cg)
2 2
Dấu bing xay ra khi x= 1 n
Trang 2
Câu lạc bơ Tố -
~8h "9€ bộ Tốn AI, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 Lĩp 9D2
b) Với a,b.c> 0 chứng minh rằng abe abc 25 > a,b,c, _abe_ bietat @tbb+olera)~ 8 Chứng minh Ta viết về trái thành ath | bte, c+a 1 abe 3 b c a (a+b)(b+e)(c+a)
Ap dụng bất đẳng thức AM-GM cho bốn số thực dương, ta cĩ
a+b b+e cra, abe wy
lĩb lốc lĩa (a+b)(b+e)(c+a) ~ 2°
Lại cĩ
15 fatb b+c c+a fa b,€ 15 [,3/a@b.c 45
15 fatb bte eta) _ 0 (2574243) >| ye 1s (ath , bee, Ste) 5(2+‡+£+3) >4 ranh) +3] =|: §
Cộng các bất đẳng thức trên cho ta điều phải chứng minh
Câu 3 (2 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên m sao cho p= 33n2+6n~7 + 4 là số nguyên tố
Chứng minh Kiểm tra n = 0 khơng thoả mãn nên xét n> 1 Ta cĩ 3n2+6n—7=2 (mod 3)
nên 3n2+6n— 7= 3k+2,k € Đ Suỳ ra:p 33k424.7= 9.27% +4=9.1'+4= 13 (mod 13)
Suy ra p chia hét cho 13 va do p là sơ nguyên tố nên p= 13 Từ đĩ, k= 0 và 3n?”+6n =9
Tới đây ta tìm được n = l
n
b) Tìm các số nguyên tố pàu thoả mãn p+q va p+4q đều là các số chính phương
Chứng minh Từ giả thiết suy ra (p+4)(p-+44) = p?+5pq+44? cũng là sơ chính phương
Dặt p?+5pg 3,44” = a2; với a € Đ" Thé thi
a —(p-+24) = P4
hay
(a~p~24)(a+p+24) = P4-
Chú ý là p,4 là các số nguyên tố và a+p+2q > p,q nên a+ p+24 = pq,a— p—2q = 1.Trit
hai đẳng thức này ta được pạ~2p—~4q=1
hay tương đương
(p—4)(4~2) =9
Tới đây xét các trường hợp là được n
Câu 4 (3 điểm) Cho đường trong (Ø), dây cung AE khơng di qua O Gọi tiếp tuyến tại A và B
Trang 3
Câu lạc bộ Tốn A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 a Lớp 9D2
@ > ý i K Goi N là
b) Dường trung trực của /B cắt MB tai L Dudng trung truc cia JA cat MA tai K Goi N la
trung điểm MO Chứng minh rằng NK = NI
©) Gọi các đường thẳng K7 và ØB cắt nhau tại P Chứng minh rằng PI vuơng gĩc với OK
Câu 5 (1 điểm) Tìm số nguyên dương ø lớn nhất sao cho cĩ thể gán cho mỗi số 1,2,.-.5 14 một
trong hai màu xanh hoặc đỏ sao cho với mỗi số k — 1,2, n luơn cĩ một cặp số màu xanh cĩ hiệu là & và một cặp sơ màu đỏ cĩ hiệu cũng bằng #
Lời giải Rõ rằng là n < 12 vì chỉ cĩ đúng một cặp cĩ hiệu là 13 Giả sử „ = 12 thoả mãn thế thì lưu ý ráng sơ 12 chỉ cĩ đúng hai cách biểu diễn thành hiệu của hai số từ 1 tới 14 là 12= 13— 1= 14—2
Khơng mật tổng quát cĩ thể giả sử số 1 được tơ màu đỏ, khi đĩ số 13 phải được tơ đỏ và hai số
3,14 được tơ xanh Hơn nữa, cĩ ba cặp cĩ hiệu là 11: 12~ 1,13—2 và 14—3 Cặp 13,2 là cặp cĩ
hai màu nên suy ra 12,1 phải được tơ cùng mau va vi thé 12 được tơ đỏ Lập luận với cặp 14,3 thì
3 được tơ xanh Tiếp tục quá trình trên với các hiệu bằng 10,9,8,7 va ta thu được các số từ 2 tới
7 phải được tơ màu xanh, các số từ 8 tới 13 phải được tơ đỏ Nhưng trong trường hợp này, sơ 6 khơng được biểu diễn thành hiệu của hai số cĩ cùng màu xanh hoặc màu- Do đĩ, ø < I1 Một ví
Trang 4Câu lạc bộ Tốn A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 Lĩp 9D2 Kiểm tra định kỳ lần 1 lớp 9D3 Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Ngày tháng năm 2022 Câu 1 (2 điểm) a) Cho số thực x = v2++ 3 Chứng minh rằng x— 10x? + 1 =0, từ đĩ hãy tính F =20—x4 — 200 + 10x? + 2x b) Với mỗi số nguyên dương n, xét a„ = V2n?+2— 2vn# + n2 3-1, chứng minh rằng 49 <a, +ay + + +459 < 50 Câu 2 (2 điểm)
a) Chứng minh n(z2— 1)(n? +6) luơn chia hết cho 30 với mọi số nguyên n
b) Tìm các số nguyên tơ a,b,c thoả man a2+b?+6c2=4ábc ) Câu 3 (2 điểm) a) Với a,b > 0 thoả mãn ab = 12, chứng minh rằng 3M) 24 on >3 /21b 4a+3b~ b) Với a,b,e > 0, tìm giá trì nhỏ nhất của biểu thức Độ a 4 b 4 c
Tapp lebet+1e2 V2c2+16ca+7a? V2a?+16ab-+7b2
Cau 4 (3 diém) Cho dutng trong (0), day cung AB khơng di qua O Goi tiép tuyén tai A va B
cia (0) cắt nhau tại W Gọi MO cắt AB tại H Điểm I thuộc đoạn thẳng HB Gọi tia IO cat (0)
tại S
a) Chứng minh rằng OHS = OSM,
b) Dường trung trực của 1B cdt MB tai L Dudng trung truc cla JA cắt MA tại K Gọi N là trung điểm MO Chứng minh rằng WK =NL
©) Gọi các đường thẳng KL va OB cat nhau tai P Chứng minh rằng PI vuơng gĩc với OK
Câu 5 (1 điểm) Cĩ tổn tại hay khơng cách tơ màu mỗi số nguyên dương bởi một trong ba màu:
xanh, đỏ và vàng Sao cho cả ba màu đều được sử dụng và với mọi cặp số nguyên dương a,b được tơ khác màu thì tổng a+b được tơ bởi màu cịn lại?
