Tài liệu ôn thi chuyên toán dành cho học sinh cấp trung học cơ sở, bám sát theo chương trình học của học sinh, chủ yếu là cho học sinh có nguyện vọng thi chuyên Khoa Học Tự Nhiên, học sinh có nguyện vọng thi học sinh giỏi Ôn thi chuyên Toán
rr Câu lạc Toán A1, Hotine 094 T6I 1986- 085 290 — =e 86_ Lời giải - 9D2 Câu (2 điểm) vx +3 v2x+5+ a) Giải phương trình 2+ x+6= Lời giải Diều kiện xác định: x> ~š Viết lại phương trình dạng V2x+5~ vx+6+vx+3~2=0 nhân liên hợp, ta -1 + Tea aR hay tương đương 1 —_————'+——=-Ì” oa >0 nên ta phải o6 x=TS 1.thod man diéu kign — > x=l ata+2 RB Var as) +5+vx+6 Vậy phương trình cho có nghiệm oO b) Xét số thực phân biệt a,b,c,đ thoả mãn (42+b2—3)(a+b)= (bẦ+'”= 3)@+e)= =(2+4?—3)(e+3), ( chứng minh a+b+c+d=0.` “nhánh =(b?°+c?—3)(b+c) thành Chứng minh Viết lại đẳng thức lu aŠ+a?b+ab? hay tuong duong Saks BÀ “3(a+B) =3+Cb+ch> +b —3(c+b) (a—e)[d2+ae+e2+(a+e)b+b°~—3] =0 Vì a#c nên ta phải có a2+b2+c2+ab+be+ca=3 — (1) Tương tự, ta có 42+b°+c°+db+be+cd=3 — (2) n Trừ hai đẳng thức (1) (2) ta có a+b-+-c+4=0 Câu (2 điểm) : Digg a) Với x> =) 2x tìm giá trị lớn F = V2x?1-5x+2+2Vx+3— 2x sử dụng bất đẳng thức AM-GM, Lời giải Ta viết F = /(2x+1)(x+2)+ W(x+3).4— ta có phot 4x422 pig Set+1 dchash PES cg) n Dấu bing xay x= erste : Câu lạc bơ Tố AI, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 ~8h "9€ Toán b) Với a,b.c> Lóp 9D2 chứng minh abe abc _ 25 > c, _abe a,b, bietat @tbb+olera)~ Chứng minh Ta viết trái thành ath | bte, c b c+a a có Ap dụng bất đẳng thức AM-GM cho bốn số thực dương, ta a+b lób b+e lốc cra, lóa abe (a+b)(b+e)(c+a) abe wy (a+b)(b+e)(c+a) ~ 2° Lại có 45 [,3/a@b.c 15 fa b,€ c+a +3] =|:§ ye >| ) 43 42 57 (2 _ ) eta ranh) fathb , bte 15 (at £+3) >4 +‡+ 5(2 ) Ste , bee 1s 15 b+c fatb phải chứng minh Cộng bất đẳng thức cho ta điều Câu (2 điểm) +6n~+ 74 số nguyên tố a) Tìm số tự nhiên m cho p= 33n2 xét n> Ta có 3n2+6n—7=2 Kiểm tra n = không thoả mãn nên (mod 3) == 13 (mod 13) 9.1'+4 +4=.7 24 9.27% € Ñ Suỳ ra:p 33k4 nên 3n2+6n— 7= 3k+2,k 3n?”+6n =9 k= n tố nên p= 13 Từ đó, Chứng minh Suy p chia hét cho 13 va p sơ ngu Tới ta tìm n = l n va p+4q số phương b) Tìm số nguyên tố pàu thoả mãn p+q = p?+5pq+44? sơ phương Chứng minh Từ giả thiết suy (p+4)(p-+44) thi Dặt p?+5pg 3,44” = a2; với a € Ñ" Thé a —(p-+24) = P4 hay (a~p~24)(a+p+24) = P4- q = 1.Trit +2q > p,q nên a+ p+24 = pq,a— p—2 Chú ý p,4 số nguyên tố a+p hai đẳng thức ta hay tương đương Tới xét trường hợp pạ~2p—~4q=1 (p—4)(4~2) =9 n AE không di qua O Gọi tiếp tuyến A B Câu (3 điểm) Cho đường (Ø), dây cung thing HB Goi tia JO cắt (0) M Gọi MO cắt AB tai H Điểm thuộc đoạn (Ø) cắt tai S a) Chứng minh OHS= OSM, Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 a Lớp 9D2 b) Dường trung trực /B cắt@ MB tai L Dudng trung truc cia> JA catý MA tai i K K Goi Goi NN làla trung điểm MO Chứng minh NK = NI ©) Gọi đường thẳng K7 ØB cắt P Chứng minh PI vng góc với OK Câu (1 điểm) Tìm số nguyên dương ø lớn cho gán cho số 1,2,.-.5 14 hai màu xanh đỏ cho với số k — 1,2, n ln có cặp số màu xanh có hiệu & cặp sơ màu đỏ có hiệu # Lời giải Rõ n < 12 có cặp có hiệu 13 Giả sử „ = 12 thoả mãn lưu ý ráng sơ 12 có hai cách biểu diễn thành hiệu hai số từ1 tới 14 12= 13— 1= 14—2 Khơng mật tổng qt giả sử số tơ màu đỏ, số 13 phải 3,14 tơ xanh Hơn nữa, có ba cặp có hiệu 11: 12~ 1,13—2 14—3 Cặp tơ đỏ hai số 13,2 cặp có hai màu nên suy 12,1 phải tô mau va vi thé 12 tô đỏ Lập luận với cặp 14,3 tơ xanh Tiếp tục q trình với hiệu 10,9,8,7 va ta thu số từ tới phải tô màu xanh, số từ tới 13 phải tô đỏ Nhưng trường hợp này, sô không biểu diễn thành hiệu hai số có màu xanh màu- Do đó, ø < I1 Một ví dụ với n = 11 thoả man Ia 1,2,4,6,8, 10,12 tơ đỏ phần cịn lại tơ xanh QO Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 Lóp 9D2 Kiểm tra định kỳ lần lớp 9D3 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày tháng năm 2022 Câu (2 điểm) a) Cho số thực x = v2++ Chứng minh x— 10x? + =0, từ tính F =20—x4 — 200 + 10x? + 2x b) Với số nguyên dương n, xét a„ = V2n?+2— 2vn# + n2 3-1, chứng minh 49 thoả mãn ab = 12, chứng minh 3M)on /21b 24 >3 4a+3b~ b) Với a,b,e > 0, tìm giá trì nhỏ biểu thức Độ a Tapp lebet+1e2 b V2c2+16ca+7a? c V2a?+16ab-+7b2 Cau (3 diém) Cho dutng (0), day cung AB không di qua O Goi tiép tuyén tai A va B cia (0) cắt W Gọi MO cắt AB H Điểm I thuộc đoạn thẳng HB Gọi tia IO cat (0) S a) Chứng minh OHS= OSM, b) Dường trung trực 1B cdt MB tai L Dudng trung truc cla JA cắt MA K Gọi N trung điểm MO Chứng minh WK =NL ©) Gọi đường thẳng KL va OB cat tai P Chứng minh PI vng góc với OK Câu (1 điểm) Có tổn hay không cách tô màu số nguyên dương ba màu: xanh, đỏ vàng Sao cho ba màu sử dụng với cặp số nguyên dương a,b tô khác màu tổng a+b tơ màu cịn lại? Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 lóp9D2 Lời giải 9D3 Câu (2 điểm) a) Cho số thực x= 2+} v4 Chứng minh x*— 10x +1 =0, tir dé hay tinh F =20 —x4—20x3 + 10x2+2x ce Ta có x?= 5+ 26 hay x”— xỶ— 10x24 =0 =2V/6 Bình phương hai rút gọn ta suy Ta có F =(2v— 1)@Ẽ— 02+ 1)+1 =1, BỊ b) Với số nguyên dương n, xét ay = V/2w2+2—2Vn3-Ln2 +], chứng minh 49 thoả mãn ab = 12, 24 >3 44 3, 27p Aa+3b ^ Chứng minh Ta viết trái thành 4a+3b ab Da Me 12 V4a.3b EE 12 te 24 24 _ 4a+3b 4a+3b` 12 4a+3b ta cần ching minh *% t+=>3 Cy Ap dung bất đẳng thức AM-GM ?