UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x 2014 x 2013 2) x( x 2)( x x 2) Câu (4 điểm) 2a 3b 3a 15 23 a 20 1) Tìm a, b biết 2 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y xy x y 2013 Câu (4 điểm) 2014 1) Cho a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 2013 3 Chứng minh rằng: B a1 a2 a2013 chia hết cho 2 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn 2a a 3b b Chứng minh rằng: a b 3a 3b số phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a b c d x (a b)(c d ), y (a c)(b d ), z (a d )(b c) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z Hết Họ tên thí sinh: , Số báo danh: UBND HUYỆN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN LỚP (Đáp án - thang điểm gồm trang) Chú ý: Dưới hướng dẫn bản, làm học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung Điểm 2 x 2014 x 2013 = x 2013x x 2013 0.5 = x( x 2013) ( x 2013) = ( x 1)( x 2013) ( x x ) 2( x x) 1 0.5 0.5 0.5 2 = ( x x 1) 0.5 ( x 1)4 2a 3a 20 có 20(1 2a ) 15(7 3a) Từ 15 => a 1 0.5 x( x 2)( x x 2) ( x x)( x x 2) 1 2 0.5 0.5 2a 3b 2.1 3b 23 a ta 15 23 7.1 Suy b 2 Thay a 1 vào tỉ lệ thức 15 Vậy a 1 , b 2 2 Ta có A x y xy x y 2013 x x( y 1) y y y y 2003 0.5 0.5 0.5 ( x y 1) ( y 3) 2003 0.5 2 Nhận thấy với x,y ta có ( x y 1) 0;( y 3) 0 Suy A 2003 0.5 Dấu “=” xảy x 4, y 3 Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x 4, y 3 0.5 Dễ thấy a a a (a 1)(a 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 3 Xét hiệu B ( a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) ( a1 a2 a2013 ) 3 (a13 a1 ) ( a23 a2 ) (a2013 a2013 ) 0.5 chia hết cho 2014 Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 2013 3 Do B chia hết cho 0.5 0.5 0.5 2 Từ 2a a 3b b có (a b)(3a 3b 1) a 0.5 ( a b)(2a 2b 1) b Suy ( a b) (2a 2b 1)(3a 3b 1) ( ab) Cũng có Gọi (2a 2b 1,3a 3b 1) d Chứng minh d=1 => 3a 3b số phương => a b số phương (đpcm) 0.5 0.5 0.5 A M O N B H D E I K C Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN hình bình hành => MN cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI => M, O, N thẳng hàng (đpcm) Kẻ OE vng góc với BC Chứng minh MHKN hình thang vng Ta có O trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy OE đường trung bình hình thang vng MNKH nên MH + NK = 2OE (1) Xét ΔADIADI có O trung điểm AI OE//AD Suy OE đường trung bình ΔADIADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) (2) ta có MH + NK = AD (đpcm) Ta có MN // BC MN đường trung bình ABC (Do O trung điểm AI) I trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) Vậy để MN song song với BC I trung điểm BC Xét hiệu x y (a b)(c d ) (a c)(b d ) (d a )(b c) Vì d a, b c nên ( d a)(b c) Suy x y (1) Xét hiệu y z (a c)(b d ) (a d )(b c) (a b)(d c ) Vì b a, c d nên ( a a )( d c) Suy y z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z y x 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5