Trang 5Câu lạc bộ Tốn A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 lĩp9D2 Lời giải 9D3 Câu 1 (2 điểm) a) Cho số thực x= 2+} v4 Chứng minh rằng x*— 10x +1 =0, tir dé hay tinh F =20 —x4—20x3 + 10x2+2x ce mình Ta cĩ x? = 5+ 26 6 hay x”— 5 =2V/6 Bình phương hai về và rút gọn ta suy ra xỶ— 10x24 1 =0 Ta cĩ F =(2v— 1)@Ẽ— 02+ 1)+1 =1, BỊ b) Với mỗi số nguyên dương n, xét ay = V/2w2+2—2Vn3-Ln2 +], chứng minh rằng 49 <aI+a2+ -+asạ < 50 Chứng mỉnh Chú ý nỶ + n2 + 1 = (n2— m+ 1)(n2+ n+ 1) nên 2n+2—2V4+n2+ 1 =1 +n+1 ~2V(?+n+1)(nđ—n+1)+n?—n+] Suy ra : | - | = V(V”?+n+1~— Vn2—n+ LỆ = Wn2+n+1— Wn2—n+T | Tới đây lần lượt áp dụng ø = I,2, ta suy ra a1 Fant s+ + su — V50?+ 50+ 1— l
Vì 50= v50 < v50®+ 50+ 1 < v5023-2.50+T = \/ (50+ 1)? = 51 nên từ đây suy ra ngay
điều phải chứng minh a
Câu 2 (2 điểm)
a) Chứng minh n(n? —1)(0° +6) luơn chia hết cho 30 với mọi số nguyên n
Chứng minh pit De nln#2— 1)(n? +6), ta sé ching minh A chia hét cho 2,3,5
+) Nếu „ chin thì hiển nhiên A chia hết cho 2 Nếu ø lẻ thì n2— 1 chẵn và A cũng chia hết cho 2
+) Nếu a chia hét cho 3 thi A chia hét cho 3 Néun khơng chia hết cho 3 thì „2 = (mod 3)
Suy ra n2 — 1 chia hết cho 3 và ta cũng cĩ A chia hết cho 3
+) Nếu ø chia hết che 5 thi A octal hết cho 5 Néu n khơng chia hết cho 5 thì n2=1 „4 (mod 5) và lúc đĩ n?— 1 hoặc nˆ+-6 sẽ chia hết cho 5 và ta cũng cĩ A chỉa hết cho 5
Do 2,3,5 đơi một nguyên tổ cùng nhau nên A chia hét cho 2.3.5 = 30 n b) Tim các số nguyên tố a,b,c thod man
Trang 6Câu lạc bộ Tốn A 1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 i Lĩp 9D2 Chú i 4 xà Hà ø 5 5 ae mình +) Nếu 4,b,c cùng lẻ thì d2 =b2=c2 =1 (mod 8) và khi đĩ về trái chia hết
odin wong khi đĩ ue phải khơng chia hết cho 8 (mâu thuẫn) Suy
ra trong ba số a,b,c phải
© ít Biệt một sơ chẵn Nêu c chan thì 4abe chia hết cho 8, 6c? cũng chia hết cho 8 nên
a +b? =0 (mod 8) và chỉ xảy ra khi a,b đều mãn chẵn tức là a=b=c=2 Thử lại they thoả
+) Nếu a hoặc b chẵn, giả sử a chẵn thì về phải chấn nên về trá ¡ cũng chấn và do đĩ ta phải cĩ b=2 Khi đĩ a=b=2 Thay vào tìm được c = 2 thoả mãn oO Vậy, cĩ duy nhất một bộ a= b =c€= 2 thoả mãn bài tốn Câu 3 (2 điểm) a) Với a,b > 0 thoả mãn ab = 12, chứng minh rằng 3 4 24 3,4 >3 27p Aa+3b ^ Chứng minh Ta viết về trái thành 4a+3b 24 _ 4a+3b 24 ab 4a+3b 12 4a+3b` V4a.3b ạ Da Me 12 EE te ta cần ching minh 12 *% 2 t+=>3 Cy AM-GM và vì ?>2, ta cĩ (729.1 72,1 ym PEA A) 4 > (545) +52 2003 3 fa t5.2=3 Ap dung bất đẳng thức b) Véi a,b,c >0, tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b € P= V2b2 + 16bc + 1c +—— ' 2/2-16ca+ 142 V242+l6ab+ Tb? Lời giải Ta cĩ 2b”+ l6bc + 72 = —2(b—e)°+(2b+ 3e)2 < (2b+ 3e)” Tương tự với các bất đẳng thức cịn lại, ta suy ra 2 a a P>ŸY ——) an >8 *L22b3a rồi sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu số n
g trong (0), dây cung AB khơng đi qua O Goi tiếp tuyến tại A và B
Câu 4 (3 điểm) Cho đườn n thẳng HB Gọi tia 1Ø cắt (0) của (Ø) cắt nhau tại M Gọi MO cắt AB tại H Điểm / thuộc doa
tai S
a) Chứng minh rằng OHS = OSM,
Trang 7
Câu lạc bộ Tốn A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 29032860 — — Lớp 9D2
b) Đường trung trực của JB cắt MB tại L Dường trung trực của 14 cất MA tại K Gọi N là
trung điểm MO Chứng mình ring NK = NL
c) Gọi các đường thing KL va OB cắt nhau tại P Chứng minh rằng PI vuơng gĩc với OK Câu 5 (1 điểm) Cĩ tồn tại hay khơng cách tơ màu mỗi số nguyên dương bởi một trong ba màu:
xanh, đỏ và vàng sao cho cả ba màu đều được sử dụng và với mọi cặp số nguyên dương a,b được tơ khác màu thì tơng a+-b được tơ bởi màu cịn lại?
Lời giải Khẳng định của bài tốn là khơng thể tơ được như vậy Ta đưa ra hai cách để chứng minh
cho khang dinh nay
Cách 1 Khơng mắt tổng quát giả sử số 1 được tơ màu xanh Xét một số nguyên dương n > Ï
được tơ khác màu với số 1, giả sử ø được tơ màu đỏ Khi đĩ n+1 được tơ màu vàng Suy ra
n+2=(n+1)+1 được tơ đỏ, rồi n+3 = (n+2) + 1 lại được tơ vàng Tiếp tục quá trình này, ta
chứng minh được n+k khơng được tơ xanh với mọi k > 1 Tuy nhiên 2+ 1 = n+(n+ I) lại được
tơ xanh Mâu thuẫn này suy ra điều giả sử là sai và ta cĩ điều phải chứng minh
CácH 2 Giả sử tồn tại cách tơ màu thỏa mãn điều kiện Lay ba s6 a,b,c được tơ xanh, đỏ,
vàng Thế thì a-+b được tơ vàng, be được tơ xanh Suy ra (a+-b)*+(b-+e) =2b-+e+a cĩ màu
Trang 8GV:Nguyễn Tiến Lâm LƯU HÀNH NỘI BỘ Đề tổng hợp sơ 1 Bài 1 Với mỗi số nguyên dương n, xét a„ = V/2n2+2—2Vn*-+n2 +1, chứng minh rằng 49 < ay tar +++++a59 < 50 Goi y Luu y nt +n? +1 = (n? —n4+1)(n? +n41) Bài 2 Giải phương trinh 8x9 +.x—7 = Èx+7
Gợi ý Dưa về dạng aŠ +a = bỒ + b ety — a Bài 3 Cho các số nguyên dương a,b,x,y thoả man (a,b) = 1 va 2 Chứng minh rằng a+2b là số chính phương
Gợi ý Sử dụng ước chung lớn nhất của x,y
Bài 4 Cho a,b,c là các số thực khơng âm thoả mãn a2+b2+ c2 = 8, Chứng minh rằng
4(a+b+c) — abc < 16
Gợi ý Viết 4(a+b) + (4— ab)c rồi dùng Bunhiacovsky thích hợp
Bài 5 Tìm các số nguyên dương x,y sao cho 3*— 5* la số chính phương
Trang 9
GV:Nguyễn Tiến Lâm
Đề tổng hợp sơ 2
Bài 1 (3 điểm)
a) Biết rằng khi chia đa thức P(x) cho các đa thức x+ 1,x” + 1 ta được các đa thức dư tương ứng là —3 và x+ 1 Tìm đa thức dư trong phép chia P(x) cho (x+1)(x? +1)
b) Cho đa thức P(x) = xŸ— 3x +1 cĩ ba nghiệm xị,xa,xạ và đa thức Ø(x) =x? —5x+6 Tính
giá trị của Ø(x¡)@(xa)@(a) Bài 2 (3 điểm)
l 2+b?+c7—ab— be—
šf''Õiall,Ð,£ll@iỗituinhienabiokibian===—” > —” là số chính phương Chứng
minh ring a=b=c
b) Tim cdc s6 ty nhién n sao cho nt+n?-+1 [a [ap phuong cia mét 6 ty nhién Bai 3 (3 diém) a) Cho các số thực dương z,b,c Chứng minh rằng oye ee ae 10\/ boc athe
b) Cho các số thực a,b,c,đ thoả mãn a+b+£c*+-đ À Và đ PEP +O +d = 12 Chứng minh
rằng 0 < a,b,c,đ < 3 và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F=4( +b+cŸ +a) (a! +bt+ct+4!)
Bài 4 (1 điểm) Mỗi ơ vuơng của bing’ 6 %uơng 2020 x 2020 được tơ đen hoặc tơ trắng (mỗi ơ chỉ
Trang 10GV:Nguyễn Tiến Lâm Dé téng hợp sơ 3 Bài 1 (3 điểm) a) Cho đa thức P(x) = 2x + axŠ + bx? +ex+ đ thoả mãn P(1) = 3,P(2) = 6, P(3) = 11 Tính giá trị của P(0) + P(4)? "m , „ 4b bốc cat b) Cho các sơ nguyên dương a,b,e thoả mãn — + —— + TT là một số nguyên Chứng minh € a rang ab chia hét cho c Bai 2 (3 diém) 4 3 4 a) Tìm các sơ nguyên dương x,y thoả mãn == là lập phương của một số nguyên tơ x1y
b) Cho mø > 6 là một số tự nhiên Và gọÏ đ1,đa,'** „4k là các số tự nhiên nhỏ hơn ø và nguyên tổ
cùng nhau với x Chứng minh rằng néu ’ đạ —đI =43—d=:::=dy—a,_I'>Ơ), thì m hoặc là một số nguyên tố hoặc là luỹ thừa của 2 Bài 3 (3 điểm) a) Với x,y la cdc số thực dương thoả mãn xy> Leh: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=x+3y b) Cho các số thực dương a,b,c cĩ tổng bằng 3ì'chứng minh rằng œ a ` b € < ern? b3+-ca+2 12012“ 4
Bài 4 (1 điểm) Cĩ 22 quân xe xếp trên một bảng ơ vuơng cỡ 7 x 7 Chứng minh rằng tổn tại ít
nhất 4 quân xe đơi một + khơng ăn nhaư (
Trang 11
Tài liệu ơn thi học sinh giỏi và chuyên tốn 10 11 12 13: x a * 4, ie
Cho ø,b là các sơ tự nhiên thỏa mãn
Cho x,y là các sơ nguyên thỏa mãn Một sơ bổ đề sơ học Bài tập 4 ~ > 2 x 1 ! ` a A Tìm sơ hữu tý x,y dương thỏa mãn — + — và x+ y đều nguyên 3 y là số nguyên Chứng minh a =Ù ab e+1 yl y+ yas là số nguyên Chứng minh rằng +” Š — Ï chia hét cho y+ 1 Cho a,b là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau va x,y là các sơ nguyên thỏa mãn a e+ y B pe Chứng minh rằng ø+3b là số chính phương Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn y(x2+x+ l) =(x+ 1)(y?-1) ‘ ma ae a ae Tim a,b,c là các sơ nguyên dương thỏa mãn — +; =-vaa+c,b+c déu la so nguyén to a be € Ạ gee Ae £ qu ck 4 Tim a,b,c là các sơ nguyên dương thỏa mãn at Boe va a?-+c,b? +e déu la s6 nguyén té 2 : ‘ 3a ee Lal A ae Cho a,b,c là các sơ nguyên dương thỏa mãn at, = Chứng minh rằng c+-2(a+-) là hợp sơ
Cho a,b,e là các số nguyên dương Chứng minh a-b+-2Vab + c2 khơng thể là số nguyên tơ
