UBND HUYỆN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MƠN VĂN HĨA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MƠN: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1: (4.0 điểm) x4 x2 x2 Cho biểu thức M = x 1 x x 1 x x2 Rút gọn M Tìm x để M ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức M Câu 2: (4.0 điểm) Cho số nguyên tố p > số nguyên dương a, b cho: p + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12 2x 1 y Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn: x y 1 Chứng minh M = x +y -xy bình phương số hữu tỷ Câu 3: (4.0 điểm) Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y) 40 x Giải phương trình: 3x x 1 3x 16 Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M (0 b – a với a, b nguyên dương p nguyên tố lớn Nên không xảy trường hợp b + a = b – a = p b a p 2a p (p 1)(p 1) (1) Do b a 1 Mà p nguyên tố p > 3, suy p lẻ nên p + p – hai số chẵn (2) Từ (1) (2) suy (p + 1)(p -1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho (3) Lại có p nguyên tố p > Nên p không chia hết cho p2 số phương lẻ Do p2 chia dư Suy p2 – chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho Suy a chia hết cho ( (2, 3) = 1) (4) Tư (3) (4) suy a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm) 2x y 1 x y y x x y Ta có 1 x 1 y 3xy y x xy 1 x y xy 1 x y xy x y 2 Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: Giải phương trình: x x 1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 (x y) 40 x 3x 16 Ta có: (x y) 40 x (1) Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + < 40x + 40y Suy 41 (x y) 40 x 40 y Nên 16 < (x + y)4 (x + y)3 < 40 Suy < x + y < Mà x, y nguyên dương; nên x + y = (2) Thay (2) vào (1) ta có: 40x + = 34 x = 2, thay vào (2) tìm y = Vậy (x; y) = (2; 1) 0.25 2 xy xy Khi đó: M= x y xy x y 3xy 3xy 3xy Vì x, y Q nên số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ Câu 4.0 đ 4.0 đ 0.5 0.5 0.5 0.5 2 -Ta có 3x x 1 x 16 x x 3x 144 Đặt 3x t x t 5;3x t Ta có PT t t t 144 t 9 t 3 t 25t 144 0 t t 16 0 t 16 t 4 -Xét trường hợp t ta tìm x=0 ; x= ; x= ; x= 3 0.5 0.5 0.5 -KL Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh Gọi E AB lấy M ( < MB < MA) cạnh BC lấy N cho MON=90 giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE Chứng minh ΔMONMON vuông cân 0.5 Chứng minh: MN // BE CK BE Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh: KC KN CN + + =1 KB KH BH Hình vẽ: A M B O N Câu 6.0 đ K D C E H -Ta có BOC 900 CON BON 900 ; MON 900 BOM BON 900 BOM CON ABC -Ta có BD phân giác góc ABC MBO CBO 450 BCD Tương tự ta có NCO DCO 450 Vậy ta có MBO NCO -Xét OBM OCN có OB=OC ; BOM ; MBO CON NCO OBM OCN OM ON *Xét MON có MON 900 ; OM ON MON vuông cân O + OBM OCN MB NC ; mà AB=BC AM BN AB MB BC NC AM BN MB NC AN BN Ta có AB//CD AB / / CE NE NC AM AN MN / / BE ( theo định ký Ta- lét đảo ) MB NE + Vì MN//BE BKN MNO 450 ( góc đồng vị có tam giác MON vng cân) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 NB NO BNK ONC ( có BNK ONC ; BKN OCN 450 ) NK NC NB NO BNO KNC Xét BNO; KNC có BNO ; CNK NK NC NKC NBO 450 Vậy ta có BKC BKN CKN 450 450 900 CK BE -Vì KH//OM mà ON OM OK KH NKH 900 , mà NKC 450 CKH 450 BKN NKC CKH 450 Xét BKC có BKN NKC KN phân giác BKC , mà KH KN KC HC KH phân giác BKC KB HB KN BN Chứng minh tương tự ta có KH BH KC KN NC HC BN CN BH 1 -Vậy ta có KB KH BH HB BH BH BH Cho hai số không âm a b thoả mãn a +b a+b Tìm giá trị lớn biểu thức: b a S 2019 a 1 b 1 2020 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 2.0 đ + Ta có a 2a; b 2b a b 2a 2b a b 2 (do a b a b 0.5 Câu + Chứng minh với hai số dương x, y 1 + Do S 2019 a 1 b 1 2020 1 x y x y 2019 a 1 b 1 + Kết luận: GTLN S 2020, đạt a b 1 Điểm toàn 0.5 2020 2020 0.5 0.5 20 đ Lưu ý chấm bài: - Điểm tồn làm trịn đến 0,25 điểm - Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng