049 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh bắc giang

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH BẮC GIANG 2019 – 2020 Câu 3 1) Tính giá trị biểu thức A  26  15  26  15 2) Rút gọn biêu thức  a 2  a a    a  1 P       :     a  11  a   a  a     a 2 Câu 1) Giải phương trình : x  2 x  3x  10  x  y  xy  4 y   x  1  x  y    y 2) Giải hệ phương trình sau :  Câu 1) Cho hàm số y x Tìm giá trị m để đường thẳng  có phương trình y x  m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A  x1; y1  , B  x2 ; y2  thỏa mãn :  x2  x1  4   y2  y1  18 2) Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện : 20abc  30  ab  bc  ca   21abc Câu Cho tam giác ABC vng A  AB  AC  có đường cao AH O trung điểm cạnh BC Đường trịn tâm I đường kính AH cắt AB, AC theo thứ tự M , N OA MN cắt D 1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp 1   2) Chứng minh AD HB HC 3) Cho AB 3, AC 4 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN Câu Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc 1 Chứng minh : 1 1    2 a  2b  b  2c  c  2a  2 ĐÁP ÁN Câu 1) A  26  15  26  15  3    3        3.2  3.2.        2    2   3.22  3.2 3 b) Điều kiện:  a 11 Đặt x  a    x 3  a x  Tính :  x    P x x    3x  1   :       x  x x  x x     x    x  3   x   x  x  x   x  :       x   x  x  3   x x  a 2  Câu 1) ĐK : x  Với điều kiện biến đổi phương trình cho thành :  x  2  x2  x   2  x  x     x   Chia hai vế phương trình cho x  x  ta : x2 x2   0 x2  x  x2  2x  Đặt t  1 x2  t 0  x  2x  , thay vào (1) ta :   t 1(tm)  t  3t  0     t 2(tm)   x2 1  x  3x  0  x  2x   x 1  x 2 (tm)  x2 2  x  x  14 0(VN ) x  2x   x  0 (VN )  x  x        2) Với y 0 Hpt thành   x2   y   x  y  4   1    x      x  y   1  y  Với y 0 HPt thành :  x2  a , b x  y y Đặt , thay vào hệ phương trình (1) ta : Giải a 1, b 3 a  b 4  a  b   1  x2  1  a 1, b 3   y   x; y    1;2  ;   2;5    x  y 3  Với Câu 1) Xét phương trình hồnh độ giao điểm : x x  m  x  x  m 0  1 Đường thẳng  cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt A, B  pt (1) có hai nghiệm phân biệt  1  4m   m  , A  x1; y1  , B  x2 ; y2  Theo định lsy Viet Điều kiện :  x1  x2 1   x1 x2 m Ta có:  x1   y1 x1  m   y2 x2  m 4 x2    y1  y2  18   x1  x2  9  m 1( ktm)    x1  x2   x1 x2  9      m  (tm)  2 1     a b c 10 Khơng tính tổng qt 2) Từ giả thiết suy 2   2c  c a  b  c  Giả sử Suy Do c   2;3 Với c 2  1 1 1 1          1    b a 10 a b b b Do : b   7;11 1  b       a   19;23;29;31;37;41    42 a 35   b 11   1     a 13  a  b   66 a 55 c 3  1 11     *    b   b 5(do b  c) a b 30 b Thay b 5 vào  *   a  15  a 7 Vậy có số  a; b; c  thỏa mãn  19;7;2  ;  23;7;2  ;  29;7;2  ;  31;7;2  ;  37;7;2  ;  41;7;2  ;  13;11;2  ;  7;5;3 hốn vị Câu A D N I M B O C H K 1) Tứ giác AMHN nội tiếp nên AMN AHN Lại có: AHN ACH (cùng phụ với CHN Nên ACB AMN 0 Mà AMN  NMB 180  ACB  NMB 180 Do BMNC tứ giác nội tiếp 2) Có AID AOH  2.ACB  AD AI AID ∽ AOH   AH AO 1 1 AO  BC   HB  HC  , AI  AH  HB.HC 2 2 Có AO HB  HC 1     HB.HC HB HC Do : AD AH AI 12 BC 5, AH  3) Tính Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN Khi KI đường trung trực đoạn thẳng MN Do AID ∽ AOH  ADI AHO 90  OA  MN  OA / / KI Do tứ giác BMNC nội tiếp nên OK  BC  AH / / KO Do tứ giác AOKI hình bình hành 1 769 R KB  KO  OB  AI  BC  AH  BC  4 10 (dvđt) Nên Câu Ta có : a  2b   a  b    b  1  2ab  2b  2 2 Tương tự: b  2c  2bc  2c  2, c  2a  2ac  2a  Suy : 1 1 1         2 2 2 a  2b  b  2c  c  2a   ab  b  bc  c  ac  a      1 1       ab  b  1   1  a   a ab b  