Tìm số nguyên dương x sao cho 4x” + 14x? 19x — 6 là số chính phương
Trang 126 1, GV: Nguyễn Tiến Lâm Bài tập về nhà V6i a,b,c > 0 thoả mãn ab + bc + ca + abe = 4, chứng minh rằng Va2+§+V2+§+ VWc2+8§<a+b+c+6 Với a,b,c,đ là các số nguyên dương thỏa mãn a > b > c > đ và ac + bả chia hết cho a+b—c+d Chứng minh rằng aŠe + bđŠ là hợp số š 2 4 so 1 1 i ˆ N-
Chứng minh rằng khơng tổn tại các số hữu tỉ x,y > 0 thoả mãn x-+y+ — + — là sơ nguyên chia hết cho 3 x y
Tìm các số nguyên dương x,y thoả man x3 — xy=4y`+y+2
Gợi ý Dặt x= 2y+đ với đ € Z đưa về phương trình bậc hai ẩn y rồi sử dụng điều kiện A > 0 „ Với a,b,c > 0, chứng minh ring đề b a+e — bực 2a+e 6(b— —- Tel Ĩ 3/88, 1.1 3E
Với a,b,e,d > 0 thoả mãn a+b+c+đ =4, chứng minh rằng atptats >a2+b?+c?+ z e ar đẺ
Với a,b,c,d > 0 thoả mãn at+b+ce+d =4, ching minh ring a+ 2s 42+b?+ +42 cd ~
Tìm cdc sé nguyén t6 p,q sao cho p+q va 4p+q đều là các số chính phương
Xét các số nguyên tổ p,q thoả mãn v/pˆ~— pạ+ 4ˆ + wp2+-7pa+'q? là số tự nhiên Ching minh ring p=
Trang 14GV: Nguyén Tién Lam
Hình học Tổ hợp (Part 1)
Tơ màu mỗi điểm trong mặt phẳng bởi một trong hai màu: xanh, đỏ Chứng minh rằng tổn tại một tam giác vuơng cĩ ba đỉnh được tơ cùng màu
Gợi ý Hãy xét lưới ơ vuơng cỡ 3 x 9 Khi đĩ nút lưới (giao của đường ngang và đường dọc) được tơ bởi một
trong hai màu nên cĩ 8 cách tơ một cột lưới Vì cĩ 9 cột lưới nên phải cĩ 2 cột được tơ giồng nhau Gọi hai
cột đĩ là ¡ và j
Tơ màu mỗi điểm trong mặt phẳng bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ, mỗi điểm chỉ được tơ bởi một màu
Chứng minh rằng tổn tại một đoạn thẳng mà hai đầu mút cùng trung điểm của nĩ được tơ cùng màu
Gợi ý Hãy chứng minh tổn tại một hình chữ nhật cĩ bồn đỉnh cùng màu
Tơ màu mỗi điểm trong mặt phẳng bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ, mỗi điểm chỉ được tơ bởi một màu Chứng minh rằng tổn tại một tam giác đều cĩ ba đỉnh được tơ cùng màu
Gợi ý Xét một tam giác đều cùng trung điểm các cạnh của nĩ, hoặc xét một lục giác đều
(Bài tốn Ramsey) Cĩ 6 điểm trong mặt phẳng, trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng Tơ màu các
cạnh nối 2 trong 6 điểm đã cho bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ (mỗi cạnh chỉ được tơ bởi một màu)
Chứng minh rằng tổn tại 3 điểm lập thành một tam giác cĩ ba cạnh cùng màu Kết quả bài tốn này cịn đúng khơng nếu thay 6 điểm bởi 5 điểm
Gợi ý Gọi 6 điểm đã cho là A,B,C,D,E,F Các đoạn thẳng AB,AC,AD,AE,AF được tơ bởi hai màu nên cĩ ít
nhất ba đoạn thẳng được tơ cùng màu, giả sử là AB,AC,AD Sau đĩ hãy xết các tạnh BC,CD,DB
Chứng minh rằng trong 6 số vơ tỉ luơn chọn được ra ba số v6 ti a,b,c mà a‡b,b+e,e+ a đều là các số vơ tỉ Chứng minh rằng khẳng định bài tốn vẫn cịn đúng nều thay 6 số bởi 5 số
Cĩ 10 số thực phân biệt khác 0 thoả mãn với hai số bất kỳ thì tổng hoặc tích của chúng là số hữu tỉ Chứng minh bình phương của 10 số này đều là các số hữu tỉ
Chứng minh Ta chỉ cần xét trường hợp tất cả các số đã cho là vơ tỉ (tại sao?) Nếu tổng hai số là hữu tỉ thì tơ đỏ, tích hai số là hữu tỉ thì tơ xanh Theo bài tốn Ramsey thì tồn tại một tam giác đơn sắc Cĩ hai trường
hợp
e Nếu tam giác cĩ ba cạnh đỏ thì dễ dàng: chỉ ra ba số tương ứng là hữu tỉ Giả sử ba số đĩ là a,b,e Thì
từ đây tất cả các số cịn lại cũng đều hữu tỉ
e Nếu tam giác cĩ ba cạnh xanh thì/£oi ba số đĩ là A,4a,As Ta cĩ A¡Aa,A24s,A3Á¡ đều là các số hữu tỉ Từ đây dễ chứng minh A?,42,A cũng hữu tỉ Giờ xét 4; với ¡ > 3 Nêu cả hai số Ái +A¡,Aa+A; đều là các số hữu tỉ thì Áị — A2-hữu tỉ Từ đĩ Ái +4¿ cũng hữu tỉ Nhưng khi đĩ Ai,A; đều hữu tỉ (mâu
thuẫn) Do đĩ trong hai số A+4;,A24; cĩ ít nhất một số là số hữu tỉ Từ đĩ, ta dễ dàng suy ra đpcm
^ ({ } n
Tơ màu mỗi điểm ‘trong mat phẳng bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ Một đa giác được gọi là đơn sắc
nếu tất cả các đỉnh cửa nĩ cĩ cùng một màu Chứng minh rằng ít nhất một trong các khẳng định sau đây là
đúng
e Tên tại một tam giác đều đơn sắc cĩ cạnh là 2 e Tên tại một tam giác đều đơn sắc cĩ cạnh là v3
e Tổn tại một hình thoi đơn sắc cĩ cạnh là 1
Chứng minh Trước hết ta chứng minh tổn tại một tam giác đều đơn sắc cĩ cạnh là 1 hoặc cạnh là v3 Nếu
tồn tại tam giác đều đơn sắc cĩ cạnh là 1 thì xong Ngược lại, giả sử khơng tổn tại thì cĩ hai điểm được tơ
khác màu mà khoảng cách nĩ là 1 Gọi hai điểm đĩ là A,B Dựng tam giác cân ABC đỉnh € và giả sử € cùng
màu với A Giả sử A màu đỏ, C màu xanh Gọi Ø là trung điểm của AC Khơng mất tính tổng quát, giả sử O,C cùng màu xanh Bây giờ, hãy dựng các tam giác đều cạnh 1 ÀOCD, ÀOCE; vì khơng tổn tại tam giác
đều đơn sắc cĩ độ dài 1, D,E phải cĩ màu đỏ, do đĩ AADE là tam giác đều đơn sắc cĩ độ dài v3
Quay lại vẫn đề, giả sử khơng tổn tại một tam giác đều đơn sắc cĩ độ dài 3 và một hình thoi đơn sắc cĩ độ dài 1 Từ trên phải tồn tại một tam giác đều đơn sắc cĩ độ dài 1 Xét một tam giác đều ABC cĩ độ dài 2,
D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB và các điểm DEF được tơ màu đỏ Khi đĩ A,B,C phải tơ màu
xanh, nều khơng sẽ cĩ một hình thoi đơn sắc cạnh đều cĩ độ dài 1 (hình thoi AEDF,BDFE,CFED) thì AABC
Trang 15GV: Nguyén Tién Lam
8 Tơ màu mỗi điểm trong mặt phẳng bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng ít nhất một trong các khang dinh sau đây là đúng ® Tổn tại hai điểm đỏ cĩ khoảng cách bằng 1
© Tén tai bốn điểm xanh B,ạ,B›,Bạ sao cho với mọi cặp ỉ, j mà 1 < i,j <4 thi BB, =|i-j)
9 Cho AiBiCID¡E¡ là một ngũ giác đều Với 2 < n < I1, gọi A„B„C„D„E„ là ngũ giác cĩ các đỉnh là trung điểm
của các cạnh Á„_¡B„_¡C„_¡D„_¡E„_¡ Tất cả các đỉnh được tơ bởi một trong hai màu: đỏ hoặc xanh tùy ý (mỗi đỉnh được tơ bởi đúng một màu) Chứng minh rằng tổn tại bốn điểm trong số 55 điểm này được tơ cùng màu và tạo thành một tứ giác nội tiếp
10 Cho tam giác đều 4¡Ư\C¡ Với mỗi số tự nhiên n = 2,3,4,5,6,7, gọi A„,„,C„ tương ứng là trung điểm các
` cạnh Bạ~ICn_1,Ca_1Á„_1,Az_B„—¡ Tất cả các đỉnh 4;,B,,C¡ đều được tơ bởi đúng một trong hai màu: xanh
hoặc đỏ tuỳ ý với ¡ = 1,2, ,7 Chứng minh rằng trong 21 đỉnh A;,B;,C¡ với ¡ = 1,2, ,7 luơn tổn tại 4 đỉnh
được tơ cùng màu và tạo thành một hình thang cân
11 Cho 30 điểm, trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm được tơ bởi một trong
hai màu: xanh hoặc đỏ Người ta thực hiện phép biến đổi sau: mỗi lần cho phép chọn ra một tam giác khơng
đơn sắc và đổi màu hai cạnh cùng màu của tam giác này để thu được tam giác đơn sắc Chứng mỉnh sau một số hữu hạn lần thực hiện phép biến đổi này thì ta cĩ thể làm cho tắt cả các đoạn thẳng cĩ cùng một màu Chứng minh Tổng số cạnh là số lẻ Khơng mất tính tổng quát, giả sử rằng số lượng các cạnh màu xanh là số lẻ và số cạnh màu đỏ là số chẵn Rõ ràng là tính chẵn lẻ của số cạnh mỗi màu khơng thay đổi sau mỗi phép
Ị biến đổi Hãy xem xét một đỗ thị mà số lượng các cạnh màu xanh lớn nhất cĩ thể cĩ đượcthực hiện bằng các phép biến đổi này Giả sử rằng khơng phải tắt cả các cạnh của nĩ cổ màu xanh Thế thì, nĩ chứa ít nhất hai cạnh màu đỏ Vì cực đại, khơng thể cĩ tam giác với chính xác hai cạnh mầu đỏ Xét các trường hợp
® Nĩ chứa hai cạnh đỏ AB và BC cĩ chung một đỉnh Thế thì,'cạnh AC cũng được tơ màu đỏ Nếu cĩ tồn
tai dinh D sao cho cdc canh DA,DB,DC khơng cùng.màu): khi đĩ ta cĩ thể cho rằng DA là màu đỏ và DB la mau xanh, nhưng khi đĩ ta cĩ tam giác ẢBD cớ đúng hai cạnh màu đỏ, điều mâu thuẫn Ngược
lại, nếu đỉnh D được nổi với A,B và C bằnế các cạnh màu xanh thì thực hiện phép tốn trên các tam
giác BCD,ABD,ACD và số lượng các cạnh màu xanh tăng lên, một điều mâu thuẫn
c 6 € c
<‹+> > <- > <p o> <>
B B B B
Néu khơng, tất cả các đỉnh được Ndi vdi A,B va C bằng các cạnh màu đỏ Do tính chẵn lẻ, chúng ta cĩ ít nhất một cạnh mau xanh Nếu như X và Y được nỗi với nhau bằng một cạnh màu xanh, thì thực hiện
thao tác trên AXY và số lượng cạnh màu xanh tăng lên, mâu thuẫn
« Hai cạnh màu đỏ bắt kỳ Khơng cĩ đỉnh chung Cho AB và CD là các cạnh màu đỏ Thực hiện các phép
biến đổi với các tam giác ABD,BCD,ABD Số lượng các cạnh màu xanh tăng lên
Cc c Cc c
<p lí <‹- = <b mã <p
B B B B
yo CL LY cher sec, cho ko od SARA ade Reiny hang mee,
Trang 1613 14 15 16 17, 19, 20
GV: Nguyễn Tiến Lâm Trên bảng viết các 10 số nguyên liên tiếp Mỗi lần cho phép xố hai số a,b tuỳ ý và thay bởi hai số ab và
2 :A DA, 4 4 a
a® + 5b Thực hiện liên tiếp các thao tác trên
a) Ching minh ring sau mdi lần thực hiện thao tác thì số lượng số chẵn trên bảng khơng giảm
b) Biết rằng 10 số ban đầu đã bị xố đi, hỏi cĩ bao giờ trên bảng lại xuất hiện 10 số nguyên liên tiếp nữa hay khơng? Tại sao?