>2, ta có ,1 72 (729.1 fa.03t5.2=3.3 ym (5PEA45)A) 4+52 > 20 biểu thức b) Véi a,b,c >0, tím giá trị nhỏ b a ' +—— P= 142 ca+ -16 2/2 1c + 16bc + V2b2 € V242+l6ab+ Tb? g tự với b—e)°+(2b+ 3e)2 < (2b+ 3e)” Tươn —2( = 72 + l6bc + 2b” có Ta giải Lời bất đẳng thức lại, ta suy a a an P>ŸY ——) >8 số sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu *L22b3a n tuyến A B dây cung AB không qua O Goi tiếp (0), g đườn Cho ) điểm (3 1Ø cắt (0) Câu H Điểm / thuộc doa n thẳng HB Gọi tia AB cắt MO Gọi M cắt (Ø) tai S a) Chứng minh OHS = OSM, Lớp 9D2 Câu lạc Toán A1, Hotline: 034 761 1986 -035 29032860 — — trực 14 cất MA K Gọi N b) Đường trung trực JB cắt MB L Dường trung trung điểm MO Chứng ring NK = NL vng góc với OK c) Gọi đường thing KL va OB cắt P Chứng minh PI Câu (1 điểm) Có tồn hay khơng cách tơ màu số nguyên dương ba màu: dương a,b xanh, đỏ vàng cho ba màu sử dụng với cặp số ngun tơ khác màu tơng a+-b tơ màu lại? Lời giải Khẳng định tốn khơng thể tơ Ta đưa hai cách để chứng minh cho khang dinh Cách Không mắt tổng quát giả sử số tô màu xanh Xét số nguyên dương n > Ï tô khác màu với số 1, giả sử ø tơ màu đỏ Khi n+1 tô màu vàng Suy ta n+2=(n+1)+1 tô đỏ, n+3 = (n+2) + lại tô vàng Tiếp tục q trình này, chứng minh n+k khơng tô xanh với k > Tuy nhiên 2+ = n+(n+ I) lại tô xanh Mâu thuẫn suy điều giả sử sai ta có điều phải chứng minh CácH Giả sử tồn cách tô màu thỏa mãn điều kiện Lay ba s6 a,b,c tơ xanh, đỏ, vàng Thế a-+b tô vàng, be tô xanh Suy (a+-b)*+(b-+e) =2b-+e+a có màu đỏ Nhung lai c6 2b+c+a=b+(a+b+c) ma b c6 màu đổ nên a+-b-+c khơng thể có màu vàng xanh, tức a-+b+e có màu đỏ Tuong ty 2a+b+c thi 2a+b+c cé mau xanh a+b+e oO có màu xanh, mâu thuẫn Vậy, khơng tồn cách tơ thỏa mãn điều kiên tốn GV:Nguyễn Tiến Lâm LƯU HÀNH NỘI BỘ Đề tổng hợp sô Bài Với số nguyên dương n, xét a„ = V/2n2+2—2Vn*-+n2 +1, chứng minh 49 < ay tar +++++a59 < 50 Goi y Luu y nt +n? +1 = (n? —n4+1)(n? +n41) Bài Giải phương trinh 8x9 +.x—7 = Èx+7 Gợi ý Dưa dạng aŠ +a = bỒ + b Bài Cho số nguyên dương a,b,x,y thoả man (a,b) = va ety — a+2b số phương a Chứng minh Gợi ý Sử dụng ước chung lớn x,y Bài Cho a,b,c số thực không âm thoả mãn a2+b2+c2 = 8, Chứng minh 4(a+b+c) — abc < 16 Gợi ý Viết 4(a+b) + (4— ab)c dùng Bunhiacovsky thích hợp Bài Tìm số ngun dương x,y cho 3*— 5* la số phương Gợi ý Chứng minh y chan GV:Nguyễn Tiến Lâm Đề tổng hợp sô Bài (3 điểm) a) Biết chia đa thức P(x) cho đa thức x+ 1,x” + ta đa thức dư tương ứng —3 x+ Tìm đa thức dư phép chia P(x) cho (x+1)(x? +1) b) Cho đa thức P(x) = xŸ— 3x +1 có ba nghiệm xị,xa,xạ đa thức Ø(x) =x? —5x+6 Tính giá trị Ø(x¡)@(xa)@(a) Bài (3 điểm) l 2+b?+c7—ab— be— šf''Õiall,Ð,£ll@iỗituinhienabiokibian===—” > minh ring a=b=c —” số phương Chứng b) Tim cdc s6 ty nhién n cho nt+n?-+1 [a [ap phuong cia mét ty nhién Bai (3 diém) a) Cho số thực dương z,b,c Chứng minh oye boc ee ae 10\/ athe b) Cho số thực a,b,c,đ thoả mãn a+b+£c*+-đ À Và đ PEP +O +d = 12 Chứng minh < a,b,c,đ < tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F=4( +b+cŸ +a) (a! +bt+ct+4!) Bài (1 điểm) Mỗiô vuông bing’ %uông 2020 x 2020 tô đen tô trắng (mỗiô tô màu) cho tất ô vuông viền tô đen hình vng cỡ x2 bảng tô hai màu Chứng ¡ mỉnh tổn hình vng cỡ x tơ mau theo cách tơ màu hình bàn co" vụa `(đen-trắng xen kể) GV:Nguyễn Tiến Lâm Dé téng hợp sô Bài (3 điểm) a) Cho đa thức P(x) = 2x + axŠ + bx? +ex+đ thoả mãn P(1)= 3,P(2) = 6, P(3) = 11 Tính giá trị P(0) + P(4)? "m , „ 4b bốc cat b) Cho sô nguyên dương a,b,e thoả mãn — + —— + TT a € rang ab chia hét cho c số nguyên Chứng minh Bai (3 diém) a) Tìm sơ ngun dương x,y thoả mãn == x1y lập phương số nguyên tô b) Cho mø > số tự nhiên Và gọÏ đ1,đa,'** „4k số tự nhiên nhỏ ø nguyên tổ với x Chứng minh néu ’ đạ —đI =43—d=:::=dy—a,_I'>Ơ), m số nguyên tố luỹ thừa Bài (3 điểm) a) Với x,y la cdc số thực dương thoả mãn xy> Leh: tìm giá trị nhỏ biểu thức F=x+3y a ern? Bài (1 điểm) ` b b3+-ca+2 € 12012“ < œ b) Cho số thực dương a,b,c có tổng 3ì'chứng minh Có 22 qn xe xếp bảngô vuông cỡ x Chứng minh tổn qn xe đơi + không ăn nhaư ( Tài liệu ôn thi học sinh giỏi chun tốn Một sơ bổ đề sơ học Bài tập ~ > x Tìm sô hữu tý x,y dương thỏa mãn x a * ! ` a A — + — x+ y nguyên y 4, ie Cho ø,b sô tự nhiên thỏa mãn số nguyên Chứng minh a =Ù ab Cho x,y sô nguyên thỏa mãn e+1 yl y+ Š số nguyên Chứng minh +”— Ï yas chia hét cho y+ Cho a,b số nguyên dương, nguyên tố va x,y sô nguyên thỏa mãn a B e+ y pe Chứng minh ø+3b số phương Tìm x,y ngun dương thỏa mãn y(x2+x+ l) =(x+ 1)(y?-1) ‘ ma a be € ae Tim a,b,c sô nguyên dương thỏa mãn — +; =-vaa+c,b+c Ạ gee a ae déu la so nguyén to Ae £ qu ck Tim a,b,c sô nguyên dương thỏa mãn at Boe : va a?-+c,b? +e déu la s6 nguyén té ‘ 3a e Lal Cho a,b,c sô nguyên dương thỏa mãn at, = A ae Chứng minh c+-2(a+-) hợp sô Cho a,b,e số nguyên dương Chứng minh a-b+-2Vab + c2 số ngun tơ 10 Tìm số ngun dương x cho 4x” + 14x? 19x— số phương 11 Cho số ngun dương thỏa mãn 2V/12n? +142 1a s6 phương V12u2+-1 số nguyên 12 Tìm a,b số tự nhién théa man 2a? +a = 3b? +b va 2(a +b) dương Chứng minh la số phương a 13: Tim số nguyên dương x,y thỏa mãn x-‡5 số phương = = „ ` sơ ngun GV: Nguyễn Tiến Lâm Bài tập nhà + abe = 4, chứng minh 1, V6i a,b,c > thoả mãn ab+ bc + ca Va2+§+V2+§+ VWc2+8§ b > c > đ ac aŠe + bđŠ hợp số š so 1 i ˆ Ncho Chứng minh không tổn số hữu tỉ x,y > thoả mãn x-+y+ —x + —y sơ ngun chia hết Tìm số nguyên dương x,y thoả man x3 — xy=4y`+y+2 Gợi ý Dặt x= 2y+đ với đ € Z đưa phương trình bậc hai ẩn y sử dụng điều kiện A > „ Với a,b,c> 0, chứng minh ring bực 2a+e Tel đề 6(b— Ó3/88, —b a+e — 1.1 3E đẺ > thoả mãn a+b+c+đ =4, chứng minh atptats >a2+b?+c?