SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN A Câu (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức x x 26 x 19 x x x2 x x1 x 3 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ A Câu (3,0 điểm) n5 n 7n3 5n n 120 12 24 12 số tự nhiên n a) Cho số tự nhiên, chứng minh 2 b) Giải phương trình nghiệm nguyên x xy y x y 1 Câu (6,0 điểm) a) Cho đa thức bậc ba f x với hệ số x số nguyên dương biết f f 3 2020 Chứng minh f f 1 hợp số x y 4 x 3 x 12 x y x 9 b) Giải hệ phương trình : Câu (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng OA R, vẽ đường tròn O; R Trên đường tròn O; R lấy điểm H cho AH R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn O; R Trên đường thẳng a lấy B, C cho H nằm B, C AB AC R Vẽ HM vng góc với OB M OB , vẽ HN OC N OC a) Chứng minh OM OB ON OC MN qua điểm cố định b) Chứng minh OB.OC 2 R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn 6a 3b 2c abc B Tìm giá trị lớn a2 1 b2 c2 ĐÁP ÁN Bài a) A x x 26 x 19 x x x 0 x2 x x1 x x 1 x 1 x 3 x x 26 x 19 x x 3 x x1 x x 26 x 19 x x x x x1 x x x 16 x 16 x1 x 3 Vậy với x 0, x 1 x 3 x 16 x 16 x 1 x 3 x A b) Với x 0; x 1 Ta có : x1 x 16 x 3 A x 16 25 x 3 x 3 x 3 x 3; Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x 3 25 x 3 25 x Ta có : A 2 25 4 Dấu " " xảy x 3 Vậy Min A 4 x 4 25 x 3 x 25 x 5 x 4(tmdk ) Bài n n n 5n n a) Cho n số tự nhiên, chứng minh 120 12 24 12 số tự nhiên n5 n n3 5n n n5 10n 35n3 50n 24n 120 Ta có: 120 12 24 12 n5 10n 35n3 50n 24n n n 10n 35n 50n 24 Ta có : n n 1 n n 3 n 120 (tích số tự nhiên liên tiếp) n5 n 7n3 5n n Vậy 120 12 24 12 số tự nhiên 2 b) Giải phương trình nghiệm nguyên x xy y x y 1 2 2 Ta có: x xy y x y 1 x xy x xy y y 3x y 7 x x y y x y x y 7 x y x y 3 7 7 x x y 1 x y Th1: ( ktm) Th2 : 2 x y 2 x y 7 y 17 x ( ktm) y x x y 7 x x y Th3: (tm) Th : (ktm) x y y x y 14 y Vậy phương trình có nghiệm nguyên x; y 3; Bài 3 a) Gọi f x ax bx cx d a 3 f f 2020 a b c d a b c.3 d 2020 Ta có: 125a 25b 5c d 27a 9b 3c d 2020 98a 16b 2c 2020 Do : f f 1 a.73 b.7 c.7 d a.13 b.12 c.1 d 342a 48b 6c 294a 48b 6c 48a 3 98a 16b 2c 48a 2020 48a 4 505 12a Vì a 505 12a f f 1 4 f f 1 hợp số 2 2 x y 4 x x 1 y 1 b) 3 x 12 x y 6 x x 1 y x 2 0 1 y x 2 y y 0 1 y *Nếu , nên hệ có nghiệm y , chia theo vế (2) cho (1) ta : *Nếu x 2 y3 y y2 x 2 x 2 x 2 y 3 1 4y 1 2y 1 2y 4y 2 2y 1 y 1 y y 1 2y y 1 y Từ (1) (3) 4y y2 0 32 y 32 y 12 y 0 y 1 y y 0 y y y 3 0 y y 0 )4 y 0 y 0 Thế vào (3) x 3(tm) 2 )8 y y 0 có ' 42 8.3 nên phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 3;0 ; 2; Bài C H A N I M O B HM OH OM OB OHB a) vuông H, đường cao OHC vuông H, đường cao HN OH ON OC 1 2 Từ (1) (2) OM OB ON OC OH ON OC OA2 ON OC OA OC , AOC ON OA chung Ta có: OAN ∽ OCA(c.g c ) OAN cân N (do OCA cân A) NA NO N thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA Chứng minh tương tự: OA2 OM OB 3 OA OB OAM ∽ OBA OM OA OAM cân M MA MO M thuộc đường trung trực đoạn OA Từ (3) (4) MN đường trung trực đoạn thẳng OA b) Ta có ONM OHM ONI ∽ OHM R R2 ON OM OH OI R OB.OC 2 R 2 ON OI OH OM c) Vì OM OB ON OC OM OC , BOC ON OB chung OMN ∽ OCB ONM OBC ONI ∽ OBH ( g g ) ON OI OB OH Lại có OMN ∽ OCB theo tỉ số k ON 1 1 R SOMN SOBC OH BC BC OB 4 Mà Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta : OB.OC 2 R R HC R HB OH HC OH HB OC OB 4R R 2 HC R HB R.HB R.HC BC 2 R SOMN R R2 2 R R2 HB HC R A H Vậy diện tích OMN có giá trị lớn Bài 6a 3b 2c 3 1 Từ 6a 3b 2c abc , ta có : abc abc abc b c a c a b x ;y ;z a b c Khi xy yz zx 1 Đặt B a2 1 b2 c2 x x2 y y2 1 z z2 1 Nhận thấy: x x2 1 x x xy yz zx y Tương tự : x 1 x x x y z x x y x z 1 y y z 1 z z ; y2 1 x y y z z2 1 z y x z 1 x y y z z x B 2 x y y z z x Dấu " " xảy x y z 1 x y z a 3, b 2 3; c 3 3