Viết lên bảng các số từ 1 tới 2022 Mỗi giây, thầy Lâm xố đi bốn số a,b,c,a+b+c nêu trên bằng cĩ bốn số này và thay bởi ba số a+b,b + c,c+a Chứng minh rằng thầy Lâm chỉ thực hiện được các thao tác này trong
tơi đa 10 phút
Viết lên bảng các số „n với n là số nguyên dương lớn hơn 1 Mỗi lần bạn Lâm xố đi hai số a,b bat ky
cĩ mặt trên bảng rồi thay bởi 2(a +b) Cif tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ cịn lại đúng một sơ,
x £ k 3
chứng minh rằng số cuối cùng trên bảng luơn lớn hơn —-
Viết lên bảng các số 1.3,2.4,3.5, 98.100 Mỗi lần cho phép xố đi hai số x,y và thay bởi số z= tư
Chứng mình rằng nếu kéo dài quá trình xĩa như vậy cho đến khi trên bảng chỉ cịn một số thì số cịn lại đĩ
khơng phụ thuộc vào quá trình xĩa, tìm số đĩ
Viết lên bảng 2022 số 1, mỗi lần cho phép xố đi hai số a,b tuỳ ý và thay bởi số a Thực hiện cho tới khi
1
trên bảng chỉ cịn đúng một số, chứng minh rằng số này khơng nhỏ hơn 7002"
( 18, Bạn Lâm viết lên bảng số thực dương N Mỗi lần bạn Lâm thực hiện phép biến đổi sau đây: xố một số a cd mặt trên bảng và thay số đĩ bởi hai số thực dương b,e sao cho ư-Ƒc < 4a Thực hiện 2021 lần phép biến đổi
nĩi trên, trên bảng cĩ đúng 2022 số thực dương Chứng minh rằng trong 2022 số đĩ cĩ ít nhất một số khơng vượt quá 2022N Bạn Lâm viết lên bảng 2022 số 1 Sau đĩ mỗi lần bạn Lâm xố đi hai số a,b cĩ mặt trên bảng và thay bởi kì 2 một số thực dương c thoả mãn c > Thực hiện 2021 lần phép biến đổi nĩi trên, trên bảng chỉ cịn 1 4 a 4 : h a à n > 7
đúng một số, chứng minh số này khơng nhỏ hơn 202
Loan ghi lên bảng một số thực đương N Sau đĩ Loan thực hiện việc xố và ghỉ thêm số, theo quy tắc sau:
Mỗi lần xố một số tuỳ ý trên bảng, gọi là a, rồi ghi lên bảng hai số thực dương b,e sao cho be < 44 Sau 99
Trang 17GV:Nguyễn Tiến Lâm, Tel: 0398184841 Ơn tập chung
3 +3) Chứng minh ring a=b=c (
7,ax3 + by} = 9, ax! + by4 = 13, tinh ax +by° 1 Cho ba số thực dương a,b,e thỏa mãn a(a +53) = b(b3 +3) =
2 Với a,b,x,y thỏa man ax+by = 3, ax + by”
Hướng dẫn Sử dụng tích (x+ y)(ax" + by") =
3 Giải phương trình 9+3\/x(3— 2x) = 7/+5V3— 20
Gợi ý Dặt hai ẩn phụ rồi đưa về hệ phương trình
+ Tìm dãy các số nguyên tố pị < p; < ::: < p„ thỏa mãn
Pp) eee
Gợi ý Nếu n >2 thì p„_¡ + 1 phải chia hết cho p„
5 Với a,b,c > 0 thỏa man a? +b? +c? =9, tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P=aib~cũ dap =a € 2 € +
Chứng minh Từ giả thiết suy ra c° < 9 hay c< 3 Ta cĩ P > —c > —3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (a,b,e) = (0:0;3) Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là —3
Mặt khác, lại cĩ 4P = 4a+4b~ 4c+2abc < a2 +4+ b2 +4—4e +(42 + b?)€ = 11~ cÌ—c*+5c =20~ (c—= 1)?(c+3) <20 Do đĩ, P < 5 Dấu bằng xảy ra khi va chi khi a=b =2,c=1 Vay, gid tri lớn nhất của P là
5 Oo
6 Tìm các số nguyên tố p cĩ thể viết được dưới dạng ý ye 1 với x,y là các số nguyên dương Chứng minh Ta xét các trường hợp sau
e Với p=2 thì4= T—T nên p= 2 thỏa mãn
2)(x+3)
Fl
khơng đồng thời chia hết cho p Xét trường hợp x— 2 chia hét cho p, trường hợp cịn lại xét tương tự Vì
hai số x—2,x+2 khơng cùng chia hết cho p nên z—2 phải chia hết cho p° Dt x—2 = kp? voi ke N* e Với p>2 thì p lẻ Ta cĩ p nên (x—2)(x+2) chia hết cho p Vi p lẻ nên x—2,x+2 thì thay vào,tacĩ ¿ `, a ` a y-1=Rp?+4k Chuyén vé va kẹp "ìh 7 XQ * n
7 Với a,b,c là các số thực thỏa mãn abe+a-++b+-e =ab+bc+ca+ 5, tìm giá trị nhỏ nhất của E = đ2-‡ b2 + cÊ
Trang 1810 11 12 13; 14 15 16 1, 18, 19, 20 21 GV:Nguyễn Tiến Lâm, Tel: 0398184841 x +Ỳ X
Với x,y € [0; 1], chứng minh rằng ——ˆ <———=†+ —— I0:1] 8 b> wW+3 vx+3 <1
Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn ab+ be -‡ca = 3abc, chứng minh rằng a) V® +P + V2ab < v2(a+ b) a+bˆ |b+c |cˆ+aˆ =—x IY b ——+\Í +4/ kẻ 3< \/⁄2(a+ /2( 0) + 4/2(ce+ )ý a+b Y b+c \ c+a : v2(atb)+ 2(b+e)+ v2(c+4) (IMC 2008) Với a,b,e là các số thực dương thỏa mãn a?+b? + c? = 3, chứng minh rằng (2—ab)(2—be)(2— ca) > 1
Tìm các số nguyên dương a,b nguyên tố cùng nhau a”+b= (a—b)Ÿ
Chứng minh rằng khơng tổn tại các số nguyên dương a,b thỏa mãn đồng thời các điều kiên e 16a—9b là mơt số nguyên tố,
e ab là mt s chớnh phng,
đâ a+b là số chính phương Hướng dẫn Gọi d = (a,b)
Với n là một số nguyên dương, gọi n = dị > đ; > - > dự = 1 là tất cả các ước dương của n Chứng minh rằng
Á
nêu
dị Tđị+đị— -+(—1)''Íđ¿=nm—1 thì ø = 4 hoặc n là số nguyên tố
Hướng dẫn Hãy chứng minh vê trái của đẳng thức trên khơng vượt quá n— l Cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn c+ 2 + và ree
a=b=c h / Z tebo (be) :