+ Với a,b,e,d e z ar Với a,b,c,d > thoả mãn at+b+ce+d =4, ching minh ring a+ 2s 42+b?+ cd~ +42 Tìm cdc sé nguyén t6 p,q cho p+q va 4p+q số phương Xét số nguyên tổ p,q thoả mãn v/pˆ~— pạ+ 4ˆ + wp2+-7pa+'q? số tự nhiên Ching minh ring p= 10 Vé6i a,b,c > 0, ching minh ring a eS b ⁄ ` ce, fabt+be+ca _ jee ee bret etal atb® Xà ` A @+b+c2 ~ 2° mare Cho số nguyễn dương a,b.e khơng có số chia hết cho số thoả mãn điều kiển abe +1 chia hết cho øb = b1 Chứng c > b Tim số nguyên dương x.y thoả mãn {+ +y]{y? + x) = 3x— v]Ẻ, Tìm số nguyễn dương x.y thoả mãn T* — — Tại san? Tên hay không số nguyên dương ø,È,c thoả mãn (a? + bib" +el(£°+ø) luỹ thừa ` GV: Nguyén Tién Lam Hình học Tổ hợp (Part 1) Tơ màu điểm mặt phẳng hai màu: xanh, đỏ Chứng minh tổn tam giác vng có ba đỉnh tơ màu Gợi ý Hãy xét lưới ô vuông cỡ x Khi nút lưới (giao đường ngang đường dọc) tơ hai màu nên có cách tơ cột lưới Vì có cột lưới nên phải có cột tơ giồng Gọi hai cột ¡ j Tơ màu điểm mặt phẳng hai màu: xanh đỏ, điểm tô màu Chứng minh tổn đoạn thẳng mà hai đầu mút trung điểm tô màu Gợi ý Hãy chứng minh tổn hình chữ nhật có bồn đỉnh màu Tô màu điểm mặt phẳng hai màu: xanh đỏ, điểm tô màu Chứng minh tổn tam giác có ba đỉnh tơ màu Gợi ý Xét tam giác trung điểm cạnh nó, xét lục giác (Bài tốn Ramsey) Có điểm mặt phẳng, khơng có ba điểm thẳng hàng Tơ màu cạnh nối điểm cho hai màu: xanh đỏ (mỗi cạnh tô màu) Chứng minh tổn điểm lập thành tam giác có ba cạnh màu Kết tốn cịn khơng thay điểm điểm Gợi ý Gọi điểm cho A,B,C,D,E,F Các đoạn thẳng AB,AC,AD,AE,AF tơ hai màu nên có ba đoạn thẳng tô màu, giả sử AB,AC,AD Sau xết tạnh BC,CD,DB Chứng minh số vô tỉ chọn ba số v6 ti a,b,c mà a‡b,b+e,e+a số vơ tỉ Chứng minh khẳng định tốn nều thay số số Có 10 số thực phân biệt khác thoả mãn với hai số tổng tích chúng số hữu tỉ Chứng minh bình phương 10 số số hữu tỉ Chứng minh Ta cần xét trường hợp tất số cho vô tỉ (tại sao?) Nếu tổng hai số hữu tỉ tơ đỏ, tích hai số hữu tỉ tơ xanh Theo tốn Ramsey tồn tam giác đơn sắc Có hai trường hợp e Nếu tam giác có ba cạnh đỏ dễ dàng: ba số tương ứng hữu tỉ Giả sử ba số a,b,e Thì từ tất e Nếu tam giác tỉ Từ dễ số hữu số có ba chứng tỉ cịn lại hữu tỉ cạnh xanh thì/£oi ba số A,4a,As Ta có A¡Aa,A24s,A3Á¡ số hữu minh A?,42,A hữu tỉ Giờ xét 4; với ¡ > Nêu hai số Ái +A¡,Aa+A; Áị — A2-hữu tỉ Từ Ái +4¿ hữu tỉ Nhưng Ai,A; hữu tỉ (mâu thuẫn) Do hai số A+4;,A24; có số số hữu tỉ Từ đó, ta dễ dàng suy đpcm ^ ({ } n Tô màu điểm ‘trong mat phẳng hai màu: xanh đỏ Một đa giác gọi đơn sắc tất đỉnh cửa có màu Chứng minh khẳng định sau e Tên tam giác đơn sắc có cạnh e Tên tam giác đơn sắc có cạnh v3 e Tổn hình thoi đơn sắc có cạnh Chứng minh Trước hết ta chứng minh tổn tam giác đơn sắc có cạnh cạnh v3 Nếu tồn tam giác đơn sắc có cạnh xong Ngược lại, giả sử khơng tổn có hai điểm tơ khác màu mà khoảng cách Gọi hai điểm A,B Dựng tam giác cân ABC đỉnh € giả sử € màu với A Giả sử A màu đỏ, C màu xanh Gọi Ø trung điểm AC Khơng tính tổng qt, giả sử O,C màu xanh Bây giờ, dựng tam giác cạnh ÀOCD, ÀOCE; khơng tổn tam giác đơn sắc có độ dài 1, D,E phải có màu đỏ, AADE tam giác đơn sắc có độ dài v3 Quay lại đề, giả sử không tổn tam giác đơn sắc có độ dài hình thoi đơn sắc có độ dài Từ phải tồn tam giác đơn sắc có độ dài Xét tam giác ABC có độ dài 2, D,E,F trung điểm BC,CA,AB điểm DEF tơ màu đỏ Khi A,B,C phải tơ màu xanh, nều khơng có hình thoi đơn sắc cạnh có độ dài (hình thoi AEDF,BDFE,CFED) AABC tam giác đơn sắc có chiều dài Qo GV: Nguyén Tién Lam Tô màu điểm mặt phẳng hai màu: xanh đỏ Chứng minh khang dinh sau ® Tổn hai điểm đỏ có khoảng cách © Tén tai bốn điểm xanh B,ạ,B›,Bạ cho với cặp ỉ, j mà < i,j @~2+ t€ea?~2+(b— 1)(c— 1) =4“ a-=I1 = (a1)? +2(a~1) +A 74/(@—1{a—1)(a~1) =6 Với x,y số thực thỏa mãn x? +yˆ = I, tìm giá trị lớn nhỏ P = = Hướng dẫn Nhân chéo sử dụng bắt đẳng thức Cauchy-Schwarz, x GV:Nguyễn Tiến Lâm, Tel: 0398184841 x +Ỳ X Với x,y € [0;1], chứng minh ——ˆ I0:1] b> đ; > - > dự = tất ước dương n Chứng minh Á nêu dị Tđị+đị— -+(—1)''Íđ¿=nm—1 ø = n số nguyên tố Hướng dẫn Hãy chứng minh vê trái đẳng thức không vượt n— l 15 Cho số nguyên dương a,b,c thỏa mãn c+ + a=b=c h ree xã số nguyên Chứng minh / Z tebo (be) 16 Cho a,b,c € Ñ* thoả mãn #‡1 + #1 + €1 € Ñ Chứng minh gcd(a,b,c) < Èab+ be+ea Ì `: 1, Cho số tự nhiên a,b > 1,n thoả mãn a@ +nb,na+b ¢ Ị oo (> {% w:W : số nguyên tố Chứng minh b (ab+n?,a+b) = Chứng minh Giả sử p ước nguyên—`tổ cửa a+b,ab+n? Chứng b—n b+n chia hết cho p Nếu b—n chia hết cho p chứng Ÿ + an = p mâu thuẫn tự Nếu b+n chia hết cho p thÍ tường ) n ` 18, Cho số nguyên dương„ Y= tho ấn (n,n+1) < (n,n+2) < < (n,n+35) Chứng minh » (nn +35) < (mn+36) 19, Tìm số nguyên dương a,b,e thoả mãn a=(b2+1,2+1), b=(c2+1,42+1), e= (Ê+1,b2+1) € Ñ với gcd(a?— 1,b2— 1,e?— 1) = Chứng minh 20 Cho a,b,e gcd(ab + c,be +a,ca+b) = gcd(a,b,e) Chứng minh Goi d = (a,b,c) thi a = dx,b = dy,c= dz với (x,y,z) = Khi (ab+c,be+a,ca+b) = d(dxy+z,dyz+x,dzx+y) = dk Chứng minh (x,k) = (y,k) = GH) = Ta có đxy= —z (mod k), suy d?xy?z = xz (mod k) Từ 4Êy? =1 (mod k) hay b2 — I chia hết cho k Chứng minh tương tự a” — 1,bˆ — 1,c° — chia hết cho k nên k=1, n 21 Tim tất số nguyên dương m; n; ¡ thoả mãn m+n =gcd(m;n)?, m+1 = ged(m;l)?, n+I = ged(n;l)Ê _—= =—_—_—.-———S Bồi dưỡng hoc sinh giỏi Phần nguyên - Phần lẻ Lý thuyết e Phần nguyên số thực x số nguyên lớn không vượt qué x va kí hiệu [+] Phần lẻ x kí hiệu {x} xác định {x} =x~ [l] Từ định nghĩa, ta suy hai tính chất quan trọng phần ngun « l]