PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 mÔN: TON (Thi gian lm bi 120 phỳt) Bi (4,5 điểm) Cho biểu thức A 4xy y2 x : y 2xy x y x với x y, y 0 a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x y 2x 2y 0 A = 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2016x 2015x 2016 Bài (4,0 điểm) a) Cho A=11 155 56 với n N * Chứng minh A số phương (n chữ số 1) (n - chữ số 5) b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thương 5x cịn dư Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y z xy yz zx x 2015 y 2015 z 2015 32016 b) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 1 x x 2(x m) x m xm m2 x Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 900 (I M khơng trùng đỉnh hình vng) a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM BIO = ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Gọi N giao điểm tia AM tia DC, K giao điểm BN tia OM Chứng minh tứ giác IMNB hình thang BKM BCO 1 c) Chứng minh 2 CD AM AN Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB a, b, c Các đường cao tương ứng ha, hb, hc Tam giác tam giác biểu thức (a b c) đạt giá trị nhỏ nhất? h a2 h b2 h c2 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIU IM CHM mÔN: TON (ỏp ỏn v biu điểm chấm gồm 05 trang) Bài Bài (4,5đ) a/ 2,0 điểm Nội dung Cho biểu thức A xy y x2 : x y, y 0 2 với y xy x y x a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x y 2x 2y 0 A = Với x y; y 0 ta có: : 2 y xy x y x xy 1 A : ( y x)( y x) ( y x)( y x) ( y x) A xy y x2 yx y x xy : ( y x)( y x) ( y x)( y x) xy 2y A : ( y x)( y x) ( y x)( y x) Điểm 3đ 0,75đ A A xy ( y x)( y x) ( y x)( y x) 2y A 2 x ( x y ) Vậy x y; y 0 A = 2x(x + y) b/ 1,0 điểm 0,75đ 0,25đ 0,25đ Ta có 3x y x y 0 x xy x xy y x y 0 2 0,5đ (2 x xy ) ( x xy y ) (2 x y ) 0 x( x y ) ( x y ) 2( x y ) 0 A ( x y ) 2( x y ) 2 A ( x y 1) 2 ( x y 1) 2 x y 0 ( x y; y 0 ) Thay y = x + vào A = 2x(x + y) ta : 2x( x + x + 1) = 2x2 + x = 2x2 + x - = (x + 1)(2x - 1) = + Với x = - 1, ta có y = (loại) + Với x = , ta có y = (thoả mãn) 2 Vậy x, y cần tìm x = y = 2 0,5 0,5 2 Phân tích đa thức thành nhân tử 1,5đ x 2016 x 2015 x 2016 x 2016 x 2015 x 2016 x 2015 x x 2015 x 2015 0,5đ ( x x x ) 2015 x 2015 x 2015) 0,5đ ( x x 1) x 2015( x x 1) ( x 1) x 2015( x x 1) 0,5đ ( x x)( x x) 2015( x x 1) ( x x 1)( x x 2016) Bài (4 đ) a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1, chia cho (x+1)(x+2) thương 5x cịn dư 2đ Vì f(x) : (x+1) dư f(x)= (x+1).Q(x)+4 Vì f(x) : (x+2) dư f(x)= (x+2).P(x)+1 Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 cịn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ Do f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b Ta có f(-1) = - a+b = b = 4+a (1) f(-2) = -2a+b = b = 1+2a (2) 1đ 1đ a 3 b 7 Từ (1) (2) Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7 55 b) Cho A 11 2đ n ( c / s1) ( n 1) c / s Chứng minh A số phương Ta có 1.75đ A 11 4.11 1 n ( c / s1) n ( c / s1) 10 02 102 n 10n 10 n 4.10 n (10n 2) ( n 1) cs 1 (33 34) 9 9 ( n 1) c / s số phương 55 số phương Vậy A 11 n ( c / s1) ( n 1) c / s Bài 3(4đ) 0.25đ a) Tìm x, y, z biết 2 x y z xy yz zx x 2đ 2015 y Ta có 2015 z 2015 2016 3 0,5đ 2 x y z xy yz zx x y z xy yz zx 0 ( x y ) ( y z ) ( z x) 0 Chứng minh tìm 1đ x y 0 y z 0 x y z z x 0 Thay vào x = y = z vào x 2015 y 2015 z 2015 32016 ta có 0,5đ z 2015 32016 z 2015 32015 z 3 Vậy x = y = z = b) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 2đ x x 2( x m) (1) x m xm m2 x2 ĐKXĐ: x+ m 0 x- m 0 x m 0,5 (1 x)( x m) ( x 2)( x m) 2 2( x m) (2m 1) x m 2(*) 0,5đ 3 ta có (*) 0x = (vô nghiệm) 2 m + Nếu m ta có (*) x 2m 0,5đ - Xét x = m 0,5đ + Nếu 2m -1= m m m m 2m m 2m 1 2m 2m 0 m m 0 m 0 2 (Khơng xảy vế trái ln dương) Xét x= - m m m m 2m m m 1 m 1 2m 1 Vậy phương trình vơ nghiệm m m = 1 Bài 4(6đ) 6đ A I O E D a) Xét BIO CMO có: B M C K N 1đ IBO MCO (450 ) BO = CO ( t/c đường chéo hình vng) ( phụ với BOM ) BOI COM BIO = CMO (g.c.g) S BIO SCMO mà S BMOI S BOI S BMO 1 4 BIO CMO b) Ta có CM = BI ( = ) BM = AI BM AM IA AM Vì CN // AB nên CM MN IB MN IM // BN ( Định lí Talet đảo) 1đ Hay S BMOI SCMO S BMO S BOC S ABCD a Hay IMNB hình thang Vì OI = OM ( BIO = CMO ) IOM cân O IMO MIO 450 Vì IM // BN IM // BK BKM IMO 450 ( sole trong) BKM BCO c) Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE ABM ( g.c.g ) AE AM Ta có ANE vng A có AD NE nên AD.NE AN AE S AEN 2 AD.NE AN AE ( AD.NE ) ( AN AE ) áp dụng định lí pitagota vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AD ( AN AE ) AN AE Bài5 (1,5đ) AN AE 1 1 2 2 AN AE AD AE AN AD 1 Mà AE AM CD = AD 2 CD AM AN 1,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ A x hc B C D Qua C vẽ Cx song song AB gọi D điểm đối xứng A qua Cx BAD 900 ; CD = AC = b; AD = 2hc Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD Tam BDA có BAD 900 theo định lý pitago 0,5đ 0,5đ AB AD BD ( BC CD ) c 4hc2 ( a b) 4hc2 (a b) c (Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b) Chứng minh tương tự: 4ha2 (b c ) a (Dấu ‘‘ = ’’ xảy b = c) 0,5đ 4hb2 (a c ) b (Dấu ‘‘ = ’’ xảy c = a) 4( ha2 hb2 hc2 ) ( a b c ) (a b c) 4 hb2 hc2 Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b = c *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm trịn Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com