Cho a,b,c € Đ* thoả mãn #‡1 + #1 + €1 € Đ Chứng minh rằng gcd(a,b,c) < Èab+ be+ea Ì `: w:W
xã đều là các số nguyên Chứng minh rằng
Cho các số tự nhiên a,b > 1,n thoả mãn a@ +nb,na+b đều là các số nguyên tố Chứng minh rằng
oo
¢ Ị (> b (ab+n?,a+b) = 1
{% 7
Chứng minh Giả sử p là ước nguyên tổ cửa a+b,ab+n? Chứng mình b—n hoặc b+n chia hết cho p —` Nếu b—n chia hết cho p thì chứng mình được Ÿ + an = p mâu thuẫn
Nếu b+n chia hết cho p thÍ tường tự ) n ` ấn (n,n+ 1) < (n,n+2) < < (n,n+35) Chứng minh rằng » (nn +35) < (mn+36) Cho số nguyên dương „ tho Y= Tìm các số nguyên dương a,b,e thoả mãn a=(b2+1,2+1), b=(c2+1,42+1), e= (Ê+1,b2+ 1)
Cho a,b,e € Đ với gcd(a?— 1,b2— 1,e? — 1) = 1 Chứng minh rằng gcd(ab + c,be +a,ca+b) = gcd(a,b,e) Chứng minh Goi d = (a,b,c) thi a = dx,b = dy,c = dz với (x,y,z) = 1 Khi đĩ
(ab+c,be+a,ca+b) = d(dxy+z,dyz+x,dzx+y) = dk
Chứng minh được (x,k) = (y,k) = GH) = 1 Ta cĩ đxy= —z (mod k), suy ra d?xy?z = xz (mod k) Từ đĩ 4Êy? =1 (mod k) hay b2 — I chia hết cho k Chứng minh tương tự a” — 1,bˆ — 1,c° — 1 đều chia hết cho k nên
k=1, n
Tim tất cả các số nguyên dương m; n; ¡ thoả mãn
m+n =gcd(m;n)?, m+1 = ged(m;l)?, n+I = ged(n;l)Ê
Trang 19
Bồi dưỡng hoc sinh giỏi Phần nguyên - Phần lẻ
1 Lý thuyết
e Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất khơng vượt qué x va được kí hiệu là [+] Phần lẻ của x kí hiệu là {x} và được xác định bởi {x} =x~ [l]
Từ định nghĩa, ta suy ra hai tính chất quan trọng của phần nguyên
« l]<x<h]+1
® [x+n] =|x]+n với n€ Z
Chứng minh Từ định nghĩa thì [x]+m < x+nm< [x]++ 1 và [x]+n € Z nên [x+ n]
2 Bai tap minh hoa
% ‘ 1
Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên nĩ ta luơn cĩ [5] + (=) = As
Viét n = 2kx+r trong đĩ k€ Z,r € {0,1} (thực tế là xét hai trường hợp » chẵn và øm lẻ) Khi đĩ, sử dụng tính chất [x+n] = [r]+n ở trên ta cĩ về trái bằng 2 2 2 2 2 [z] “ | = E3] +(e) =k+ [2] +k+ [=] Tới đây xét hai trường hợp e Nếu r=0 thì về trái bằng 2k = n e Nếu r= I thì về trái bằng 2k+ 1 = n Ê n Lời giải Bài này x là số thực, để tá phan nguyên của x ta viết x= „+ a trong dé n= [x],a = {x} Khi đĩ, es + [nt es =n+n+ vã =2n+ +5 =n n+a 2 = a 2 =”n a 2 va VP = [2n+2a] = 2n + [2a] 3 1 tế ni 4 Do đĩ, ta chỉ cần chứng minh [o+3| = [2a] vdi moi số thực a thoả mãn 0 < a< 1 Xét hai trường hợp đ đà 1 uk e Neud<a< 3 thi 0<a+z,2a<1 nên ats = [2a] =0 áu L # 1 x 1
e Néu 7 Sasi thi 1 Sat 5,2a<2 nén ats = [2a] = 1
Trang 20
Béi dưỡng học sính giỏi
Lời giải Ý tưởng cũng là tách phần nguyên, cụ thể ta viết x= m+-a,y= n+b trong đĩ m,n tương úng là phan nguyên của
x,y va a,b tương ứng là phần lẻ của x,y Ta cĩ
[x+y]~ l]}~ ly|= [n+n+a+b|—m~—n= m+n+ [a+ b]—m~—n = |a+ bị Vì 0<a,b< 1 nên 0 < a+-b < 2 nên [a+-b} € {0,1} và ta cĩ điều phải chứng minh
Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ø thì
[V5n+1] = [V5n+2] = [V5n-+3]
Ldi gidi Dit a= [V5n+1] € Z thia< V5n+1<a+1 kéo theo a° <5n+1 < (a+ 1)? Suy ra Sn +2 < (at 1)? nhung chú ý
là 5n+2=2 (mod 5) nên Sn4-2 khdng ld sé chinh phuong, dẫn tới dầu bằng khéng xay ra, tic ld Sn +2 < (a+2)? Tới đây lại
suy duge Sn +3 < (a+1)? Tương tự thì 5+ 3 cũng khơng là số chính phương nên 5n+ 3 < (+ 1)?, kéo theo v5n+ 3< a+] Tĩm lại, ta cĩ a< V5n+1,V5n+2,V5n+3<a+1 và ta suy ngay điều phải chứng mình % ‘ 1 Bài 5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thi {nV3} > sư n Lời giải Ta cĩ {nV3} = nV3—a với a = [n3] Sử dụng lượng liên hợp, và chú ý a < nV3 ta suy ra {nv3}= oe
Vì nV3>a nên 3n? > a dan tới 3n2— a2 > 1 Tuy nhiên nếu 3n?—a? = 1 tc la a? +1 = 3n? =3 (mod 3), kéo theo a=2
(mod 3) là điều khơng thé xay ra nén 3n? —a? > 2 Suy ra
: Wy 1 3
(2) Chứng minh ring với mọi số nguyên a ta luơn cĩ [5] + [+ + [| =n
( 2) Chứng minh rằng với mọi số thƒc *ta luơn cĩ ï ` (À a) [x]+ + | = Pal ⁄⁄ 1 MS b) t]+ |x+z| +|x+zl'= Bal 3 3 nh
3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luơn cĩ [V4n+ T] = [n+ vn+ T] = [vV4n+3] (4) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luơn cĩ [Ÿðn + T] = [Ÿ8n+2| = -:- = [Ÿ9n+7]
1
5, Chứng minh ring với mọi số tự nhiên m ta luơn cĩ In] = [va # j] :
Trang 21GV: Nguyén Tién Lam
LUU HANH NOI BO
Một sơ bài tốn về ước
e Một số nguyên dương n cĩ đúng k ước Ì = dị < đạ < -:: < dự =n thì dịdy = dad¿_¡ = - =n
or is vất cv Ss ohn A Chú ý là đ là ước của ø thì z cũng là ước của n
Ước thực sự lớn nhất của n (tức là khác 1,n) là Mã trong đĩ p là ước nguyên tố nhỏ nhất của
Pp
n
Hợp số luơn cĩ thể viết thành tích của hai ước thực sự, tức là nếu ø là hợp số thì ø = ab với
l<a<b<n
Bài 1 Cho số nguyên dương m thoả mãn n+1 chia hết cho 24 Chứng minh rang tổng các ước
