ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH BẮC GIANG 2019 – 2020 Câu 3 1) Tính giá trị biểu thức A 26 15 26 15 2) Rút gọn biêu thức a 2 a a a 1 P : a 11 a a a a 2 Câu 1) Giải phương trình : x 2 x 3x 10 x y xy 4 y x 1 x y y 2) Giải hệ phương trình sau : Câu 1) Cho hàm số y x Tìm giá trị m để đường thẳng có phương trình y x m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A x1; y1 , B x2 ; y2 thỏa mãn : x2 x1 4 y2 y1 18 2) Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện : 20abc 30 ab bc ca 21abc Câu Cho tam giác ABC vng A AB AC có đường cao AH O trung điểm cạnh BC Đường trịn tâm I đường kính AH cắt AB, AC theo thứ tự M , N OA MN cắt D 1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp 1 2) Chứng minh AD HB HC 3) Cho AB 3, AC 4 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN Câu Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc 1 Chứng minh : 1 1 2 a 2b b 2c c 2a 2 ĐÁP ÁN Câu 1) A 26 15 26 15 3 3 3.2 3.2. 2 2 3.22 3.2 3 b) Điều kiện: a 11 Đặt x a x 3 a x Tính : x P x x 3x 1 : x x x x x x x 3 x x x x x : x x x 3 x x a 2 Câu 1) ĐK : x Với điều kiện biến đổi phương trình cho thành : x 2 x2 x 2 x x x Chia hai vế phương trình cho x x ta : x2 x2 0 x2 x x2 2x Đặt t 1 x2 t 0 x 2x , thay vào (1) ta : t 1(tm) t 3t 0 t 2(tm) x2 1 x 3x 0 x 2x x 1 x 2 (tm) x2 2 x x 14 0(VN ) x 2x x 0 (VN ) x x 2) Với y 0 Hpt thành x2 y x y 4 1 x x y 1 y Với y 0 HPt thành : x2 a , b x y y Đặt , thay vào hệ phương trình (1) ta : Giải a 1, b 3 a b 4 a b 1 x2 1 a 1, b 3 y x; y 1;2 ; 2;5 x y 3 Với Câu 1) Xét phương trình hồnh độ giao điểm : x x m x x m 0 1 Đường thẳng cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt A, B pt (1) có hai nghiệm phân biệt 1 4m m , A x1; y1 , B x2 ; y2 Theo định lsy Viet Điều kiện : x1 x2 1 x1 x2 m Ta có: x1 y1 x1 m y2 x2 m 4 x2 y1 y2 18 x1 x2 9 m 1( ktm) x1 x2 x1 x2 9 m (tm) 2 1 a b c 10 Khơng tính tổng qt 2) Từ giả thiết suy 2 2c c a b c Giả sử Suy Do c 2;3 Với c 2 1 1 1 1 1 b a 10 a b b b Do : b 7;11 1 b a 19;23;29;31;37;41 42 a 35 b 11 1 a 13 a b 66 a 55 c 3 1 11 * b b 5(do b c) a b 30 b Thay b 5 vào * a 15 a 7 Vậy có số a; b; c thỏa mãn 19;7;2 ; 23;7;2 ; 29;7;2 ; 31;7;2 ; 37;7;2 ; 41;7;2 ; 13;11;2 ; 7;5;3 hốn vị Câu A D N I M B O C H K 1) Tứ giác AMHN nội tiếp nên AMN AHN Lại có: AHN ACH (cùng phụ với CHN Nên ACB AMN 0 Mà AMN NMB 180 ACB NMB 180 Do BMNC tứ giác nội tiếp 2) Có AID AOH 2.ACB AD AI AID ∽ AOH AH AO 1 1 AO BC HB HC , AI AH HB.HC 2 2 Có AO HB HC 1 HB.HC HB HC Do : AD AH AI 12 BC 5, AH 3) Tính Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN Khi KI đường trung trực đoạn thẳng MN Do AID ∽ AOH ADI AHO 90 OA MN OA / / KI Do tứ giác BMNC nội tiếp nên OK BC AH / / KO Do tứ giác AOKI hình bình hành 1 769 R KB KO OB AI BC AH BC 4 10 (dvđt) Nên Câu Ta có : a 2b a b b 1 2ab 2b 2 2 Tương tự: b 2c 2bc 2c 2, c 2a 2ac 2a Suy : 1 1 1 2 2 2 a 2b b 2c c 2a ab b bc c ac a 1 1 ab b 1 1 a a ab b