dương của nø cũng chia hêt cho 24
Á n
Gợi ý Nêu đ là ước của n thì 5 cũng là ước của ø và chú ý a xd
Bài 2 Cho ø > 2 là một số nguyên dương với tất cả các ước 1= đị < dạ < < đự =n Chứng
minh rằng địđ› + đ›đ; + + dy—¡đ, nhỏ hơn n, và tìm điều kiện của m để tổng đĩ là ước của nẺ
n 2 ‘
Gợi ý Chii # 1 dy = 7d = a Téng la uéc clan? Khi va chi khi m là số nguyên tố
k k—1
Bài 3 Tìm các hợp số ø cĩ tính chất nếu 1 < ai < a; < < a¿ < n là tất cả các ước của n thì
ái +1,đ2 + 1, ,a¿ + 1 cũng là tât cả các ước của một sơ nguyên dương im nào đĩ
Lời giải Xét k > 4 và chú ý rằng
n n
m= (ay +1)(a, +1) = (@ +1) (a1 +1) = (a +e 1)=(@+ I+ 1) 2 Từ đây dễ dàng suy ra được ajđa = w = aid, dẫn tới a¿ = a¿ vơ lí vì k > 4 L]
Suy ra k< 3 Ta xét.Các trường hợp sau
ø Nếu k=3 tảtcĩ {1/2i;aa,as,n} là tập ước của n Vì n cĩ đúng 5 ước nén n= p* vdi p
là một số nguyên tổ: Khi đĩ tập {1,p+ 1,p?+ 1,p” + 1,m} là tập ước của m Ta phải cĩ
(p+1)(p`+1) =m = 4! dẫn tới p+ 1 = q kéo theo p = 2 nhưng 9 # đ` Trường hợp này khơng xảy ra
e Nếu k=2 ta cĩ {1,ai,a›,n} là tập ước của n Khi đĩ, n = p` hoặc n = p4
2
e Nếu k= I thì ta cĩ {1,a¡,n} là tập ước của n và khi đĩ n = pẺ Bài 4 Tìm các số nguyên dương ø thoả mãn điều kiện
n+đ(n)+ d(đ(n)) + -:- = 2021,
Trang 22GV: Nguyén Tién Lam Lời giải Lưu ý là nêu n là hợp số thì d(n) = = trong đĩ p là ước nguyên tơ nhỏ nhất của n, cịn 4 4 4 P 2 4 4 4
nêu ø là số nguyên tơ thi d(n) = 1 và quy ước đ(0) = đ(1) =0 Cĩ thể thây là ø là sơ nguyên tơ hay n € {0,1} đều khơng thoả mãn nên gọi pị.pz p¿ là tất cả các ước nguyên tố của m và giả sử pị > p› > : p¿ Từ giả thiết ta suy ra
P1P2 *Pk + PIP2-'' PIP2+ : +Ðpị +1 =2021
Tới đây triển khai tiếp, đáp số là „ = 1919 oO
Bài 5 Tìm các số nguyên dương n > 1 thoả mãn điều kiện nếu 1 = đi < đạ < -:: < đự =n là tất
cả các ước dương của n thì đị + đ›.đdị + đ› + đa, đị + đa + -+d,_¡ cũng là các ước của n Lời giải Nêu n lẻ thì đị,đ; lẻ kéo theo dy +d chẵn Nhưng khi đĩ n khơng chia hết cho dj +d
Suy ra n chẵn Do đĩ đạ = 2
Với dạ =2 thì đị +đạ = 3 và giả thiết cho ta ø chia hét cho 3 Từ đĩ ø chia hết cho 6 Suy
ra n cĩ các ước là c<g<g<m Ta thay rằng s?gtạ=" và đị + đa +-*: + đụ ,> đị nên
đị + d; + -+dy =n Hai sự kiện trên cho ta 3 z mm là tất cả các ước dương của n Suy ra a =1
hay n =6 (thoả mãn bài tốn) Oo
Bài 6 Tìm các số nguyên dương n thoả man n = dj +d} +d} +d trong đĩ dị ,dạ,da,d; là 4 ước nguyên dương nhỏ nhật của n
Bài 7 Tìm các số nguyên dương n thỏa mãn tính chất nếu:dị < d; < : < dự là tắt cả các ước
dương của đ thì đ› — đị, đa — đạ, , dự — dy_¡ là tât cả các ước dương nhỏ hơn n của n
Trang 2310 11 12, 13; 14 15 16 dự, 18 19 20
Tìm các số hữu tỉ dương x.y.z thoả mãn x+
Tìm các số nguyên tố p sao cho — Ơn tập Số học Cho các số tự nhiên a,b,c thoả mãn a > 1,b >e > 1 và abc + I chia hết cho ab— b+ 1 Chứng minh rằng b chia hét cho a Tìm các số nguyên x,y sao cho 2x3 — 3xyŸ = y*+2yŸ, Los og Vé 5 — đều là các sơ nguyên xy x+yv3
gk a # XIEYV( luc ai X 8 24 3 ok mee gh
Tìm các số nguyên duong x,y,z thod man ——>~= là số hữu tỉ và 22074 4.4770 Ia sé nguyén to y+zv
Xét các số nguyên duong a,b,c > 1 thod min a+ +b4+c4 chia hét cho a? +b? +c Chiing minh rằng a”+b?+c?
là hợp số
Tìm các số nguyên x,y thoả mãn x?+2y' = y + 2xy
Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn xŸ— I5yŸ = xy(x+y) + 6 đều là các số chính phương
p+T pˆ+7 2
Tìm các số nguyên dương n thoả mãn sao cho với mỗi sơ nguyên dương ø thoả mãn ø |» thì a++2|w+2 Tìm các số nguyên x,y thoả mãn xy— 1,3(x+ 1)(y— 1).(x-t 1)(y— 1) đều là các số chính phương
Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn a+b,b+c.c+a đơi một nguyên tổ cùng nhau Chứng minh rằng trong ba số — cĩ ít nhất một số khơng nguyên (
Xét các số nguyên dương a,b thoả mãn a2+b+ 3 khơng cĩ:ước là lập phương của một số nguyên tổ, đồng
thời a?+b+-3 |ab+-3b-+§ Chứng minh rằng 2ab + 1 là số chính phương
Xét các số thực x,y thoả mãn x+y#È +y25x+y đều là các số nguyên Chứng minh + y cũng là các số nguyên
Tìm các số tự nhiên ø sao cho ø¡.3" + 1 là số chính phương Ũ pre à sơ chính phương Tìm các số nguyên tố p.q thoả mấn p=3chia hết cho 8 và at ab+ a
Xét các số tự nhiên a,b thoả mãn ab+1 =k€ Z Chứng minh rằng k là số chính phương
Tìm các số tự nhiên ø saư:cho 2" + s2 là số chính phương
Chứng minh rằng khơng tổn tại các số nguyên dương a,da đzos thoả mãn ể a[ ` +4đa,đ) 2018 2018 +a, 45015 +a, 2
đều là các luỹ thừa của 5
Tìm các số nguyên dương ø lẻ và các số nguyên tơ p thoả mãn pP — I chia hết cho pn +} I